期中综合评价卷
一、选择题(每小题4分,共48分)
1.下列命题中,真命题有( )
①在同一平面内,若a⊥b,b⊥c,则a∥c;
②相等的角是对顶角;
③能被2整除的数也能被4整除;
④两点之间线段最短.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.下列事件中,属于必然事件的是( )
A.在一个只装有白球和黑球的袋中摸球,摸出红球
B.掷一枚质地均匀的硬币,正面朝上
C.若a是实数,则|a|≥0
D.在一张纸上任意画两条线段,这两条线段相交
3.(2024深圳)如图所示,一束平行光线照射平面镜后反射,若入射光线与平面镜夹角∠1=50°,则反射光线与平面镜夹角∠4的度数为( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
4.解方程组时,经过下列步骤,其中能消去未知数y的是( )
A.①-②×3 B.①+②×3 C.①+②×2 D.①-②×2
5.某县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率,所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示:
移植的棵数a 100 300 600 1 000 7 000 15 000
成活的棵数b 84 279 505 847 6 337 13 581
成活的频率 0.84 0.93 0.842 0.847 0.905 0.905
根据表中的信息,估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为(精确到0.1)( )
A.0.905 B.0.90 C.0.9 D.0.8
6.在一个不透明的口袋中放入5个红球、4个黑球、n个黄球,这些球除颜色不同外,其他无任何差别.搅匀后随机从中摸出一个球恰好是黄球的概率为,则口袋中的黄球的个数n是( )
A.6 B.5 C.4 D.3
7.(2024深圳)在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗:我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.诗的大意是:一些客人到李三公的店中住宿,如果每一间客房住7人,那么有7人无房可住;如果每一间客房住9人,那么就空出一间房.设该店有客房x间,房客y人,则可列方程组为( )
A. B.
C. D.
8.箱内有50颗白球和10颗红球,小慧打算从箱内抽球31次,每次从箱内抽出一球,若抽出白球则将白球放回箱内,若抽出红球则不将红球放回箱内.已知小慧在前30次抽球中共抽出红球4次,若她第31次抽球时箱内的每颗球被抽出的机会相等,则这次她抽出红球的概率为( )
A. B. C. D.
9.(2024黑龙江)国家“双减”政策实施后,某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动.班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励(两种奖品都买).其中笔记本每本3元,碳素笔每支2元,共花费28元,则共有几种购买方案( )
A.5种 B.4种 C.3种 D.2种
10.如图所示,直线y=kx(k≠0)与y=x+2在第二象限交于点A,直线y=x+2分别交x轴、y轴于B,C两点.若3S△ABO=S△BOC,则方程组的解为( )
A. B. C. D.
11.如图所示,AF∥CD,CB平分∠ACD,BD平分∠EBF,且BC⊥BD,下列
结论:
①BC平分∠ABE;
②AC∥BE;
③∠CBE+∠D=90°;
④∠DEB=2∠ABC.
其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
12.如图所示,AD交BC于点O,∠BAD的平分线与△OCD的外角∠OCE的平分线交于点P,∠B=∠D,则下列说法不正确的是( )
A.∠PAO+∠PCE=90° B.∠PAB=∠BCD
C.∠P=90°+∠D D.∠P=90°-2∠B
二、填空题(每小题4分,共24分)
13.(2024湖南)有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”,将它们背面朝上任意放置,从中随机翻开一枚,恰好翻到棋子“”的概率是 .
14.已知关于x,y的二元一次方程ax+by=1(a,b是常数,且ab≠0),有下列命题:①是方程ax+by=1的解;②b>0;③a=b;④是方程ax+by=1的解.若上述四个命题中只有一个假命题,则该假命题是 (填序号).
15.甲、乙两人在解方程组时,甲因看错a,解得乙将其中一个方程的b写成了其相反数,解得则a+b的值
为 .
16.如图所示,点C在线段BF上,且CA平分∠DCB,AD∥BC,点E在AC上,若∠CBE=∠D,∠ABE∶∠ABC=1∶3,∠CAB=44°,则∠DAC的度数
为 °.
17.青岛市某实验中学在对口援助边远山区活动中,原计划赠书3 000册,由于学生积极响应,实际赠书3 780册,其中初中部比原计划多赠了20%,高中部比原计划多赠了30%,则该校初中部原计划赠书 册,高中部原计划赠书 册.
18.甲、乙两车从A城出发前往B城,在整个行驶过程中,汽车离开A城的距离y(km)与行驶时间t(h)的函数图象如图所示.下列说法:
①甲车的速度为50 km/h;
②乙车用了3 h到达B城;
③甲车出发4 h时,乙车追上甲车;
④乙车出发后1 h或3 h两车相距50 km.
其中正确的有 .(填序号)
三、解答题(共78分)
19.(8分)解下列方程组:
(1) (2)
20.(10分)如图所示,已知AB∥CD,E是直线AB上的一点,CE平分∠ACD,射线CF⊥CE,∠1=32°.
(1)求∠ACE的度数;
(2)若∠2=58°,求证:CF∥AG.
21.(10分)一个不透明的袋子里装有9个红球和2个白球,这些球除颜色外都相同,从中任意摸出一个球.
(1)“摸到红球”是 事件,“摸到黑球”是 事件.(填“不可能”“必然”或“随机”)
(2)如果要使摸到白球的概率为,需要往袋子里再放入多少个白球
22.(10分)清明假期,泰山受到广大市民和全国游客的热烈欢迎.据统计,假期第一天A入口比B入口登山游客多1.2万人,第二天A入口登山游客增加了10%,B入口登山游客减少了10%,当天A,B入口登山游客总人数比第一天增加了3%,试求第二天A,B入口登山游客的人数.
解:设假期第一天A入口登山游客的人数是x万人,B入口登山游客的人数是y万人.
根据题意,得
23.(12分)有一张航天英雄事迹报告会的门票,小明和小亮都想得到它,小红为他们出了一个主意,方法就是:从印有1,2,3,4,5,4,6,7的8张牌中任取一张,抽到比4大的牌,小明去;否则,小亮去.
(1)求小明抽到4的概率.
(2)你认为这种方法对小明和小亮公平吗 若公平,请说明理由;若不公平,请你修改游戏规则,使游戏对双方都公平.
24.(14分)如图所示,在△ABC中,AD平分∠BAC,P为线段AD上的一个动点,PE⊥AD交直线BC于点E.
(1)若∠B=30°,∠ACB=80°,求∠E的度数;
(2)当点P在线段AD上运动时,求∠E与∠B,∠ACB的数量关系.
25.(14分)【发现问题】
如图①所示,小明同学在做光的折射实验时发现:平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后,折射光线BE,DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P.
【提出问题】
小明提出:∠BPD,∠ABP和∠CDP三个角之间存在着怎样的数量关系
【分析问题】
已知平行,可以利用平行线的性质,把∠BPD分成两部分进行研究.
【解决问题】
(1)请你帮小明解决这个问题,并说明理由.
(2)如图②所示,∠P,∠AMP,∠CNP之间的数量关系为 ;
如图③所示,已知∠ABC=25°,∠C=60°,AE∥CD,则∠BAE= °.
(不需要写解答过程)
利用(1)中得到的结论解决下面的问题:
(3)如图④所示,射线ME,NF分别平分∠BMP和∠CNP,ME交直线CD于点E,NF与∠AMP内部的一条射线MF交于点F,若∠P=2∠F,求∠FME的度数.
① ② ③ ④一、选择题(每小题4分,共48分)
1.下列命题中,真命题有( B )
①在同一平面内,若a⊥b,b⊥c,则a∥c;
②相等的角是对顶角;
③能被2整除的数也能被4整除;
④两点之间线段最短.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.下列事件中,属于必然事件的是( C )
A.在一个只装有白球和黑球的袋中摸球,摸出红球
B.掷一枚质地均匀的硬币,正面朝上
C.若a是实数,则|a|≥0
D.在一张纸上任意画两条线段,这两条线段相交
3.(2024深圳)如图所示,一束平行光线照射平面镜后反射,若入射光线与平面镜夹角∠1=50°,则反射光线与平面镜夹角∠4的度数为( B )
A.40° B.50° C.60° D.70°
4.解方程组时,经过下列步骤,其中能消去未知数y的是( C )
A.①-②×3 B.①+②×3 C.①+②×2 D.①-②×2
5.某县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率,所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示:
移植的棵数a 100 300 600 1 000 7 000 15 000
成活的棵数b 84 279 505 847 6 337 13 581
成活的频率 0.84 0.93 0.842 0.847 0.905 0.905
根据表中的信息,估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为(精确到0.1)( C )
A.0.905 B.0.90 C.0.9 D.0.8
6.在一个不透明的口袋中放入5个红球、4个黑球、n个黄球,这些球除颜色不同外,其他无任何差别.搅匀后随机从中摸出一个球恰好是黄球的概率为,则口袋中的黄球的个数n是( A )
A.6 B.5 C.4 D.3
7.(2024深圳)在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗:我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.诗的大意是:一些客人到李三公的店中住宿,如果每一间客房住7人,那么有7人无房可住;如果每一间客房住9人,那么就空出一间房.设该店有客房x间,房客y人,则可列方程组为( A )
A. B.
C. D.
8.箱内有50颗白球和10颗红球,小慧打算从箱内抽球31次,每次从箱内抽出一球,若抽出白球则将白球放回箱内,若抽出红球则不将红球放回箱内.已知小慧在前30次抽球中共抽出红球4次,若她第31次抽球时箱内的每颗球被抽出的机会相等,则这次她抽出红球的概率为( D )
A. B. C. D.
9.(2024黑龙江)国家“双减”政策实施后,某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动.班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励(两种奖品都买).其中笔记本每本3元,碳素笔每支2元,共花费28元,则共有几种购买方案( B )
A.5种 B.4种 C.3种 D.2种
10.如图所示,直线y=kx(k≠0)与y=x+2在第二象限交于点A,直线y=x+2分别交x轴、y轴于B,C两点.若3S△ABO=S△BOC,则方程组的解为( C )
A. B. C. D.
11.如图所示,AF∥CD,CB平分∠ACD,BD平分∠EBF,且BC⊥BD,下列
结论:
①BC平分∠ABE;
②AC∥BE;
③∠CBE+∠D=90°;
④∠DEB=2∠ABC.
其中正确的结论有( D )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
12.如图所示,AD交BC于点O,∠BAD的平分线与△OCD的外角∠OCE的平分线交于点P,∠B=∠D,则下列说法不正确的是( D )
A.∠PAO+∠PCE=90° B.∠PAB=∠BCD
C.∠P=90°+∠D D.∠P=90°-2∠B
二、填空题(每小题4分,共24分)
13.(2024湖南)有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”,将它们背面朝上任意放置,从中随机翻开一枚,恰好翻到棋子“”的概率是 .
14.已知关于x,y的二元一次方程ax+by=1(a,b是常数,且ab≠0),有下列命题:①是方程ax+by=1的解;②b>0;③a=b;④是方程ax+by=1的解.若上述四个命题中只有一个假命题,则该假命题是 ④ (填序号).
15.甲、乙两人在解方程组时,甲因看错a,解得乙将其中一个方程的b写成了其相反数,解得则a+b的值
为 5 .
16.如图所示,点C在线段BF上,且CA平分∠DCB,AD∥BC,点E在AC上,若∠CBE=∠D,∠ABE∶∠ABC=1∶3,∠CAB=44°,则∠DAC的度数
为 67 °.
17.青岛市某实验中学在对口援助边远山区活动中,原计划赠书3 000册,由于学生积极响应,实际赠书3 780册,其中初中部比原计划多赠了20%,高中部比原计划多赠了30%,则该校初中部原计划赠书 1 200 册,高中部原计划赠书 1 800 册.
18.甲、乙两车从A城出发前往B城,在整个行驶过程中,汽车离开A城的距离y(km)与行驶时间t(h)的函数图象如图所示.下列说法:
①甲车的速度为50 km/h;
②乙车用了3 h到达B城;
③甲车出发4 h时,乙车追上甲车;
④乙车出发后1 h或3 h两车相距50 km.
其中正确的有 ①②③④ .(填序号)
三、解答题(共78分)
19.(8分)解下列方程组:
(1) (2)
解:(1)①-②,得3n=12,解得n=4.
把n=4代入①,得m=-,
故原方程组的解为
(2)化简原方程组可得
①+②,得6x=27,解得x=.
将x=代入②,得y=,
故原方程组的解为
20.(10分)如图所示,已知AB∥CD,E是直线AB上的一点,CE平分∠ACD,射线CF⊥CE,∠1=32°.
(1)求∠ACE的度数;
(2)若∠2=58°,求证:CF∥AG.
(1)解:∵AB∥CD,
∴∠DCE=∠1=32°.
∵CE平分∠ACD,
∴∠ACE=∠DCE=32°.
(2)证明:∵CF⊥CE,
∴∠FCE=90°,
∴∠FCH=90°-32°=58°.
又∵∠2=58°,
∴∠FCH=∠2,
∴CF∥AG.
21.(10分)一个不透明的袋子里装有9个红球和2个白球,这些球除颜色外都相同,从中任意摸出一个球.
(1)“摸到红球”是 事件,“摸到黑球”是 事件.(填“不可能”“必然”或“随机”)
(2)如果要使摸到白球的概率为,需要往袋子里再放入多少个白球
解:(1)随机 不可能
(2)设需要往袋子里再放入x个白球.
根据题意,得2+x=×(9+2+x),解得x=4,
故需要往袋子里再放入4个白球.
22.(10分)清明假期,泰山受到广大市民和全国游客的热烈欢迎.据统计,假期第一天A入口比B入口登山游客多1.2万人,第二天A入口登山游客增加了10%,B入口登山游客减少了10%,当天A,B入口登山游客总人数比第一天增加了3%,试求第二天A,B入口登山游客的人数.
解:设假期第一天A入口登山游客的人数是x万人,B入口登山游客的人数是y万人.
根据题意,得
解得
∴(1+10%)x=(1+10%)×2.6=2.86,
(1-10%)y=(1-10%)×1.4=1.26.
答:假期第二天A入口登山游客的人数是2.86万人,B入口登山游客的人数是1.26万人.
23.(12分)有一张航天英雄事迹报告会的门票,小明和小亮都想得到它,小红为他们出了一个主意,方法就是:从印有1,2,3,4,5,4,6,7的8张牌中任取一张,抽到比4大的牌,小明去;否则,小亮去.
(1)求小明抽到4的概率.
(2)你认为这种方法对小明和小亮公平吗 若公平,请说明理由;若不公平,请你修改游戏规则,使游戏对双方都公平.
解:(1)从8张牌中任取一张,抽到4的结果有2种,
∴P(抽到4)==,故小明抽到4的概率为.
(2)不公平.
从8张牌中任取一张,抽到比4大的结果有3种,
∴P(抽到比4大的牌)=,即小明去看报告会的概率为,
∴小亮去看报告会的概率为1-=.
∵<,∴游戏不公平.
修改游戏规则如下:(答案不唯一)从印有1,2,3,4,5,4,6,7的8张牌中任取一张,抽到比4大的牌,小明去;抽到比4小的牌,小亮去;抽到4重新抽.
24.(14分)如图所示,在△ABC中,AD平分∠BAC,P为线段AD上的一个动点,PE⊥AD交直线BC于点E.
(1)若∠B=30°,∠ACB=80°,求∠E的度数;
(2)当点P在线段AD上运动时,求∠E与∠B,∠ACB的数量关系.
解:(1)∵∠B=30°,∠ACB=80°,
∴∠BAC=70°.
∵AD平分∠BAC,
∴∠DAC=35°,
∴∠ADC=65°.
∵PE⊥AD,∴∠DPE=90°,
∴∠E=25°.
(2)如图所示,设∠B=n°,∠ACB=m°.
∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2=∠BAC.
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°,∠B=n°,∠ACB=m°,
∴∠CAB=(180-n-m)°,
∴∠BAD=(180-n-m)°,
∴∠3=∠B+∠1=n°+(180-n-m)°=90°+n°-m°.
∵PE⊥AD,∴∠DPE=90°,
∴∠E=90°-(90°+n°-m°)=(m°-n°)=(∠ACB-∠B).
25.(14分)【发现问题】
如图①所示,小明同学在做光的折射实验时发现:平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后,折射光线BE,DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P.
【提出问题】
小明提出:∠BPD,∠ABP和∠CDP三个角之间存在着怎样的数量关系
【分析问题】
已知平行,可以利用平行线的性质,把∠BPD分成两部分进行研究.
【解决问题】
(1)请你帮小明解决这个问题,并说明理由.
(2)如图②所示,∠P,∠AMP,∠CNP之间的数量关系为 ;
如图③所示,已知∠ABC=25°,∠C=60°,AE∥CD,则∠BAE= °.
(不需要写解答过程)
利用(1)中得到的结论解决下面的问题:
(3)如图④所示,射线ME,NF分别平分∠BMP和∠CNP,ME交直线CD于点E,NF与∠AMP内部的一条射线MF交于点F,若∠P=2∠F,求∠FME的度数.
① ② ③ ④
解:(1)∠BPD=∠ABP+∠CDP.理由如下:
∵AB∥MN∥CD,∴∠BPN=∠ABP,∠DPN=∠CDP,
∴∠BPN+∠DPN=∠ABP+∠CDP,∴∠BPD=∠ABP+∠CDP.
(2)∠AMP=∠P+∠CNP 145
(3)∵射线ME,NF分别平分∠BMP和∠CNP,
∴∠PME=∠PMB,∠CNF=∠PNF.
由(1)中的结论得∠P=∠AMF+∠PMF+∠CNF+∠PNF,∠F=∠AMF+∠CNF.
∵∠P=2∠F,
∴∠AMF+∠PMF+∠CNF+∠PNF=2∠AMF+2∠CNF.
∵∠CNF=∠PNF,∴∠AMF+∠PMF=2∠AMF,
∴∠PMF=∠AMF=∠AMP,∴∠PMF+∠PME=(∠AMP+∠PMB),
∴∠FME=∠AMB=×180°=90°.
