3.1 用树状图或表格求概率 用频率估计概率 导学案（无答案）北师大版九年级上册数学

2024年北师大版九年级上册数学导学案 编写：初三数学教研组 2024.07.25
第三章 概率的进一步认识
§3.1 用树状图或表格求概率 用频率估计概率
【学习目标】
1. 学会用树状图和列表法计算涉及两步试验的随机事件发生的概率，提高应用知识解决问题的能力。
2. 经历试验、统计等活动，感受随机现象的特点，进一步发展交流合作的意识和能力。
3. 能用试验频率估计一些随机事件发生的概率，进一步体会概率的意义。
【学习过程】
一、用树状图或表格求概率
当涉及两步以上试验的随机事件发生的概率，一般可以用________________的方法求解随机事件发生的概率。
例1 准备两组相同的牌，每组两张且大小一样，两张牌的牌面数字分别是1和2。从每组牌中各摸出一张牌，称为一次试验。
（1）一次试验中两张牌的牌面数字和可能有那些值？
（2）两张牌的牌面数字和为几的概率最大？
（3）两张牌的牌面数字和等于3的概率是多少？
例2 有三张大小一样而画面不同的画片，先从每一张中间剪开，分成上下两部分；然后把三张画片的上半部分都放在第一个盒子中，把下半部分都放在第二个盒子中。分别摇匀后，从每个盒子中各取一张，求两张恰好能拼成原来一幅图的概率。
例3 有四张规格、质地相同的卡片，它们背面完全相同，正面图案分别是A菱形，B平行四边形，C线段，D角，将这四张卡片背面朝上洗匀后，求：
（1）随机抽取一张卡片图案是轴对称图形的概率是多少；
（2）随机抽取两张卡片（不放回），求两张卡片卡片图案都是中心对称图形的概率，并用树状图或列表法加以说明。
例4 小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成相等的几个扇形。游戏规则是：游戏者同时转动两个转盘，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，那么他就赢了，因为红色和蓝色在一起配成了紫色。
（1）分别利用树状图或列表的方法表示游戏者所有可能出现的结果；
（2）游戏者获胜的概率是多少？
[识记理解1]
1. 掷两枚质地均匀的骰子，求下列事件的概率：（1）至少一枚骰子的点数为1；（2）两枚骰子的点数和为奇数；（3）两枚骰子的点数和大于9；（4）第二枚骰子的点数整除第一枚骰子点数。
2. 甲同学口袋中有三张卡片，分别写着数字1，1，2，乙同学口袋中也有三张卡片，分别写着数字1，2，2。两人各自从自己的口袋中随机摸出一张卡片，若两人摸出的卡片上的数字之和为偶数则甲胜；否则乙胜。请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平。
3. 一个盒子中装有两个红球、两个白球和一个蓝球，这些球除颜色外都相同。从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，若两次摸到的球的颜色分别为红色和蓝色，那么这两个球可以配成紫色。求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率。
二、用频率估计概率
1. 在考察中，每个对象出现的次数称为_________，而每个对象出现的次数与总次数的比值称为_________。某种事件在同一条件下可能发生，也可能不发生，表示发生的可能性大小的量叫做_________。
2. 可以通过多次试验，用一个事件发生的_________来估计这一事件发生的_________。当实验次数很大时，频率比较稳定，稳定在相应的_________附近。
例5 在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中。通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.3，则摸到红球的频率是多少？并估计盒子中大约有红球多少个。
[识记理解2]
1. 一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同。将口袋中搅匀，从中随机摸出一球，记下颜色后再把它放回口袋中搅匀，不断重复上述过程，试验中共摸了100次，发现有69次摸到红球。请你估计这个口袋中红球和白球的数量。
【知能提升】
一、选择题
1. 为做好疫情防控工作，某学校门口设置了，两条体温快速检测通道，该校同学王明和李强均从通道入校的概率是（ ）
A. . B. C. D.
2. 如图，分别旋转两个标准的转盘（若指针指向分割线，则重新转），两个转盘均被平分成三等份，则转得的两个数之积为偶数的概率为（ ）
A. B. C. . D.
3. 从，0，，，3.5这五个数中，随机抽取1个，则抽到无理数的概率是（ ）
A. B. . C. D.
4. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）
A. . B. C. D.
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 一个袋中装有3个红球、5个白球，任意摸出一个球是红球的概率是
B. 某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖.
C. 射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是
D. 小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次出一只手，且至少要出一个手指，两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜，则小李获胜的可能性较大
6. 信阳是河南传统餐饮历史文化名城，信阳菜历经千年的积淀和发展，以鲜、香、爽、醇、中的独特味道传遍大江南北。某游客慕名而来，决定从“筒鲜鱼”“固始鹅块”“石凉粉”“罗山大肠汤”“闷罐肉”这5个特色美食中随机选取2个进行品尝，则他抽到“筒鲜鱼”和“固始鹅块”的概率为（ ）
A. B. C. . D.
7. 王师傅对某批零件的质量进行了随机抽查，并将抽查结果绘制成如下表格，请你根据表格估计，若从该批零件中任取一个，为合格零件的概率为（ ）
随机抽取的零件个数 20 50 100 500 1000
合格的零件个数 18 46 91 450 900
零件的合格率 0.9 0.92 0.91 0.9 0.9
A. 0.9 B. 0.8. C. 0.5 D. 0.1
8. 一只不透明的袋子中装有若干个白球和红球，共计20个，这些球除颜色外都相同。将球搅匀，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回、再搅匀、再摸球，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.3，由此可估计袋子中红球的个数约为（　　）
A. 6. B. 14 C. 5 D. 20
二、填空题
9. 在四张相同的卡片上标有1、2、3、4四个数字，从中任意抽出两张：①两张都是偶数的概率是__________；②第一张为奇数第二张为偶数的概率是__________；③总是出现一奇一偶的概率是__________。
10. 一个盒中装着大小、外形一样的x颗白色弹珠和y颗黑色弹珠，从盒中随机取出一颗弹珠，取得白色弹珠的概率是。如果再往盒中放进12颗同样的白色弹珠，取得白色弹珠的概率是，则原来盒中有白色弹珠_______颗。
11. 有4张除数字外无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4。随机抽取一张记作a，放回并混合在一起，再随机抽一张记作b，组成有序实数对（a，b），则点（a，b）在直线上的概率为_________。
12. 某校学生会在同学中招募志愿者作为校庆活动讲解员，并设置了“即兴演讲”“朗诵短文”“电影片段配音”三个测试项目，报名的同学通过抽签的方式从这三个项目中随机抽取一项进行测试。甲、乙两位同学报名参加测试，恰好都抽到“即兴演讲”项目的概率是__________。
13. 有三张正面分别标有数字，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同。现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数字记为a；不放回，再从中任意抽取一张，将该卡片正面朝上的数字记为b，则使关于x的不等式组的解集中有且只有2个非负整数的概率为__________。
14. 在一个不透明的袋子中有红球和白球共20个，它们除颜色外都相同。每次从袋中随机摸出一个小球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复实验，发现摸出白球的频率稳定在0.3附近。则估计袋子中的白球有_________个。
15. 某鱼塘养了1000条草鱼、500条鲤鱼、若干条鲫鱼，鱼塘主通过多次捕捞试验发现，捕捞到鲫鱼的频率稳定在0.25左右。若鱼塘主随机在鱼塘里捕捞一条鱼，捕捞到草鱼的概率约为_________。
三、解答题
（2024·青岛）16. 甲，乙两人游戏，规则：有标号为1，2，3的3张纸牌，数字朝下。甲先抽一张，记下数字后放回；然后，乙再抽一张，若抽到的数字与甲的数字之和为4时，则重新抽取。若甲、乙抽到的数字之和小于4，则甲获胜；若甲、乙抽到的数字之和大于4，则乙获胜；问游戏公平吗？请画树状图或列表法说明理由。
17. 为了调查九年级学生寒假期间平均每天观看冬奥会时长情况，随机抽取部分学生进行调查，根据收集的数据绘制了如图所示两幅不完整的统计图。
（1）频数分布表中，a＝_________，请将频数分布直方图补充完整；
（2）九年级共有520名学生，请你根据频数分布表，估计九年级学生平均每天观看冬奥会时长超过60分钟的有 　　人；
（3）校学生会拟在甲、乙、丙、丁四名同学中，随机抽取两名同学做“我与冬奥”主题演讲，请用树状图或列表法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率。
（2022·青岛）18. 2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课开讲，航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情。小冰和小雪参加航天知识竞赛时，均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得。小冰和小雪都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享，游戏规则如下：甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五个球，两口袋中的球除编号外都相同。小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编号之和为偶数，则小雪获胜。请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平。
（2023·青岛）19. 有四张反面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上。
（1）从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是____________。
（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回。再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜，这个游戏公平吗？请用列表法（或画树状图）说明理由。纸牌用A、B、C、D表示，若不公平，请你帮忙修改一下游戏规则，使游戏公平。
（2021·青岛）20. 某商场为了吸引顾客，举行抽奖活动，并规定：顾客每购买100元的商品，就可以随机抽取一张奖券，抽得奖券“紫气东来”、“花开富贵”、“吉星高照”，就可以分别获得100元、50元、20元的购物券，抽得“谢谢惠顾”不赠购物券；如果顾客不愿意抽奖，可以直接获得购物券10元，小明购买了100元的商品，他看到商场公布的前10000张奖券的抽奖结果如下：
奖券种类 紫气东来 花开富贵 吉星高照 谢谢惠顾
出现张数（张） 500 1000 2000 6500
（1）求“紫气东来”奖券出现的频率；
（2）请你帮助小明判断，抽奖和直接获得购物券，哪种方式更合算？说明理由。
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