4.1 成比例线段与平行线分线段成比例 导学案（无答案）北师大版九年级上册数学

2024年北师大版九年级上册数学导学案 编写：初三数学教研组 2024.09.16
第四章 图形的相似
§4.1 成比例线段与平行线分线段成比例
【学习目标】
1. 知道线段的比的概念，理解成比例线段的概念，会计算两条线段的比；
2. 掌握成比例线段的判定方法，能熟记比例的基本性质，能够运用比例的性质进行简单的计算和证明；
3. 掌握平行线分线段成比例的性质与推论，培养学生的类比思想，提高推理论证能力。
【学习过程】
一、线段的比与成比例线段
1. 线段的比：一般地，如果选用_____________量得两条线段，的长度分别为，，那么这两条线段的比就是他们长度的比，即，或写成，其中，线段，分别叫做这个线段比的______和______。如果把表示成比值，那么_____________或______________。
注意：（1）两条线段的_______________要统一，在同一单位下线段长度的比与选用的__________无关。
（2）线段的比是一个没有__________的数，而且线段具有__________。
2. 一般地，在四条线段中，如果__________等于__________的比，那么这四条线段叫做______________。
例1 判断下列线段、、、是否是成比例线段。　
（1），，，；（2），，，
[识记理解1]
1. 已知线段，，，是成比例线段，其中，，，求线段的长。
二、比例的基本性质
1. 基本性质：如果，那么____________；如果（a，b，c，d都不等于0），那么_______________。
2. 合比性质：如果，那么_____________________；
3. 等比性质：如果（），那么_____________________。
例2 如图，一块矩形绸布的长m，m，按照图中所示的方式将它裁相同成的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的长与宽的比与原绸布的长与宽的比相同，即，那么的值应当是多少？
[识记理解2]
1. 已知，且，则与的比是____________________。
2. （1）若，则=__________；（2），则=__________；
（3），则=__________；（4）若，则= __________。
3. （1）若，则= __________；（2）如果，那么__________。
三、平行线分线段成比例
1. 定理内容：_____________________________________________，符号语言：__________________________。
2. 推论内容：_____________________________________________，符号语言：__________________________。
例3 如图，，，，，。求、、的长。
例4 如图，直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、，且，已知，，求的长。
例5 如图，在中，，，求证：。
例6 如图，在中，是边上的中线，直线，交于点，交的延长线于点，交于点。求证：。
[识记理解3]
1. 如图，在中，已知，，且，求的长。
2. 如图，在中，为上一点，为延长线上一点，且。求证：。
3. 已知：点，分别为的边，上的点，，求证：。
【知能提升】
一、选择题
1. 已知线段、、、满足，把它改写成比例式，错误的是（ ）
A. B. . C. D.
2. 三线段、、中，的一半的长等于的四分之一长，也等于的六分之一长，那么这三条线段的和与的比等于（ ）
A. 1:6 B. 6:1 C. 1:3 D. 3:1
3. 如图，直线，直线AC交、、于点、、，直线交l1、l2、l3于点、、，已知，若，则的长是（ ）
A. 　　　　　　 B. 4　　　　　　 C.　　　　　　 D. 7
第3题图 第4题图
4. 如图，直线，直线、分别交、、于点、、、、、，且，，，则的长为（ ）
A. 0.9　　　　　　 B. 1.6　　　　　　 C. 2.8　　　　　　 D. 2.1
5. 如图，在中，点，分别为边，上的点，且，若，，，则的长为（ ）
A. 3　　　　　　 B. 　　　　　　 C. 4　　　　　　 D.
6. 如图，已知点、分别是的边、上的点，且，点是边上的点，与交于点，则下列结论中错误的是（ ）
A. 　　　 B. 　　　　 C. 　　　　　 D.
第5题图 第6题图 第7题图
7. 如图，，，则的值是（ ）
A. 　 B. 　 C. 　 D.
二、填空题
8. 已知，则=____________。
9. 若，则____________。
10. 如图，已知，若，，，则的长为____________。
第10题图 第11题图 第12题图
11. 如图，，cm，cm，cm，则____________。
12. 如图，在中，点为AC上一点，且，过点作交于点，连接，过点作交于点。若，则EF=____________。
三、解答题
13. 已知，在Rt中，，，斜边。求：（1）；（2）。
14. 已知某一时刻物体高度与其影长的比值为，某天同一时刻测得一栋楼的影长为30米，则这栋楼的高度为多少？
15. 已知：如图，在中，的平分线交于点，过点作交的延长线于点。
求证：（1）；（2）
16. 如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、。
（1）如果，，，求的长；
（2）如果，，求的长。
17. 如图，在矩形中，是边延长线上的点，且，与相交于点，，，求及的长。
18. 如图，在中，点在边上，点、在边上，，，求证：。
19. 如图，在中，，于，点为的中点，的延长线交于。求证：。
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