期中重难点检测卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版（含解析）

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期中重难点检测卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各组数中，是勾股数的一组为（ ）
A． B．6，8，10 C．1，，2 D．2，2，3
2．下列二次根式中，可与进行合并的二次根式为（ ）
A． B． C． D．
3．平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A的坐标为，则的长为（ ）
A．5 B．12 C．13 D．10
4．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．平行四边形中，，则的度数为( )
A． B． C． D．
6．如图，在中，，是边上的高线，垂直平分，分别交，，于点，，．若，，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当时，平行四边形是菱形
B．当时，平行四边形是矩形
C．当时，平行四边形是菱形
D．当且时，平行四边形是正方形
8．如图，在正方形中，是对角线与的交点，是边上的动点（点不与，重合），连接，作交于，连接，．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．要使代数式有意义，则x的取值范围为 ．
10．已知，则 ．
11．如图，以直角三角形为边作正方形，字母M所代表的正方形的面积是 ．
12．小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的2个单位长度的位置找一个点D，然后过点D作一条垂直于数轴的线段，为3个单位长度，以原点为圆心，以原点到C的距离为半径作弧，交数轴正半轴于一点，则该点在数轴上对应的实数是 ．
13．若一个长方体的长为，宽为，高为，则它的体积为 ．
14．如图，平分，在上取一点，作，已知，，点是射线上一动点，则长度的最小值为 ．
15．如图，已知菱形中，对角线与交于点，，，则该菱形的面积是 ．

16．如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则 ．
17．如图，已知的顶点分别在直线：和上，是坐标原点，当对角线的长最小时，点的坐标为 ．
三、解答题
18．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
19．我校要对如图所示的一块地进行绿化，已知米，米，，米，米，求：
(1)的长．
(2)求这块地的面积．
20．我们知道，因此在计算时，分子和分母同时乘以，从而将分母中含有的根号通过化简去掉，这就是分母有理化．
(1)化简：；
(2)若，求的值；
21．如图，为一街区的店铺分布图，为一条笔直的公路，，分别为便利店和面馆，为公路边的公交站牌，站牌在便利店的正东方向，面馆在便利店的正南方向，已知，之间距离为250米，且在面馆的正北方向，公交站牌到便利店的距离长为120米，到面馆的距离长为150米．
(1)若小华和小丽分别从公交站牌走到处和面馆处，那么两人的总路程为多少米？
(2)求面馆到公路的距离．
22．如图，在菱形中，，分别为上的动点，，点从点向点运动的过程中，试判断的长度是否发生变化？并说明理由．
23．观察下面的变形规律：
，
，
，
…
解答下面的问题：
(1)计算： ；
(2)若n为正整数，请你猜想 ；
(3)计算：．
24．如图，在中，，是中线，是的外角的平分线，，垂足为．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)与之间的关系是什么？请说明理由．
25．如图所示，在中，，，，在顶点处有一点，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，在顶点处有一点，以每秒3个单位长度的速度从点出发沿的路线匀速运动，两点同时出发，当点停止运动时，点也随之停止运动．

(1)判断的形状，并说明理由；
(2)若两点运动4秒时，求此时的长；
(3)设两点运动时间为秒，当是一个等腰直角三角形时，求的值．
26．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，对角线所在的直线绕点O顺时针方向旋转，旋转中直线分别交边于点，．将四边形沿直线折叠得到四边形（点的对应点分别为，线段交边于．）
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，若，求证：；
(3)若，
①如图3，点在点左侧时，求的长；
②如图4，点在点右侧时，直接写出的长．
《期中重难点检测卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A C D C A A C
1．B
【分析】本题主要考查了勾股数的定义，熟练掌握能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数是解题的关键，根据能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即可求解，
【详解】解：、不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；
，故是勾股数，符合题意；
不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；
、，故不是勾股数，不符合题意；
故选：．
2．A
【分析】本题主要考查了同类二次根式，几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，则这几个二次根式为同类二次根式，解决本题的关键是根据同类二次根式的定义进行判断．
【详解】解：A选项：，与是同类二次根式，可以合并同类二次根式，故A选项符合题意；
B选项：与不是同类二次根式，不能合并，故B选项不符合题意；
C选项：，与不是同类二次根，不能合并，故C选项不符合题意；
D选项：与不是同类二次根式，不能合并，故D选项不符合题意．
故选：A．
3．C
【分析】本题考查了勾股定理，过点A作轴于点B，由勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，过点A作轴于点B，
∵点A的坐标为，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
故选：C．
4．D
【分析】本题考查算术平方根、立方根、合并同类二次根式，解答本题的关键是熟练掌握以上知识点．
利用算术平方根、立方根、合并同类二次根式等知识点逐项判断即可．
【详解】解：A、，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项错误；
D、，故D选项正确；
故选：D．
5．C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形得出两直线平行，同旁内角互补，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
故选：C．
6．A
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识，在上截取，连接，证明是等腰直角三角形，则，，再证明得，则，进而得，证明是等腰直角三角形，由勾股定理得，然后根据即可得出的长，熟练掌握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质是解决问题的关键．
【详解】解：在上截取，连接，如图所示：
∵垂直平分，
，，
∴是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得：，
在中，是边上的高线，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
，
．
故选：A．
7．A
【分析】本题主要考查了矩形、菱形、正方形的判定方法，解决本题的关键是根据矩形、菱形、正方形的判定方法进行判断．
【详解】解：如下图所示，
A选项：在中，当时，与一定不垂直，
平行四边形一定不是菱形，
故A选项错误，符合题意；
B选项：当时，平行四边形是矩形，
故B选项正确，不符合题意；
C选项：当时，平行四边形是菱形，
故C选项正确，不符合题意；
D选项：当且时，平行四边形是正方形，
故D选项正确，不符合题意．
故选：A．
8．C
【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判断与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
先根据正方形的性质和已知条件可证可得可判断①；由可得，进而证明可得，再结合可得，即可判断②；根据线段的和差可得，然后分别在和中运用勾股定理可判断③．当点接近点时，点接近点，接近，此时，即④错误．
【详解】解：∵正方形，
∴,
∴,
∵交于，
∴，
∴,
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴,
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即②正确；
∵，
∴，即，
∵中，，
∴，
∵中，，
∴，
∴，即③正确；
当点接近点时，点接近点，接近，此时，故④错误．
综上，正确的有3个．
故选：C．
9．
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，
根据题意可知，再求出解即可．
【详解】解：根据题意，得，
解得．
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了平方差公式和二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
根据平方差公式进行计算即可．
【详解】解：∵，
故答案为：．
11．40
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据图形结合勾股定理计算即可得解，熟练掌握勾股定理是解此题的关键．
【详解】解：根据勾股定理以及正方形的面积公式知：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，
故．
故答案为：40．
12．
【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，由勾股定理可得，再结合数轴即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：如图：
，
由题意可得：，
∴，
在中，，
故该点在数轴上对应的实数是，
故答案为：．
13．12
【分析】本题利用求长方体的体积考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则是正确计算的前提，注意正方体的体积求法与长方体类似，为棱长×棱长×棱长．直接根据长方体体积公式求解可得．
【详解】由长方体的体积公式可得：
长方体的体积，
故答案为：12
14．
【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理；先根据勾股定理得出，过P点作于H，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
过点作于，如图，
平分，，
，
点E是射线上的动点，
的最小值为，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形面积等于对角线乘积的一半．根据菱形面积等于对角线乘积的一半进行计算即可．
【详解】解：根据菱形面积等于对角线乘积的一半可得：．
故答案为：．
16．50
【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．设交于点F，由等腰直角三角形的性质得，，，可证明，求得，，再证明△，得，则，推导出，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：设交于点F，
∵和都是等腰直角三角形，，，，
∴，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
故答案为：50．
17．
【分析】本题考查了平行四边形，矩形的判定和性质，勾股定理，设直线与交于，与轴交于点，直线与交于点，与轴交于点，过点作于点，过点作轴于点，可证，得到，进而由四边形为矩形得，即得，得到，可知当最小时，即点在轴上，取得最小值，据此即可求解，利用平行四边形的性质，构造全等三角形，得出长度为定值是解题的关键．
【详解】解：设直线与交于，与轴交于点，直线与交于点，与轴交于点，过点作于点，过点作轴于点，如图所示，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵直线与直线均垂直于x轴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴当最小时，即点在轴上，取得最小值，最小值为，
∴此时点的坐标为，
故答案为：．
18．(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、完全平方公式，进行二次根式的混合运算首先要把二次根式化为最简二次根式，然后再根据二次根式的运算法则进行计算即可．
首先把二次根式化简，可得：原式，然后再根据二次根式的乘除法法则进行计算即可；
首先把二次根式化简，可得：原式，然后再去括号、合并同类二次根式即可；
首先把二次根式化简，然后再合并同类二次根式即可；
首先根据完全平方公式展开，可得：原式，然后再合并同类项即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
19．(1)
(2)这块地的面积为
【分析】本题考查了勾股定理与逆定理，截图的关键是：
（1）直接根据勾股定理求解即可；
（2）根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，然后根据割补法求解即可．
【详解】（1）解：连接．
∵，
∴，
由勾股定理可知；
（2）解：∵，
∴是直角三角形，
∴这块地的面积为．
20．(1)
(2)3
【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的性质与化简．
（1）仿照题中给出的方法计算即可；
（2）先仿照题中给出的方法计算求出a的值，然后代入计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：∵，
∴原式
．
21．(1)两人的总路程为米．
(2)面馆到公路的距离米．
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，熟练利用勾股定理进行分析是解题的关键．
（1）由勾股定理得出，进一步得出即可；
（2）由得出是直角三角形，可知面馆到公路的距离即为的长度．
【详解】（1）解：在中，(米)，
∴(米)，
在中，(米)，
∴小华和小丽两人的总路程为(米)；
答：两人的总路程为米．
（2）∵(米)，(米)，(米)，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴面馆到公路的距离即为(米)，
答：面馆到公路的距离米．
22．的长度不会变化，理由见详解
【分析】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识得到是解题的关键．
如图所示，连接，由菱形的性质得到是等边三角形，再证，得到，即可求解．
【详解】解：的长度不变，理由如下，
如图所示，连接，
∵四边形是菱形，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，即，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴的长度不会发生变化．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查平方差公式，二次根式的混合运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键；
（1）根据平方差公式即二次根式混合运算法则计算即可求解；
（2）根据平方差公式即二次根式混合运算法则计算即可求解；
（3）根据平方差公式即二次根式混合运算法则计算即可求解；
【详解】（1）解：；
故答案为：
（2）解：；
故答案为：
（3）解：
24．(1)见解析；
(2)，，理由见解析．
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，中位线的性质与判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键；
（1）根据等腰三角形三线合一得到，，结合是的外角的平分线，可得出，又由即可得到，然后根据矩形的判断即可得证；
（2）利用矩形的性质可求，根据三角形中线可得，得出是的中位线，即可得出结论．
【详解】（1）证明：中，，是中线，
，，
，
为的外角的平分线，
，
，
即，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：，，理由如下：
由（1）知，四边形为矩形，
，
中，是中线，
，
是的中位线，
，．
25．(1)是直角三角形，理由见解析
(2)
(3)或
【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理和等腰三角形的性质，解题的关键是掌握勾股定理和等腰直角三角形的性质．
（1）根据勾股定理的逆定理，解答即可得；
（2）当两点运动秒时，求得和的长度，再根据勾股定理解答即可得；
（3）当是一个等腰直角三角形时，，设两点运动时间为秒时，求得的长度，当点从点向点运动时，，根据等腰直角三角形的性质进行解答即可得；当点从点向点运动时，，根据等腰直角三角形的性质进行解答即可得．
【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下：
在中，，，
∴
∴
∴是直角三角形，
（2）当两点运动4秒时，，，
∴，
在中，根据勾股定理，
，
（3）当是一个等腰直角三角形时，，
设两点运动时间为t秒时，，则，
当点Q从点C向点B运动时，，
∴，
解得，
当点Q从点B向点C运动时，，
∴
解得，
即当是一个等腰直角三角形时，t的值是或．
26．(1)见解析
(2)见解析
(3)①5；②2
【分析】（1）根据证明，利用全等三角形的性质可证；
（2）设与的交点为，在上截取，连接证明得，再证明是等边三角形得，证明得，进而可证；
（3）①过作于，则，证明四边形、是矩形得、，证明，由勾股定理求出，设，则，根据求出，进而可求出；
②过作于，同理，．设，则，由求出，可得．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
．
．
又，
，
；
（2）证明：如图2，设与的交点为，在上截取，连接
∵四边形是矩形，
与相等且互相平分，
，
．
四边形沿直线折叠得到四边形，
．
又，
，
，
．
，
．
，
，
设，则，
．
，
，
，即．
，
是等边三角形，
，
．
又，
，
．
，
，即；
（3）①如图3，过作于，则，
∵四边形是矩形，
，
，
四边形是矩形，
．
同理四边形是矩形，．
，
．
又折叠，
，
，
．
在中，根据勾股定理得，．
设，则．
，
，
，
；

②如图4，过作于，同理，
．
设，则，
，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键．
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