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第8.2节 重力势能
学习目标
1.知道重力做功的特点，理解重力势能的概念，知道重力势能具有相对性。
2.知道重力做功与重力势能变化的关系，并会分析相关问题。
3.了解弹力做功和弹性势能变化的关系。
知识点一 重力做的功
如图所示，一个质量为m的物体，从高度为h1的位置A分别按下列三种方式运动到高度为h2的位置B。重力加速度为g，在这个过程中，思考并讨论以下问题：
(1)甲、乙、丙三种情况下重力做的功各是多少？
(2)重力做功有什么特点？
提示 (1)题图甲中WG＝mgΔh＝mgh1－mgh2；
题图乙中WAB′＝mglcos θ＝mgΔh＝mgh1－mgh2，WB′B＝0，故WAB＝WAB′＋WB′B＝mgΔh＝mgh1－mgh2；
题图丙中把整个路径AB″分成许多很短的间隔AA1、A1A2、…，由于每一段都很短，因而都可以近似地看成一段倾斜的直线。设每段小斜线的高度差分别为Δh1、Δh1、…，则物体通过每段小斜线时重力做的功分别为mgΔh1、mgΔh2、…，则WAB″＝mgΔh1＋mgΔh2＋…＝mg(Δh1＋Δh2＋…)＝mgΔh，WB″B＝0，故WAB＝WAB″＋WB″B＝mgΔh＝mgh1－mgh2。
(2)物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。
1.重力做功的表达式：WG＝mgΔh＝mgh1－mgh2，式中Δh指初位置与末位置间的高度差；h1、h2分别指初位置、末位置的高度。
2.重力做功的特点：物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。
3.重力做功的正负：物体下降时重力做正功；物体被举高时重力做负功。
【思考】 重力做功与物体受到的其他力有关吗？与物体所处的运动状态有关吗？
提示 都无关。重力做功只与重力和物体高度的变化有关。
例1 某游客领着孩子游泰山时，孩子不小心将手中的皮球滑落，球从A点滚到了山脚下的B点，高度标记如图所示。则下列说法正确的是( )
A.从A到B的曲线轨迹长度不知道，无法求出此过程重力做的功
B.从A到B过程中的阻力大小不知道，无法求出此过程重力做的功
C.从A到B重力做功为mg(H＋h)
D.从A到B重力做功为mgH
答案 D
解析 重力对物体所做的功只与物体初、末位置的高度差有关，大小为WG＝mgH，故D正确。
训练1 如图所示，一物体从A点出发，分别沿粗糙斜面AB和光滑斜面AC下滑及斜向上抛出，运动后到达同一水平面上的B、C、D三点。关于重力的做功情况，下列说法正确的是( )
A.沿AB面滑下时，重力做功最多
B.沿AC面滑下时，重力做功最多
C.沿AD抛物线运动时，重力做功最多
D.三种情况下，重力做的功相等
答案 D
解析 重力做功与路径无关，只跟初、末位置的高度差有关，故D正确。
训练2如图所示，从斜面上A点斜向上抛出一小球，水平击中斜面上B点，现将小球从AB中点C点抛出，仍要水平击中B点。下列说法正确的是（ ）
A．可以仅将抛出时的速度大小变为原来的
B．可以仅将抛出时的速度方向与水平面间夹角变为原来的
C．第二次击中B点时的速度为第一次的
D．第二次在空中飞行过程中重力对小球做的功为第一次的
答案 A
解析 由题意，小球两次的运动可以看做反方向的平抛运动，则根据
，
可得抛出时小球在水平方向的初速度大小
竖直方向的速度大小
ABC．根据前面分析由题意，可得到依次抛出小球时的水平速度大小，也即击中B点时的速度大小之比
竖直方向速度大小之比
则两次抛出时的速度大小之比为
且两次抛出时速度与水平方向的夹角满足
可知两次抛出时速度与水平方向的夹角相等，故A正确，BC错误；
D．根据
可得两次飞行过程中重力对小球做功之比为
故D错误。
故选A。
知识点二 重力势能及重力势能的相对性
如图所示，幼儿园小朋友们正在玩滑梯：
(1)小朋友从最高点滑落到地面的过程中重力做正功还是负功？重力势能是增加还是减少？
(2)小朋友从地面爬上滑梯最高点的过程中重力做正功还是负功？重力势能是增加还是减少？
提示 (1)小朋友沿滑梯滑下的过程中重力做正功，重力势能减少。
(2)小朋友从地面爬上滑梯最高点的过程中重力做负功，重力势能增加。
一、重力势能
1.定义：我们把mgh叫作物体的重力势能，常用Ep表示。
2.表达式：Ep＝mgh。
3.单位：在国际单位制中是焦耳，符号为J。
1 J＝1 kg·m·s－2·m＝1 N·m。
4.重力做功与重力势能变化的关系
(1)表达式：WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
(2)两种情况
①当物体由高处运动到低处时，重力做正功，重力势能减少，即WG＞0，Ep1＞Ep2。
②当物体由低处运动到高处时，重力做负功，重力势能增加，即WG＜0，Ep1＜Ep2。重力做负功也可以说成物体克服重力做功。
5.重力势能具有系统性，重力势能是由地球与物体所组成的“系统”共有的，而不是地球上的物体单独具有的。
二、重力势能的相对性
1.参考平面：物体的重力势能总是相对于某一水平面来说的，这个水平面叫作参考平面。在参考平面上，物体的重力势能取为0。选择哪个水平面为参考平面，可视研究问题的方便而定。通常选取地面为参考平面。
2.重力势能的相对性
选择不同的参考平面，物体重力势能的数值是不同的。
对选定的参考平面，上方物体的重力势能是正值，下方物体的重力势能是负值，负值表示物体在这个位置具有的重力势能要比在参考平面上具有的重力势能小。
【思考】
1.重力势能Ep＝mgh中的h与重力做功W＝mgΔh中的Δh意义一样吗？
提示 不一样。重力势能中的h指物体相对参考平面的高度，重力做功中的Δh指初、末位置的高度差。
2.为什么说重力势能具有相对性？
提示 重力势能Ep＝mgh，高度h具有相对性，选择的参考平面不同，h不同，所以说重力势能具有相对性。
3.重力势能的变化与参考平面的选取有关吗？
提示 重力势能的变化与重力做功有关，重力做功与路径及参考平面的选取无关，只与初末位置的高度差有关，所以重力势能的变化与参考平面的选取无关。
4.重力势能Ep1＝2 J，Ep2＝－3 J，则Ep1与Ep2方向相反，对吗？
提示 不对。重力势能是标量，只有大小而无方向，但有正负之分。当物体在参考平面上方时，Ep为正值；当物体在参考平面下方时，Ep为负值。注意物体重力势能的正负是表示比零势能大，还是比零势能小。
例2 如图所示，桌面距地面的高度为0.8 m，一物体质量为2 kg，放在桌面上方0.4 m的支架上。则(g取9.8 m/s2)：
(1)以桌面为参考平面，计算物体具有的重力势能，并计算物体由支架下落到地面的过程中重力势能减少多少；
(2)以地面为参考平面，计算物体具有的重力势能，并计算物体由支架下落到地面的过程中重力势能减少多少；
(3)比较以上计算结果，说明什么问题？
答案 (1)7.84 J 23.52 J (2)23.52 J 23.52 J (3)见解析
解析 (1)以桌面为参考平面，物体距参考平面的高度为h1＝0.4 m，因而物体具有的重力势能
Ep1＝mgh1＝2×9.8×0.4 J＝7.84 J
物体落至地面时，物体的重力势能为
Ep2＝mgh2＝2×9.8×(－0.8) J＝－15.68 J
因此物体在此过程中的重力势能减少量
ΔEp＝Ep1－Ep2＝7.84 J－(－15.68) J＝23.52 J。
(2)以地面为参考平面，物体距参考平面的高度为
h1′＝(0.4＋0.8) m＝1.2 m
因而物体具有的重力势能
Ep1′＝mgh1′＝2×9.8×1.2 J＝23.52 J
物体落至地面时，物体的重力势能为Ep2′＝0
在此过程中，物体的重力势能减少量为
ΔEp′＝Ep1′－Ep2′＝23.52 J－0＝23.52 J。
(3)通过上面的计算，说明重力势能是相对的，它的大小与参考平面的选择有关，而重力势能的变化是绝对的，与参考平面的选择无关，其变化量与重力对物体做功的多少有关。
训练1（多选）质量为1kg的物体从距地面高0.8m处由静止下落至地面，重力加速度g取。下列说法正确的是（ ）
A．重力对物体做功为8J B．物体重力势能减少了8J
C．物体克服重力做功8J D．物体重力势能增加了8J
答案 AB
解析 由题意，可知重力对物体做功为
根据重力做功与重力势能改变量的关系
可得物体重力势能的改变量为
即物体重力势能减少了8J。
故选AB。
训练2如图所示，一质量m=2kg的小球，从离地面高度h=5m的A点自由下落到地面上的B点。小球可看成质点，取重力加速度g=10m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．小球在B点时的重力势能一定为0
B．小球在A点时的重力势能一定为100J
C．小球从A点下落到B点的过程中，重力势能增加100J
D．小球从A点下落到B点的过程中，重力做功为100J
答案 D
解析 AB．由于没有确定零势能面，所以无法确定物体在A、B两点时的重力势能的大小，故AB错误；
CD．小球从A点下落到B点的过程中，重力做的功为
由于重力做正功，所以重力势能减小，减少量为100J，故C错误，D正确。
故选D。
例3 如图，一质量为m、长度为l的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂。用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点，M点与绳的上端P相距l。重力加速度大小为g。在此过程中，重力势能增加了( )
A.mgl B.mgl
C.mgl D.mgl
答案 A
解析 由题意可知，PM段细绳的重力势能不变，MQ段细绳的重心升高了，则重力势能增加了ΔEp＝mg·＝mgl，故A正确。
绳子、链条等不能看成质点的物体，求解重力势能的两种情况：
(1)当绳子、链条呈直线状(或水平、或竖直、或倾斜)放置时，Ep＝mgh中的h表示其长度一半位置相对于参考平面的高度。
(2)当绳子、链条不以直线状(如折线状)放置时，可以分段计算重力势能再求和。也可以用“等效法”求出始、末状态重心的高度变化求解。
训练1如图所示，质量为2kg的小球从距桌面处由静止开始下落到地面，，不计空气阻力，g取，以桌面为零势能面。下列说法正确的是（ ）
A．小球在地面的重力势能为0
B．小球在地面的重力势能为16J
C．整个下落过程中，重力势能的变化量为46J
D．整个下落过程中，重力势能的变化量为
答案 D
解析 AB．小球在地面的重力势能为
故A、B错误。
CD．整个下落过程中，重力势能减少，变化量
故C错误，D正确。
故选D。
训练2 （多选） 2024年，在巴黎奥运会中，郑钦文斩获中国在奥运会上首枚网球女单金牌，创造了历史。若在比赛过程中郑钦文从某一高度将质量为m的网球击出，网球击出后在空中飞行的速率v随时间t的变化关系如图所示，时刻网球落到对方的场地上。以地面为参考平面，网球可视为质点，不计空气阻力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．击球点到地面的高度为
B．击球点到落地点间的水平距离为
C．网球运动过程中离地的最大高度为
D．网球的最大重力势能为
答案 AD
解析 B．由题图可知，郑钦文从某一高度将网球击出，网球的速度先变小后变大，t1时刻网球处于最高点，速度方向水平，击球点到落地点间的水平距离
故B错误；
A．网球落地时竖直方向的分速度
网球被击出时竖直方向的分速度
所以击球点到地面的高度为
故A正确；
CD．由速度—位移公式可得网球运动过程中离地的最大高度
网球的最大重力势能
故C错误，D正确。
故选AD。
知识点三 弹性势能
撑竿跳高运动员可以借助手中弹性良好的竿跳得很高，拉开的弓可以把箭射出，压缩的弹簧可以把小球弹出去……撑竿跳高过程中弯曲的竿、拉开的弓、压缩的弹簧有什么共同特征？
提示 它们的共同特征是具有能量，具有对外做功的本领，这种能量为弹性势能。而且弹性势能可以通过弹力做功转化为其他形式的能量。
1.定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，这种势能叫作弹性势能。
2.弹簧的弹性势能：弹簧的长度为原长时，弹性势能为0。弹簧被拉伸或被压缩时，就具有了弹性势能。
3.弹性势能的产生及影响因素
(
弹力
作用
) (
弹性形变
)
(
劲度系数
) (
形变量
（弹性限度内）
)
4.弹性势能的理解
(1)系统性：弹性势能是发生弹性形变的物体上所有质点因相对位置改变和发生弹力作用而具有的能量，因此弹性势能具有系统性。
(2)相对性：弹性势能的大小与选定的零势能位置有关，对于弹簧，一般规定弹簧原长处为其零势能的位置。
例4 如图所示的几个运动过程中，物体的弹性势能增加的是( )
A.如图甲，撑竿跳高的运动员上升过程中，竿的弹性势能
B.如图乙，人拉长弹簧的过程中，弹簧的弹性势能
C.如图丙，模型飞机用橡皮条发射出去的过程中，橡皮条的弹性势能
D.如图丁，小球被弹簧向上弹起的过程中，弹簧的弹性势能
答案 B
解析 撑竿跳高的运动员上升过程中，竿的形变量减小，弹力做正功，所以弹性势能减小，故A错误；人拉长弹簧的过程中，弹簧的形变量增大，弹力做负功，弹性势能增加，故B正确；模型飞机用橡皮条发射出去的过程中，橡皮条的形变量减小，弹力做正功，所以弹性势能减小，故C错误；小球被弹簧向上弹起的过程中，弹簧的形变量减小，弹力做正功，所以弹性势能减小，故D错误。
(1)弹力做正功时，弹性势能减小，弹性势能转化为其他形式的能；弹力做负功时，弹性势能增大，其他形式的能转化为弹性势能。
(2)同一弹簧，形变量越大，弹簧的弹性势能就越大；压缩x和拉伸x，弹簧的弹性势能相同。
训练1 如图所示，在光滑水平面上有一物体与弹簧相连，弹簧的另一端固定在墙上，在水平力F的作用下物体处于静止状态，当撤去力F后，物体将向右运动。在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是( )
A.弹簧的弹性势能逐渐减小
B.弹簧的弹性势能逐渐增大
C.弹簧的弹性势能先增大后减小
D.弹簧的弹性势能先减小后增大
答案 D
解析 由于在水平力F的作用下物体处于静止状态，此时弹簧处于压缩状态，撤去力F后，在物体向右运动的过程中，弹簧先恢复到原长，然后继续伸长，弹簧的弹力对物体先做正功后做负功，所以弹簧的弹性势能先减小后增大，故D正确。
训练2如图所示，水平轻弹簧左端固定在竖直墙壁上，右端连接一可视为质点的物块，该物块置于光滑水平面上。弹簧无弹力时，其右端位于O点。现对该物块施力使弹簧右端压缩到P点，然后将该物块由静止释放。已知Q点为PO中点，弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力，该物块向右运动过程中，在PQ段，弹簧对该物块做功W1，在QO段，弹簧对该物块做功W2。则为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 设弹簧的劲度系数为，则弹簧形变量为时，弹力大小为
假设，则在段，弹簧对该物块所做的功为
在段，弹簧对该物块所做的功
联立可得
故选C。
随堂对点自测
1.(重力势能的相对性)(多选)如图所示，一小球贴着光滑曲面自由滑下，依次经过A、B、C三点。以下表述正确的是( )
A.若以地面为参考平面，小球在B点的重力势能比C点大
B.若以A点所在的水平面为参考平面，小球在B点的重力势能比C点小
C.若以B点所在的水平面为参考平面，小球在C点的重力势能大于零
D.无论以何处水平面为参考平面，小球在B点的重力势能均比C点大
答案 AD
解析 若以地面为零势能平面，B的高度比C的高度大，根据Ep＝mgh知，B点的重力势能大于C点的重力势能，故A正确；以A点为参考平面，B、C的高度都为负值，但是B的高度仍然大于C的高度，则B点的重力势能比C点的重力势能大，故B错误；若以B点所在的水平面为参考平面，小球在C点的重力势能小于零，故C错误；无论以何处为参考平面，小球在B点的重力势能均比C点大，故D正确。
2.(重力做功与重力势能的变化)起重机将质量为50 kg的物体从地面提升到10 m高处，在这个过程中，下列说法中正确的是(g取10 m/s2)( )
A.重力做正功，重力势能减少5.0×103 J
B.重力做正功，重力势能增加5.0×103 J
C.重力做负功，重力势能减少5.0×103 J
D.重力做负功，重力势能增加5.0×103 J
答案 D
解析 起重机将质量为50 kg的物体从地面提升到10 m高处，重力对物体做功W＝－mgh＝－50×10×10 J＝－5 000 J，则重力势能增加5.0×103 J，故D项正确。
3.(弹力做功与弹性势能的关系)一根弹簧的F－x图像如图所示，那么弹簧由伸长量8 cm到伸长量4 cm的过程中，弹力做功和弹性势能的变化量为( )
A.3.6 J，－3.6 J B.－3.6 J，3.6 J
C.1.8 J，－1.8 J D.－1.8 J，1.8 J
答案 C
解析 弹力做的功W＝×0.04 J＝1.8 J>0，故弹性势能减少1.8 J，即ΔEp＝－W＝－1.8 J，故C正确。
4.（多选）如图所示，质量分别为m、2m的小球甲、乙，通过完全相同的1、2轻质弹簧竖直悬挂在天花板上。已知重力加速度大小为g，弹簧始终在弹性限度内，弹簧的弹性势能与其形变量的平方成正比，不计空气阻力。用手竖直向上缓慢托起小球乙，直至将1弹簧压缩到弹力大小为mg的位置，某时刻突然释放小球乙，关于释放小球乙后瞬间，下列说法正确的是（ ）
A．小球甲的加速度大小为0
B．小球乙的加速度大小为2g
C．1、2弹簧的弹性势能之比为1∶1
D．1、2弹簧的弹力大小之比为1∶2
答案 ABD
解析 D．在撤去力之前，小球甲、乙均处于平衡状态，对小球甲受力分析可知，2弹簧处于压缩状态，且弹力大小为2mg，则在撤去力的瞬间，1、2两弹簧力之比为
故D正确；
AB．在撤去力的瞬间，1、2两弹簧的长度不变，小球甲受力仍平衡，其加速度为零，根据牛顿第二定律，对小球乙有
解得其加速度大小
故AB正确；
C．1、2两弹簧在撤去力瞬间的形变量之比为
1、2弹簧的弹性势能之比为
故C错误。
故选ABD。
5．如图所示，无人机沿圆弧向上匀速爬升，则无人机（ ）
A．所受合外力为0
B．重力势能增加
C．加速度不变
D．所受空气与发动机作用力的合力与其重力等大反向
答案 B
解析 A．飞机做匀速圆周运动，则所受合外力指向圆心，不为零，故A错误；
B．飞机向上运动，高度增加，则重力做负功，重力势能增加，故B正确；
C．无人机做匀速圆周运动，加速度时刻指向圆心，方向改变，则加速度改变。故C错误；
D．无人机受到重力，空气作用力以及发动机作用力，合力不为0，若所受空气与发动机作用力的合力与其重力等大反向，则受力平衡，无人机将做匀速直线运动，与题意不符，故D错误。
故选B。
对点题组练
题组一 重力做的功 重力势能及其相对性
1.关于重力做功和重力势能的变化，下列叙述正确的是( )
A.做竖直上抛运动的物体，在上升阶段，重力做负功，重力势能减少
B.做竖直上抛运动的物体，在下阶落段，重力做正功，重力势能增加
C.做平抛运动的物体，重力势能在不断减少
D.物体高度降低了，重力势能可能不变
答案 C
解析 根据重力势能的表达式，有EP＝mgh，只要物体相对地面的高度增加了，重力势能便会增加，反之，便会减少，故C正确。
2.(多选)(人教版教材P83T4改编)如图所示，桌面高为h1，质量为m的小球从高出桌面h2的A点下落到地面上的B点，在此过程中下列说法正确的是( )
A.以地面为参考平面，小球在B点的重力势能为mgh1
B.以桌面为参考平面，小球在A点的重力势能为mgh2
C.以桌面为参考平面，小球从A点到B点的过程中重力做功为mgh2＋mgh1
D.以地面为参考平面，小球从A点到B点的过程中重力势能增加mgh1＋mgh2
答案 BC
解析 以地面为参考平面，B点高度为零，重力势能为零，故A错误；以桌面为参考平面，A点高度为h2，重力势能为Ep＝mgh2，故B正确；小球从A到B的过程中重力做功为W＝mgh2＋mgh1，重力做正功，重力势能减少mgh2＋mgh1，与参考平面无关，故C正确，D错误。
3.(多选)(2024·河北张家口市期末)如图所示，蹦床是运动员在一张绷紧的弹性网上蹦跳、翻滚并做各种空中动作的运动项目。一个质量为60 kg的运动员，从离水平网面3.2 m高处自由下落，着网后蹦回到离水平网面1.8 m高处。已知重力加速度g取10 m/s2，则在此整个过程中( )
A.运动员重力做的功是1 920 J
B.运动员重力做的功是840 J
C.运动员的重力势能减少了1 920 J
D.运动员的重力势能减少了840 J
答案 BD
解析 整个过程中重力做功WG＝mg(h1－h2)＝60×10×(3.2－1.8) J＝840 J，A错误，B正确；重力做正功，重力势能减少，即重力势能减少了840 J，C错误，D正确。
4.一个100 g的球从1.8 m的高处落到水平板上又弹回到1.25 m的高度，则整个过程中重力对球所做的功及球的重力势能的变化是(g取10 m/s2)( )
A.重力做功为1.8 J
B.重力做了0.55 J的负功
C.球的重力势能一定减少0.55 J
D.球的重力势能一定增加1.25 J
答案 C
解析 在整个过程中，球下降的高度为h＝1.8 m－1.25 m＝0.55 m，该过程中重力对球做正功为W＝mgh＝0.1×10×0.55 J＝0.55 J，故A、B错误；重力做多少正功重力势能就减少多少，故球的重力势能一定减少0.55 J，故C正确，D错误。
5.如图所示，一条长为1 m、质量为10 kg的铁链放在水平地面上，现提起铁链的一端直到铁链的另一端刚好离开地面。重力加速度g取10 m/s2。则该过程中铁链重力势能的变化量为( )
A.100 J B.－100 J
C.50 J D.－50 J
答案 C
解析 当铁链全部离开地面的瞬间，铁链重心升高了h＝＝0.5 m，克服重力做功为W＝mgh＝50 J，铁链的重力势能的变化量为ΔEp＝W＝50 J，故C正确。
6.如图所示，质量分布均匀、长度均为L的A、B棒的质量分别为m、2m，将它们叠放后置于水平地面上，如图甲所示；若将它们的叠放顺序改为图乙所示，则
A、B棒整体的重力势能(重力加速度为g)( )
A.增加了mgL B.增加了0.5mgL
C.减少了mgL D.减少了0.5mgL
答案 A
解析 选择水平地面为参考平面，对题图甲进行分析，A、B棒整体重力势能为Ep＝mg·＋2mg·＝mgL；对题图乙进行分析，A、B棒整体重力势能为Ep′＝2mg·＋mg·＝mgL。则A、B棒整体的重力势能增加量ΔEp＝Ep′－Ep＝mgL，故A正确，B、C、D错误。
7.物体从某高度处开始做自由落体运动，以地面为重力势能参考平面。下列图像中能正确描述物体的重力势能与下落高度的关系的是( )
答案 B
解析 设物体开始下落时的重力势能为Ep0，物体下落高度为h的过程中重力势能减少量ΔEp＝mgh，故物体下落高度h时的重力势能Ep＝Ep0－mgh，即Ep－h图线为倾斜直线，B正确。
8.(多选)一质量为m的物体，被人用手由静止竖直向上以加速度a匀加速提升h。关于此过程(重力加速度为g)，下列说法中正确的是( )
A.提升过程中手对物体做的功为m(a＋g)h
B.提升过程中合外力对物体做的功为mah
C.提升过程中物体的重力势能增加了m(a＋g)h
D.提升过程中物体克服重力做的功为mgh
答案 ABD
解析 设手对物体的力为F，由牛顿第二定律得F－mg＝ma，即F＝m(g＋a)。提升过程中手对物体做的功为W＝m(a＋g)h，合外力对物体做的功为W合＝mah，物体克服重力做的功为mgh，重力势能增加了mgh，故C错误，A、B、D正确。
题组二 弹性势能
9.如图所示，质量相等的两木块中间连有一竖直弹簧，今用力F缓慢向上提A，直到B恰好离开地面。开始时木块A静止在弹簧上面。设开始时弹簧的弹性势能为Ep1，B刚要离开地面时，弹簧的弹性势能为Ep2，则关于Ep1、Ep2的大小关系及弹性势能的变化ΔEp，下列说法中正确的是( )
A.Ep1＝Ep2 B.Ep1>Ep2
C.ΔEp>0 D.ΔEp<0
答案 A
解析 设开始时弹簧形变量为x1，有kx1＝mg，B刚要离开地面时弹簧形变量为x2，有kx2＝mg，结合题述条件可知x1＝x2，所以Ep1＝Ep2，ΔEp＝0，A正确，B、C、D错误。
综合提升练
10.(2024·河南洛阳高一下联考)一轻质弹簧的弹力与弹簧形变量之间的关系如图甲所示。将该弹簧下端固定在水平地面上，一质量为1.8 kg的物体在外力作用下缓慢放在弹簧的上端(此时弹簧处于原长状态)，待物体稳定后撤去外力，物体仍静止在弹簧上端，弹簧处在弹性限度内，如图乙所示。重力加速度g取10 m/s2，则下列说法正确的是( )
A.物体最终静止时，弹簧的压缩量为30 cm
B.弹簧的长度越长，弹簧的弹性势能越大
C.此过程中弹簧弹力对物体做的功为0.54 J
D.物体最终静止时，弹簧的弹性势能为0.27 J
答案 D
解析 由题图甲可知，弹簧的劲度系数k＝＝600 N/m。物体最终静止时，对物体受力分析，由平衡条件有mg＝kx，解得弹簧的压缩量x＝3 cm，A错误；弹簧的形变量越大，弹性势能越大，与弹簧的长度无关，B错误；该过程为压缩过程，弹簧弹力对物体做负功，为W弹＝－Fx＝－·x＝－0.27 J，C错误；弹簧的弹性势能变化量ΔEp＝－W弹＝0.27 J，弹簧初态为原长状态，所以物体最终静止时，弹簧的弹性势能Ep＝ΔEp＝0.27 J，D正确。
11.如图是可爱的毛毛虫外出觅食的示意图，缓慢经过一边长为L的等边三角形山丘，已知其身长为3L，总质量为m，如图其头部刚到达最高点。假设毛毛虫能一直贴着山丘前行，则从其头部刚到山顶到头部刚到山丘底端的过程中毛毛虫的重力势能变化量为( )
A.mgL B.mgL
C.mgL D.mgL
答案 B
解析 选山丘底端为零势能面，初状态的重力势能为Ep1＝mg·sin 60°＝mgL，毛毛虫头部越过山顶刚到达山丘底端时的重力势能为Ep2＝mg·sin 60°＝mgL，其重力势能的变化量为ΔEp＝Ep2－Ep1＝mgL－mgL＝mgL，故B正确。
12.在一次跳绳体能测试中，一位体重约为50 kg的同学，一分钟内连续跳了140下，若该同学每次跳跃的腾空时间均为0.2 s，重力加速度g取10 m/s2，忽略空气阻力，则他在这一分钟内克服重力做的功约为( )
A.3 500 J B.14 000 J
C.1 000 J D.2 500 J
答案 A
解析 该同学的重力G＝mg＝500 N，腾空时间为0.2 s，则每次上升过程用时0.1 s，上升的高度为h＝gt2＝0.05 m，故起跳一次克服重力做的功W0＝Gh＝500×0.05 J＝25 J。一分钟内连续跳了140下，则该同学一分钟内克服重力做的功W＝140W0＝140×25 J＝3 500 J，故A正确。
13.现有一质量为m＝0.2 kg的小球，由静止释放，测得小球经3 s落地，每1秒时间内下落的距离分别为x1＝5 m、x2＝15 m、x3＝25 m，取地面为参考平面，g＝10 m/s2。求：
(1)第1 s末小球的重力势能；
(2)前2 s内小球重力势能的变化量；
(3)整个下落过程中小球所受重力做功的平均功率。
答案 (1)80 J (2)－40 J (3)30 W
解析 (1)第1 s末小球离地面的高度为
h＝x2＋x3＝40 m
第1 s末小球的重力势能Ep＝mgh＝80 J。
(2)前2 s内小球重力势能的变化量
ΔEp＝mgΔh＝－mg(x1＋x2)＝－40 J。
(3)整个下落过程中小球所受重力做功的平均功率P＝＝＝30 W。
14.如图（a），将物块A于P点处由静止释放，B落地后不反弹，最终A停在Q点。物块A的v t图像如图（b）所示。已知B的质量为0.3kg，重力加速度大小g取10 m/s2。求：
(1)以地面为参考平面，释放瞬间物块B的重力势能；
(2)物块A与桌面间的动摩擦因数；
(3)物块A的质量。
答案 (1)3J
(2)0.1
(3)0.8kg
解析 （1）由v-t图像得B下落的高度
hB==1m
物块B的重力势能
（2）v-t图斜率等于加速度可知，物块A在1~3s其加速度大小
a2=1m/s2
1~3s内，对A物块
（3）物块A和B在 0~1s其加速度大小
a1=2m/s2
对A物块
对B
解得
mA=0.8kg
15．下列说法正确的是（ ）
A．动摩擦因数的单位是
B．静摩擦力对物体一定不做功
C．物体重力势能的变化量与零势能面的选择有关
D．急动度描述加速度变化的快慢，它的国际单位是
答案 D
解析 A．动摩擦因数没有单位，故A错误；
B．恒力做功的表达式，静摩擦力的方向与物体相对运动趋势方向相反，但与运动方向可以相同，也可以相反，故静摩擦力可以做正功，也可以做负功，也可以不做功；故B错误；
C．重力势能与参考面的选择有关，重力势能的变化量与参考面的选择无关，故C错误；
D．急动度描述加速度变化的快慢，加速度变化量单位为，时间变化量单位为s，则急动度的国际单位是，故D正确。
故选D。
16．（多选）下列关于重力势能的说法，正确的是（ ）
A．重力势能的变化，只跟物体所处的初末位置有关，与物体实际经过的路径无关
B．重力势能的变化，只跟重力做功有关，和其他力做功多少无关
C．重力势能是矢量，当重力对物体做正功时，物体的重力势能减少
D．重力势能是物体和地球共有的，而不是物体单独具有的
答案 ABD
解析 A．重力势能的变化，只跟物体所处的初末位置有关，与物体实际经过的路径无关，选项A正确；
B．重力势能的变化，只跟重力做功有关，和其他力做功多少无关，选项B正确；
C．重力势能是标量，当重力对物体做正功时，物体的重力势能减少，选项C错误；
D．重力势能是物体和地球系统共有的，而不是物体单独具有的，选项D正确。
故选ABD。
17．愤怒的小鸟是风靡全球的2D画面游戏，是通过调节发射小鸟的速度大小与角度达到轰击肥猪堡垒的目的。现简化为如图所示的模型：假设小鸟从离草地高度为处用弹弓弹射，初速度斜向上且与水平方向成角，肥猪的堡垒到拋射点水平距离为L，忽略空气阻力，重力加速度为（将小鸟和肥猪堡垒均视为质点）。则（ ）
A．当一定时，角越大，小鸟在空中运动时间越短
B．小鸟从开始到上升到最高点的过程中增加的势能为
C．当角一定时，越小，其水平射程越长
D．若，则要想击中目标，初速度应满足
答案 B
解析 A．当一定时，角越大，竖直速度越大，则小鸟在空中运动时间越长，选项A错误；
B．小鸟从开始到上升到最高点的过程中增加的势能为
选项B正确；
C．当角一定时，越小，竖直速度越小，则在空中的时间越小，根据
可知其水平射程越短，选项C错误；
D．若，则
可知要想击中目标，初速度应满足
选项D错误。
故选B。
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第8.2节 重力势能
学习目标
1.知道重力做功的特点，理解重力势能的概念，知道重力势能具有相对性。
2.知道重力做功与重力势能变化的关系，并会分析相关问题。
3.了解弹力做功和弹性势能变化的关系。
知识点一 重力做的功
如图所示，一个质量为m的物体，从高度为h1的位置A分别按下列三种方式运动到高度为h2的位置B。重力加速度为g，在这个过程中，思考并讨论以下问题：
(1)甲、乙、丙三种情况下重力做的功各是多少？
(2)重力做功有什么特点？
1.重力做功的表达式：WG＝mgΔh＝mgh1－mgh2，式中Δh指初位置与末位置间的 ；h1、h2分别指 、 的高度。
2.重力做功的特点：物体运动时，重力对它做的功只跟它的 和 的位置有关，而跟物体运动的 无关。
3.重力做功的正负：物体下降时重力做 功；物体被举高时重力做 功。
【思考】 重力做功与物体受到的其他力有关吗？与物体所处的运动状态有关吗？
例1 某游客领着孩子游泰山时，孩子不小心将手中的皮球滑落，球从A点滚到了山脚下的B点，高度标记如图所示。则下列说法正确的是( )
A.从A到B的曲线轨迹长度不知道，无法求出此过程重力做的功
B.从A到B过程中的阻力大小不知道，无法求出此过程重力做的功
C.从A到B重力做功为mg(H＋h)
D.从A到B重力做功为mgH
训练1 如图所示，一物体从A点出发，分别沿粗糙斜面AB和光滑斜面AC下滑及斜向上抛出，运动后到达同一水平面上的B、C、D三点。关于重力的做功情况，下列说法正确的是( )
A.沿AB面滑下时，重力做功最多
B.沿AC面滑下时，重力做功最多
C.沿AD抛物线运动时，重力做功最多
D.三种情况下，重力做的功相等
训练2如图所示，从斜面上A点斜向上抛出一小球，水平击中斜面上B点，现将小球从AB中点C点抛出，仍要水平击中B点。下列说法正确的是（ ）
A．可以仅将抛出时的速度大小变为原来的
B．可以仅将抛出时的速度方向与水平面间夹角变为原来的
C．第二次击中B点时的速度为第一次的
D．第二次在空中飞行过程中重力对小球做的功为第一次的
知识点二 重力势能及重力势能的相对性
如图所示，幼儿园小朋友们正在玩滑梯：
(1)小朋友从最高点滑落到地面的过程中重力做正功还是负功？重力势能是增加还是减少？
(2)小朋友从地面爬上滑梯最高点的过程中重力做正功还是负功？重力势能是增加还是减少？
一、重力势能
1.定义：我们把 叫作物体的重力势能，常用Ep表示。
2.表达式：Ep＝ 。
3.单位：在国际单位制中是 ，符号为 。
1 J＝1 kg·m·s－2·m＝1 N·m。
4.重力做功与重力势能变化的关系
(1)表达式：WG＝ ＝－ΔEp。
(2)两种情况
①当物体由高处运动到低处时，重力做 ，重力势能 ，即WG＞0，Ep1＞Ep2。
②当物体由低处运动到高处时，重力做 ，重力势能 ，即WG＜0，Ep1＜Ep2。重力做负功也可以说成物体 。
5.重力势能具有系统性，重力势能是由地球与物体所组成的“系统”共有的，而不是地球上的物体单独具有的。
二、重力势能的相对性
1.参考平面：物体的重力势能总是相对于某一 来说的，这个 叫作参考平面。在参考平面上，物体的重力势能取为 。选择哪个水平面为参考平面，可视研究问题的方便而定。通常选取地面为参考平面。
2.重力势能的相对性
选择不同的参考平面，物体重力势能的数值是 的。
(
)对选定的参考平面，上方物体的重力势能是 值，下方物体的重力势能是值，负值表示物体在这个位置具有的重力势能要比在参考平面上具有的重力势能 。
【思考】
1.重力势能Ep＝mgh中的h与重力做功W＝mgΔh中的Δh意义一样吗？
2.为什么说重力势能具有相对性？
3.重力势能的变化与参考平面的选取有关吗？
4.重力势能Ep1＝2 J，Ep2＝－3 J，则Ep1与Ep2方向相反，对吗？
例2 如图所示，桌面距地面的高度为0.8 m，一物体质量为2 kg，放在桌面上方0.4 m的支架上。则(g取9.8 m/s2)：
(1)以桌面为参考平面，计算物体具有的重力势能，并计算物体由支架下落到地面的过程中重力势能减少多少；
(2)以地面为参考平面，计算物体具有的重力势能，并计算物体由支架下落到地面的过程中重力势能减少多少；
(3)比较以上计算结果，说明什么问题？
训练1（多选）质量为1kg的物体从距地面高0.8m处由静止下落至地面，重力加速度g取。下列说法正确的是（ ）
A．重力对物体做功为8J B．物体重力势能减少了8J
C．物体克服重力做功8J D．物体重力势能增加了8J
训练2如图所示，一质量m=2kg的小球，从离地面高度h=5m的A点自由下落到地面上的B点。小球可看成质点，取重力加速度g=10m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．小球在B点时的重力势能一定为0
B．小球在A点时的重力势能一定为100J
C．小球从A点下落到B点的过程中，重力势能增加100J
D．小球从A点下落到B点的过程中，重力做功为100J
例3 如图，一质量为m、长度为l的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂。用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点，M点与绳的上端P相距l。重力加速度大小为g。在此过程中，重力势能增加了( )
A.mgl B.mgl
C.mgl D.mgl
绳子、链条等不能看成质点的物体，求解重力势能的两种情况：
(1)当绳子、链条呈直线状(或水平、或竖直、或倾斜)放置时，Ep＝mgh中的h表示其长度一半位置相对于参考平面的高度。
(2)当绳子、链条不以直线状(如折线状)放置时，可以分段计算重力势能再求和。也可以用“等效法”求出始、末状态重心的高度变化求解。
训练1如图所示，质量为2kg的小球从距桌面处由静止开始下落到地面，，不计空气阻力，g取，以桌面为零势能面。下列说法正确的是（ ）
A．小球在地面的重力势能为0
B．小球在地面的重力势能为16J
C．整个下落过程中，重力势能的变化量为46J
D．整个下落过程中，重力势能的变化量为
训练2 （多选） 2024年，在巴黎奥运会中，郑钦文斩获中国在奥运会上首枚网球女单金牌，创造了历史。若在比赛过程中郑钦文从某一高度将质量为m的网球击出，网球击出后在空中飞行的速率v随时间t的变化关系如图所示，时刻网球落到对方的场地上。以地面为参考平面，网球可视为质点，不计空气阻力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．击球点到地面的高度为
B．击球点到落地点间的水平距离为
C．网球运动过程中离地的最大高度为
D．网球的最大重力势能为
知识点三 弹性势能
撑竿跳高运动员可以借助手中弹性良好的竿跳得很高，拉开的弓可以把箭射出，压缩的弹簧可以把小球弹出去……撑竿跳高过程中弯曲的竿、拉开的弓、压缩的弹簧有什么共同特征？
1.定义：发生 的物体的各部分之间，由于有 的相互作用，也具有 ，这种势能叫作弹性势能。
2.弹簧的弹性势能：弹簧的长度为原长时，弹性势能为0。弹簧被 或被 时，就具有了弹性势能。
3.弹性势能的产生及影响因素
(
作用
) (
)
(
（弹性限度内）
) (
)
4.弹性势能的理解
(1)系统性：弹性势能是发生弹性形变的物体上所有质点因相对位置改变和发生弹力作用而具有的能量，因此弹性势能具有系统性。
(2)相对性：弹性势能的大小与选定的零势能位置有关，对于弹簧，一般规定弹簧原长处为其零势能的位置。
例4 如图所示的几个运动过程中，物体的弹性势能增加的是( )
A.如图甲，撑竿跳高的运动员上升过程中，竿的弹性势能
B.如图乙，人拉长弹簧的过程中，弹簧的弹性势能
C.如图丙，模型飞机用橡皮条发射出去的过程中，橡皮条的弹性势能
D.如图丁，小球被弹簧向上弹起的过程中，弹簧的弹性势能
(1)弹力做正功时，弹性势能减小，弹性势能转化为其他形式的能；弹力做负功时，弹性势能增大，其他形式的能转化为弹性势能。
(2)同一弹簧，形变量越大，弹簧的弹性势能就越大；压缩x和拉伸x，弹簧的弹性势能相同。
训练1 如图所示，在光滑水平面上有一物体与弹簧相连，弹簧的另一端固定在墙上，在水平力F的作用下物体处于静止状态，当撤去力F后，物体将向右运动。在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是( )
A.弹簧的弹性势能逐渐减小
B.弹簧的弹性势能逐渐增大
C.弹簧的弹性势能先增大后减小
D.弹簧的弹性势能先减小后增大
训练2如图所示，水平轻弹簧左端固定在竖直墙壁上，右端连接一可视为质点的物块，该物块置于光滑水平面上。弹簧无弹力时，其右端位于O点。现对该物块施力使弹簧右端压缩到P点，然后将该物块由静止释放。已知Q点为PO中点，弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力，该物块向右运动过程中，在PQ段，弹簧对该物块做功W1，在QO段，弹簧对该物块做功W2。则为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
随堂对点自测
1.(重力势能的相对性)(多选)如图所示，一小球贴着光滑曲面自由滑下，依次经过A、B、C三点。以下表述正确的是( )
A.若以地面为参考平面，小球在B点的重力势能比C点大
B.若以A点所在的水平面为参考平面，小球在B点的重力势能比C点小
C.若以B点所在的水平面为参考平面，小球在C点的重力势能大于零
D.无论以何处水平面为参考平面，小球在B点的重力势能均比C点大
2.(重力做功与重力势能的变化)起重机将质量为50 kg的物体从地面提升到10 m高处，在这个过程中，下列说法中正确的是(g取10 m/s2)( )
A.重力做正功，重力势能减少5.0×103 J
B.重力做正功，重力势能增加5.0×103 J
C.重力做负功，重力势能减少5.0×103 J
D.重力做负功，重力势能增加5.0×103 J
3.(弹力做功与弹性势能的关系)一根弹簧的F－x图像如图所示，那么弹簧由伸长量8 cm到伸长量4 cm的过程中，弹力做功和弹性势能的变化量为( )
A.3.6 J，－3.6 J B.－3.6 J，3.6 J
C.1.8 J，－1.8 J D.－1.8 J，1.8 J
4.（多选）如图所示，质量分别为m、2m的小球甲、乙，通过完全相同的1、2轻质弹簧竖直悬挂在天花板上。已知重力加速度大小为g，弹簧始终在弹性限度内，弹簧的弹性势能与其形变量的平方成正比，不计空气阻力。用手竖直向上缓慢托起小球乙，直至将1弹簧压缩到弹力大小为mg的位置，某时刻突然释放小球乙，关于释放小球乙后瞬间，下列说法正确的是（ ）
A．小球甲的加速度大小为0
B．小球乙的加速度大小为2g
C．1、2弹簧的弹性势能之比为1∶1
D．1、2弹簧的弹力大小之比为1∶2
5．如图所示，无人机沿圆弧向上匀速爬升，则无人机（ ）
A．所受合外力为0
B．重力势能增加
C．加速度不变
D．所受空气与发动机作用力的合力与其重力等大反向
对点题组练
题组一 重力做的功 重力势能及其相对性
1.关于重力做功和重力势能的变化，下列叙述正确的是( )
A.做竖直上抛运动的物体，在上升阶段，重力做负功，重力势能减少
B.做竖直上抛运动的物体，在下阶落段，重力做正功，重力势能增加
C.做平抛运动的物体，重力势能在不断减少
D.物体高度降低了，重力势能可能不变
2.(多选)(人教版教材P83T4改编)如图所示，桌面高为h1，质量为m的小球从高出桌面h2的A点下落到地面上的B点，在此过程中下列说法正确的是( )
A.以地面为参考平面，小球在B点的重力势能为mgh1
B.以桌面为参考平面，小球在A点的重力势能为mgh2
C.以桌面为参考平面，小球从A点到B点的过程中重力做功为mgh2＋mgh1
D.以地面为参考平面，小球从A点到B点的过程中重力势能增加mgh1＋mgh2
3.(多选)(2024·河北张家口市期末)如图所示，蹦床是运动员在一张绷紧的弹性网上蹦跳、翻滚并做各种空中动作的运动项目。一个质量为60 kg的运动员，从离水平网面3.2 m高处自由下落，着网后蹦回到离水平网面1.8 m高处。已知重力加速度g取10 m/s2，则在此整个过程中( )
A.运动员重力做的功是1 920 J
B.运动员重力做的功是840 J
C.运动员的重力势能减少了1 920 J
D.运动员的重力势能减少了840 J
4.一个100 g的球从1.8 m的高处落到水平板上又弹回到1.25 m的高度，则整个过程中重力对球所做的功及球的重力势能的变化是(g取10 m/s2)( )
A.重力做功为1.8 J
B.重力做了0.55 J的负功
C.球的重力势能一定减少0.55 J
D.球的重力势能一定增加1.25 J
5.如图所示，一条长为1 m、质量为10 kg的铁链放在水平地面上，现提起铁链的一端直到铁链的另一端刚好离开地面。重力加速度g取10 m/s2。则该过程中铁链重力势能的变化量为( )
A.100 J B.－100 J
C.50 J D.－50 J
6.如图所示，质量分布均匀、长度均为L的A、B棒的质量分别为m、2m，将它们叠放后置于水平地面上，如图甲所示；若将它们的叠放顺序改为图乙所示，则
A、B棒整体的重力势能(重力加速度为g)( )
A.增加了mgL B.增加了0.5mgL
C.减少了mgL D.减少了0.5mgL
7.物体从某高度处开始做自由落体运动，以地面为重力势能参考平面。下列图像中能正确描述物体的重力势能与下落高度的关系的是( )
8.(多选)一质量为m的物体，被人用手由静止竖直向上以加速度a匀加速提升h。关于此过程(重力加速度为g)，下列说法中正确的是( )
A.提升过程中手对物体做的功为m(a＋g)h
B.提升过程中合外力对物体做的功为mah
C.提升过程中物体的重力势能增加了m(a＋g)h
D.提升过程中物体克服重力做的功为mgh
题组二 弹性势能
9.如图所示，质量相等的两木块中间连有一竖直弹簧，今用力F缓慢向上提A，直到B恰好离开地面。开始时木块A静止在弹簧上面。设开始时弹簧的弹性势能为Ep1，B刚要离开地面时，弹簧的弹性势能为Ep2，则关于Ep1、Ep2的大小关系及弹性势能的变化ΔEp，下列说法中正确的是( )
A.Ep1＝Ep2 B.Ep1>Ep2
C.ΔEp>0 D.ΔEp<0
综合提升练
10.(2024·河南洛阳高一下联考)一轻质弹簧的弹力与弹簧形变量之间的关系如图甲所示。将该弹簧下端固定在水平地面上，一质量为1.8 kg的物体在外力作用下缓慢放在弹簧的上端(此时弹簧处于原长状态)，待物体稳定后撤去外力，物体仍静止在弹簧上端，弹簧处在弹性限度内，如图乙所示。重力加速度g取10 m/s2，则下列说法正确的是( )
A.物体最终静止时，弹簧的压缩量为30 cm
B.弹簧的长度越长，弹簧的弹性势能越大
C.此过程中弹簧弹力对物体做的功为0.54 J
D.物体最终静止时，弹簧的弹性势能为0.27 J
11.如图是可爱的毛毛虫外出觅食的示意图，缓慢经过一边长为L的等边三角形山丘，已知其身长为3L，总质量为m，如图其头部刚到达最高点。假设毛毛虫能一直贴着山丘前行，则从其头部刚到山顶到头部刚到山丘底端的过程中毛毛虫的重力势能变化量为( )
A.mgL B.mgL
C.mgL D.mgL
12.在一次跳绳体能测试中，一位体重约为50 kg的同学，一分钟内连续跳了140下，若该同学每次跳跃的腾空时间均为0.2 s，重力加速度g取10 m/s2，忽略空气阻力，则他在这一分钟内克服重力做的功约为( )
A.3 500 J B.14 000 J
C.1 000 J D.2 500 J
13.现有一质量为m＝0.2 kg的小球，由静止释放，测得小球经3 s落地，每1秒时间内下落的距离分别为x1＝5 m、x2＝15 m、x3＝25 m，取地面为参考平面，g＝10 m/s2。求：
(1)第1 s末小球的重力势能；
(2)前2 s内小球重力势能的变化量；
(3)整个下落过程中小球所受重力做功的平均功率。
14.如图（a），将物块A于P点处由静止释放，B落地后不反弹，最终A停在Q点。物块A的v t图像如图（b）所示。已知B的质量为0.3kg，重力加速度大小g取10 m/s2。求：
(1)以地面为参考平面，释放瞬间物块B的重力势能；
(2)物块A与桌面间的动摩擦因数；
(3)物块A的质量。
15．下列说法正确的是（ ）
A．动摩擦因数的单位是
B．静摩擦力对物体一定不做功
C．物体重力势能的变化量与零势能面的选择有关
D．急动度描述加速度变化的快慢，它的国际单位是
16．（多选）下列关于重力势能的说法，正确的是（ ）
A．重力势能的变化，只跟物体所处的初末位置有关，与物体实际经过的路径无关
B．重力势能的变化，只跟重力做功有关，和其他力做功多少无关
C．重力势能是矢量，当重力对物体做正功时，物体的重力势能减少
D．重力势能是物体和地球共有的，而不是物体单独具有的
17．愤怒的小鸟是风靡全球的2D画面游戏，是通过调节发射小鸟的速度大小与角度达到轰击肥猪堡垒的目的。现简化为如图所示的模型：假设小鸟从离草地高度为处用弹弓弹射，初速度斜向上且与水平方向成角，肥猪的堡垒到拋射点水平距离为L，忽略空气阻力，重力加速度为（将小鸟和肥猪堡垒均视为质点）。则（ ）
A．当一定时，角越大，小鸟在空中运动时间越短
B．小鸟从开始到上升到最高点的过程中增加的势能为
C．当角一定时，越小，其水平射程越长
D．若，则要想击中目标，初速度应满足
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