第十章 综合评价卷
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.牛顿曾说:“反证法是数学家最精当的武器之一.”用反证法证明“在△ABC中,若∠A>∠B>∠C,则∠A>60°”时,应先假设( )
A.∠A=60° B.∠A<60° C.∠A≠60° D.∠A≤60°
2.如图所示,∠C=∠D=90°,添加一个条件,可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等,以下给出的条件适合的是( )
A.AC=AD B.AB=AB C.∠ABC=∠ABD D.∠BAC=∠BAD
3.下列命题中,其逆命题成立的是( )
A.对顶角相等
B.等边三角形是等腰三角形
C.如果a>0,b>0,那么ab>0
D.如果三角形的三边长为a,b,c(c是最大边长)满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形
4.如果一个等腰三角形的两边长为2和5,那么这个三角形的周长是( )
A.9 B.12 C.9或12 D.不确定
5.如图所示,E是等边三角形ABC中边AC上的点,∠1=∠2,BE=CD,则对△ADE的形状判断正确的是( )
A.底与腰不相等的等腰三角形 B.等边三角形
C.不等边三角形 D.不能确定形状
6.如图所示,在△ABC中,BD平分∠ABC,以点A为圆心,以任意长为半径画弧交射线AB,AC于两点,分别以这两点为圆心,以适当的定长为半径画弧,两弧交于点E,作射线AE,交BD于点I,连接CI.以下说法错误的是( )
A.I到边AB,AC的距离相等 B.CI平分∠ACB
C.I是△ABC三个内角平分线的交点 D.I到A,B,C三点的距离相等
7.(2023天津)如图所示,在△ABC中,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等),两弧相交于M,N两点,直线MN分别与边BC,AC相交于点D,E,连接AD.若BD=DC,AE=4,AD=5,则AB的长为( )
A.9 B.8 C.7 D.6
8.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,AD⊥AC,交BC于点D.若AD=4,则BC的长为( )
A.8 B.4 C.12 D.6
9.“三等分角”大约是在公元前四世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕点O转动,C点固定,OC=
CD=DE,点D,E可在槽中滑动.若∠BDE=75°,则∠O的度数是( )
A.15° B.20° C.25° D.30°
10.如图所示,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E.若DE=1,则BC的长为( )
A.3 B.+ C.+2 D.2+
11.如图所示,在直线m上依次摆放着七个正方形,已知斜放置的三个正方形的面积分别是3,6,9,正放置的四个正方形的面积依次是S1,
S2,S3,S4,则S1+S4等于( )
A.6 B.6.5 C.7 D.8
12.如图所示,在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,连接CD,C,D,E三点在同一条直线上,连接BD,BE.以下四个结论:
①BD=CE;
②∠ACE+∠ABD=45°;
③∠BAE+∠DAC=180°;
④BD⊥CE.
其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题3分,共18分)
13.命题“两个全等三角形的周长相等”的逆命题是 .
14.如图所示,点E,F在BC上,BE=CF,∠A=∠D.请添加一个条件: ,使△ABF≌△DCE.
15.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D为AC上一点,若BD是∠ABC的平分线,则AD= .
16.如图所示,在△ABC中,∠ABC=60°,D为AC的中点,DE⊥BC,DF⊥AB,垂足分别为点E,点F,且DE=DF=,则线段BE的长为 .
17.如图所示,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为点F,DE=DG,
△ADG和△AED的面积分别为49和40,则△EDF的面积为 .
18.如图所示,已知△ABC和△ADE都是等腰三角形,∠BAC=∠DAE=
90°,连接BD,CE交于点F,连接AF.有下列结论:①BD=CE;②BF⊥CF;③AF平分∠CAD;④∠AFE=45°.其中正确的结论有 .(注:把你认为正确的答案序号都写上)
三、解答题(共46分)
19.(6分)(2023长沙)如图所示,AB=AC,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为点D,点E.
(1)求证:△ABE≌△ACD;
(2)若AE=6,CD=8,求BD的长.
20.(8分)如图所示,△ABC中,∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DE相交于点D,DF⊥AB于点F,AB=6,AC=4, 求BF的长度.
21.(10分)如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D,E,F分别在AB,BC,AC上,且BD=CE,BE=CF.
(1)求证:△DEF是等腰三角形.
(2)猜想:当∠A满足什么条件时,△DEF是等边三角形 请说明理由.
22.(10分)如图①所示,C,F分别为线段AD上的两个动点,BC⊥AD,垂足为点C,EF⊥AD,垂足为点F,且AB=DE,AF=CD,点G是AD与BE的
交点.
(1)求证:EG=BG.
(2)当C,F两点移动到如图②所示的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立 若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
23.(12分)在△ABC中,DE垂直平分AB,分别交AB,BC于点D,E,MN垂直平分AC,分别交AC,BC于点M,N,连接AE,AN.
(1)如图①所示,若∠BAC=110°,求∠EAN的度数;
(2)如图②所示,若∠BAC=80°,求∠EAN的度数;
(3)若∠BAC=α(α≠90°),直接写出用α表示∠EAN大小的代数式.一、选择题(每小题3分,共36分)
1.牛顿曾说:“反证法是数学家最精当的武器之一.”用反证法证明“在△ABC中,若∠A>∠B>∠C,则∠A>60°”时,应先假设( D )
A.∠A=60° B.∠A<60° C.∠A≠60° D.∠A≤60°
2.如图所示,∠C=∠D=90°,添加一个条件,可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等,以下给出的条件适合的是( A )
A.AC=AD B.AB=AB C.∠ABC=∠ABD D.∠BAC=∠BAD
3.下列命题中,其逆命题成立的是( D )
A.对顶角相等
B.等边三角形是等腰三角形
C.如果a>0,b>0,那么ab>0
D.如果三角形的三边长为a,b,c(c是最大边长)满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形
4.如果一个等腰三角形的两边长为2和5,那么这个三角形的周长是( B )
A.9 B.12 C.9或12 D.不确定
5.如图所示,E是等边三角形ABC中边AC上的点,∠1=∠2,BE=CD,则对△ADE的形状判断正确的是( B )
A.底与腰不相等的等腰三角形 B.等边三角形
C.不等边三角形 D.不能确定形状
6.如图所示,在△ABC中,BD平分∠ABC,以点A为圆心,以任意长为半径画弧交射线AB,AC于两点,分别以这两点为圆心,以适当的定长为半径画弧,两弧交于点E,作射线AE,交BD于点I,连接CI.以下说法错误的是( D )
A.I到边AB,AC的距离相等 B.CI平分∠ACB
C.I是△ABC三个内角平分线的交点 D.I到A,B,C三点的距离相等
7.(2023天津)如图所示,在△ABC中,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等),两弧相交于M,N两点,直线MN分别与边BC,AC相交于点D,E,连接AD.若BD=DC,AE=4,AD=5,则AB的长为( D )
A.9 B.8 C.7 D.6
8.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,AD⊥AC,交BC于点D.若AD=4,则BC的长为( C )
A.8 B.4 C.12 D.6
9.“三等分角”大约是在公元前四世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕点O转动,C点固定,OC=
CD=DE,点D,E可在槽中滑动.若∠BDE=75°,则∠O的度数是( C )
A.15° B.20° C.25° D.30°
10.如图所示,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E.若DE=1,则BC的长为( D )
A.3 B.+ C.+2 D.2+
11.如图所示,在直线m上依次摆放着七个正方形,已知斜放置的三个正方形的面积分别是3,6,9,正放置的四个正方形的面积依次是S1,
S2,S3,S4,则S1+S4等于( A )
A.6 B.6.5 C.7 D.8
12.如图所示,在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,连接CD,C,D,E三点在同一条直线上,连接BD,BE.以下四个结论:
①BD=CE;
②∠ACE+∠ABD=45°;
③∠BAE+∠DAC=180°;
④BD⊥CE.
其中正确的结论有( C )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题3分,共18分)
13.命题“两个全等三角形的周长相等”的逆命题是 周长相等的两个三角形全等 .
14.如图所示,点E,F在BC上,BE=CF,∠A=∠D.请添加一个条件: 答案不唯一,如∠B=∠C ,使△ABF≌△DCE.
15.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D为AC上一点,若BD是∠ABC的平分线,则AD= 5 .
16.如图所示,在△ABC中,∠ABC=60°,D为AC的中点,DE⊥BC,DF⊥AB,垂足分别为点E,点F,且DE=DF=,则线段BE的长为 3 .
17.如图所示,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为点F,DE=DG,
△ADG和△AED的面积分别为49和40,则△EDF的面积为 4.5 .
18.如图所示,已知△ABC和△ADE都是等腰三角形,∠BAC=∠DAE=
90°,连接BD,CE交于点F,连接AF.有下列结论:①BD=CE;②BF⊥CF;③AF平分∠CAD;④∠AFE=45°.其中正确的结论有 ①②④ .(注:把你认为正确的答案序号都写上)
三、解答题(共46分)
19.(6分)(2023长沙)如图所示,AB=AC,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为点D,点E.
(1)求证:△ABE≌△ACD;
(2)若AE=6,CD=8,求BD的长.
(1)证明:∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴∠AEB=∠ADC=90°.
在△ABE和△ACD中,
∴△ABE≌△ACD(AAS).
(2)解:∵△ABE≌△ACD,
∴AD=AE=6,
在Rt△ACD中,AC===10.
∵AB=AC=10,
∴BD=AB-AD=10-6=4.
20.(8分)如图所示,△ABC中,∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DE相交于点D,DF⊥AB于点F,AB=6,AC=4, 求BF的长度.
解:如图所示,连接CD,过点D作DM⊥AC于点M.
∵AD是∠BAC的平分线,DF⊥AB,DM⊥AC,
∴DF=DM,∠M=∠DFB=90°.
在Rt△ADM和Rt△ADF中,
∴Rt△ADM≌Rt△ADF(HL),
∴AM=AF.
∵DE是BC的垂直平分线,
∴CD=BD.
在Rt△CDM和Rt△BDF中,
∴Rt△CDM≌Rt△BDF(HL),
∴CM=BF,
∴AB=AF+BF=AM+BF=AC+CM+BF=AC+2BF.
∵AB=6,AC=4,
∴BF=1.
21.(10分)如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D,E,F分别在AB,BC,AC上,且BD=CE,BE=CF.
(1)求证:△DEF是等腰三角形.
(2)猜想:当∠A满足什么条件时,△DEF是等边三角形 请说明理由.
(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.
在△DBE和△ECF中,
∵BD=CE,∠B=∠C,BE=CF,∴△DBE≌△ECF,∴DE=FE,∴△DEF是等腰三角形.
(2)解:当∠A=60°时,△DEF是等边三角形.理由如下:
由(1)知,△DBE≌△ECF,
∴∠FEC=∠BDE,∴∠DEF=180°-∠BED-∠CEF=180°-∠BED-∠EDB
=∠B.
欲使△DEF是等边三角形,只要∠DEF=60°,
故当∠A=60°时,∠B=∠DEF=60°,此时△DEF是等边三角形.
22.(10分)如图①所示,C,F分别为线段AD上的两个动点,BC⊥AD,垂足为点C,EF⊥AD,垂足为点F,且AB=DE,AF=CD,点G是AD与BE的
交点.
(1)求证:EG=BG.
(2)当C,F两点移动到如图②所示的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立 若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
(1)证明:∵BC⊥AD,EF⊥AD,
∴∠ACB=∠DFE=90°.
∵AF=CD,
∴AF+FC=CD+FC,
∴AC=DF.
在Rt△ABC和Rt△DEF中,
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL),
∴EF=BC.
在△EFG和△BCG中,
∴△EFG≌△BCG(AAS),
∴EG=BG.
(2)解:上述结论能成立.证明如下:
∵BC⊥AD,EF⊥AD,
∴∠ACB=∠DFE=90°.
∵AF=CD,∴AF-FC=CD-FC.
∴AC=DF.
在Rt△ABC和Rt△DEF中,
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL),
∴BC=EF.
在△EFG和△BCG中,
∴△EFG≌△BCG(AAS),
∴EG=BG.
23.(12分)在△ABC中,DE垂直平分AB,分别交AB,BC于点D,E,MN垂直平分AC,分别交AC,BC于点M,N,连接AE,AN.
(1)如图①所示,若∠BAC=110°,求∠EAN的度数;
(2)如图②所示,若∠BAC=80°,求∠EAN的度数;
(3)若∠BAC=α(α≠90°),直接写出用α表示∠EAN大小的代数式.
解:(1)∵DE垂直平分AB,∴AE=BE.
∴∠BAE=∠B.
同理,可得∠CAN=∠C,
∴∠EAN=∠BAC-∠BAE-∠CAN=∠BAC-(∠B+∠C).
在△ABC中,∠B+∠C=180°-∠BAC=70°,
∴∠EAN=110°-70°=40°.
(2)∵DE垂直平分AB,
∴AE=BE,∴∠BAE=∠B.
同理,可得∠CAN=∠C,
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=(∠B+∠C)-∠BAC.
在△ABC中,∠B+∠C=180°-∠BAC=100°.
∴∠EAN=100°-80°=20°.
(3)当0°<α<90°时,∠EAN=180°-2α;
当90°<α<180°时,∠EAN=2α-180°.
