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第8.12节 章末综合复习
例1 (2024·山东济宁高一期末)如图所示，在某次体能训练中，运动员身上系着轻绳拖着轮胎从静止开始沿着笔直的跑道匀加速奔跑，2 s末轮胎的速度大小为4 m/s。已知绳与地面的夹角θ＝37°，绳对轮胎的拉力大小为50 N，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。下列说法正确的是( )
A.前2 s内绳子拉力对轮胎所做的功为200 J
B.第2 s内运动员克服绳子拉力所做的功为120 J
C.前2 s内绳子拉力对轮胎做功的平均功率为100 W
D.第2 s末绳子拉力对轮胎做功的瞬时功率为200 W
训练1（多选）如图所示，倾角为30°的斜面体固定在水平面上，在斜面顶端A点沿水平方向抛出小球1，小球1落在斜面上的C点，在A点上方高d处的B点沿水平方向抛出小球2，小球2也落在斜面上的C点，小球2平抛运动的时间是小球1平抛运动时间的2倍，重力加速度为g，不计小球的大小，两球的质量相等，则下列判断正确的是（ ）
A．球1、2做平抛运动的初速度大小之比为
B．球1抛出的初速度大小为
C．A、C两点间的距离为d
D．球1、2到达C点时重力的瞬间功率之比为
训练2如图为湖边大坝的横截面示意图，从斜面上A点以速度v0沿水平方向抛出小石子，忽略空气阻力，不考虑小石子的反弹，下列说法正确的是（ ）
A．若小石子未落入水中，则平抛运动的时间与v0成正比
B．若小石子未落入水中，则落回斜面时速度方向与v0有关
C．若小石子落入水中，则v0越大，落到水面上时速度方向与水平面的夹角越大
D．若小石子落入水中，则v0越大，落到水面上时重力的功率越大
例2 (多选)(2023·广东卷，8)人们用滑道从高处向低处运送货物，如图所示，可看作质点的货物从圆弧滑道顶端P点静止释放，沿滑道运动到圆弧末端Q点时速度大小为6 m/s。已知货物质量为20 kg，滑道高度h为4 m，且过Q点的切线水平，重力加速度取10 m/s2。关于货物从P点运动到Q点的过程，下列说法正确的有( )
A.重力做的功为360 J
B.克服阻力做的功为440 J
C.经过Q点时向心加速度大小为9 m/s2
D.经过Q点时对轨道的压力大小为380 N
训练1如图所示，长木板AB置于水平面上，板长为L，板的B端放置质量为m的小物块。现将板绕A端由静止开始在竖直平面内转动角时，物块的速度为v，物块始终保持与板相对静止，重力加速度为g，则在上述转动过程中（ ）
A．重力对物块做的功为
B．摩擦力对物块做的功为
C．弹力对物块做的功为0
D．板对物块做的功为
训练2某轮滑赛道可以简化为如图所示模型。AB是一段曲面，BC是一段半径为的圆弧面，圆弧所对的圆心角，AB和BC均固定在竖直面内，AB和BC均在B点与水平面相切，一个质量为的物块在A点由静止释放，从C点飞出后恰好沿水平方向滑上高为R的平台，已知重力加速度，不计物块的大小，A、B高度差为3R，，求：
(1)物块运动到C点时速度多大；
(2)物块在AC段运动过程中克服摩擦做功为多少。
二、动能定理
1.应用动能定理的解题步骤
2.
例3 一跳台滑雪运动员在进行场地训练。某次训练中，运动员以30 m/s的速度斜向上跳出，空中飞行后在着陆坡的K点着陆。起跳点到K点的竖直高度差为60 m，运动员总质量(包括装备)为60 kg，g取10 m/s2。求(结果可以保留根号)：
(1)若不考虑空气阻力，运动员着陆时的速度；
(2)若运动员着陆时的速度大小为44 m/s，飞行中克服空气阻力做的功。
训练1如图所示，将一个可视为质点的弹丸从弹射器口P点水平弹出，Q点是弹丸运动轨迹中的一点。以地面为重力势能零势能面，弹丸在P点的动能与它在该点的重力势能相等，在Q点的动能为它在该点重力势能的4倍，P、Q两点间水平距离为x，竖直距离为y，忽略空气阻力。则的值应为（ ）
A． B． C． D．
训练2（多选）如图所示，将一质量m=80kg的可视为质点的石块装在长L=m的长臂末端的石袋中，初始长时长臂与水平面成。松开后，长臂转至竖直位置时，石块被水平抛出，落在水平地面上。石块落地点与O点的水平距离s=100m。忽略长臂、短臂和石袋的质量，不计空气阻力和所有摩擦，g=10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．石块水平抛出时的初速度为25m/s
B．石块从A到最高点的过程中重力势能的增加量等于16000J
C．石块从A到最高点的过程中，石袋对石块做功
D．石块圆周运动至最高点时，石袋对石块的作用力大小为1.58104N
三、机械能守恒定律及应用
例4 (2024·哈尔滨三中月考)在水平地面以20 m/s的速度将质量为2 kg的物体竖直上抛。若以水平地面为零势能参考平面，忽略空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2。则( )
A.物体上升的最大高度为40 m
B.物体上升到最高点时机械能为零
C.物体上升到最高点时的重力势能为200 J
D.物体在上升过程中其重力势能和动能相等的位置距地面的高度为10 m
训练1投掷铅球是运动会上必不可少的项目。某同学投掷铅球的过程可简化为如图所示的模型：质量为m的铅球从离水平地面高度为h处被投出，初速度斜向上且与水平方向成角，铅球落地点到抛出点的水平距离称为水平射程。忽略空气阻力，已知重力加速度为g，铅球视为质点，则（ ）
A．当一定时，角越大，铅球在空中运动时间越短
B．当角一定时，越小，其水平射程越长
C．若角小于 90°，取地面为零势能面，铅球运动过程中重力势能最大值为
D．当一定时，若要使水平射程最远，则角一定小于45°
训练2如图所示，两个完全相同的小球A、B，在同一高度处以相同大小的初速度v分别水平抛出和竖直向上抛出，下列说法正确的是（ ）
A．两小球落地时的速度相同
B．两小球落地时，重力的瞬时功率大小一样
C．从开始运动至落地，A球速度的变化率较大
D．从开始运动至落地，重力对两球做功的平均功率A的大于B的
例5 (多选)如图所示，质量均为m的A、B两个可视为质点的小球，用长为L的轻杆和轻质铰链相连，固定在地面上的可视为质点的支架C和小球A也用长为L的轻杆和轻质铰链相连，开始时ABC构成正三角形。由静止释放A、B两球，A球的运动始终在竖直面内，重力加速度大小为g，不计一切摩擦，则( )
A.释放瞬间，A球的加速度为0
B.B球速度最大时，A球的机械能最小
C.B球的速度最大时，A球的速度也最大
D.A球到达地面时的速度大小为
训练1如图所示，质量均为的A、B两光滑小球用轻杆连接，竖直靠墙放置。两球的半径远小于轻杆长度。由于微小的扰动，A球沿竖直墙壁向下滑动，B球沿水平地面向右滑动，重力加速度为。对A球从静止开始到落地前的过程，不计空气阻力，下列判断正确的是（ ）
A．小球A、B构成的系统机械能守恒
B．B球对水平地面的压力不可能等于
C．A球在下落过程中加速度不可能等于
D．小球A可能一直沿着墙面向下运动
训练2如图所示，半径为R=0.4m的四分之一圆弧形光滑轨道固定于竖直平面内，圆弧形轨道与光滑固定足够长的水平轨道相切，可视为质点的质量均为m=1kg的小球甲、乙用轻杆连接，置于圆弧形轨道上，小球甲与O点等高，小球乙位于圆心O的正下方。某时刻将两小球由静止释放，最终它们在水平面上运动。g取10m/s2，则（ ）
A．两小球由静止释放后速度大小相等，最终在水平面上运动的速度大小为4m/s
B．小球甲下滑过程中重力对它做功的功率一直增大
C．小球甲下滑到圆弧形轨道最低点对轨道压力的大小为10N
D．整个过程中轻杆对小球乙做的功为2J
四、能量守恒定律及应用
能量守恒定律：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变。
例6 如图所示，一个倾角θ＝30°的光滑斜面顶端有定滑轮，质量为m的物体A置于地面并与劲度系数为k的竖直轻弹簧相连，一条轻绳跨过滑轮，一端与斜面上质量为m的物体B相连(绳与斜面平行)，另一端与弹簧上端连接。开始时用手托着B使绳子恰伸直，弹簧处于原长状态，现将B由静止释放，B下滑过程中A恰好能离开地面但不继续上升，求：
(1)B下滑到最低点时的加速度；
(2)若将物体B换成质量为4m的物体C，使物体C由上述初始位置静止释放，当物体A刚好要离开地面时，物体C的速度为多大？
训练1（多选）如图所示，两根原长相同的轻质弹簧，下端固定在光滑斜面的底部。质量分别为的物块1、2静止在两弹簧上端时(物块与弹簧栓接)，两物块处于同一高度，以此处为零重力势能面，已知。分别用外力将两物块缓慢沿斜面向下压相同的距离后，撤去外力。从撤去外力到物块上升到最高点的过程中（ ）
A．最大速度 B．最大加速度
C．经历的时间 D．最大重力势能
训练2（多选）如图所示，轻弹簧上端固定，下端与一质量为m的小球相连。开始时用手托住小球使弹簧恰好为原长，此时小球处于A位置。释放小球使其由静止开始竖直下落，小球经过B点时速度达到最大值，小球能够到达的最低点为C点，运动过程中弹簧始终处于弹性限度内。已知AB间距离为h1，BC间距离为h2，重力加速度为g（不计空气阻力），则下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的劲度系数为
B．小球在位置B时的动能等于mgh1
C．弹性势能的最大值为
D．从A到C过程中小球的机械能一直减小
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第8.12节 章末综合复习
例1 (2024·山东济宁高一期末)如图所示，在某次体能训练中，运动员身上系着轻绳拖着轮胎从静止开始沿着笔直的跑道匀加速奔跑，2 s末轮胎的速度大小为4 m/s。已知绳与地面的夹角θ＝37°，绳对轮胎的拉力大小为50 N，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。下列说法正确的是( )
A.前2 s内绳子拉力对轮胎所做的功为200 J
B.第2 s内运动员克服绳子拉力所做的功为120 J
C.前2 s内绳子拉力对轮胎做功的平均功率为100 W
D.第2 s末绳子拉力对轮胎做功的瞬时功率为200 W
【答案】B
【详解】前2 s内的位移为x＝t＝4 m，前2 s内绳子拉力对轮胎所做的功为W＝Fxcos 37°＝50×4×0.8 J＝160 J，故A错误；根据v＝at，解得a＝2 m/s2，第2 s内的位移为x′＝x－at＝3 m，第2 s内运动员克服绳子拉力所做的功为W′＝Fx′cos 37°＝50×3×0.8 J＝120 J，故B正确；前2 s内绳子拉力对轮胎做功的平均功率为P＝＝80 W，故C错误；第2 s末绳子拉力对轮胎做功的瞬时功率P＝Fvcos 37°＝50×4×0.8 W＝160 W，故D错误。
训练1（多选）如图所示，倾角为30°的斜面体固定在水平面上，在斜面顶端A点沿水平方向抛出小球1，小球1落在斜面上的C点，在A点上方高d处的B点沿水平方向抛出小球2，小球2也落在斜面上的C点，小球2平抛运动的时间是小球1平抛运动时间的2倍，重力加速度为g，不计小球的大小，两球的质量相等，则下列判断正确的是（ ）
A．球1、2做平抛运动的初速度大小之比为
B．球1抛出的初速度大小为
C．A、C两点间的距离为d
D．球1、2到达C点时重力的瞬间功率之比为
【答案】BD
【详解】A.由于两球做平抛运动的水平位移相同，小球2平抛运动的时间是小球1平抛运动时间的2倍，根据
则球1，2做平抛运动的初速度大小之比为，选项A错误；
C.根据竖直方向分运动的规律可知，、两点的高度差为，、两点间的距离为，选项C错误；
B.、两点的水平位移为，则
选项B正确；
D.由
可知，球1、2到点时速度沿竖直方向的分速度之比为，由
可知，球1、2到达点时重力的瞬间功率之比为，选项D正确。
故选BD。
训练2如图为湖边大坝的横截面示意图，从斜面上A点以速度v0沿水平方向抛出小石子，忽略空气阻力，不考虑小石子的反弹，下列说法正确的是（ ）
A．若小石子未落入水中，则平抛运动的时间与v0成正比
B．若小石子未落入水中，则落回斜面时速度方向与v0有关
C．若小石子落入水中，则v0越大，落到水面上时速度方向与水平面的夹角越大
D．若小石子落入水中，则v0越大，落到水面上时重力的功率越大
【答案】A
【详解】A．设大坝倾角为θ，若小石子未落入水中，则
所以
由此可知，平抛运动的时间与v0成正比，故A正确；
B．设落回斜面时速度与水平方向夹角为α，则
由此可知，落回斜面时速度方向与v0无关，故B错误；
C．若小石子落入水中，根据
可知，小石子下落的时间不变，根据
可知，v0越大，落到水面上时速度方向与水平面的夹角越小，故C错误；
D．落到水面上时重力的功率为
小石子下落的时间不变，则重力的功率不变，故D错误。
故选A。
例2 (多选)(2023·广东卷，8)人们用滑道从高处向低处运送货物，如图所示，可看作质点的货物从圆弧滑道顶端P点静止释放，沿滑道运动到圆弧末端Q点时速度大小为6 m/s。已知货物质量为20 kg，滑道高度h为4 m，且过Q点的切线水平，重力加速度取10 m/s2。关于货物从P点运动到Q点的过程，下列说法正确的有( )
A.重力做的功为360 J
B.克服阻力做的功为440 J
C.经过Q点时向心加速度大小为9 m/s2
D.经过Q点时对轨道的压力大小为380 N
【答案】BCD
【详解】重力做的功为WG＝mgh＝800 J，A错误；下滑过程由动能定理可得WG－Wf＝mv，代入数据解得，克服阻力做的功为Wf＝440 J，B正确；经过Q点时向心加速度大小为a＝＝9 m/s2，C正确；经过Q点时，根据牛顿第二定律可得FN－mg＝ma，解得货物受到的支持力大小为FN＝380 N，根据牛顿第三定律可知，货物对轨道的压力大小为380 N，D正确。
训练1如图所示，长木板AB置于水平面上，板长为L，板的B端放置质量为m的小物块。现将板绕A端由静止开始在竖直平面内转动角时，物块的速度为v，物块始终保持与板相对静止，重力加速度为g，则在上述转动过程中（ ）
A．重力对物块做的功为
B．摩擦力对物块做的功为
C．弹力对物块做的功为0
D．板对物块做的功为
【答案】D
【详解】A．重力对物块做的功为
故A错误；
B．小物块始终保持与板相对静止，在这个过程中物块所受的为静摩擦力，静摩擦力的方向总是与速度的方向垂直，则摩擦力对物块做的功为零，故B错误；
C．根据动能定理可知
解得弹力对物块做的功为
故C错误；
D．根据动能定理可知，合力对物块做的功为，重力对物块做的功为，则板对物块做的功为，故D正确。
故选D。
训练2某轮滑赛道可以简化为如图所示模型。AB是一段曲面，BC是一段半径为的圆弧面，圆弧所对的圆心角，AB和BC均固定在竖直面内，AB和BC均在B点与水平面相切，一个质量为的物块在A点由静止释放，从C点飞出后恰好沿水平方向滑上高为R的平台，已知重力加速度，不计物块的大小，A、B高度差为3R，，求：
(1)物块运动到C点时速度多大；
(2)物块在AC段运动过程中克服摩擦做功为多少。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设物块运动到C点时速度大小为，则滑块滑出C点时，竖直方向分速度为
竖直方向上升的高度为
由运动学公式
解得物块运动到C点时速度大小为
（2）物块从A到C的过程中，由动能定理
解得物块在AC段运动过程中克服摩擦做功为
二、动能定理
1.应用动能定理的解题步骤
2.
例3 一跳台滑雪运动员在进行场地训练。某次训练中，运动员以30 m/s的速度斜向上跳出，空中飞行后在着陆坡的K点着陆。起跳点到K点的竖直高度差为60 m，运动员总质量(包括装备)为60 kg，g取10 m/s2。求(结果可以保留根号)：
(1)若不考虑空气阻力，运动员着陆时的速度；
(2)若运动员着陆时的速度大小为44 m/s，飞行中克服空气阻力做的功。
【答案】(1)10 m/s (2)4 920 J
【详解】(1)不考虑空气阻力时，运动员从起跳到着陆的过程由动能定理得
mgh＝mv2－mv
解得v＝10 m/s。
(2)考虑空气阻力时，运动员在飞行过程中，根据动能定理有
mgh－W克阻＝mv－mv
解得W克阻＝4 920 J。
训练1如图所示，将一个可视为质点的弹丸从弹射器口P点水平弹出，Q点是弹丸运动轨迹中的一点。以地面为重力势能零势能面，弹丸在P点的动能与它在该点的重力势能相等，在Q点的动能为它在该点重力势能的4倍，P、Q两点间水平距离为x，竖直距离为y，忽略空气阻力。则的值应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设Q点的高度为h，根据题意
从P到Q根据动能定理或机械能守恒有
解得
根据平抛规律
，
得
将、代入
解得
故选C。
训练2（多选）如图所示，将一质量m=80kg的可视为质点的石块装在长L=m的长臂末端的石袋中，初始长时长臂与水平面成。松开后，长臂转至竖直位置时，石块被水平抛出，落在水平地面上。石块落地点与O点的水平距离s=100m。忽略长臂、短臂和石袋的质量，不计空气阻力和所有摩擦，g=10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．石块水平抛出时的初速度为25m/s
B．石块从A到最高点的过程中重力势能的增加量等于16000J
C．石块从A到最高点的过程中，石袋对石块做功
D．石块圆周运动至最高点时，石袋对石块的作用力大小为1.58104N
【答案】BC
【详解】A．石块做平抛运动，则
其中
解得石块水平抛出时的初速度
v0=50m/s
故A错误；
B．石块重物重力势能的增加量等于
故B正确；
C．石块从A到最高点的过程中，根据动能定理
解得石袋对石块做功为
故C正确；
D．石块圆周运动至最高点时，根据牛顿第二定律
解得石袋对石块的作用力大小为
故D错误。
故选BC。
三、机械能守恒定律及应用
例4 (2024·哈尔滨三中月考)在水平地面以20 m/s的速度将质量为2 kg的物体竖直上抛。若以水平地面为零势能参考平面，忽略空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2。则( )
A.物体上升的最大高度为40 m
B.物体上升到最高点时机械能为零
C.物体上升到最高点时的重力势能为200 J
D.物体在上升过程中其重力势能和动能相等的位置距地面的高度为10 m
【答案】D
【详解】物体上升的最大高度H＝＝ m＝20 m，A错误；物体在上升过程中只有重力做功，动能减少，重力势能增加，总机械能不变，上升到最高点时的重力势能为Ep＝mgH＝2×10×20 J＝400 J，此时的动能为零，则机械能为400 J，B、C错误；设物体上升的高度为h时，重力势能和动能相等，则根据机械能守恒定律有mv＝mv2＋mgh，又mv2＝mgh，解得h＝＝ m＝10 m，D正确。
训练1投掷铅球是运动会上必不可少的项目。某同学投掷铅球的过程可简化为如图所示的模型：质量为m的铅球从离水平地面高度为h处被投出，初速度斜向上且与水平方向成角，铅球落地点到抛出点的水平距离称为水平射程。忽略空气阻力，已知重力加速度为g，铅球视为质点，则（ ）
A．当一定时，角越大，铅球在空中运动时间越短
B．当角一定时，越小，其水平射程越长
C．若角小于 90°，取地面为零势能面，铅球运动过程中重力势能最大值为
D．当一定时，若要使水平射程最远，则角一定小于45°
【答案】D
【详解】A．当一定时，角越大，铅球在竖直方向的分速度越大，根据
知铅球上升时间长，高度越高，下落时间也越长，所以铅球子在空中运动的时间越长，故A错误；
B．当角一定时，越小，铅球在竖直方向和水平方向的分速度越小，则铅球在空中运动时间越短，水平射程越小，故B错误；
C．当铅球上升到最高点时，铅球重力势能最大，根据机械能守恒，可得最大值为
故C错误；
D．设球落地前瞬间竖直方向的速度大小为，把初速度分解在竖直方向和水平方向，分速度大小分别为，竖直方向取向下为正方向，则竖直方向有
解得
则球在空中运动时间为
水平射程
由数学关系可知，当x取得最大值时有
所以
故D正确。
故选D。
训练2如图所示，两个完全相同的小球A、B，在同一高度处以相同大小的初速度v分别水平抛出和竖直向上抛出，下列说法正确的是（ ）
A．两小球落地时的速度相同
B．两小球落地时，重力的瞬时功率大小一样
C．从开始运动至落地，A球速度的变化率较大
D．从开始运动至落地，重力对两球做功的平均功率A的大于B的
【答案】D
【详解】A．两个小球在运动的过程中都是只有重力做功，机械能守恒，所以根据机械能守恒可以知两物体落地时速度大小相等，方向不同，所以速度不同，故A错误；
B．到达底端时两物体的速率相同，重力也相同，但A物体重力与速度有夹角，B物体重力与速度方向相同，所以落地前的瞬间B物体重力的瞬时功率大于A物体重力的瞬时功率，故B错误；
C．根据
速度的变化量是相同的，则
速度的变化率是一个定值，且相等，A、B的速度变化率相等，故C错误；
D．从开始运动至落地，重力对两小球做功相同，但过程A所需时间小于B所需时间，根据
知道重力对A小球做功的平均功率较大，故D正确。
故选D。
例5 (多选)如图所示，质量均为m的A、B两个可视为质点的小球，用长为L的轻杆和轻质铰链相连，固定在地面上的可视为质点的支架C和小球A也用长为L的轻杆和轻质铰链相连，开始时ABC构成正三角形。由静止释放A、B两球，A球的运动始终在竖直面内，重力加速度大小为g，不计一切摩擦，则( )
A.释放瞬间，A球的加速度为0
B.B球速度最大时，A球的机械能最小
C.B球的速度最大时，A球的速度也最大
D.A球到达地面时的速度大小为
【答案】BD
【详解】释放瞬间，连接A、B轻杆上的作用力发生突变，小球A的合外力不为零，加速度不为零，故A错误；杆对B球的作用力先是推力后是拉力，当推力减为零时，B球的速度最大，推力对A球做负功最多，此时小球A的机械能最小，故B正确；杆对B球作用力为零的瞬间B球速度最大，A球刚要落地时速度最大，故C错误；当A球到达地面时，B球的速度为零，根据机械能守恒定律有mgLcos 30°＝mv2，解得v＝，故D正确。
训练1如图所示，质量均为的A、B两光滑小球用轻杆连接，竖直靠墙放置。两球的半径远小于轻杆长度。由于微小的扰动，A球沿竖直墙壁向下滑动，B球沿水平地面向右滑动，重力加速度为。对A球从静止开始到落地前的过程，不计空气阻力，下列判断正确的是（ ）
A．小球A、B构成的系统机械能守恒
B．B球对水平地面的压力不可能等于
C．A球在下落过程中加速度不可能等于
D．小球A可能一直沿着墙面向下运动
【答案】A
【详解】A．对A球从静止开始到落地前的过程，小球A、B构成的系统只有重力做功，所以小球A、B构成的系统机械能守恒，故A正确；
B．A球从静止开始运动瞬间，A球和B球竖直方向的加速度均为0，以两球为整体，可知此时地面对B的支持力为，则此时B球对水平地面的压力等于，故B错误；
CD．若小球A一直沿着墙面向下运动，则当小球A到达地面时，B球的速度为0，则B球先向右做加速运动后向右做减速运动，杆对B先产生斜向下的推力后产生斜向上的拉力，则在B球速度达到最大时，杆的推力为0，此时A球只受重力作用，加速度为重力加速度，之后由于A球受到斜向下偏右的拉力，则A球将会离开墙面，所以小球A不可能一直沿着墙面向下运动，故CD错误。
故选A。
训练2如图所示，半径为R=0.4m的四分之一圆弧形光滑轨道固定于竖直平面内，圆弧形轨道与光滑固定足够长的水平轨道相切，可视为质点的质量均为m=1kg的小球甲、乙用轻杆连接，置于圆弧形轨道上，小球甲与O点等高，小球乙位于圆心O的正下方。某时刻将两小球由静止释放，最终它们在水平面上运动。g取10m/s2，则（ ）
A．两小球由静止释放后速度大小相等，最终在水平面上运动的速度大小为4m/s
B．小球甲下滑过程中重力对它做功的功率一直增大
C．小球甲下滑到圆弧形轨道最低点对轨道压力的大小为10N
D．整个过程中轻杆对小球乙做的功为2J
【答案】D
【详解】A．将小球甲、乙的速度分解为沿轻杆的方向和垂直于轻杆的方向，两小球沿轻杆方向的速度相等．整个过程中，甲、乙组成的系统机械能守恒，最后两者的速度大小相等，应用机械能守恒定律有
代入数据求得，它们最终在水平面上运动的速度大小为
故A错误；
B．根据可知，刚下滑时，甲的速度为0，后来获得速度，重力的功率变大，但到最低点时速度水平，重力的功率为0，即小球甲下滑过程中重力对它做功的功率先增大后减小，故B错误；
C．小球甲下滑到最低点时，重力与支持力的合力提供向心力，有
解得
由牛顿第三定律，小球甲下滑到最低点对轨道压力的大小为20N，故C错误；
D．整个过程中对小球乙受力分析可知，重力不做功，小球乙动能的增量等于轻杆对小球乙做的功，即
故D正确。
故选 D。
四、能量守恒定律及应用
能量守恒定律：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变。
例6 如图所示，一个倾角θ＝30°的光滑斜面顶端有定滑轮，质量为m的物体A置于地面并与劲度系数为k的竖直轻弹簧相连，一条轻绳跨过滑轮，一端与斜面上质量为m的物体B相连(绳与斜面平行)，另一端与弹簧上端连接。开始时用手托着B使绳子恰伸直，弹簧处于原长状态，现将B由静止释放，B下滑过程中A恰好能离开地面但不继续上升，求：
(1)B下滑到最低点时的加速度；
(2)若将物体B换成质量为4m的物体C，使物体C由上述初始位置静止释放，当物体A刚好要离开地面时，物体C的速度为多大？
【答案】(1)g 沿斜面向上 (2)
【详解】(1)当物体A刚要离开地面时，A与地面间的作用力为0
对物体A由平衡条件得F－mg＝0
设物体B的加速度大小为a，对物体B，由牛顿第二定律F－mgsin θ＝ma
解得a＝g
物体B加速度的方向沿斜面向上。
(2)原来弹簧处于原长状态，当物体A刚要离开地面时，物体A处于平衡状态，设物体C沿斜面下滑x，则弹簧伸长即为x，对物体A有kx－mg＝0
解得x＝
物体A刚要离开地面时，弹簧的弹性势能增加为
ΔEp＝·x＝kx2
对物体C下滑的过程，由能量守恒定律有
ΔEp＋×4mv2＝4mgxsin θ
解得v＝。
训练1（多选）如图所示，两根原长相同的轻质弹簧，下端固定在光滑斜面的底部。质量分别为的物块1、2静止在两弹簧上端时(物块与弹簧栓接)，两物块处于同一高度，以此处为零重力势能面，已知。分别用外力将两物块缓慢沿斜面向下压相同的距离后，撤去外力。从撤去外力到物块上升到最高点的过程中（ ）
A．最大速度 B．最大加速度
C．经历的时间 D．最大重力势能
【答案】ABD
【详解】D．物块初始静止在光滑的斜面的同一高度上，弹簧原长相同，即弹簧的压缩量相同，物体受力平衡，若斜面倾角为θ，则
kΔx=mgsinθ
将物块再缓慢压缩相同距离为Δx2，撤去外力，物体均做简谐运动，振幅均为Δx2，到达最高点时，重力势能最大，为
由于
m1>m2
可知
故D正确；
A．对物体受力分析，初始物块受的弹力大于重力沿斜面的分力，物块加速向上；当物块到达原位置时，合力为0；当物块滑过原位置继续向上时，合力向下，物块减速，即原位置处的动能最大；弹簧和物块组成的系统机械能守恒可知
由动能表达式
得
Δx、Δx2、θ，均相等，即最大速度与质量无关，故A正确；
B．根据简谐振动可知，释放物块瞬间，加速度最大，对物块受力分析可知
kΔx2-mgsinθ=mam
可得最大加速度为
即两种情况下的最大加速度都与质量无关，Δx、Δx2、θ，均相等，即两个物块的最大加速度相等，故B正确；
C．根据简谐振动的振动周期
两物块振动周期相等，因此
t1>t2
C错误。
故选ABD。
训练2（多选）如图所示，轻弹簧上端固定，下端与一质量为m的小球相连。开始时用手托住小球使弹簧恰好为原长，此时小球处于A位置。释放小球使其由静止开始竖直下落，小球经过B点时速度达到最大值，小球能够到达的最低点为C点，运动过程中弹簧始终处于弹性限度内。已知AB间距离为h1，BC间距离为h2，重力加速度为g（不计空气阻力），则下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的劲度系数为
B．小球在位置B时的动能等于mgh1
C．弹性势能的最大值为
D．从A到C过程中小球的机械能一直减小
【答案】ACD
【详解】A．小球经过B点时速度达到最大值，可知在B点时受力平衡，则有
所以
故A正确；
B．小球下降到B位置时，重力势能减小量为mgh1，且减小的重力势能转化为小球的动能和弹簧的弹性势能，则在位置B时的动能小于mgh1，故B错误；
C．在最高点A时小球的重力势能转化为在最低点C时的弹性势能，可知弹性势能的最大值为mg(h1+h2)，故C正确；
D．从A到C过程中，小球的机械能和弹簧的弹性势能之和保持不变，由于弹簧的弹性势能一直变大，则小球的机械能一直减小，故D正确。
故选ACD。
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