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第7.8节 章末测试卷
(时间：75分钟 满分：100分)
一、单项选择题(本题共7小题，每小题4分，共28分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1.神舟十九号载人飞船与中国空间站在2024年10月顺利实现第五次“太空会师”，飞船太空舱与空间站对接成为整体，对接后的空间站整体仍在原轨道稳定运行，则对接后的空间站整体相对于对接前的空间站（ ）
A．所受地球的万有引力变大 B．在轨飞行速度变大
C．在轨飞行周期变大 D．在轨飞行加速度变大
【答案】A
【详解】A．对接后，空间站的质量变大，轨道半径不变，根据万有引力表达式可知空间站所受地球的万有引力变大，故A正确；
BCD．根据万有引力提供向心力
可得
，，
轨道半径不变，则在轨飞行速度不变，在轨飞行周期不变，在轨飞行加速度不变，故BCD错误。
故选A。
2.我国发射的夸父一号卫星，肩负着控测太阳“一磁两暴”的任务，该卫星设计的寿命约为4年，其轨道在距地面高度为的太阳同步晨昏轨道，绕地球运动的周期为。已知地球的半径为，地球绕太阳公转的周期为，引力常量为，下列说法正确的是（ ）
A．该卫星的发射速度大于第二宇宙速度
B．地球与太阳之间的距离为
C．地球的质量为
D．地球的密度为
【答案】D
【详解】A．卫星的发射速度若大于第二宇宙速度，卫星将脱离地球引力的束缚，不会绕地球运动，所以，该卫星的发射速度应大于第一宇宙速度且小于第二宇宙速度，故A错误；
BC．地球绕太阳匀速圆周运动，卫星绕地球匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力分别有
两式联立，求得
故B、C错误；
D．地球的密度为
故D正确。
故选D。
3.(2021·全国甲卷)2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105 s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105 m。已知火星半径约为3.4×106 m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7 m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为( )
A.6×105 m B.6×106 m
C.6×107 m D.6×108 m
【答案】C
【详解】在火星表面附近，对于绕火星做匀速圆周运动的物体，有mg火＝mR火，得T＝，根据开普勒第三定律，有＝，代入数据解得l远≈6×107 m，C正确。
4.嫦娥六号圆满完成任务的背后离不开鹊桥二号卫星的协作。鹊桥二号卫星在地球、月球引力的作用下运行在环月大椭圆冻结轨道上，如图所示，轨道的远月点一直在月球南极地区上空，且不需要耗费额外的推进剂维持轨道飞行状态。则（ ）
A．鹊桥二号卫星的发射速度大于第二宇宙速度
B．鹊桥二号与月球中心连线在相同时间扫过面积不相等
C．以地球为参考系，鹊桥二号的运行轨迹可能是圆
D．鹊桥二号绕地球运行轨道半长轴的三次方与公转周期平方的比值与月球的相等
【答案】B
【详解】A．鹊桥二号卫星未脱离地球引力的作用，发射速度小于第二宇宙速度，A错误。
BD．由题述可知，月球、地球均不是鹊桥二号的中心天体，而开普勒行星运动定律只针对同一中心天体成立，可知鹊桥二号与月球中心连线在相同时间扫过面积不相等；鹊桥二号绕地球运行轨道半长轴的三次方与公转周期平方的比值与月球的也不相等，B正确，D错误。
C．鹊桥二号绕月球做椭圆运动，且始终经过月球南极上方，月球绕地球近似做圆周运动，则鹊桥二号相对地球的运行轨迹不可能是圆，C错误。
故选B。
5.(2022·山东卷)“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星。如图所示，该卫星围绕地球的运动视为匀速圆周运动，轨道平面与赤道平面接近垂直。卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面A点正上方，恰好绕地球运行n圈。已知地球半径为R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，则“羲和号”卫星轨道距地面高度为( )
A.－R B.
C.－R D.
【答案】 C
【详解】地球表面的重力加速度为g，根据G＝mg，可得GM＝gR2，根据题意可知，卫星的运行周期为T′＝，根据牛顿第二定律，万有引力提供卫星运动的向心力，则有G＝m′(R＋h)，联立以上式子解得h＝－R，故C正确。
6.电影中的太空电梯非常吸引人。现假设已经建成了如图所示的太空电梯，其通过超级缆绳将地球赤道上的固定基地、同步空间站和配重空间站连接在一起，它们随地球同步旋转。图中配重空间站比同步空间站更高，P是缆绳上的一个平台。下列说法正确的是（ ）
A．太空电梯上各点加速度与该点离地球球心的距离的平方成反比
B．超级缆绳对P平台的作用力方向指向地心
C．若从配重空间站向外自由释放一个小物块，则小物块会一边朝配重空间站转动的方向向前运动，一边落向地球
D．若两空间站之间缆绳断裂，配重空间站将绕地球做椭圆运动，且断裂处为椭圆的近地点
【答案】D
【详解】A．太空电梯上各点具有相同的角速度，根据
可知太空电梯上各点加速度与该点离地球球心的距离成正比，故A错误；
B．P平台如果只受地球万有引力，则圆周运动角速度比同步空间站要快，而实际圆周运动角速度等于同步空间站角速度，则在万有引力之外，P平台还受到缆绳拉力，故地球的引力与缆绳拉力提供P平台做圆周运动所需的向心力，P平台做圆周运动所需的向心力小于地球对它的万有引力，所以超级缆绳对P平台的作用力方向背离地心，故B错误；
C．若从配重空间站向外自由释放一个小物块，则小物块会一边朝配重空间站转动的方向向前运动，一边远离地球，做离心运动，故C错误；
D．若两空间站之间缆绳断裂，配重空间站将绕地球做椭圆运动，其断裂处为椭圆的近地点，因为在近地点线速度较大，半径较小，需要的向心力更大，故D正确。
故选D。
7.太阳系各行星可近似视为在同一平面内沿着同一方向绕太阳做匀速圆周运动。已知土星的公转周期为，轨道半径约为，天王星的轨道半径约为19AU，它们的运动轨迹如图所示。其中AU是天文单位，地球的轨道半径为，下列说法正确的是（ ）
A．天王星的公转周期约为
B．土星的向心加速度与天王星的向心加速度大小之比约为
C．土星与天王星两次相距最近的时间间隔最小约为
D．当土星与天王星相距最近时，若在土星上进行观测，则天王星将沿顺时针方向运动
【答案】C
【详解】A．根据开普勒第三定律有
解得天王星的公转周期为
故A错误；
B．根据万有引力定律
有
解得土星的向心加速度与天王星的向心加速度大小之比约为，故B错误；
C．设两颗行星两次相距最近的最短时间间隔为，根据行星追及相遇关系有
解得
故C正确；
D．由上述分析可知，天王星的周期大于土星的周期，由
可知，天王星的角速度小于土星的角速度，故土星与天王星相距最近时，若在土星上进行观测，天王星将沿逆时针方向运动，故D错误。
故选C。
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。)
8.2024年6月，嫦娥六号在月球表面完成采集月壤的工作，携带月壤的返回器顺利从月球表面发射，并最终返回地球。将月球视为半径为的球体，忽略月球自转，贴着月球表面做匀速圆周运动的某卫星周期为，万有引力常量为。下列说法中正确的是（ ）
A．月球的质量为
B．月球表面的重力加速度大小为
C．月球绕地球运行的线速度比地球同步卫星绕地球运行的线速度大
D．月球绕地球运行的角速度比地球同步卫星绕地球运行的角速度小
【答案】AD
【详解】A．由万有引力提供向心力
可得月球的质量为
故A正确；
B．在月球表面，忽略自转
可得月球表面的重力加速度为
故B错误；
C．由万有引力提供向心力
解得
月球绕地球运行的线速度比地球同步卫星绕地球运行的半径大，线速度小，故C错误；
D．由万有引力提供向心力
解得
月球绕地球运行的线速度比地球同步卫星绕地球运行的半径大，角速度小，故D正确。
故选AD。
9.土星是太阳系中的第二大行星，距离地球约30亿千米。如图所示为发射土星探测器的简易图，探测器经地土转移轨道后，经停泊轨道1、2，最后到达探测轨道3。已知土星的半径约为地球半径的9.5倍，质量约为地球质量的95倍，地球表面的重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．探测器的发射速度一定大于
B．土星表面的重力加速度大小为
C．探测器在轨道1，2，3的运行周期关系为
D．探测器在轨道1经点的速度小于轨道3经点的速度
【答案】BC
【详解】A．探测器需要到达土星，因此最终会脱离地球的引力束缚，但还在太阳系中，故发射速度应大于，小于，故A错误；
B．由重力等于万有引力，有
解得
故土星表面的重力加速度大小
解得土星表面的重力加速度大小为
故B正确；
C．由开普勒第三定律，有
可知轨道1的半长轴最大、轨道3的轨道半径最小，所以探测器在轨道1、2、3的运行周期关系为
故C正确；
D．探测器在轨道1上经过点后做离心运动，有
探测器在轨道3上经过点做匀速圆周运动，有
故
故D错误。
故选BC。
10.小行星“阿波菲斯星”被视为可能撞击地球的最危险的小行星之一，已知地球的公转轨道半径为（为天文单位），小行星“阿波菲斯星”的半长轴为，假设“阿波菲斯星”运行的椭圆轨道与地球做圆周运动的轨道共面，分别为两轨道的交点，且恰好是椭圆的短轴，当“阿波菲斯星”运动到远日点时，“阿波菲斯星”、地球和太阳恰好共线，忽略地球与小行星之间的万有引力，下列说法正确的是（ ）
A．“阿波菲斯星”的公转周期大于地球公转周期
B．地球在a点的加速度等于“阿波菲斯星”在a点的加速度
C．三者共线后，短时间内地球有与“阿波菲斯星”碰撞的风险
D．“阿波菲斯星”在近日点的速率大于地球公转的速率
【答案】BD
【详解】A．由题意，根据开普勒第三定律可知“阿波菲斯星”与地球公转周期相同，故A错误；
B．由万有引力提供向心力
得
因此可知二者在a点的加速度相等，故B正确；
C．“阿波菲斯星”自远日点到达b点的时间大于四分之一周期，当“阿波斯星”到达b点时，地球已过b点，因为二者公转周期相等，“阿波菲斯星”到近日点时，太阳、地球和“阿波菲斯星”会再次共线，“阿波菲斯星”自近日点到a点的时间小于四分之一周期，地球由“再次共线”到a点的时间大于四分之一周期，所以二者不会同时到达a点，故C错误；
D．假设有以“阿波菲斯星”近日点到日心连线为半径的另一行星，可知地球速率小于该行星的速率，又由于在近日点小行星速率大于该行星的速率，可推知“阿波菲斯星”在近日点的速率大于地球公转的速率，故D正确。
故选BD。
三、非选择题(本题共5小题，共54分。)
11.(6分)在一个未知星球上用如图甲所示装置研究平抛运动的规律。悬点O正下方P点处有水平放置的炽热电热丝，当悬线摆至电热丝处时能轻易被烧断，小球由于惯性向前飞出做平抛运动。现对小球采用频闪数码照相机连续拍摄，在有坐标纸的背景屏前，拍下了小球在平抛运动过程中的多张照片，经合成后，照片如图乙所示。a、b、c、d为连续四次拍下的小球位置，已知照相机连续拍照的时间间隔是0.20 s，照片大小如图中坐标所示，又知该照片的长度与实际背景屏的长度之比为1∶4，则：
(1)由已知信息，可以推算出该星球表面的重力加速度为 m/s2；小球平抛的初速度是 m/s；小球在b点时的速度是 m/s。（结果均保留2位有效数字）
(2)若已知该星球半径与地球半径之比为，忽略各球体自传，则该星球质量与地球质量之比 ．第一宇宙速度之比 （g地取10 m/s2）
【答案】(1) 2.0 0.40 0.57
(2) 1∶125 1∶5
【详解】（1）[1]由照片的长度与实际背景屏的长度之比为1∶4，可得乙图中每个正方形的实际边长为L = 4 cm，竖直方向上有
解得
[2]水平方向小球做匀速直线运动，因此小球平抛运动的初速度为
[3]b点竖直方向上的分速度
则小球在b点时的速度为
（2）[1]在星球表面有
可得
所以该星球的质量与地球质量之比
[2]根据万有引力提供向心力可得
解得
所以该星球与地球的第一宇宙速度之比为
12.(9分)卡文迪什利用如图甲所示的扭称实验装置测量了引力常量。
(1)为了测量石英丝极微小的扭转角，该实验装置中采取“微小量放大”思想的措施是 。
A．增大石英丝的直径 B．减小T形架横梁的长度
C．利用平面镜对光线的反射 D．减小刻度尺与平面镜的距离
(2)如图甲所示，横梁一端固定有一质量为m、半径为r的均匀铅球A，旁边有一质量为m、半径为r的相同铅球B，A、B两球表面的最近距离为L，两球间的万有引力大小为F，则引力常量G= 。（用题中所给物理量符号表示）
(3)已知某星球半径为R，引力常量为G，现要测该天体的质量。用如图乙所示装置做如下实验：悬点 O正下方P 点处有水平放置的炽热电热丝，当悬线摆至电热丝处时能轻易被烧断，小球由于惯性向前飞出做平抛运动。现对小球采用频闪数码照相机连续拍摄，在有坐标纸的背景屏前，拍下了小球做平抛运动过程中的多张照片，经合成后，照片如图丙所示，a、b、c、d为连续四次拍下的小球位置。
①已知频闪数码照相机连续拍照的时间间隔T=0.1s，照片中坐标为物体运动的实际距离，则该星球表面的重力加速度大小g= m/s2。（保留两位有效数字）
②该星球的质量M= 。（用G、R和g表示）
【答案】(1)C
(2)
(3) 8.0
【详解】（1）A．当增大石英丝的直径时，会导致石英丝不容易转动，对“微小量放大”没有作用，故A错误；
B．当减小T形架横梁的长度时，会导致石英丝不容易转动，对“微小量放大”没有作用，故B错误；
CD．利用平面镜对光线的反射来体现微小形变，或增大刻度尺与平面镜的距离，转动的角度也会更明显，故C正确，D错误。
故选C。
（2）根据万有引力公式有
解得引力常量
（3）①[1]竖直方向，根据，解得
g=8.0m/s2
②[2]根据，解得
13.(10分)(2024·浙江高一期末)如图所示，一艘宇宙飞船绕着某行星做匀速圆周运动。已知飞船距行星表面高度为h，运动周期为T，引力常量为G，行星半径为R。求：
(1)飞船做圆周运动的线速度v；
(2)行星的质量M；
(3)行星的第一宇宙速度v1。
【答案】(1) (2)
(3)
【详解】 (1)根据匀速圆周运动的规律，可知线速度为v＝＝。
(2)飞船所受的万有引力提供向心力，有
G＝m(h＋R)
解得行星的质量为M＝。
(3)近地卫星的绕行速度等于行星的第一宇宙速度，有G＝m
解得v1＝＝
＝。
14.(13分)某同学学完《万有引力与宇宙航行》知识后，对宇宙的知识产生了极大的好奇心。已知引力常量G，忽略星球自转。
（1）若该同学在地球表面以初速度竖直上抛一物体，忽略空气阻力，测得上升的最大高度为H，设地球是质量分布均匀的半径为R的球体，推导地球质量M的表达式。
（2）若该同学查找资料，发现靠近火星表面做圆周运动的卫星的周期为T，火星的密度为，推导的表达式。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设地球表面的重力加速度为，根据题意有
解得
物体在地球表面有
联立解得地球的质量为
（2）若该同学查找资料，发现靠近火星表面做圆周运动的卫星的周期为T，火星的密度为，设火星的质量为，火星的半径为，卫星绕火星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得
又
联立可得
15.(16分)地球静止卫星位于赤道上方，相对地面静止。利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通信。已知地球半径为、地球表面重力加速度为，地球自转周期为。
（1）求地球静止卫星离地面的高度；
（2）目前地球静止卫星离地面的高度为。假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，求地球自转周期的最小值。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）根据万有引力提供向心力可得
在地球表面附近
联立解得
（2）地球静止卫星的轨道半径为
周期为。由于需要三颗卫星使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯，由几何关系可知地球静止卫星的轨道半径为
设地球自转周期变为，根据开普勒第三定律
代入数据解得
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第7.8节 章末测试卷
(时间：75分钟 满分：100分)
一、单项选择题(本题共7小题，每小题4分，共28分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1.神舟十九号载人飞船与中国空间站在2024年10月顺利实现第五次“太空会师”，飞船太空舱与空间站对接成为整体，对接后的空间站整体仍在原轨道稳定运行，则对接后的空间站整体相对于对接前的空间站（ ）
A．所受地球的万有引力变大 B．在轨飞行速度变大
C．在轨飞行周期变大 D．在轨飞行加速度变大
2.我国发射的夸父一号卫星，肩负着控测太阳“一磁两暴”的任务，该卫星设计的寿命约为4年，其轨道在距地面高度为的太阳同步晨昏轨道，绕地球运动的周期为。已知地球的半径为，地球绕太阳公转的周期为，引力常量为，下列说法正确的是（ ）
A．该卫星的发射速度大于第二宇宙速度
B．地球与太阳之间的距离为
C．地球的质量为
D．地球的密度为
3.(2021·全国甲卷)2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105 s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105 m。已知火星半径约为3.4×106 m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7 m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为( )
A.6×105 m B.6×106 m
C.6×107 m D.6×108 m
4.嫦娥六号圆满完成任务的背后离不开鹊桥二号卫星的协作。鹊桥二号卫星在地球、月球引力的作用下运行在环月大椭圆冻结轨道上，如图所示，轨道的远月点一直在月球南极地区上空，且不需要耗费额外的推进剂维持轨道飞行状态。则（ ）
A．鹊桥二号卫星的发射速度大于第二宇宙速度
B．鹊桥二号与月球中心连线在相同时间扫过面积不相等
C．以地球为参考系，鹊桥二号的运行轨迹可能是圆
D．鹊桥二号绕地球运行轨道半长轴的三次方与公转周期平方的比值与月球的相等
5.(2022·山东卷)“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星。如图所示，该卫星围绕地球的运动视为匀速圆周运动，轨道平面与赤道平面接近垂直。卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面A点正上方，恰好绕地球运行n圈。已知地球半径为R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，则“羲和号”卫星轨道距地面高度为( )
A.－R B.
C.－R D.
6.电影中的太空电梯非常吸引人。现假设已经建成了如图所示的太空电梯，其通过超级缆绳将地球赤道上的固定基地、同步空间站和配重空间站连接在一起，它们随地球同步旋转。图中配重空间站比同步空间站更高，P是缆绳上的一个平台。下列说法正确的是（ ）
A．太空电梯上各点加速度与该点离地球球心的距离的平方成反比
B．超级缆绳对P平台的作用力方向指向地心
C．若从配重空间站向外自由释放一个小物块，则小物块会一边朝配重空间站转动的方向向前运动，一边落向地球
D．若两空间站之间缆绳断裂，配重空间站将绕地球做椭圆运动，且断裂处为椭圆的近地点
7.太阳系各行星可近似视为在同一平面内沿着同一方向绕太阳做匀速圆周运动。已知土星的公转周期为，轨道半径约为，天王星的轨道半径约为19AU，它们的运动轨迹如图所示。其中AU是天文单位，地球的轨道半径为，下列说法正确的是（ ）
A．天王星的公转周期约为
B．土星的向心加速度与天王星的向心加速度大小之比约为
C．土星与天王星两次相距最近的时间间隔最小约为
D．当土星与天王星相距最近时，若在土星上进行观测，则天王星将沿顺时针方向运动
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。)
8.2024年6月，嫦娥六号在月球表面完成采集月壤的工作，携带月壤的返回器顺利从月球表面发射，并最终返回地球。将月球视为半径为的球体，忽略月球自转，贴着月球表面做匀速圆周运动的某卫星周期为，万有引力常量为。下列说法中正确的是（ ）
A．月球的质量为
B．月球表面的重力加速度大小为
C．月球绕地球运行的线速度比地球同步卫星绕地球运行的线速度大
D．月球绕地球运行的角速度比地球同步卫星绕地球运行的角速度小
9.土星是太阳系中的第二大行星，距离地球约30亿千米。如图所示为发射土星探测器的简易图，探测器经地土转移轨道后，经停泊轨道1、2，最后到达探测轨道3。已知土星的半径约为地球半径的9.5倍，质量约为地球质量的95倍，地球表面的重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．探测器的发射速度一定大于
B．土星表面的重力加速度大小为
C．探测器在轨道1，2，3的运行周期关系为
D．探测器在轨道1经点的速度小于轨道3经点的速度
10.小行星“阿波菲斯星”被视为可能撞击地球的最危险的小行星之一，已知地球的公转轨道半径为（为天文单位），小行星“阿波菲斯星”的半长轴为，假设“阿波菲斯星”运行的椭圆轨道与地球做圆周运动的轨道共面，分别为两轨道的交点，且恰好是椭圆的短轴，当“阿波菲斯星”运动到远日点时，“阿波菲斯星”、地球和太阳恰好共线，忽略地球与小行星之间的万有引力，下列说法正确的是（ ）
A．“阿波菲斯星”的公转周期大于地球公转周期
B．地球在a点的加速度等于“阿波菲斯星”在a点的加速度
C．三者共线后，短时间内地球有与“阿波菲斯星”碰撞的风险
D．“阿波菲斯星”在近日点的速率大于地球公转的速率
三、非选择题(本题共5小题，共54分。)
11.(6分)在一个未知星球上用如图甲所示装置研究平抛运动的规律。悬点O正下方P点处有水平放置的炽热电热丝，当悬线摆至电热丝处时能轻易被烧断，小球由于惯性向前飞出做平抛运动。现对小球采用频闪数码照相机连续拍摄，在有坐标纸的背景屏前，拍下了小球在平抛运动过程中的多张照片，经合成后，照片如图乙所示。a、b、c、d为连续四次拍下的小球位置，已知照相机连续拍照的时间间隔是0.20 s，照片大小如图中坐标所示，又知该照片的长度与实际背景屏的长度之比为1∶4，则：
(1)由已知信息，可以推算出该星球表面的重力加速度为 m/s2；小球平抛的初速度是 m/s；小球在b点时的速度是 m/s。（结果均保留2位有效数字）
(2)若已知该星球半径与地球半径之比为，忽略各球体自传，则该星球质量与地球质量之比 ．第一宇宙速度之比 （g地取10 m/s2）
12.(9分)卡文迪什利用如图甲所示的扭称实验装置测量了引力常量。
(1)为了测量石英丝极微小的扭转角，该实验装置中采取“微小量放大”思想的措施是 。
A．增大石英丝的直径 B．减小T形架横梁的长度
C．利用平面镜对光线的反射 D．减小刻度尺与平面镜的距离
(2)如图甲所示，横梁一端固定有一质量为m、半径为r的均匀铅球A，旁边有一质量为m、半径为r的相同铅球B，A、B两球表面的最近距离为L，两球间的万有引力大小为F，则引力常量G= 。（用题中所给物理量符号表示）
(3)已知某星球半径为R，引力常量为G，现要测该天体的质量。用如图乙所示装置做如下实验：悬点 O正下方P 点处有水平放置的炽热电热丝，当悬线摆至电热丝处时能轻易被烧断，小球由于惯性向前飞出做平抛运动。现对小球采用频闪数码照相机连续拍摄，在有坐标纸的背景屏前，拍下了小球做平抛运动过程中的多张照片，经合成后，照片如图丙所示，a、b、c、d为连续四次拍下的小球位置。
①已知频闪数码照相机连续拍照的时间间隔T=0.1s，照片中坐标为物体运动的实际距离，则该星球表面的重力加速度大小g= m/s2。（保留两位有效数字）
②该星球的质量M= 。（用G、R和g表示）
13.(10分)(2024·浙江高一期末)如图所示，一艘宇宙飞船绕着某行星做匀速圆周运动。已知飞船距行星表面高度为h，运动周期为T，引力常量为G，行星半径为R。求：
(1)飞船做圆周运动的线速度v；
(2)行星的质量M；
(3)行星的第一宇宙速度v1。
14.(13分)某同学学完《万有引力与宇宙航行》知识后，对宇宙的知识产生了极大的好奇心。已知引力常量G，忽略星球自转。
（1）若该同学在地球表面以初速度竖直上抛一物体，忽略空气阻力，测得上升的最大高度为H，设地球是质量分布均匀的半径为R的球体，推导地球质量M的表达式。
（2）若该同学查找资料，发现靠近火星表面做圆周运动的卫星的周期为T，火星的密度为，推导的表达式。
15.(16分)地球静止卫星位于赤道上方，相对地面静止。利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通信。已知地球半径为、地球表面重力加速度为，地球自转周期为。
（1）求地球静止卫星离地面的高度；
（2）目前地球静止卫星离地面的高度为。假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，求地球自转周期的最小值。
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