6.2 反比例函数的应用及反比例函数和一次函数的结合 导学案 （无答案）北师大版（2024）数学九年级上册

2024年北师大版九年级上册数学导学案 编写：初三数学教研组 2024.08.07
第六章 反比例函数
§6.2 反比例函数的应用及反比例函数和一次函数的结合
【学习目标】
1. 利用反比例函数解决实际问题，并清楚自变量的取值；
2. 进一步加深图像与函数的关系，明确两函数表达式之间的关系。
【学习过程】
一、反比例函数的简单应用
例1 学校的学生专用智能饮水机里水的温度（℃）与时间（分）之间的函数关系如图所示，当水的温度为20 ℃时，饮水机自动开始加热，当加热到100 ℃时自动停止加热（线段），随后水温开始下降，当水温降至20 ℃时（为双曲线的一部分），饮水机又自动开始加热……根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）分别求出饮水机里水的温度上升和下降阶段与之间的函数表达式；
（2）下课时，同学们纷纷用水杯去盛水喝。此时，饮水机里水的温度刚好达到100 ℃。据了解，饮水机1分钟可以满足12位同学的盛水要求，学生喝水的最佳温度在30 ℃～45 ℃，请问在大课间30分钟时间里有多少位同学可以盛到最佳温度的水？
[识记理解1]
为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒。已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例，药物燃烧后，与成反比例（如图）。现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时与药物燃烧后，关于的函数关系式；
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过几分钟后，员工才能回到办公室；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
二、反比例函数与一次函数的综合
例2 已知，反比例函数和一次函数，其中一次函数的图象经过点。
（1）试求反比例函数的表达式；
（2）若点在第一象限，且同时在上述两函数的图象上，求点的坐标。
例3 如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限内的图象交于和两点。
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当一次函数的值大于反比例函数的值时，写出自变量的取值范围；
（3）求面积。
[识记理解2]
1. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，一次函数和反比例函数的图象交于，两点。若，则的取值范围是_____________。
【知能提升】
一、选择题
1. 已知电流（安培）、电压（伏特）、电阻（欧姆）之间的函数关系为。当电压为定值时，关于的函数图象是（ ）
A. 　 B. 　 C. 　 D.
2. “科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现。科学证实：近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（m）成反比例函数关系。若500度近视眼镜片的焦距为0.2 m，则表示与函数关系的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，其中点坐标为，则，的值为（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
4. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列关于反比例函数的描述，其中正确的是（ ）
A. 当时， B. 随的增大而减小 C. 图像在第二、四象限 D. 图像关于直线对称
6. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强(kPa)是气球体积(m3)的反比例函数，其图像经过点。当气球内的气压大于144 kPa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，该气球的体积应（ ）
A. 不大于m3 B. 不小于m3 C. 不大于m3 D. 不小于m3
7. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，，若，，过点作轴，垂足为，连接，则的面积是（ ）
A. 2 B. C. 3 D. 6
8. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，轴，交轴于点，在射线上取点，且，若，则的值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
二、填空题
9. 已知反比例函数，当时，的取值范围是______________。
10. 我国自主研发多种新冠病毒有效用药已经用于临床救治。某新冠病毒研究团队测得成人注射一针某种药物后体内抗体浓度y（微克/mL）与注射时间天之间的函数关系如图所示（当时，与是正比例函数关系；当时，与是反比例函数关系）。则体内抗体浓度高于70微克/mL时，相应的自变量的取值范围是___________。
第10题图 第11题图
11. 如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴交于、两点，与双曲线交于点，过点作轴，垂足为，且，则以下结论：①；②当时，；③当时，；④当时，随的增大而增大，随的增大而减小。其中正确结论的是____________。
三、解答题
12. 一艘载满货物的轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度（吨/天）随卸货天数（天）的变化而变化。已知与是反比例函数关系，图像如图所示。
（1）求与之间的函数表达式；
（2）由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过6天卸载完毕，那么平均每天至少要卸货多少吨？
13. 已知学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如下图所示，当和时，函数图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分，轴。
（1）求点坐标；
（2）当满足什么条件时，学生注意力指标不低于30。
14. 如图，一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，与反比例函数的图象交于，两点，若，点的纵坐标为3。
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的面积。
15. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点。
（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；
（2）点在轴上，连接，，若的面积为18，求满足条件的点的坐标。
16. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的坐标为，点的坐标为。
（1）根据图象，直接写出满足的的取值范围；
（2）求这两个函数的表达式；
（3）点在线段上，且S△AOP : S△BOP＝1:2，求点的坐标。
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