4.4 相似三角形的应用 导学案（无答案）北师大版九年级上册数学

2024年北师大版九年级上册数学导学案 编写：初三数学教研组 2024.11.14
第四章 图形的相似
§4.4 相似三角形的应用
【学习目标】
1. 能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量的物体的高度（如测量旗杆高度问题）等的一些实际问题；
2. 能综合应用三角形相似的判定条件和性质解决动点和折叠问题，加深对相似三角形的理解和认识；
3. 通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力。
【学习过程】
一、利用相似三角形测量高度
1. 利用“同一时刻的物高与影长成比例”构造相似三角形
从图1中可以看出人与阳光下的影子和旗杆与阳光下的影子构成了两个相似三角形，即__________________。需测量的数据是____________________________________。
2. 利用“视线、标杆和物高”构造相似三角形
如图2，当旗杆顶部、标杆的顶端与眼睛恰好在一条直线上时，因为人所在直线与标杆、旗杆都平行，过眼睛所在点作旗杆的垂线交旗杆于，交标杆于，于是得__________________。需测量的数据是____________________________________。
3. 利用“平面镜中入射角与反射角相等”构造相似三角形
如图3，此时涉及到物理上的反射镜原理，观测者看到旗杆顶端在镜子中的像是虚像，是倒立旗杆的顶端，于是得相似三角形________________或________________。需测量的数据是__________________________。
例1 小玲用下面的方法来测量学校教学大楼的高度：如图，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离米。当她与镜子的距离米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端。已知她的眼睛距地面高度米。请你帮助小玲计算出教学大楼的高度（根据光的反射定律：反射角等于入射角）。
例2 赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，求学校旗杆的高度。
[识记理解1]
1. 如图，九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度m，标杆与旗杆的水平距离m，人的眼睛与地面的高度m，人与标杆的水平距离m，求旗杆的高度。
2. 如图，为了测量一栋楼的高度，小明同学先在操场上处放一面镜子，向后退到处，恰好在镜子中看到楼的顶部；再将镜子放到处，然后后退到处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部（，，，，在同一条直线上），测得m，m，如果小明眼睛距地面高度，为1.6 m，试确定楼的高度。
二、相似三角形中的动点问题
例3 如图，在矩形中，，。直角尺的直角顶点在上滑动时（点与，不重合），一直角边经过点，另一直角边交于点。
（1）求证：RtRt；
（2）是否存在点，使的周长等于周长的2倍？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由。
例4 如图，在钝角中，cm，cm，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止，点运动的速度为1 cm/秒，点运动的速度为2 cm/秒，如果、同时出发，用（秒）表示移的时间（），当为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似？
[识记理解2]
1. 如图，在中，cm，cm，点从点出发，沿着以每秒4 cm的速度向点运动；同时点从点出发，沿以每秒3 cm的速度向点运动，设运动时间为秒。
（1）当时，求的值；
（2）当为何值时，；
（3）是否存在某一时刻，使与相似？若存在，求出此时的长；若不存在，请说理由。
2. 如图，在Rt中，，，，为的中点；在上有一点，直线和直线交于点，。
（1）当在的延长线上时，记，试求关于的解析式，并求出的取值范围；
（2）当取什么值的时候，和相似？
3. 如图所示，在中，cm，cm，动点从点开始沿边以1 cm/s的速度向点运动，动点从点开始沿边以2 cm/s的速度向点运动，如果，两点同时出发，经过多长时间，与相似？
三、相似三角形中的折叠问题
例5 如图，矩形中，，，为中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处，求折痕的长。
例6 在矩形中，，，取中点，连接、，将沿翻折至，过点作于，求的值。
[识记理解3]
1. 如图，在Rt中，，，，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折，点落在线段上的处，连接。当为等腰三角形时，求的长。
2. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴和轴上，，，是的中点，将沿直线折叠后得到，延长交于点，连接，求点的坐标。
【知能提升】
一、选择题
1. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（ ）
A. 五丈 B. 四丈五尺 C. 一丈 D. 五尺
2. 如图是小明测量某古城墙高度的示意图，点处放一水平的平面镜，然后退至点，从点经平面镜刚好看到古城墙的顶端处，已知，，且测得米，米，米，那么该古城墙的高度是（ ）
A. 6米 B. 8米 C. 18米 D. 24米
第2题图
3. 如图，正方形中，，点在边上，且。将沿对折至，延长交边于点，连结、。下列结论：①；②；③；④；⑤。其中正确结论的个数是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5.
第3题图 第4题图
4. 如图，在矩形纸片中，点、分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿、折叠，点落在处，点落在处，点、、恰好在同一直线上，若，，，则的长是（ ）
A. 2. B. C. D. 3
5. 如图，在Rt中，，点是的中点，连接，将沿翻折得到，与交于点，连接。若，，则点到的距离为（ ）
A. B. C. D. .
第5题图 第6题图
6. 如图，在中，，，点，在直线同侧，且，，点是线段延长线上的动点。若和相似，则线段的长为（ ）
A. B. C. 或3. D. 或4
7. 如图，在四边形中，，，，且，点是边上的动点，当、、两两相似时，则的值为（ ）
A. B. C. 或 D. 或1.
第7题图 第8题图
8. 如图，在Rt中，，，点是上的一个动点（不与点，重合），连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，与相交于点，连接，则图中与全等或相似的三角形有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个. D. 4个
二、填空题
9. 小明用这样的方法来测量某建筑物的高度：如图，在地面上放一面镜子，调整位置，直至刚好能从镜子中看到建筑物的顶端。如果此时小明与镜子的距离是2 m，镜子与建筑物的距离是20 m。他的眼睛距地面1.5 m，那么该建筑物的高是_________m。
第9题图 第10题图
10. 如图，王华晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为1米，继续往前走3米到达处时，影子的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯的高度为_________米。
11. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条直角边cm，cm，测得边离地面的高度m，m，则树高_________m。
第11题图 第12题图
12. 如图所示，在中，，cm，cm，点从开始沿边向点以2 cm/s的速度移动；点从开始沿边向点以1 cm/s的速度移动，如果，同时出发，用(s)表示时间（），那么当___________s时，以，，为顶点的三角形与相似。
13. 如图，平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴，轴上，A点的坐标为，点在矩形的内部，点在边上，满足，当是等腰三角形时，点坐标为__________。
第13题图 第14题图
14. 如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，点在上，将沿折叠，点恰好落在线段上的处，有下列结论：①；②；③；④。其中正确的是__________。
15. 如图，在矩形中，，，对角线，相交于点，点为边上一动点，连接，以为折痕，将折叠，点的对应点为点，线段与相交于点。若为直角三角形，则的长__________。
第15题图 第16题图
16. 如图，四边形中，，，，，，点为边上一动点，若与是相似三角形，则的长为_____________。
三、解答题
17. 如图所示，、为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5 m，小明站在处，小亮站在处，小明在路灯下的影长为2 m，已知小明身高1.8 m，路灯高9 m。小明在路灯下的影子顶部恰好位于路灯的正下方，小亮在路灯下的影子顶部恰好位于路灯的正下方。
（1）计算小亮在路灯下的影长；
（2）计算的高。
18. 阅读理解：如图①，在四边形的边上任取一点（点不与、重合），分别连接、，可以把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把叫做四边形的边上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形的边上的“强相似点”。解决问题：
（1）如图①，，试判断点是否是四边形的边上的相似点，并说明理由；
（2）如图②，在矩形中，、、、四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形的边上的强相似点；
（3）如图③，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，若点恰好是四边形的边上的一个强相似点，试探究与的数量关系。
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