鲁教版（五四学制）（2024）数学八年级下册 第9章 图形的相似 单元测试卷（含解析）

鲁教五四新版八年级下册
《第9章 图形的相似》单元测试卷
一、选择题
1．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD＝6，BD＝2，AE＝9，则EC的长是（　　）
A．8 B．6 C．4 D．3
2．下列条件中，能使△ABC∽△DEF成立的是（　　）
A．∠C＝98°，∠E＝98°，
B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，EF＝8，DE＝10，FD＝6
C．∠A＝∠F＝90°，AC＝5，BC＝13，DF＝10，EF＝26
D．∠B＝35°，BC＝10，BC上的高AG＝7，∠E＝35°，EF＝5，EF上的高DH＝3.5
3．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（　　）
A．1 B． C．1 D．
4．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为（　　）
A．（，0） B．（，） C．（，） D．（2，2）
5．如图，有一块直角三角形余料ABC，∠BAC＝90°，G，D分别是AB，AC边上的点，现从中截一矩形DEFG，其中点E，F在BC边上．若AB＝8cm，AC＝6cm，EF＝2DE，则GF的长为（　　）
A． B．3cm C． D．
6．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（　　）
A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m
7．如图，在 ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（　　）
A．16 B．17 C．24 D．25
8．如图，等腰Rt△OAB和等腰Rt△OCD中，∠OAB＝∠OCD＝90°，AO＝AB，CO＝CD，等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，若点B的坐标为（1，0），则点C的坐标为（　　）
A．（1，1） B．（2，2） C．（，） D．（，）
二、填空题
9．如图，在△ABC中，P，Q分别为AB，AC的中点．若S△APQ＝1，则S四边形PBCQ＝　 　．
10．如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，已知，若DF＝10，则DE＝　 　．
11．两个相似三角形的周长之比为3：4，则这两个三角形的面积之比为　 　．
12．如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似形，点F的坐标为（1，1），点C的坐标为（4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是 　 　．
13．在等边△ABC中，P为BC边上一点，D为AC上一点．若∠APD＝60°，PB＝2，CD，则△ABC的边长是 　 　．
14．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB＝4，BC＝2，那么线段EF的长为　 　．
15．如图，菱形ABCD的边长为6cm，∠BAD＝60°，将该菱形沿AC方向平移2cm得到四边形A′B′C′D′，A′D′交CD于点E，则点E到AC的距离为 　 　cm．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是边AB上一点，且AE＝2EB，点P是边BC上一动点，连接EP，过点P作PQ⊥PE交射线CD于点Q．若点C关于直线PQ的对称点恰好落在边AD上，则BP的长为　 　．
三、解答题
17．如图，△ABC与△A1B1C1相似，求未知边x，y的长度．
18．如图△ABC中，DE∥BC，．求：
（1）；
（2）；
（3）AC＝8时，AE、CE的长．
19．如图，BO是△ABC的角平分线，延长BO至D使得BC＝CD．
（1）求证：△AOB∽△COD；
（2）若AB＝2，BC＝4，OA＝1，求OC长．
20．如图，在△ABC中，AD、BE是中线，它们相交于点F，EG∥BC，交AD于点G．
（1）求证：△FGE∽△FDB；
（2）求的值．
21．如图1所示，在△ABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与AB，BC的延长线分别相交于点M，N．
【问题引入】
（1）若点O是AC的中点，，求的值；
温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G．
【探索研究】
（2）若点O是AC上任意一点（不与A，C重合），求证： 1；
【拓展应用】
（3）如图2所示，点P是△ABC内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于点D，E，F，若，，求的值．
鲁教五四新版八年级下册《第9章 图形的相似》2022年单元测试卷
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D C C A C A A
一、选择题
1．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD＝6，BD＝2，AE＝9，则EC的长是（　　）
A．8 B．6 C．4 D．3
【分析】根据题意知两平行线DE∥BC间的线段成比例，据此可以求得AC的长度，所以EC＝AC﹣AE．
【解答】解：∵AD＝6，BD＝2，
∴AB＝AD+BD＝8；
又∵DE∥BC，AE＝9，
∴，
∴AC＝12，
∴EC＝AC﹣AE＝12﹣9＝3；
故选：D．
【点评】此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用．解题时，需要根据图示求得AB的长度．
2．下列条件中，能使△ABC∽△DEF成立的是（　　）
A．∠C＝98°，∠E＝98°，
B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，EF＝8，DE＝10，FD＝6
C．∠A＝∠F＝90°，AC＝5，BC＝13，DF＝10，EF＝26
D．∠B＝35°，BC＝10，BC上的高AG＝7，∠E＝35°，EF＝5，EF上的高DH＝3.5
【分析】根据相似三角形的判定定理可得出答案．
【解答】解：A、∠C＝∠E＝98°，不是对应角相等，故不能判定△ABC∽△DEF；
B、两个三角形的三边不对应成比例，故不能判定△ABC∽△DEF；
C、两个直角三角形的两边不对应成比例，故不能判定△ABC∽△DEF；
D、如图，AG⊥BC，DH⊥EF，
∴∠AGB＝∠DHE＝90°，
∵∠B＝∠E＝35°，
∴△ABG∽△DEH，
∴，
∵BC＝10，EF＝5，
∴，
∴，
∴△ABC∽△DEF．
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．
3．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（　　）
A．1 B． C．1 D．
【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质结合S△ADE＝S四边形BCED，可得出，结合BD＝AB﹣AD即可求出的值，此题得解．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴（）2．
∵S△ADE＝S四边形BCED，
∴，
∴1．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
4．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为（　　）
A．（，0） B．（，） C．（，） D．（2，2）
【分析】由题意可得OA：OD＝1：，又由点A的坐标为（1，0），即可求得OD的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标．
【解答】解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，
∴OA：OD＝1：，
∵点A的坐标为（1，0），
即OA＝1，
∴OD，
∵四边形ODEF是正方形，
∴DE＝OD．
∴E点的坐标为：（，）．
故选：C．
【点评】此题考查了位似变换的性质与正方形的性质．此题比较简单，注意理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键．
5．如图，有一块直角三角形余料ABC，∠BAC＝90°，G，D分别是AB，AC边上的点，现从中截一矩形DEFG，其中点E，F在BC边上．若AB＝8cm，AC＝6cm，EF＝2DE，则GF的长为（　　）
A． B．3cm C． D．
【分析】过A点作AH⊥BC于H点，AH交DG于Q点，如图，设GF＝x cm，则EF＝DG＝2x cm，易得四边形QHFG为矩形，所以QH＝GF＝x cm，再利用勾股定理计算出BC＝10cm，则利用面积法可计算出AHcm，接着证明△ADG∽△ACB，利用相似三角形的性质得到，即，然后解方程即可．
【解答】解：过A点作AH⊥BC于H点，AH交DG于Q点，如图，设GF＝x cm，
∵四边形DEFG为矩形，
∴EF＝DG＝2DE＝2GF＝2x cm，
∵∠FGQ＝∠FHQ＝∠HFG＝90°，
∴四边形QHFG为矩形，
∴QH＝GF＝x cm，
∵∠BAC＝90°，
∴BC10（cm），
∵AH BCAB AC，
∴AH（cm），
∵GD∥BC，
∴△ADG∽△ACB，
∴，即，
解得x，
即GF的长为cm．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了矩形的性质．
6．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（　　）
A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m
【分析】由∠ABO＝∠CDO＝90°、∠AOB＝∠COD知△ABO∽△CDO，据此得，将已知数据代入即可得．
【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABO＝∠CDO＝90°，
又∵∠AOB＝∠COD，
∴△ABO∽△CDO，
则，
∵AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，
∴，
解得：CD＝0.4m，
故选：C．
【点评】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
7．如图，在 ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（　　）
A．16 B．17 C．24 D．25
【分析】先计算出△ABE的周长，然后根据相似比的知识进行解答即可．
【解答】解：∵在 ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，
∴∠BAF＝∠F，
∴∠DAF＝∠F，
∴DF＝AD＝15，
同理BE＝AB＝10，
∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5；
∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8，
在Rt△ABG中，AG6，
∴AE＝2AG＝12，
∴△ABE的周长等于10+10+12＝32，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CF，
∴△CEF∽△BEA，相似比为5：10＝1：2，
∴△CEF的周长为16．
故选：A．
【点评】本题意在综合考查平行四边形、相似三角形和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，相似三角形的周长比等于相似比，难度较大．
8．如图，等腰Rt△OAB和等腰Rt△OCD中，∠OAB＝∠OCD＝90°，AO＝AB，CO＝CD，等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，若点B的坐标为（1，0），则点C的坐标为（　　）
A．（1，1） B．（2，2） C．（，） D．（，）
【分析】首先利用等腰直角三角形的性质得出A点坐标，再利用位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，ky），进而求出即可．
【解答】解：∵∠OAB＝∠OCD＝90°，AO＝AB，CO＝CD，等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，点B的坐标为（1，0），
∴BO＝1，则AO＝AB，
∴A（，），
∵等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，
∴点C的坐标为：（1，1）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．
二、填空题
9．如图，在△ABC中，P，Q分别为AB，AC的中点．若S△APQ＝1，则S四边形PBCQ＝　3　．
【分析】利用三角形中位线定理以及相似三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：∵P，Q分别为AB，AC的中点，
∴PQ∥BC，PQBC，
∴△APQ∽△ABC，
∴（）2，
∵S△APQ＝1，
∴S△ABC＝4，
∴S四边形PBCQ＝S△ABC﹣S△APQ＝3，
故答案为3．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，已知，若DF＝10，则DE＝　　．
【分析】直接利用平行线分线段成比例定理进而得出，再将已知数据代入求出即可．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
即，
解得DE，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
11．两个相似三角形的周长之比为3：4，则这两个三角形的面积之比为　9：16　．
【分析】由两个相似三角形的周长之比为3：4，根据相似三角形周长的比等于相似比，即可求得这两个三角形的相似比，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
【解答】解：∵两个相似三角形的周长之比为3：4，
∴这两个三角形的相似比为3：4，
∴这两个三角形的面积之比为9：16．
故答案为：9：16．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意掌握相似三角形周长的比等于相似比与相似三角形的面积比等于相似比的平方是解此题的关键．
12．如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似形，点F的坐标为（1，1），点C的坐标为（4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是 　（﹣2，0）或（，）　．
【分析】两个图形位似时，有两种情形①位似中心就是CF与x轴的交点；②OC和BG的交点也是位似中心．
【解答】解：两个图形位似时，①位似中心就是CF与x轴的交点，
设直线CF解析式为y＝kx+b，将C（4，2），F（1，1）代入，得
，解得，即yx，
令y＝0得x＝﹣2，
∴O′坐标是（﹣2，0）．
②OC和BG的交点也是位似中心，
直线BG的解析式为yx+1，直线OC的解析式为yx，
由解得，
∴位似中心的坐标（，），
故答案为（﹣2，0）或（，）．
【点评】本题主要考查位似图形的性质，每对位似对应点与位似中心共线．
13．在等边△ABC中，P为BC边上一点，D为AC上一点．若∠APD＝60°，PB＝2，CD，则△ABC的边长是 　6　．
【分析】根据等边三角形性质求出AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，推出∠BAP＝∠DPC，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∴∠BAP+∠APB＝180°﹣60°＝120°，
∵∠APD＝60°，
∴∠APB+∠DPC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BAP＝∠DPC，
即∠B＝∠C，∠BAP＝∠DPC，
∴△ABP∽△PCD；
∴，
∴，
解得AB＝6，
∴△ABC的边长为6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△ABP∽△PCD，主要考查了学生的推理能力和计算能力．
14．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB＝4，BC＝2，那么线段EF的长为　　．
【分析】如图，AC交EF于点O，由勾股定理先求出AC的长度，根据折叠的性质可判断出RT△EOC～RT△ABC，从而利用相似三角形的对应边成比例可求出OE，再由EF＝2OE可得出EF的长度
【解答】解：如图所示，AC交EF于点O，
由勾股定理知AC＝2，
又∵折叠矩形使C与A重合时有EF⊥AC，
则Rt△AOE∽Rt△ABC，
∴，
∴OE
故EF＝2OE．
故答案为：．
【点评】此题考查了翻折变换、勾股定理及矩形的性质，难度一般，解答本题的关键是判断出Rt△AOE∽Rt△ABC，利用相似三角形的性质得出OE的长．
15．如图，菱形ABCD的边长为6cm，∠BAD＝60°，将该菱形沿AC方向平移2cm得到四边形A′B′C′D′，A′D′交CD于点E，则点E到AC的距离为 　2　cm．
【分析】连接BD，过点E作EF⊥AC于点F，根据菱形的性质可以证明三角形ABD是等边三角形，根据平移的性质可得AD∥A′E，可得，，解得A′E＝4（cm），再利用30度角所对直角边等于斜边的一半即可求出结论．
【解答】解：如图，连接BD，过点E作EF⊥AC于点F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，BD⊥AC，
∵∠BAD＝60°，
∴三角形ABD是等边三角形，
∵菱形ABCD的边长为6cm，
∴AD＝AB＝BD＝6cm，
∴AG＝GC＝3（cm），
∴AC＝6（cm），
∵AA′＝2（cm），
∴A′C＝4（cm），
∵AD∥A′E，
∴，
∴，
∴A′E＝4（cm），
∵∠EA′F＝∠DACDAB＝30°，
∴EFA′E＝2（cm）．
故答案为：2．
【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，平移的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是边AB上一点，且AE＝2EB，点P是边BC上一动点，连接EP，过点P作PQ⊥PE交射线CD于点Q．若点C关于直线PQ的对称点恰好落在边AD上，则BP的长为　2或1.2　．
【分析】过点P作 PF⊥AD于点F，可证得四边形CPFD是矩形，可证得△BEP∽△CPQ和△PFC'∽△C'DQ，从而得，，可设设BP＝x，则DF＝PC＝8﹣x，可求得CQ，继而可求得C'D，FC'，由DF＝C'D+FC'，列出x的一元二次方程，解得x，即可求得BP．
【解答】解：如图，过点P作 PF⊥AD于点F，
∴∠PFC'＝90°，
∵矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，
∴∠FAB＝∠B＝∠C＝∠QDC'＝90°，CD＝AB＝6，
∴四边形CPFD是矩形，
∴DF＝PC，PF＝CD＝6，
∵AE＝2EB，
∴AE＝4，EB＝2，
设BP＝x，则DF＝PC＝8﹣x，
∵点C与C'关于直线PQ对称，
∴△PC'Q≌△PCQ，
∴PC'＝PC＝8﹣x，C'Q＝CQ，∠PC'Q＝∠C＝90°，
∵PE⊥PQ，
∴∠BPE+∠CPQ＝90°，
∵∠BEP+∠BPE＝90°，
∴∠BEP＝∠CPQ，
∴△BEP∽△CPQ，
同理可得：△PFC'∽△C'DQ，
∴，，
∴CQx（8﹣x），
∴C'Qx（8﹣x），DQ＝6x（8﹣x）x2﹣4x+6，
∴，
∴C'D＝3x，FC′，
∵FC'+C'D＝DF，
∴3x＝8﹣x，
解得x＝2或1.2，
故答案为2或1.2．
【点评】此题主要考查相似三角形的性质及判定和矩形的性质，对折的性质，本题关键是证明相似三角形，利用相似三角形的性质求解．
三、解答题
17．如图，△ABC与△A1B1C1相似，求未知边x，y的长度．
【分析】由△ABC与△DEF相似，∠B、∠E为钝角，可知当，即时，△ABC∽△DEF；当，即时，△ABC∽△FED，继而求得答案．
【解答】解：∵△ABC与△DEF相似，∠B、∠E为钝角，
∴∠B＝∠E，
∴当，
即时，△ABC∽△DEF，
解得：x＝12，y＝7；
当，即时，△ABC∽△FED，
解得：x，y，
∴x＝12，y＝7或x，y．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．
18．如图△ABC中，DE∥BC，．求：
（1）；
（2）；
（3）AC＝8时，AE、CE的长．
【分析】根据平行线分线段成比例的性质即可解答．
【解答】解：（1）∵△ABC中，DE∥BC，
∴；
（2）∵△ABC中，DE∥BC，
∴；
（3）∵△ABC中，DE∥BC，
由（2）可知，，
∴，
∴AE＝2，
∴EC＝AC﹣AE＝8﹣2＝6．
【点评】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题关键．
19．如图，BO是△ABC的角平分线，延长BO至D使得BC＝CD．
（1）求证：△AOB∽△COD；
（2）若AB＝2，BC＝4，OA＝1，求OC长．
【分析】（1）由BO是△ABC的角平分线、BC＝CD知∠ABO＝∠CBO＝∠D，根据∠AOB＝∠COD即可得证；
（2）由△AOB∽△COD知，据此即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵BO是△ABC的角平分线，
∴∠ABO＝∠CBO，
∵BC＝CD，
∴∠CBO＝∠D，
∴∠ABO＝∠D，
又∵∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD；
（2）解：∵BC＝4，
∴BC＝CD＝4，
∵△AOB∽△COD，
∴，即，
解得：OC＝2．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、等边对等角等知识点．
20．如图，在△ABC中，AD、BE是中线，它们相交于点F，EG∥BC，交AD于点G．
（1）求证：△FGE∽△FDB；
（2）求的值．
【分析】（1）由GE∥BC，可得出∠GEF＝∠DBF，再结合对顶角相等即可得出△FGE∽△FDB；
（2）根据三角形中位线定理以及中线的定义得出GEBD、AG＝DG，再利用相似三角形的性质得出DFDG，进而即可得出．
【解答】（1）证明：∵GE∥BC，
∴∠GEF＝∠DBF．
又∵∠GFE＝∠DFB，
∴△FGE∽△FDB；
（2）∵AD、BE是中线，EG∥BC，
∴GE为△ADC的中位线，BD＝DC，
∴GEDCBD，AG＝DG．
∵△FGE∽△FDB，
∴，
∴DFDG，
∴．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中线的定义以及中位线定理，解题的关键是：（1）由GE∥BC利用相似三角形的判定定理证出△EGF∽△BDF；（2）根据相似三角形的性质结合中位线定理得出DFDG、AG＝DG．
21．如图1所示，在△ABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与AB，BC的延长线分别相交于点M，N．
【问题引入】
（1）若点O是AC的中点，，求的值；
温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G．
【探索研究】
（2）若点O是AC上任意一点（不与A，C重合），求证： 1；
【拓展应用】
（3）如图2所示，点P是△ABC内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于点D，E，F，若，，求的值．
【分析】（1）作AG∥MN交BN延长线于点G，证△ABG∽△MBN得，即，同理由△ACG∽△OCN得，结合AO＝CO得NG＝CN，从而由可得答案；
（2）由、知 1；
（3）由（2）知，在△ABD中有 1、在△ACD中有 1，从而 ，据此知 ．
【解答】解：（1）方法一：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G，
∴，
设NG＝x，则BN＝3x，
∵O是AC中点，且AG∥MN，
∴ON是△ACG中位线，
∴CN＝NG＝x，
∴；
方法二：过点A作AG∥MN交BN延长线于点G，
∴∠G＝∠BNM，
又∠B＝∠B，
∴△ABG∽△MBN，
∴，
∴11，
∴，即，
同理，在△ACG和△OCN中，，
∴，
∵O为AC中点，
∴AO＝CO，
∴NG＝CN，
∴；
（2）由（1）知，、，
∴ 1；
（3）在△ABD中，点P是AD上的一点，过点P的直线与AC、BD的延长线相交于点C，
由（2）得 1，
在△ACD中，点P是AD上一点，过点P的直线与AC、CD的延长线分别相交于点E、B，
由（2）得 1，
∴ ，
∴ ．
【点评】本题主要考查相似三角形的综合问题，熟练掌握相似三角形的判定与性质及比例式的基本性质是解题的关键。
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