4.2 相似多边形与相似三角形的判定定理 导学案（无答案）北师大版九年级上册数学

2024年北师大版九年级上册数学导学案 编写：初三数学教研组 2024.10.19
第四章 图形的相似
§4.2 相似多边形与相似三角形的判定定理
【学习目标】
1. 掌握相似三角形和相似多边形的概念，并灵活运用相似三角形的判定定理证明和解决有关问题；
2. 掌握黄金分割的基本概念，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力。
【学习过程】
一、相似多边形的定义、判定与性质
1. 定义：各角分别______________，各边_____________的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形的对应边的比叫做_____________，通常用_____来表示。
2. 性质：相似多边形的对应角___________，对应边_____________。
3. 判定：如果两个多边形的对应角___________，对应边的比___________，那么这两个多边形相似。
例1 如图，矩形的长，宽。
（1）如图①，若沿矩形四周有宽为2的环形区域，图中所形成的两个矩形与相似吗？请说明理由。
（2）如图②，为多少时，图中的两个矩形相似？
[识记理解1]
1. 将一张报纸对折后的半张报纸和整张报纸相似，则整张报纸的宽与长的比为多少？
二、相似三角形的判定定理
1. 判定定理1：_____________________________________________________________________________。
例2 如图，和的边、相交于点，且，点在上，求证：。
[识记理解2]
1. 如图，在正方形中，，是边上不与、重合的任意一点，于，当点在上变动时，线段也随之变化。
（1）证明：；（2）设，，求与之间的函数关系式。
2. 如图，在四边形中，平分，，为的中点。
（1）求证：；（2）求证：；（3）若，，求。
2. 判定定理2：_____________________________________________________________________________。
例3 如图，在正方形中，、分别是边、上的点，，，连接并延长交的延长线于点。
（1）证明：；（2）若正方形的边长为4，求的长。
[识记理解3]
1. 如图，点、在线段上，是等边三角形。
（1）当、、满足什么数量关系时，？
（2）当时，求的度数。
2. 在四边形中，，，，，是的中点，求证：。
3. 如图，在平面直角坐标系中，已知cm，cm。点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动；点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动。如果、同时出发，用（秒）表示移动的时间（），当为何值时，与相似？
3. 判定定理3：_____________________________________________________________________________。
例4 已知与相似，，，，，，求的长。
[识记理解4]
1. 如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，和的顶点都在方格纸的格点上。
（1）判断和是否相似，并说明理由；
（2），，，，，，是边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与相似（要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连接相应线段，不必说明理由）
2. 如图，在和中，，点、、在一条直线上，求证：。
三、黄金分割
一般地，点把线段分成两条线段和两段（），如果________________，那么线段被点黄金分割，点叫做线段的_______________，与的比叫做_______________。
例5 勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉。生活中到处可见黄金分割的美。在设计人体雕像时，使雕像的下部（腰以下）与全部（全身）的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感。按比例，如果雕像的高为2 m，那么它的下部设计高度约为多少？（结果保留小数点后两位）
[识记理解5]
1. 已知是线段的黄金分割点，且，求的长。
【知能提升】
一、选择题
1. 如图所示，在长为8 cm，宽为6 cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（ ）
A. 28 cm2 B. 27 cm2 C. 21 cm2 D. 20 cm2
第1题图 第2题图
2. 如图所示的两个四边形相似，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，、分别是边、上的点，，若，，，则的长是（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
第3题图（第4题图）
4. 如图，在中，点、分别在边、上，下列条件中能判断的是（ ）
①；②；③；④。
A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④
5. 如图，为的边上一点，要使，应该具备下列条件中的（ ）
A. B. C. D.
第5题图 第6题图
6. 如图，的两条中线，交于点，则下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. D.
7. 有以下命题：①如果线段是线段，，的第四比例项，则有；
②如果点是线段的中点，那么是、的比例中项；
③如果点是线段的黄金分割点，且，那么是与的比例中项；
④如果点是线段的黄金分割点，，且，则。其中正确的判断有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
（2019·全国高考理科数学I卷）8. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此。此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是。若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是（ ）
A. 165 cm B. 175 cm C. 185 cm D. 190 cm
9. 已知的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，的一边长为4 cm，当这两个三角形相似时，的另两边长可以是（ ）
A. 2 cm，3 cm B. 4 cm，5 cm C. 5 cm，6 cm D. 6 cm，7 cm
10. 如图，点在上，点在上，，，下列结论正确的是（　　）
A. B. C. D.
第10题图
二、填空题
11. 如图，在平行四边形中，点是边上一点，且，交于点，则_______。
第11题图 第12题图
12. 如图，、交于点，于点，于点，若，，，则_______。
13. 如图，于点，于点，与交于点，，，，则______。
第13题图 第14题图
14. 如图，，，，，则的长为_________。
15. 如图，，若，，，则_________。
第15题图 第16题图
16. 如图，矩形中，，，点是边上一点，若与相似，则_______。
17. 如图，在矩形中，，，为边上的动点。当时，的长为_________。
第17题图 第18题图
18. 如图，添加一个条件：____________________，使（写出一个即可）。
19. 如图，在中，，，，点，分别在，上，将沿折叠，点的对应点刚好落在上。当时，的长为_________。
第19题图
20. 我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形。黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计。已知四边形是黄金矩形，边的长度为，则该矩形的周长为__________________。
21. 在某一温度中，人体的新陈代谢水平处于最佳状态，这个温度与人体的正常体温（37 ℃）的比值正好是黄金比，那么这个使人新陈代谢水平处于最佳状态的温度约是_________℃（精确到0.1 ℃）。
22. 如图所示，顶角为的第一个黄金三角形的腰，底边与腰之比为，为第二个黄金三角形，依此类推，第2024个黄金三角形的周长为__________。
第22题图
三、解答题
23. 如图，在等边三角形中，点、分别在、上，且，求证：。
24. 如图，正方形的边长为6，点是边上的一个动点，过点作交边于点，当时，求的长。
25. 已知：如图，是边上的一点，且。求证：。
26. 如图，点、在线段上，是等边三角形，且，，。求证：。
27. 如图，点在平行四边形的边上，连接并延长与的延长线交于点。
（1）求证：；
（2）当，且时，求的长。
28. 如图，已知中，，，，点为的中点，在线段上取点，使与相似，求的长。
29. 如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且。
（1）与相等吗？为什么？
（2）判断与是否相似，并说明理由。
30. 如图所示，在矩形中，cm，cm。点沿边从点开始向点以2 cm/s的速度移动，点沿边从点开始向点以1 cm/s的速移动，如果、同时出发，用(s)表示移动的时间（）。
（1）当为何值时，为等腰直角三角形；
（2）求四边形的面积；
（3）当t为何值时，与相似。
31. 如图，在中，点在边上，且，已知，。
（I）求的度数；
（II）我们把有一个内角等于的等腰三角形称为黄金三角形。它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比。
（1）写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
（2）求的长。
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