(共18张PPT)
第六章 一元一次方程
六年级下册
3 一元一次方程的应用
第1课时 一元一次方程的应用——倍分问题
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
1.王晨今年12岁，去年他 岁，明年他 岁.
2.王晨今年12岁，年后他 岁,年前 岁.
3.老师今年29岁，年后 岁，年前 岁.
你发现了什么？
11
13
(12+)
(12-)
(29+)
(29-)
同增、同减
逐年加1
回答下列问题.
情境导入
新知初探
贰
今年小亮11岁，小亮的爸爸39岁，多少年后爸爸的年龄是小亮年龄的3倍？
（1）这个问题中的已知数是什么？未知数是什么？
（2）设年后爸爸的年龄是小亮年龄的3倍，你能用代数式表示年后小亮年龄和爸爸的年龄吗？试填写下表：
合作探究
小亮的年龄
爸爸的年龄
今年
年后
思考：两人的年龄变化有哪些规律 ？
【规律】年龄差规律：年龄差始终不变，一直为初始年龄差；
年龄倍数规律：年龄倍数开始最高值后逐年降低.
合作探究
年后：小亮的年龄是(11+)岁；爸爸的年龄是(39+)岁.
等量关系1：爸爸的年龄是小亮年龄的3倍
3(11+)=39+
等量关系2：爸爸与小亮的年龄差始终不变
3(11+)-(11+) =39-11
合作探究
几年后爸爸的年龄是小亮年龄的3倍？
解：年后小亮的年龄是(11+)岁；爸爸的年龄是(39+)岁.
根据题意列方程，得3(11+)=39+，
解得x=3.
答：3年后爸爸的年龄是小亮年龄的3倍．
合作探究
在上面的问题中，经过若干年后，小亮的年龄能等于爸爸的五分之四吗？这个问题给你什么启发？
列表：
小亮的年龄
爸爸的年龄
今年 11
39
z年后 ……
列方程：
启发：
尝试思考
合作探究
典例分析
例 某造纸厂为节约木材，大力扩大再生纸的生产．这家工厂去年、前年共生产再生纸3000吨,已知去年的产量比前年的2倍还多150吨.这家工厂前年生产再生纸多少吨？
解：设这家工厂前年生产再生纸吨，则去年生产（2+150）吨，
根据题意，得+2+150=3000，
解这个方程，得 =950．
答：这家工厂前年生产再生纸950吨．
当堂达标
叁
当堂达标
1.聪聪看一本故事书，第一天看了全书的20%，第二天看了全书的，还剩下110页没看．这本故事书一共有多少页？
解：设这本故事书一共有页，根据题意，得（1-0.2-0.25）=110，
解得 =200.
答：这本故事书一共有200页．
当堂达标
2.3月12日植树节，为贯彻“绿水青山就是金山银山”的生态理念，学校组织植树活动．已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人．现调20人去支援，使在甲处植树的人数比乙处植树人数的2倍多3人，求应调往甲处的人数．
解：设应调往甲处人，则调往乙处（20-）人，
根据题意，得23+-2[17+（20-）]=3，
解得 =18．
答：应调往甲处18人．
课堂小结
肆
年龄问题：
年龄差规律：年龄差始终不变，一直为初始年龄差；
年龄倍数规律：年龄倍数开始最高值后逐年降低.
课堂小结
作业布置
详见教材练习题
P46随堂练习
谢
谢(共25张PPT)
第六章 一元一次方程
六年级下册
3 一元一次方程的应用
第2课时 一元一次方程的应用——形积变化问题
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
情境导入
如图，用一块橡皮泥先捏出一个“瘦高”的圆柱，然后再让这个“瘦高”的圆柱“变矮”，变成一个“矮胖”的圆柱， 请思考下列几个问题：
(1)在你操作的过程中，圆柱由“高”变“矮”，圆柱的底面直径是否变化了 还有哪些量改变了
(2)在这个变化过程中，是否有不变的量？是什么没变
新知初探
贰
合作探究
探究点 利用一元一次方程解决几何图形问题
1.图形的等积变化
某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6cm，12cm 的圆柱形易拉罐饮料. 经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6cm.那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米
包含的量：圆柱形易拉罐改造前后的底面半径、高、容积.
“容积不变”
等量关系：改造前易拉罐容积=改造后易拉罐容积
容积不变，但直径(半径)和高有变
改造前
改造后
直径(半径)减少，高如何变化？
合作探究
(2)设新包装的高度为 x cm，借助下面的表格梳理问题中的信息.
有关量 旧包装 新包装
底面半径/cm
高/cm 12 x
容积/cm3
合作探究
(3)根据等量关系，列出方程
设新包装的高度为 x cm
根据等量关系列出方程
=.
解得 x=14.52.
答：新包装的高度为14.52cm.
1.列方程的关键
找出问题中的等量关系.
2.解决实际问题的基本步骤
理解题意，寻找等量关系，设未知数列方程，解方程，作答.
有关量 旧包装 新包装
底面半径/cm
高/cm 12 x
容积/cm3
合作探究
典例分析
例1 将一个底面直径是10厘米，高为36厘米的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径是20厘米的“矮胖”形圆柱，高变成了多少？
解：根据等量关系，列出方程: .
解得=
因此，“矮胖”形圆柱，高变成了 m.
2.图形的等长变化
例2 用一根长为10m 的铁丝围成一个长方形.
(1)如果该长方形的长比宽多1.4m，那么此时长方形的长、宽各为多少米
(2)如果该长方形的长比宽多0.8m，那么此时长方形的长、宽各为多少米 此时的长方形与(1)中的长方形相比，面积有什么变化
(3)如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米 正方形的面积与(2)中长方形的面积相比又有什么变化
合作探究
②如图，题中围长方形的过程中有什么没有发生变化
长方形的周长(或长与宽的和)不变
①本题涉及哪些量
铁丝的长，长方形的长、宽、周长、面积.
合作探究
④如图，结合(1)(2)问题意，若设长方形的宽为 x m，则长方形的长可怎么表示 试用含 x 的代数式在下面图中表示出来.
③题中有怎样的等量关系
等量关系： (长＋宽)×2＝周长(周长就是铁丝的长度)
x m
(x+1.4)m
x m
(x+0.8)m
(1)
(2)
合作探究
解：(1)设此时长方形的宽为x m，则它的长为(x+1.4) m.
根据题意，得2(x+1.4) +2x＝10.
解得 x=1.8.
1.8+1.4=3.2.
此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m.
(1)如果该长方形的长比宽多1.4m，那么此时长方形的长、宽各为多少米
x m
(x+1.4)m
合作探究
解：设此时长方形的宽为x m，则它的长为(x+0.8)m.
根据题意，得2(x+0.8)＋2x＝10.
解得：x＝2.1，2.1+0.8=2.9.
此时长方形的长为2.9m，宽为2.1m，
长方形面积为2.9×2.1＝6.09(m2).
(1)中长方形的面积为3.2×1.8＝5.76(m2)，6.09-5.76＝0.33(m2).
此时(2)中长方形的面积比(1)中长方形的面积增大0.33m2.
(2)如果该长方形的长比宽多0.8m，那么此时长方形的长、宽各为多少米 此时的长方形与(1)中的长方形相比，面积有什么变化
x m
(x+0.8)m
合作探究
(3)设正方形的边长为x m.
根据题意，得4x=10.
解得 x=2.5.
正方形的边长为 2.5m，面积为 2.5×2.5＝6.25(m2)，
比(2)中长方形的面积增大 6.25-6.09＝0.16(m2).
(3)如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米 正方形的面积与(2)中长方形的面积相比又有什么变化
合作探究
思路：先设一边长为未知数，再用含未知数的代数式表示出周长，根据周长等于铁丝的长度10m这个等量关系列出方程.
思考
在前面的问题中，所列方程的两边分别表示什么量
总结：周长一定的长方形，长和宽的差值越小，长方形的面积越大；当长和宽相等时(即为正方形时)，长方形(正方形)的面积最大.
合作探究
列方程的思路是什么
分别表示：长方形的周长和铁丝的长度.
典例分析
例3 已知一个长方形的长比它的宽的3倍少1cm,如果把它的长减少2cm,把它的宽增加2cm,那么它的面积就增加了6平方厘米，求原来长方形的面积．
解：设长方形的宽为xcm,则长为（3x-1）cm,
根据题意，得（3x-1）x=（3x-1-2）（x+2）-6，
解得x=3，故3x-1=8，
则3×8=24（cm2）．
答：原来长方形的面积为24cm2．
当堂达标
叁
当堂达标
1.一个圆柱体,半径增加到原来的3倍,而高度变成原来的,则变化后的圆柱体积是原来圆柱体体积的( )
A.6倍 B.2倍 C.3倍 D.9倍
C
当堂达标
2.将一个长、宽、高分别为15 cm,12 cm和8 cm的长方形钢块锻造成一个底面边长为12 cm的正方形的长方体零件钢坯,试问锻造前长方体的钢块表面积大还是锻造后的长方体零件钢坯表面积大 请你计算比较.
解：设底面边长为12cm的正方形的长方体零件钢坯的高为cm.
根据题意，得15×12×8=12×12×x,解得x=10，
∴锻造前表面积为2×（15×12+15×8+12×8）=792；
锻造后表面积为2×（12×12+12×10+12×10）=768；
∴锻造前长方体的钢块表面积大．
课堂小结
肆
课堂小结
形积变化问题常见的几种情况:
(1)形状发生了变化,而体积没变.此时,相等关系为变化前后体积相等.
(2)形状、面积发生了变化,而周长没变.此时,相等关系为变化前后周长相等.
(3)形状、体积不同,但根据题意能找出体积之间的关系,把这个关系作为相等关系.
作业布置
详见教材练习题
P49 T1-2
谢
谢(共18张PPT)
第六章 一元一次方程
六年级下册
3 一元一次方程的应用
第3课时 一元一次方程的应用——销售问题
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
在班级秋游活动中，全体学生和老师共购买了45张门票，成人票每张8元，学生票每张5元，总票款为475元。你知道成人票与学生票各售出多少张吗？
议一议：上面的问题中包含哪些等量关系？
情境导入
新知初探
贰
在班级秋游活动中，全体学生和老师共购买了45张门票，成人票每张8元，学生票每张5元，总票款为475元。你知道成人票与学生票各售出多少张吗？
分析：售出的票包括成人票和学生票，所得票款包括成人票款和学生票款，因此这个问题中包含下面两个等量关系：
老师票数+学生票数=45张 ①
老师票款+学生票款=475元 ②
合作探究
解法一：设售出的学生票为张，填写下表：
教师票数+学生票数=45张 ①
教师票款+学生票款=475元 ②
学生 教师
票数/张
票款/元
根据等量关系②，可列出方程：10x+ 15(45-x)=475.
解这个方程，得x=40.45-x=5.
因此，售出教师票5张，学生票40张.
x 45-x
10x 15(45-x)
合作探究
成人票数+学生票数=1 000张 ①
成人票款+学生票款=6 950元 ②
学生 成人
票数/张
票款/元
解法二：设所得的学生票款为y元，填写下表：
根据等量关系②，可列出方程：.
解这个方程，得y=400.此时，-y=5.
因此，售出成人票5张，学生票40张.
y 475-y
教师票数+学生票数=45张 ①
教师票款+学生票款=475元 ②
合作探究
用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么？
议一议
实际问题
数学问题
(一元一次方程)
抽象
寻找等量关系
数学问题的解
(一元一次方程的解)
解方程
实际问题的解
验证
解
释
合作探究
典例分析
例1 某文艺团体为公益募捐组织了一场义演，成人票每张80元，学生票每张50元，共售出1000张票，所得票款可能是69300元吗？为什么？可能是69320元吗？如果可能，那么成人票比学生票多售出多少张？
解：设成人票售出x张，则儿童票售出（1000-x）张，
根据题意，得80x+50×（1000-x）=69300，解得x=，
∵票数必须为正整数，故所得的票款不可能是69300元；
若80x+50×（1000-x）=69320，解得x=644，
1000-644=356，644-356=288，
答：票款不可能是69300元，可能是69320，成人票比学生票多售出288张．
典例分析
例2 某校为了丰富“阳光体育”活动，现购进篮球和足球共16个，共花了2820元，已知篮球的单价为185元，足球的单价为150元，那么篮球和足球各购进多少个？
解：设购进篮球个，则购进足球（16-）个，
根据题意，得185+150（16-）=2820，
解得=12，16-12=4个.
答：购进篮球12个，足球4个。
当堂达标
叁
当堂达标
1.耿老师用117元买了18本书，其中科普书和故事书共17本，字典1本。已知科普书每本8元，故事书每本4元，字典1本17元，那么，科普书和故事书各买了多少本？
解：设科普书买了本，那么故事书买了（17-）本。
8+4（17-）+17=117，
解得 =8。
17-8=9（本）。
答：科普书买了8本，故事书买了9本。
当堂达标
2.小明班上有40名同学，他想在生日时请客，因此到超市花了175元买果冻与巧克力共40个，若果冻每2个15元，巧克力每3个10元，则他买了多少个果冻？
解：设买了个巧克力，则果冻为（40-）个，
根据题意，得+（40 ）=175，
解得=30，
则果冻买了40-30=10（个）．
课堂小结
肆
课堂小结
1.一元一次方程解决实际问题的一般步骤
2.两个未知量，两个等量关系，如何列方程？
3.什么样的题目适合用表格分析数量间的关系？
作业布置
详见教材练习题
P52 随堂练习
谢
谢(共21张PPT)
第六章 一元一次方程
六年级下册
3 一元一次方程的应用
第4课时 一元一次方程的应用——“盈不足”问题
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
情境导入
《九章算术》是中国古代的一部数学经典，大约成书于公元1世纪。它分为九个章节，内容涵盖算术、几何、代数等领域，包括分数运算、比例问题、面积和体积计算等。该书系统总结了当时数学知识，对后世影响深远，是研究古代数学的重要资料。
今天我们要研究的就是第七章关于“盈不足“问题：
把一定价格的物品平均分给固定的对象,若按某种标准分,则分配后有多余的;若按另一种标准分,则分配后又会有不足,求物品的价格和分配对象的数量.这一类问题称为“盈不足”问题。
新知初探
贰
合作探究
《九章算术》“盈不足”章第一题:今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四。问:人数、物价各几何
题目大意:几个人合伙买东西,若每人出8钱,则会多出3钱;若每人出7钱,则还少4钱.合伙人数、物品的价格分别是多少
问题一：问题中有哪些已知量和和未知量
已知量：若每人出8钱,则会多出3钱;若每人出7钱,则还少4钱.
未知量：合伙人数、物品的价格。
合作探究
问题二：问题中不变的量是什么 你准备利用那个来列等量关系
不变的量：合伙人数、物品的价格。
物品售价=物品单价×数量
物品的价格用两种方法表示列等量关系.
问题三：已知量和未知量它们之间有怎样的等量关系
等量关系：每人出8钱×人数-多出3钱=每人出7钱×人数+还少4钱
合作探究
问题四：设人数为，其他未知量能用含x的代数式表示吗 请完成下表：
有关量 每人出8钱 每人出7钱
人数
出钱总数
物价
利用表格分析数量关系是一种有效的方法。
合作探究
问题五：根据等量关系,你能列出怎样的方程
等量关系：物品的价格=物品的价格
设人数为.
根据等量关系,列出方程: .
解这个方程,得= .
因此,人数为 ，物价为 钱.
8-3=7+4
7
53
7
合作探究
问题六：如果设物价为钱,你能列出怎样的方程
不变的量：合伙人数、物品的价格。可以用合伙人数前后不变列等式 .
=
解：去分母，得7（+3)=8(-4).
去括号，得 7+21=8-32.
移项，得 7-8＝-32-21.
合并同类项，得 -＝-53.
方程两边都除以-1，得 ＝53.
典例分析
例1 《九章算术》“盈不足”章第五题:今有共买金,人出四百,盈三千四百;人出三百,盈一百.问:人数、金价各几何
题目大意:几个人合伙买金,每人出400钱,会多出3400钱;每人出300钱,会多出100钱.合伙人数、金价各是多少
问题七：问题中有哪些已知量和未知量 它们之间有怎样的等量关系
已知量：每人出400钱,会多出3400钱;每人出300钱,会多出100钱
未知量：合伙人数、物品的价格。
等量关系：每人出400钱×人数-多出3400钱=每人出300钱×人数-多出100钱
典例分析
分析：设人数为x， 你能把下表补充完整吗
有关量 每人出400钱 每人出300钱
人数
出钱总数
物价
利用表格分析数量关系是一种有效方法
归纳小结
问题八：根据等量关系,你能列出怎样的方程
解:设合伙人数为,则金价可表示为(400-3400)钱,还可表示为(300-100)钱,
根据等量关系,列出方程:400-3400=300-100.
解这个方程,得=33.
300×33-100=9800.
因此,人数为33,金价为9800钱.
方程的两边就是金价的两种不同的表达式
归纳小结
问题九：如果设金价为钱,能列出怎样的方程
不变的量：合伙人数、物品的价格。可以用合伙人数前后不变列等式 .
=
解：去分母，得3（+3400)=4(+100).
去括号，得 3+10200=4+400.
移项，合并同类项， -＝-9800.
方程两边都除以-1，得 ＝9800.
归纳小结
思考·交流
《九章算术》给出了一种算法:
人数=两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差;
物价=每人出的钱数×人数-剩余钱数.
你能理解这种解法吗 与方程的求解过程相比,有什么不同 与同伴进行交流.
人数为（3400-100）÷（400-300）=33
金价为400×33-3400=9800（钱）
方程的求解过程是根据等式的性质求未知数的值，而这种解法是直接列算式进行计算。
当堂达标
叁
当堂达标
我国古代数学名著《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价值是多少？请你解决此问题．
解：设有人，根据题意得，8-3=7+4，
解得=7，物价：7×7+4=53（元），
答：有7人，物品的价值是53钱．
课堂小结
肆
课堂小结
2.在解决古代典型问题的时候，需要掌握一些解题思路和方法，具体包括：
（1）手算、心算结合，灵活运用算法；
（2）突出问题实质，可以采用模拟法或借助等；
（3）发现消数之道，排除不必要的项，是解题的关键。
1.“盈不足”问题的关键是什么？
作业布置
详见教材练习题
P55随堂练习
谢
谢(共18张PPT)
第六章 一元一次方程
六年级下册
3 一元一次方程的应用
第5课时 一元一次方程的应用——行程问题
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
1.若老鼠的速度是6米/秒，则它5秒跑了________米．
2.若猫的速度是7米/秒，要抓到14米远处正在吃食物而毫无防备的老鼠需要________秒．
3.若老鼠想在4秒钟内抢在猫前面吃到放在30米处的奶酪，则它至少每秒钟要跑________米．
30
2
7.25
速度、路程、时间之间的关系
情境导入
新知初探
贰
（1）爸爸追上小明用了多长时间？
（2）追上小明时，距离学校还有多远？
探究活动1 追及问题
小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000米的学校上学。小明以80米/分的速度出发，5分后，小明的爸爸发现他忘了带语文书。于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他。
合作探究
180x
80×5
80x
合作探究
解:(1)设爸爸追上小明用了x min,
根据题意，得180x=80x+80×5.
解得x=4.
答:爸爸追上小明用了4 min.
(2)180×4=720(m),1000-720=280(m).
答:追上小明时,距离学校还有280 m.
例 小明和小华两人在400m的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑260m，小华每分钟跑300m，两人起跑时站在跑道同一位置。
（1）如果小明起跑后1min小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？
（2）如果小明起跑后1min小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？
分析:本题涉及哪些量 你能画图说明小明和小华跑步的情形吗 在问题(1)和(2)中，两人所走的路程分别有什么关系
探究二 例题解析
合作探究
例 小明和小华两人在400m的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑260m，小华每分钟跑300m，两人起跑时站在跑道同一位置。
（1）如果小明起跑后1min小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？
探究二 例题解析
合作探究
解:(1)设小华用min追上小明,根据等量关系,可列出方程260+260=300。
解这个方程,得=6.5。
因此,小华用6.5 min追上小明。
例题 小明和小华两人在400m的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑260m，小华每分钟跑300m，两人起跑时站在跑道同一位置。
（2）如果小明起跑后1min小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？
探究二 例题解析
合作探究
(2)设小华起跑后x min两人首次相遇,根据等量关系,可列出方程260x+300x=400-260。
解这个方程,得x=0.25。
因此,小华起跑后0.25 min两人首次相遇。
当堂达标
叁
当堂达标
1.若A、B两地相距284千米，甲车从A地以48千米/时的速度开往B地.过1小时后，乙车从B地以70千米/时的速度开往A地.设乙车开出x小时后两车相遇，则可列方程为（ ）
A.70+48=284 B.70+48(-1)=284
C.70+48(+1)=284 D.70(+1)+48=284
C
当堂达标
2.小明和小华每天早晨坚持跑步，小华每秒跑5米，小明每秒跑7米，如果小华站在小明前面20米处，两人同时起跑，几秒后小明能追上小华？
解：设秒后小明能追上小华，根据题意，得
7-5=20，
解得=10．
答：10秒后小明能追上小华．
当堂达标
3.甲、乙两人同时从相距100千米的两地出发，相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，甲带了一条狗，狗每小时跑10千米，狗同甲一道出发，碰到乙时它掉头朝甲跑去，碰到甲时又掉头朝乙跑去，直到两人相遇，这条狗一共跑了多少千米？
解：设甲乙二人相遇时用了t小时，则根据题意，得
（6+4）t=100，即10t=100，解得，t=10（小时）
则小狗跑的路程是：10×10=100（千米）．
答：这条狗一共跑了100千米．
课堂小结
肆
问题的已
知条件
解决行程问题的基本步骤：
画出线
段图
找出等
量关系
列方程
并求解
回答
同向追及问题
同地不同时：
同时不同地：
甲路程＋路程差＝乙路程
甲路程＝乙路程
相向相遇问题
甲的路程＋乙的路程=总路程
课堂小结
作业布置
详见教材练习题
P58 随堂练习
谢
谢
