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第7.7节 章末综合复习
一、万有引力定律的应用
例1 (2024·全国甲卷，3)2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样返回之旅。将采得的样品带回地球，飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的。下列说法正确的是( )
A.在环月飞行时，样品所受合力为零
B.若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力等于零
C.样品在不同过程中受到的引力不同，所以质量也不同
D.样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小
【答案】D
【详解】在环月飞行时，样品所受的合力提供向心力，所受合力不为零，A错误；若将样品放置在月球正面，根据牛顿第三定律可知，它对月球表面的压力等于月球对它的支持力，根据力的平衡条件可知，月球对它的支持力等于它在月球上的重力，不为零，故它对月球表面的压力不为零，B错误；质量是物体的固有属性，不会随受到的引力的变化而变化，C错误；由于月球表面重力加速度较地球表面的小，则样品在月球表面所受重力较在地球表面的小，结合B项分析可知，样品放置在月球背面时对月球的压力较其放在地球表面时对地球的压力小，D正确。
训练1某天文爱好者在地球赤道上观察一颗在地球赤道平面内绕地球做圆周运动卫星的运动规律，已知该卫星绕行方向与地球自转方向相同，该天文爱好者观察到该卫星间隔t时间经过其正上方一次，已知地球的半径为R，地球自转角速度为，地球赤道表面的重力加速度为g，天文爱好者的质量为m，求：
(1)天文爱好者受到地球的引力大小；
(2)卫星做圆周运动的周期。
【答案】(1)
(2)时；时
【详解】（1）天文爱好者在赤道上随地球自转时做匀速圆周运动，向心力与重力G是引力的两个分力，可得
，
由于、G及同方向，所以
（2）设卫星转动的角速度为，若卫星的角速度大于地球自转的角速度，根据题意有
解得
由，解得
若卫星离地高度高，角速度小于地球自转的角速度，则
解得
由，解得
训练2空间站绕地球做圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示，太阳光可看作平行光，航天员在A点测出地球的张角为α=60°，已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，不考虑地球公转的影响.最后结果用g、R表示，求：
(1)空间站的线速度多大？
(2)空间站绕地球一周经历“日全食”的时间多大？
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由
解得
又
解得
（2）由
得
由
可得
即
例2 (2024·浙江1月选考)如图所示，2023年12月9日“朱雀二号”运载火箭顺利将“鸿鹄卫星”等三颗卫星送入距离地面约500 km的轨道。取地球质量6.0×1024 kg，地球半径6.4×103 km，引力常量6.67×10－11 N·m2/kg2。下列说法正确的是( )
A.火箭的推力是空气施加的
B.卫星的向心加速度大小约8.4 m/s2
C.卫星运行的周期约12 h
D.发射升空初始阶段，装在火箭上部的卫星处于失重状态
【答案】B
【详解】根据反冲现象的原理可知，火箭向后喷射燃气的同时，燃气会给火箭施加反作用力，即推力，故A错误；根据万有引力定律和牛顿第二定律可知卫星的向心加速度大小为a＝＝≈8.4 m/s2，故B正确；由G＝m·(R＋h)得卫星运行的周期为T＝2π≈1.6 h，故C错误；发射升空初始阶段，火箭加速度方向向上，装在火箭上部的卫星处于超重状态，故D错误。
训练1 2024年8月6日，千帆星座首批18颗商业组网卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道。若其中一颗卫星离地高度为，该卫星运行轨迹与赤道共面。已知地球半径为，自转周期为（一天），地球表面重力加速度大小为，引力常量为，不计地球自转对地球表面重力加速度的影响。求：
(1)地球的质量；
(2)一天内该卫星绕地球运行的圈数；
(3)该卫星离地球同步卫星的最远距离。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设地球表面上某个静止的物体的质量为，由万有引力等于重力有
解得
（2）该卫星绕地球做匀速圆周运动，设其运行周期为，质量为，有
又
解得
（3）设同步卫星离地高度为，质量为，有
解得
由几何关系可知当该卫星、同步卫星与地球共线且异侧时距离最远，有
解得
训练2我国于2024年11月9日11时39分在酒泉卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭，成功将航天宏图PIESAT-201卫星发射升空。示意图中a为地球赤道上的物体，b为沿地球表面附近运行的航天宏图PIESAT-201卫星，c为地球同步卫星。若A、B、C的运动均可看作匀速圆周运动，则（ ）
A．向心加速度的大小关系为
B．向心加速度的大小关系为
C．角速度关系为
D．角速度关系为
【答案】A
【详解】CD．同步卫星和地球赤道上的物体具有相同的角速度，即
根据
可得
可知
即它们的角速度大小关系为
故CD错误；
AB．根据
可知
根据
可得
可知
向心加速度大小关系为
故A正确，B错误。
故选A。
二、万有引力与天体表面抛体运动的综合应用
1.万有引力定律常与抛体运动综合命题，这类问题是以重力加速度为桥梁和纽带，将天体运动与自由落体运动、竖直上抛运动、平抛运动进行综合。考查的核心知识是万有引力定律、牛顿第二定律和运动学知识的综合应用。
2.解决这类综合问题的基本思路
(1)求物体在星球表面的重力加速度的两种方法
①从它与星球的关系g＝中求出。
②从它与运动的关系(自由落体运动、竖直上抛运动、平抛运动等)中求出。
(2)万有引力定律和牛顿第二定律综合应用列方程，应用大致分为三种情况
①绕中心天体做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，即
G＝m＝mω2r＝mr。
②未绕中心天体做匀速圆周运动时，万有引力等于重力，即
G＝mg。
③重力等于向心力，即mg＝m。
例3 宇航员站在某一星球表面上的某高度处，沿水平方向抛出一小球，经时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大为原来的2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，引力常量为G，求该星球的质量M。
【答案】
【详解】设抛出点的高度为h，第一次平抛的射程为x，则有x2＋h2＝L2①
由平抛运动规律知，当初速度增大为原来的2倍，其射程增大到2x，可得
(2x)2＋h2＝(L)2②
由①②式解得h＝③
设该星球上的重力加速度为g′，由平抛运动的规律得h＝g′t2④
由万有引力定律和牛顿第二定律得
G＝mg′⑤
由③④⑤式可得M＝。
训练1 2024年10月30日，神舟十九号载人飞船搭乘三名宇航员，从酒泉卫星发射中心发射升空。假设地球的半径为R，神舟十九号载人飞船在距离地球表面高度为h处绕地球做匀速圆周运动。已知地球两极表面的重力加速度为g，引力常量为G，地球的自转周期为 ，神舟十九号载人飞船绕地球运动的角速度大小与地球自转的角速度大小之比为k。下列说法正确的是（ ）
A．神舟十九号载人飞船的线速度大小为
B．神舟十九号载人飞船的向心加速度大小为
C．地球的平均密度可表示为
D．神舟十九号载人飞船运行高度h与地球半径R的关系为
【答案】D
【详解】A．神舟十九号载人飞船在距离地球表面高度为h处绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则有
在地球表面有
解得
故A错误；
B．根据牛顿第二定律有
结合上述有
故B错误；
C．地球的自转周期为 ，神舟十九号载人飞船绕地球运动的角速度大小与地球自转的角速度大小之比为k，则神舟十九号载人飞船的角速度
神舟十九号载人飞船在距离地球表面高度为h处绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则有
地球的平均密度
解得
故C错误；
D．结合上述有
，，
解得
故D正确。
故选D。
训练2 2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器准确着陆，标志着探月工程取得圆满成功，实现了世界首次月球背面采样返回，为后续载人探月工程打下坚实基础．设想载人飞船通过月地转移轨道被月球捕获，通过变轨先在轨道Ⅲ以速度大小做匀速圆周运动，选准合适时机变轨进入椭圆轨道Ⅱ，其中P、Q两点为椭圆轨道Ⅱ在轨道Ⅰ、Ⅲ处的切点，且经过P、Q两点时速度大小分别为、，到达近月点再次变轨到近月轨道Ⅰ以速度大小做匀速圆周运动（轨道半径等于月球半径），最后安全落在月球上。已知月球半径为R，月球表面重力加速度为，轨道Ⅲ距离月球表面高度为h，引力常量为G，下列说法正确的是（ ）
A．月球平均密度为
B．
C．载人飞船在P、Q点加速度之比为
D．载人飞船从Q点到P点所用时间为
【答案】D
【详解】A．在月球表面，根据重力等于万有引力有
根据密度公式
其中
联立解得月球平均密度为
故A错误；
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第7.7节 章末综合复习
一、万有引力定律的应用
例1 (2024·全国甲卷，3)2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样返回之旅。将采得的样品带回地球，飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的。下列说法正确的是( )
A.在环月飞行时，样品所受合力为零
B.若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力等于零
C.样品在不同过程中受到的引力不同，所以质量也不同
D.样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小
训练1某天文爱好者在地球赤道上观察一颗在地球赤道平面内绕地球做圆周运动卫星的运动规律，已知该卫星绕行方向与地球自转方向相同，该天文爱好者观察到该卫星间隔t时间经过其正上方一次，已知地球的半径为R，地球自转角速度为，地球赤道表面的重力加速度为g，天文爱好者的质量为m，求：
(1)天文爱好者受到地球的引力大小；
(2)卫星做圆周运动的周期。
训练2空间站绕地球做圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示，太阳光可看作平行光，航天员在A点测出地球的张角为α=60°，已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，不考虑地球公转的影响.最后结果用g、R表示，求：
(1)空间站的线速度多大？
(2)空间站绕地球一周经历“日全食”的时间多大？
例2 (2024·浙江1月选考)如图所示，2023年12月9日“朱雀二号”运载火箭顺利将“鸿鹄卫星”等三颗卫星送入距离地面约500 km的轨道。取地球质量6.0×1024 kg，地球半径6.4×103 km，引力常量6.67×10－11 N·m2/kg2。下列说法正确的是( )
A.火箭的推力是空气施加的
B.卫星的向心加速度大小约8.4 m/s2
C.卫星运行的周期约12 h
D.发射升空初始阶段，装在火箭上部的卫星处于失重状态
训练1 2024年8月6日，千帆星座首批18颗商业组网卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道。若其中一颗卫星离地高度为，该卫星运行轨迹与赤道共面。已知地球半径为，自转周期为（一天），地球表面重力加速度大小为，引力常量为，不计地球自转对地球表面重力加速度的影响。求：
(1)地球的质量；
(2)一天内该卫星绕地球运行的圈数；
(3)该卫星离地球同步卫星的最远距离。
训练2我国于2024年11月9日11时39分在酒泉卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭，成功将航天宏图PIESAT-201卫星发射升空。示意图中a为地球赤道上的物体，b为沿地球表面附近运行的航天宏图PIESAT-201卫星，c为地球同步卫星。若A、B、C的运动均可看作匀速圆周运动，则（ ）
A．向心加速度的大小关系为
B．向心加速度的大小关系为
C．角速度关系为
D．角速度关系为
二、万有引力与天体表面抛体运动的综合应用
1.万有引力定律常与抛体运动综合命题，这类问题是以重力加速度为桥梁和纽带，将天体运动与自由落体运动、竖直上抛运动、平抛运动进行综合。考查的核心知识是万有引力定律、牛顿第二定律和运动学知识的综合应用。
2.解决这类综合问题的基本思路
(1)求物体在星球表面的重力加速度的两种方法
①从它与星球的关系g＝中求出。
②从它与运动的关系(自由落体运动、竖直上抛运动、平抛运动等)中求出。
(2)万有引力定律和牛顿第二定律综合应用列方程，应用大致分为三种情况
①绕中心天体做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，即
G＝m＝mω2r＝mr。
②未绕中心天体做匀速圆周运动时，万有引力等于重力，即
G＝mg。
③重力等于向心力，即mg＝m。
例3 宇航员站在某一星球表面上的某高度处，沿水平方向抛出一小球，经时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大为原来的2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，引力常量为G，求该星球的质量M。
训练1 2024年10月30日，神舟十九号载人飞船搭乘三名宇航员，从酒泉卫星发射中心发射升空。假设地球的半径为R，神舟十九号载人飞船在距离地球表面高度为h处绕地球做匀速圆周运动。已知地球两极表面的重力加速度为g，引力常量为G，地球的自转周期为 ，神舟十九号载人飞船绕地球运动的角速度大小与地球自转的角速度大小之比为k。下列说法正确的是（ ）
A．神舟十九号载人飞船的线速度大小为
B．神舟十九号载人飞船的向心加速度大小为
C．地球的平均密度可表示为
D．神舟十九号载人飞船运行高度h与地球半径R的关系为
训练2 2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器准确着陆，标志着探月工程取得圆满成功，实现了世界首次月球背面采样返回，为后续载人探月工程打下坚实基础．设想载人飞船通过月地转移轨道被月球捕获，通过变轨先在轨道Ⅲ以速度大小做匀速圆周运动，选准合适时机变轨进入椭圆轨道Ⅱ，其中P、Q两点为椭圆轨道Ⅱ在轨道Ⅰ、Ⅲ处的切点，且经过P、Q两点时速度大小分别为、，到达近月点再次变轨到近月轨道Ⅰ以速度大小做匀速圆周运动（轨道半径等于月球半径），最后安全落在月球上。已知月球半径为R，月球表面重力加速度为，轨道Ⅲ距离月球表面高度为h，引力常量为G，下列说法正确的是（ ）
A．月球平均密度为
B．
C．载人飞船在P、Q点加速度之比为
D．载人飞船从Q点到P点所用时间为
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