4.3 常见相似三角形的模型 相似三角形的性质 导学案（无答案）北师大版九年级上册数学

2024年北师大版九年级上册数学导学案 编写：初三数学教研组 2024.10.25
第四章 图形的相似
§4.3 常见相似三角形的模型 相似三角形的性质
【学习目标】
1. 掌握相似三角形的性质的对应高，对应中线，对应角平分线的比存在的等量关系；
2. 进一步巩固三角形相似的判定定理，并能进行相应性质的推导，并能熟练运用三角形相似的性质进行量的计算；
3. 通过计算相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系，探究相似三角形的性质定理，发展学生数学运算与归纳概括能力。
【学习过程】
一、常见相似三角形的模型
1. 平截型
如图，，则称为“_________”的相似三角形，常见的有_________、_________。
类型 A字型 8字型 A字型
图形
2. 斜截型
如图，，则称为“_________”的相似三角形，常见的有_________、_________。
类型 斜A型（不共边） 斜A型（共边） 斜A型（燕尾型） 斜8型
图形
常用结论
3. 双垂直型（子母型）
如图，在Rt中，，则称为“_________”的相似三角形。
类型 双垂直型（子母型）
图形
（1）等面积原理：_______________________________________________________________。
（2）射影定理
①由______________________，得_______________________，即________________________；
②由______________________，得_______________________，即________________________；
③由______________________，得_______________________，即________________________。
4. 一线三等角型
如图，，则称为“_________”的相似三角形，常见的有_________、_________、_________。特别地，当为中点时，连接，此时有___________________________。
类型 一线三等锐角型 一线三等直角型 一线三等钝角型
图形
常用结论 特别地，当为中点时，、平分、。
特别地，当为中点时，平分。
5. 三平行型
如图，，则，，称为“_________”的相似三角形，它是结合了平截型中的所有模型的一种模型。
类型 三平行型
图形
常用结论 ；
6. 旋转型
如图，，，则，称为“_________”的相似三角形。
类型 旋转型
图形
7. 半角型
如图，。
在图1中，是等腰直角三角形，则，有；
在图2中，是等边三角形，则，有。
此时称为“_________”的相似三角形，常见的有_______________、_______________。
类型 含有的半角型 含有的半角型
图形 图2
例1 四边形中，，且，，分别是，的中点，与相交于点。
（1）求证：；
（2）若，求。
例2 在中，，，于。求证：。
例3 如图，为线段的中点，与交于点，，且交于，交于。
（1）求证：；
（2）连接，如果，，，求的长。
例4 在正方形中，为边的中点，、分别为、边上的点，若，，，求点到的距离。
[识记理解1]
1. 如图，在中，，分别是，的中点，，交于点F。求证：。
2. 如图，在中，、的角平分线相交于点，过引的垂线，与边，分别相交于、。求证：。
3. 如图，在梯形中，，对角线、交于点，点在上，且，已知，，求的长。
二、相似三角形的性质
1. 相似三角形的对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线）与相似比的关系：________________________。
2. 相似三角形的周长比与相似比的关系：____________________________________________________________。
3. 相似三角形的面积比与相似比的关系：____________________________________________________________。
例5 如图，在中，，，分别是边和上的点，且，，求的值。
例6 如图，将沿方向平移得到，与重叠部分（图中阴影部分）的面积是的面积的一半。已知，求平移的距离。
例7 如图，在正方形中，是的中点，与交于点，求与的面积之比。
[识记理解2]
1. 如图，在中，是高，，分别交、、于点、、，，求的值。
2. 若，，边上的中线cm，的周长为20 cm，的面积是64 cm2，求：
（1）边上的中线的长；
（2）的周长；
（3）的面积。
3. 如图，在中，，，垂足为，是的中点，的延长线与的延长线交于点。
（1）求证：；
（2）如果，，求。
【知能提升】
一、选择题
1. 如图，在中，，D是上一点，于点，若，，，则的长为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2. 如图，在中，，，平分，，那么在下列三角形中，与相似的三角形是（ ）
A. B. 和 C. D. 不存在
第1题图 第2题图
3. 如图， 中，是延长线上一点，交于，交于，则图中所有相似三角形有（ ）
A. 4对 B. 5对 C. 6对 D. 7对
第3题图 第4题图
4. 如图，在中，，分别是，上的点，在下列条件下：①；②；③，能判定与相似的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①
5. 如图，在中，点，分别是，的中点，则下列结论：①；②；③，其中正确的有（ ）
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
第5题图 第6题图
6. 如图，已知，则不一定能使的条件是（ ）
A. B. C. D.
7. 如果两个相似三角形对应角平分线之比是，那么它们的对应边之比是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，电灯在横杆的正上方，在灯光下的影长为，，m，m，点到的距离是3 m，则点到的距离是（ ）
A. m B. m C. m D. m
第8题图 第9题图
9. 如图，，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. 如果两个相似三角形的周长比是，那么它们的面积比是（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，，分别是的边，上的点，且，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
第11题图 第12题图
二、填空题
12. 如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且，下列结论：①；②；③；④。其中正确的个数为________个。
13. 如图，，且，，则与的相似比是________。
第13题图 第14题图
14. 如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，则的面积与的面积之比为________。
15. 如图，在Rt中，，于点，，，则_____，______。
第15题图 第16题图
16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，以为边在第二象限内作矩形，使，则点的坐标为______________，点的坐标为______________。
三、解答题
17. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，且，，，，，求的长。
18. 如图，在中，cm，cm，点从点出发沿方向以4 cm/s的速度向点运动，同时点从点出发沿方向以3 cm/s的速度向点运动，设运动时间为s。
（1）当时，求；
（2）能否与相似？若能，求出的长；若不能，请说明理由。
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