2025年辽宁省沈阳高中一年级下学期教学质量检测数学试题（含解析）

2025 年辽宁省沈阳市沈阳高中一年级下学期教学质量检测
数学试题及答案解析
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.每小题仅有一个选项正确.
2
1.已知集合 A x N 0 x 16 ， B x 0 x 17 ，则 A B （ ）
A. x 0 x 16 B. 1,2,3,4 C. x 0 x 4 D. 0,1,2,3,4
2.函数 f x 4 x lg x 2 的定义域为（ ）
A. x x 4 B. x x 2 C. x 2 x 4 D. x 2 x 4
3. e1，e2 是平面内不共线两向量，已知 AB e1 ke2 ，CB 3e1 4e2 ，CD 4e1 e2 ，若
A,B,D三点共线，则 k的值为（ ）
A.3 B. 3 C. 2 D.2
4.命题 P： x 1,1 x2， a为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. a 1 B. a 0 C. a 2 D.a 1
f x 3m2 4m 3 x2m 15.已知幂函数 是定义域上的增函数，则m （ ）
2 2 2
A. 或 2 B. C. 2 D.
3 3 3
6.设 a log a2 3，b ln a， c 2 ，则（ ）
A. a b c B.c b a C. c a b D.b a c
7.已知强度为 x的声音对应的等级为 f x dB时，有 f x 10 lg x 12 ，喷气式飞机起1 10
飞时，声音约为140dB；一般说话时，声音约为60dB .计算喷气式飞机起飞时的声音强
度是一般说话时声音强度的（ ）倍.
107 108 9 10A. B. C.10 D.10
logf x 2
x , x 0
8.已知函数 ，若 x1, x2 , x3 , x4 是方程 f x t的四个互不相等
x2 4x 2, x 0
的解，则 x1 x2 x3 x4的取值范围是（ ）
1 1 7 7
A.

，2 B. ，2 C. ，4 D. ，4
4 4 4 4
1
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选
项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，选对但不全的得部分分，有选
错的得 0分.
9.以下命题正确的选项是（ ）
A.若 a b,c d ，则 a c b d
B.若 a b,m 0 b m b ，则
a m a
C.若 a3 b3 ，则 a b
D.若 a b，则 a b
10.设 A,B为两个随机事件，以下命题正确的是（ ）
A.若 A与 B对立，则 P AB 1
2 1 5
B.若 A与 B互斥， P A ， P B ，则 P A B
3 2 6
C.数据 1,1.3,2,3,3.8,4.5,6.3,7.8,8.6,10 的 80%分位数是 7.8
2 2 1
D.若 A与 B相互独立， P A ， P B ， P AB
3 3 9
11.已知函数 f x , g x 的定义域为 R ，且 f x g 2 x 5， g x f x 4 7 .若
y g x 的图象关于直线 x 2对称， g 4 2，下列说法正确的是（ ）
A. g 2 x g 2 x
B. y g x 图像关于点 3,6 对称
C. f 0 5
D. f 1 f 2 f 26 28
三、填空题：本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分.
2
12.命题“ x 1, x 3x 1”的否定是 .
13.不等式 x 2 1 x2 bx c 0对 x R恒成立，则b c .
14.已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是 4,4,6,4,8,11，若这组数据的平
均数与众数的和是中位数的 2 倍，则丢失数据的所有可能值构成的集合为 .
2
四、解答题：本题共 5 小题，第 15 题 13 分，第 16、17 小题 15 分，第 18、19
小题 17 分，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知集合 A x 2 x 6 ， B x x2 2mx m2 1 0 .
（1）若m 5，求集合 A B；
（2）已知 p：x A，q：x B，是否存在实数m，使 p是 q的必要不充分条件，若存
在实数m，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
16.如图所示，在 ABC中，D为 BC边上一点，且DB 2DC，若D,E,F 三点共线，
且 AE AB， AF AC（ 0， 0）.
CD 1， A1B1， AA1的中点分别为 E,F .
（1）用 AB, AC表示 AD；
（2）求 2 的最小值.
17.某医疗单位为了迎接医师节，针对本单位不同年龄的员工举办了一次实践技能大比拼活
动，满分 100 分（95 分及以上为优秀医师），共有 100 人荣获“优秀医师”称号，将其按
年龄分成以下五组：第一组 20,30 ，第二组 30,40 ，第三组 40,50 ，第四组 50,60 ，
第五组 60,70 ，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，估计这些人的平均年龄 x ；
（2）若从第三组，第四组，第五组三组中分层抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取 2 人，
求抽取的 2 人年龄在不同组的概率；
（3）若第四组的年龄的平均数与方差分别为 54 和 1，第五组的年龄的平均数与方差分别
为 66 和 4，据此计算着 100 人中第四组与第五组所有人的年龄的方差.
s2 1 2 2 2 2附： m s1 x1 x n s2 x2 x .m n
3
18.已知函数 g x a ln 1 x ln 1 x 为奇函数.
（1）求实数 a的值；
a
（2）设函数 f x 1 x 1 x ，判断函数 f x 在区间 1,1 上的单调性，并给出证明；
（3）设函数 h x g x a，求证：函数 h x 在区间 1,1 上有且只有一个零点.
x y
19.定义一种新的运算“ ”： x, y R，都有 x y ln e e .
（1）对于任意实数 a,b,c，试判断 a b c与 a c b c 的大小关系；
2
（2）若关于 x的不等式 x 1 a2x2 a2x2 ln 2的解集中的整数恰有 2 个，求实
数 a的取值范围；
（3）已知函数 f x ln x 4 2x 3 ， g x 1 x x ，若对任意的 x1 R，
3
总存在 x2 , ，使得 g x1 ln 3m 2 f x2 ，求实数m的取值范围. 2
4
答案解析
一、选择题
1.D 解析：∵ A x N 0 x2 16 0，1,2,3,4 ，∴ A B 0,1,2,3,4 .
4 x 0
2.D 解析：由题意得： ，∴ x 2 x 4 .
x 2 0
3.A 解析：由已知可得 BD CD CB e1 3e2 ,由 A,B,D三点共线，故存在实数 ，
使 AB BD，即 e1 ke2 1 1e1 3e2 ，即 ，解 .
k 3

k 3
4.C 解析：命题 P： x 1,1 x2， a为真命题等价于 a 1，所求的一个充分不必要，
条件的选项所对的集合真包含于 1， .
2 2
5.C 解析：由函数 f x 是幂函数，∴3m 4m 3 1，解得m 2或m ，
3
当m 2时， f x x5 是 R上的增函数，符合题意，
m 2
1

当 时， f x x 3 是 ，0 ， 0， 上的减函数，不符合题意，∴m 2 .
3
6.D 解析：∵ y log2 x在 0， 上单调递增，∴ log2 2 log2 3 log2 4，即1 a 2，
∵ y ln x在 0， 上单调递增，∴ ln1 ln a ln 2 ln e，即0 b 1，
y 2x∵ 在 R a 1上单调递增，∴ 2 2 ，即 c 2 .综上， c a b .
7.B 解析：设 f x 140 f x 10 lg x1 1 2，则 1 1 10 12 140，解得 x1 10 ，
6
设 f x2 60，同理可得 x2 10 ，
x 102 8 8
因此 1 6 10 ，即喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的10 倍.x2 10
8.A 解析： f x 的图象如图所示，
设 x1 x2 x3 x4 ，
结合图象可得 x1 1 x2 0，且 x3 x4 4，
0 t 2，
5
而 log2 x1 log2 x2 t t t，故 x2 2 ， x1 2 ，
x x x x 4 2t 1 故 1 2 3 4 t ,0 t 2， 2
设 s 2t 1,4 y 1 1 17 ，而 s 在 1,4 为增函数， 2 s ，
s s 4
1
故 x1 x2 x3 x4 2 .4
二、选择题
9.ACD 解析：对于 A，由 c d得到 c d，又 a b，∴ a c b d ，故 A 正确；
对于 B，取 a 3,b 4,m 5，显然 a b,m 0，
b m 4 5 1 4 b
此时 ，故 B 错误；
a m 3 5 2 3 a
b 2 2 a3 b3 a3 3 2 2 3b对于 C，∵ ，则 b a b a ab b a b a 0，
2 4
2
a b 3b
2
0 a b
2 3b2 2 2
∵ ，但由于

0 ，则 a
b 3b 0，
2 4 2 4 2 4
b 2 3b2
则 a 0，∴ a b 0，故 C 正确；
2 4
对于 D，无论 a取正负， a 都大于b，故 D正确.
10.BD 解析：对于 A，若 A与 B对立，则 P AB 0，故 A 错误；
对于 B，若 A与 B互斥，则 P A B P A P B 5 ，故 B 正确；
6
对于 C，∵共 10 个数据，∴10 80% 8，第 8,9 两个数分别为 7.8 和 8.6，∴第 80 百
7.8 8.6
分位数为 8.2，故 C 错误；
2
1
对于 D，， P A ， P B 1 ，∵ A与 B相互独立，∴ A与 B 相互独立，
3 3
P AB 1 1 1故 ，故 D 正确.
3 3 9
11.ABC 解析：对于 A，∵ y g x 的图象关于直线 x 2对称，∴ g 2 x g 2 x ，
故 A正确；
对于 B，∵ g x f x 4 7，∴ g x 4 f x 7，
6
又∵ f x g 2 x 5，联立得 g 2 x g x 4 12，
∴ y g x 图像关于点 3,6 对称，故 B 正确；
对于 C，∵ g x f x 4 7 .∴ g x 2 f x 2 7，
即 g x 2 f x 2 7 g 2 x ，
∵ f x g 2 x 5，代入得 f x 7 f x 2 5，即 f x f x 2 2，
∵ f x g 2 x 5，∴ f 2 g 4 5，
∵ g 4 2，∴ f 2 3，∴ f 0 f 2 f 2 5，故 C 正确；
对于 D，由 B选项可知 g 3 6，
∵ f x g x 2 5，∴ f 1 5 g 3 1，
∵ f x f x 2 2，
∴ f 3 f 5 f 25 12， f 4 f 6 f 26 12，
∴ f 1 f 2 f 26 1 3 12 12 22，故 D 错误.
三、填空题
12. x 1, x2 3x 1
13. 1 解析：∵当 x ,1 时， x 2 1 0，当 x 1,3 时， x 2 1 0，
当 x 3, 时， x 2 1 0 2，∴1和 3时方程 x bx c 0的两个根，
∴b 1 3 4， c 1 3 3，∴b c 1.
14. 9,5,19 37 x解析：设丢失的数据为 x，则这七个数据的平均数为 ，众数是 4，
7
∵这组数据的平均数与众数的和是中位数的 2倍，
x 37 x①若 4，则中位数为 4，此时 4 2 4，解得 x 9；
7
37 x
② 若4 x 6，则中位数为 x，此时 4 2x，解得 x 5；
7
③若 x 6 37 x ，则中位数为 6，此时 4 2 6，解得 x 19 .
7
综上可知，丢失数据的所有可能的取值为 9,5,19，其构成的集合为 9,5,19 .
7
四、解答题
15.解：（1）由m 5 x2 2mx m2及 1 0得： x2 10x 24 0，解得 4 x 6 .
∴ B x 4 x 6 ，又 A x 2 x 6 ，∴ A B x 4 x 6 .
2
（2）由 x 2mx m2 1 0，得 x m 1 x m 1 0，∴m 1 x m 1，
∴ B x m 1 x m 1 .
由 p是 q的必要不充分条件，得集合 B 是集合 A 的真子集，
m 1 2
∴ ，得 1 m 5，∴m的取值范围为 1,5 .
m 1 6
16.解：（1）在 ABC中，∵ AD AB BD，又DB 2 2DC，∴ BD BC，
3
2 2
∴ AD AB BD AB BC AB AC AB
3 3
AB 2 AB 2 AC 1 2 AB AC .
3 3 3 3
1 2
（2）∵ AD AB AC，又∵ AE AB， AF AC（ 0， 0），
3 3
AB 1 AE AC 1 AF AD 1 AE 2∴ ， ，∴ AF ，
3 3
又D,E,F 1 2 1 2三点共线，∴ 1，即 3，
3 3
2 1 2 1 2 1 4 4 1 4 8∴
3
2 4 ，
3 3 3
4
当且仅当 ，即 2 时取等号.

17.解：（1）这些人的平均年龄估计为：
x 25 0.05 35 0.35 45 0.3 55 0.2 65 0.1 44.5（岁）.
（2）第三组，第四组，第五组的频率分布为0.3,0.2,0.1，
若从这三组中分层抽取 6 人，则从第三组抽取 3人，记为 a1,a2 ,a3，第四组抽取 2 人，记
为b1,b2 ，第五组抽取 1 人，记为 c，
对应的样本空间
8
{ a1,a2 , a1,a3 , a1,b1 , a1,b2 , a1,c , a2 ,a3 , a2 ,b1 , a2 ,b2 , a2 ,c ， a3 ,b1 , a3 ,b2 ，
a3 ,c , b1,b2 , b1c , b2 ,c }，
∴ n 15，
设事件 A为“从 6人中随机抽取两人，所抽取的 2人年龄在不同组”，
则 A { a1,b1 , a1,b2 , a1,c , a2 ,b1 , a2 ,b2 , a2 ,c ， a3 ,b1 , a3 ,b2 ， a3 ,c , b1c , b2 ,c }
n A 11
∴ n A 11，∴ P A .n 15
2 2
（3）设第四组、第五组的年龄的平均数分别为 x1, x2，方差分别为 s1 , s2 ，则
x1 54，x
2
2 66， s1 1，s
2
2 4，
故第四组有 20 人，第五组有 10 人，
2
设第四组和第五组所有人的年龄平均数为 x ，方差为 s ，
x 20x1 10x2 20 54 10 66则 58，
30 30
s2 1 20 s21 x1 x 2 10 s2 x x 230 2 2
1
20 1 54 58 2 10 4 66 58 2 34
30
∴这 100 人中第四组与第五组所有人的年龄的方差为 34.
18.解：（1）∵ g x g x 0，∴ a ln 1 x ln 1 x a ln 1 x ln 1 x 0，
故 a ln 1 x2 ln 1 x2 0，即 a 1 ln 1 x2 0，∴ a 1.
（2）当 a 1时， f x 1 x 2 1 ，∴ f x 在 1,1 上单调递减.
1 x 1 x
证明如下：任取 x1, x2 1,1 ，且 x1 x2 ，

f x1 f x2 1
2

2 2 x x
1
2 1
0， 1 x1 1 x2 1 x1 1 x2
∴ f x1 f x2 ，∴ f x 在区间 1,1 上单调递减.
（3）由（1）（2）可知， a 1时，函数 g x 是奇函数，且在 1,1 上单调递减，
故 h x 在 1,1 上单调递减，
9
又 h 0 1 1 0 h ， ln 3 1 0，∴存在唯一 x0 1,1 ，使 h x2 0 0，
∴ h x 在区间 1,1 上有且只有一个零点.
19.解：（1）∵ x, y R，都有 x y ln e x e y ，
∴ a b c ln ea eb c，
a c b c ln ea c eb c ln e c ea eb ln ea eb c，
∴ a b c = a c b c .
2 2 2 2 2 2 2
（2） a x2 a2x2 ln ea x ea x ln 2 ea x a2x2 ln 2，
x 1 2 a2 2 2∴不等式可化为： x ，即 1 a x2 2x 1 0，
2
为满足题意，必有1 a 0，即 a 1或 a 1①
h x 1 a2 x2 2x 1 x 1令 ，则对称轴为 2 0，1 a
由于 h 0 1 0， h 1 a2，结合①可得 h 1 0，
∴ h x 的一个零点在区间 0,1 ，则另一个零点在区间 2, 1 ，
h 2 0 1 a2 2 2 2 2 1 0
从而
h 1
，即 ②，
0 2 1 a 1 2 2 1 1 0
由①②可得： 2 a 3 3 或 a 2，
2 2
3 3
综上可得实数 a的取值范围为 2 a 或 a 2 .
2 2
（3）∵ f x ln x 4 2x 3 ，
g x x1 x x ln e e x x ln eln e e e x ln e x e x e ，
设 t x 4 2x 3 x 3 , ， ，令 2x 3 r, r 0,
1
2，则 x r 3 ，
2 2
1 2 1 2
∴ t r 3 4 r r 1 2 2，∴ f x ln 2，
2 2
∴ y ln 3m 2 f x 的值域为 A ln 3m 2 ln 2, ，
∵ e x e x e 2 e x e x e e 2，当且仅当 x 0时取等号，∴ g x ln e 2 ，
10
∴ g x 的值域为 B ln e 2 , ，
e 2
根据题意可知： B A，∴ ln 3m 2 ln 2 ln e 2 ，即0 3m 2 ，
2
e 1 e 2
解得 m 1且m ，
6 3 6 3
m e 1 2 2 e ∴实数 的取值范围为 ， ， 1 . 6 3 3 3 6
11