1.2 矩形的性质与判定 导学案 （无答案）北师大版（2024）数学九年级上册

2024年北师大版九年级上册数学导学案 编写：初三数学教研组 2024.09.14
第一章 特殊的平行四边形
§1.2 矩形的性质与判定
【学习目标】
1. 经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解矩形的定义，并探究归纳出矩形的性质；
2. 总结归纳矩形与平行四边形的关系，运用综合法掌握对矩形的判定，发展合情的推理能力；
3. 体会矩形的轴对称性，并能运用矩形的性质和判定解决计算与证明问题，进一步发展逻辑推理能力。
【学习过程】
一、矩形的定义与性质
1. 定义：矩形是一种特殊的____________，____________________的平行四边形是矩形。
2. 性质
（1）边的性质：________________________________________________________________________。
（2）角的性质：________________________________________________________________________。
（3）对角线的性质：____________________________________________________________________。
（4）对称性：矩形是____________图形，也是____________图形。
例1 如图，矩形两对角线交于点，，，求、的长及矩形的面积。
例2 如图，在矩形中，点在上，，，垂足为。
（1）求证：；
（2）若，，求的长。
例3 如图，点为矩形内一点，且。求证：。
[识记理解1]
1. 如图，矩形的周长为18 cm，是的中点，且，求矩形两邻边的长。
2. 如图，在矩形中，为边的中点，连接，的延长线和的延长线相交于点。
（1）求证：；
（2）连接，与相交于点，若△的面积为2，求矩形的面积。
3. 如图，在矩形中，是对角线的中点，过点作分别交，于点，。
（1）求证：；
（2）若，，求的长。
4. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，。求的长。
二、矩形的判定
1. 平行四边形判定方法
（1）角的关系：___________________________________的平行四边形是矩形。
（2）对角线的关系：_______________________________的平行四边形是矩形。
2. 四边形判定方法
（1）角的关系：___________________________________的四边形是矩形。
例4 如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，且，连接、。
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，，，求的长。
例5 如图，等腰中，，、分别是边、上的中线，与相交于点，点，分别为线段和的中点。求证：四边形是矩形。
例6 如图，在中，，是△的一条角平分线，是△外角的平分线，，垂足为点。
（1）求证：四边形为矩形；
（2）连接，交于点，请判断四边形的形状，并证明；
（3）线段与有怎样的关系？请写出你的结论，并证明。
[识记理解2]
1. 如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，连接。
（1）求证：；
（2）若，求证：四边形是矩形。
2. 如图，在四边形中，、相交于点，，，。
（1）如图1，求证：四边形为矩形；
（2）如图2，是边上任意一点，，，、分别是垂足，若，，求的值。
3. 如图，直线与交于点，，分别是和的平分线，于点，于点。求证：四边形是矩形。
4. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，是中点，连接。过点作交的延长线于点，连接。求证：（1）；（2）四边形是矩形。
三、矩形性质与判定的综合应用
1. 折叠问题（全等原理）：折叠前后的图形是__________的，是完全对称的。
2. 动点问题
（1）在直角三角形中，注意特殊的角度和边，同时直角三角形斜边上的中点________________________。
（2）利用矩形的对称性：矩形既是____________图形，也是____________图形。
例7 如图，四边形是矩形，把矩形沿折叠，点落在点处，与的交点为，连接。求证：（1）；（2）。
例8 如图，在矩形中，cm，、、、分别从、、、出发沿、、、方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时即停止，已知在相同时间内，若cm（），则cm，cm，cm。
（1）当为何值时，点的运动停止；
（2）点与点可能相遇吗？点与点呢？请通过计算说明理由；
（3）当为何值时，以、Q、、为顶点的四边形是平行四边形？
例9 如图，在中，为边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且。连接。
（1）与有什么数量关系？请说明理由；
（2）当满足什么条件时，四边形是矩形？并说明理由。
[识记理解3]
1. 如图，将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，若，。求的长。
2. 如图，在矩形中，，，点是边上一点（不与、重合），连接，过点作交边于点，连接。
（1）当时，求的长；
（2）取的中点，连接，，，求的长。
3. 如图，平行四边形中，、分别为和的中点。
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当的边、满足什么数量关系时，四边形是矩形，请说明理由。
【知能提升】
一、选择题
1. 在下列条件中，能够判定为矩形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列命题为假命题的是（ ）
A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形
C. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D. 一个角是直角的四边形是矩形
3. 已知在平面直角坐标系中，矩形的三个顶点的坐标为，，，则第四个顶点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
4. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A. 对边互相平行 B. 对边相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分
5. 如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为时，的大小为（ ）
A. B. C. D.
第5题图 第6题图
6. 如图，中，是对角线、的交点，△是等边三角形，若，则平行四边形的面积是（ ）
A. 16 B. C. D.
7. 如图，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，，则的长是（ ）
A. B. 2 C. D.
第7题图 第8题图
8. 如图，四边形是矩形，，。已知，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在矩形中，cm，cm，点为上的一点，平分，则的长为（ ）
A. 3 cm B. 4 cm C. 5 cm D. 6 cm
10. 如图，矩形的顶点在矩形的边上，矩形的周长为10，对角线为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 6 B. 5 C. 3 D. 10
第9题图 第10题图
11. 如图，为矩形外一点，，，则的面积是（ ）
A. 3 B. 4 C. 1.5 D. 2.5
第11题图 第12题图
12. 如图，在矩形中，以对角线为斜边作Rt，过点作于点，连结，若，，，则矩形的面积为（ ）
A. 18 B. 19 C. 20 D. 21
13. 如图，在Rt中，，为中线，点为的中点，点为的中点。若，，则的长为（ ）
A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4
第13题图 第14题图
14. 如图，在中，，，，点为边上一动点，于，于，点为中点，则的最小值为（ ）
A. 2.4 B. 4.8 C. 6 D. 8
15. 如图，将矩形纸片沿折叠，使点落在对角线上的处，若，则等于（　　）
A. B. C. D.
第15题图 第16题图
16. 如果点的坐标为，点的坐标为，则线段中点坐标为。这是小白在一本课外书上看到的一种求线段中点坐标的方法，请你利用这种方法解决下面的问题：如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，四边形是菱形，的坐标为。若直线把矩形和菱形组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
17. 如图所示，四边形为矩形，，已知，则__________。
第17题图 第18题图
18. 如图，点是矩形中边上一点，将沿折叠为，点落在上，若，则__________。
19. 如图，在矩形中，cm，cm，、分别是、的中点，则到的距离是_____cm。
第19题图 第20题图
20. 如图，点为矩形的边长上的一点，作于点，且满足。下面结论：①；②；③；④，其中正确的结论是_____________。
21．如图，在矩形中，对角线、相交于点，垂直平分交于点，若，则的长为__________。
第21题图 第22题图
22. 如图，在矩形纸片中，，，点在边上，将沿折叠，点落在点处。、分别交于点、，且，则的长为___________。
23. 如图，矩形中，，，点，，，分别在矩形各边上，且，，则四边形周长的最小值为__________。
24. 如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交、于点，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为__________。
第23题图 第24题图
25. 如图，在矩形中，cm，cm，点从点向点以每秒1 cm的速度运动，Q以每秒4 cm的速度从点出发，在、两点之间做往返运动，两点同时出发，点到达点为止（同时点Q也停止），当运动时间为_______________时，、Q、、四点组成矩形。
第25题图 第26题图
26. 如图，四边形是矩形，，，点在第二象限，则点的坐标是___________。
三、解答题
27. 如图，矩形的对角线、相交于点，，。
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积。
28. 如图，在矩形中，为对角线的中点，过点作直线分别与矩形的边，交于，两点，连接，。
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，且，求的长。
29. 如图，在四边形中，对角线，相交于点，，，且。
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的度数。
30. 如图，在平行四边形中，于点，延长至点，使得，连接，。
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，，求的长。
31. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分交于点，连接。
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求；
（3）在（2）的条件下，若，求的面积。
32. 如图，过边的中点，作，交于点，过点作，与的延长线交于点，连接，。若平分，于点。
求证：（1）；（2）四边形是矩形。
33. 如图，为矩形的对角线，于点，于点。
（1）求证：；
（2）求证：四边形是平行四边形。
34. 如图，在中，对角线与相交于点，点，分别为，的中点，延长至，使，连接。
（1）求证：；
（2）当与满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由。
35. 如图，在中，，cm，cm，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发，相向而行，速度均为8 cm/s，运动时间为秒。
（1）若、不重合，、分别在，上，且cm，cm。求证：以、、、为顶点的四边形始终是平行四边形；
（2）若、分别是，的中点，试问当为何值时，以、、、为顶点的四边形是矩形；
（3）若、分别是折线，上的动点，分别从、开始，与、相同的速度同时出发，试问当为何值时，以、、、为顶点的四边形是菱形。
矩形的性质与判定 第1页（共7页）