江苏省徐州市五县二区2015-2016学年高二下学期期中考试数学（理）试题（含解析）

2015—2016学年度第二学期期中考试
高二数学试题（理科）
一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题
纸的相应位置上
1．复数（是虚数单位）的虚部为___▲___．
答案：1
解析：考查复数的概念
解析：反证法中假设的内容应是原命题的否定
2. 若，则的值为___▲___．
答案：1
3．用反证法证明“已知，证明：”假设的内容应是___▲___．
答案：
解析：（选修2-3课本第24页习题1.3第1题）由或得或
4．两张卡片的正、反两面分别写有；，将这两张卡片排成一排，可以构成___▲___个不同的两位数．
答案：8
解析：
5．用数学归纳法证明，第一步要证的不等式是___▲___．
答案：
解析：选修2-2课本第89页例2改编
6．现有一个关于平面图形的命题：如图，同 ( http: / / www.21cnjy.com )一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部公的体积恒为___▲___．
答案：
解析：如图，易证△OAB≌△OCD，则两个正方形重叠部分的面积为S＝×＝，类比到正方体，两个重叠部分的体积V＝××＝.
7.在(x2＋)5展开式中，常数项为___▲___．
答案：
解析：，当时，
8.观察下列各式：…，则__▲__．
答案：2n-1
9．设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是___▲___．(填写序号)
答案：③
解析：若a＝，b＝，则a＋b>1，
但a<1，b<1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；
若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；
对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1，
则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.
10．将甲、乙、丙、丁四名实习老师分到三个 ( http: / / www.21cnjy.com )不同的班，要求每个班至少分到一名老师，且甲、乙两名老师不能分到同一个班，则不同分法的种数为___▲___．（用数字作答）
答案：30
解析：法一：分成两种情况，①甲和丙丁中的一 ( http: / / www.21cnjy.com )人被分到同一个班或乙和丙丁中的一人被分到同一个班共有2CA＝24种分法；②丙和丁两人被分到同一个班共有A＝6种分法．于是所求的分法总数为24＋6＝30.
法二：将4名老师分到3个不同的班，有CCA，甲、乙两名老师分到同一个班有CA.
∴满足要求的分法有CCA－CA＝30.
11.已知2×1010＋a (0≤a<11)能被11整除，则实数a的值为________．
答案：9
解析：（选修2-3课本第3 ( http: / / www.21cnjy.com )5页例2改编）根据题意，由于2×1010＋a＝2×(11－1)10＋a，由于2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，根据二项式定理展开式可知，2×(11－1)10被11除的余数为2，从而可知2＋a能被11整除，可知a＝9.
12．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有 ▲ 种(用数字作答)．
答案：480
解析：先选出3个位置安排A，B，C，再将D，E，F全排列：CCAA＝480.
13．已知f(x)＝(1＋x)m＋(1 ( http: / / www.21cnjy.com )＋2x)n (m，n∈N*)的展开式中x的系数为11，当x2的系数取得最小值时，f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和为___▲___．
答案：30
解析　由已知得C＋2C＝11，∴m＋2n＝11，
x2的系数为C＋22C＝＋2n(n－1)＝＋(11－m)＝2＋.
∵m∈N*，∴m＝5时，x2的系数取得最小值22，此时n＝3.∴f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3.
设这时f(x)的展开式为f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5
令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33，
令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，
两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60，故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.
14．用红、黄、蓝等种颜色给如下图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为 ▲ (用数字作答)．
答案：
解析：整体采用分类原理，局部采用分步原理
第一类：涂两个红色圆
第二类：涂三个红色圆
故共有种涂色方案
二．解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步奏
15．（本题满分14分）
已知复数是纯虚数．
（1）求实数的值；
（2）若，求复数．
（选修2-2课本第112页练习第4题改编）
解：（1）由题意得 ……………………………………………………………6分
解得m＝0． …………………………………………………………………………8分
（2）当m＝0时，
由，即
得 ……………………………………………………………10分
…………………………………………………………………………………14分
16．（本题满分14分）
若展开式中前三项系数成等差数列，求：
(1)展开式中含x的一次幂的项；
(2)展开式中的所有有理项．
解：(1)由已知可得C＋C·＝2C·，…………2分
解得n＝8或n＝1(舍去)． ………………………………………………………………………4分
， ………………………………………………………6分
令4－k＝1，得k＝4.
所以x的一次项为T5＝C2－4x＝x. ………………………………………………………………7分
令4－k∈Z，且0≤k≤8，则k＝0,4,8…………..8分
所以含x的有理项分别为T1＝x4，T5＝x，T9＝. （每一项2分） ………………………14分
17．（本题满分14分）
若a＞b＞c＞d＞0且a＋d＝b＋c，求证：＋＜＋.
证明：要证＋＜＋
只要证(＋)2＜(＋)2 …………………………………………………………………………2分
只要证a＋d＋2＜b＋c＋2………………4分
因为a＋d＝b＋c
只要证＜
只要证ad＜bc ………………………………………………………………………………………6分
只要证 …………………………………………………………………………………8分
只要证
只要证………………10分
只要证 ………………………………………………………………………………12分
因为，所以上式显然成立
故原不等式成立 …………………………………………………………………………………14分
18．（本题满分16分）
有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子内．
(1)若恰有1个盒子不放球，求不同放法的种数；
(2)若恰有2个盒子不放球，求不同放法的种数．
解：(1) 先选出放球的三个盒子，共种选法；…………2分
再把4个球分成2,1,1的三组，共种分法；…………4分
最后将三个盒子和三组球全排列，共排法，…………6分
由分步计数原理，共有种不同放法． ……………8分
(2)先选出放球的两个盒子，共种选法；…………10分
再将4个球放入选中的两个盒子，共有种放法，…………14分
由分步与分类计数原理，共有种不同放法．……………………………………16分
19．（本题满分16分）
对于定义域为的函数，如果满足存在区间使得在区间上的值域为
，那么函数叫做上的“级矩形”函数．
（1）设函数是上的“级矩形”函数，求常数的值；
（2）证明：函数不是“级矩形”函数．
解：（1）因为是“级矩形”函数，所以在区间上的值域也为 …………………2分
又因为在上单调递增，所以，即为方程的两个不等实数根 …………4分
由知，又因为 ……………………………………………………6分
所以 ………………………………………………………………………………8分
（2）证明：假设函数是“级矩形”函数
即存在区间，使得的值域为 ………………………………………10分
易知在单调递减，所以，即 ……………………………………12分
因为，所以
两式相除得：，即，得，…………14分
与相矛盾所以假设不成立，原命题成立 ………………………………………16分
20．（本题满分16分）
已知函数，其中，记为的导函数，
⑴求；
⑵猜想的解析式并证明．
解：⑴ ………………………………………………………………………2分
……………………………………………4分
……………………………………6分
⑵归纳：
猜想：， ……………………………………8分
证明：①当时，，结论成立； ………………………………………10分
②假设时，结论成立，即 …12分
当时
+ …………………14分
+
所以当时，结论也成立
由①②可知，当时， ………………16分
注　意　事　项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。本卷满分为160分。考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。