云南省丽江市宁蒗彝族自治县第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
1．（2024高二下·宁蒗期中）某大学食堂备有4种荤菜 8种素菜 2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（ ）
A．14 B．64 C．72 D．80
【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：因为备有4种素菜，8种荤菜，2种汤，所以素菜有4种选法，荤菜有8种选法，汤菜有2种选法，
所以要配成一荤一素一汤的套餐，可以配制出不同的套餐有种.
故选：B．
【分析】按照分步乘法计数原理计算求解.
2．（2024高二下·宁蒗期中）下面给出四个随机变量：
①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数；
②一个沿轴进行随机运动的质点，它在轴上的位置；
③某派出所一天内接到的报警电话次数；
④某同学上学路上离开家的距离．
其中是离散型随机变量的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：①中，经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量；
②中，质点在直线上的位置不能一一列举出来，不是离散型随机变量；
③中，报警电话次数可以一一列举出来，是离散型随机变量；
④中，离开家的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，不是离散型随机变量，
所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③．
故答案为：B．
【分析】根据定义理解离散型随机变量直接判断即可.
3．（2024高二下·宁蒗期中）若随机变量的分布列如表，则的值为（ ）
1 2 3 4
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：根据概率之和为1得，
故答案为：A．
【分析】根据概率之和为1求得a，代入计算即可.
4．（2024高二下·宁蒗期中）已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
【答案】D
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：随机变量服从两点分布，设成功的概率为，
．
故选：D．
【分析】根据两点分布的期望即可求解.
5．（2024高二下·宁蒗期中）色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中.已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，若该数据的残差为0.6，则（ ）
色差x 21 23 25 27
色度y 15 18 19 20
A．23.4 B．23.6 C．23.8 D．24.0
【答案】A
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由题意可知，
，
，
将代入，即
，解得，
所以，
当时，，
则.
故选：A.
【分析】先求出x、y的平均值，再代入方程，求得，从而得到，再将代入并加上残差0.6即可得出答案.
6．（2024高二下·宁蒗期中）设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.3、0.5，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.6、0.8，则甲正点到达目的地的概率为（ ）
A．0.62 B．0.64 C．0.58 D．0.68
【答案】C
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设事件表示甲正点到达目的地，事件表示甲乘动车到达目的地，事件表示甲乘汽车到达目的地，
由题意知，，，．
由全概率公式得．
故选：C．
【分析】利用全概率公式求解.
7．（2024高二下·宁蒗期中）对任意实数，有，则的值为（ ）
A． B． C．22 D．30
【答案】B
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：易知，
因为，
所以，，则.
故答案为：B.
【分析】易知，利用二项式定理求解即可.
8．（2024高二下·宁蒗期中）甲 乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若的数学期望为，则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：随机变量可能的取值为2，3．
，
，
故的分布列为：
2 3
故，
由，解得或．
故选：D．
【分析】由三局两胜的比赛制度可得随机变量可能的取值为2和3，分别求出概率，列出分布列，利用离散型随机变量的期望公式计算求得的值．
9．（2024高二下·宁蒗期中）下列各组的两个变量中呈正相关关系的是（ ）
A．学生的身高与学生的化学成绩 B．汽车行驶的里程与它的耗油量
C．人的年龄与年收入 D．水果的重量与它的总价
【答案】B,D
【知识点】变量相关关系
【解析】【解答】解：由题意知，
A、为非确定性关系，A不符合题意；
B、为相关关系，且为正相关关系，B符合题意；
C、为非确定性关系，C不符合题意；
D、为相关关系，且为正相关关系，D符合题意．
故选：BD
【分析】根据相关关系的概念，逐项判定，即可求解.
10．（2024高二下·宁蒗期中）高二年级安排甲 乙 丙三位同学到六个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（ ）
A．如果社区必须有同学选择，则不同的安排方法有88种
B．如果同学乙必须选择社区，则不同的安排方法有36种
C．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有150种
D．如果甲 丙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有36种
【答案】B,D
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：安排甲 乙 丙三位同学到六个社区进行暑期社会实践活动，
A、如果社区必须有同学选择，则不同的安排方法有（种），A错误；
B、如果同学乙必须选择社区，则不同的安排方法有（种），B正确；
C、如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有（种），C错误；
D、如果甲 丙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有（种），D正确．
故选：．
【分析】根据间接法即可判断A，根据分步乘法计数原理即可判断BCD.
11．（2024高二下·宁蒗期中）一个盒子中装有3个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球.记“第一次取得黑球”为，“第一次取得白球”为，“第二次取得黑球”为，“第二次取得白球”为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意，，
因为在“第一次取得黑球”的前提条件下，盒子中还有2个黑球，4个白球，共6个球，
所以，，
因为在“第一次取得白球”的前提条件下，盒子中还有3个黑球，3个白球，共6个球，
所以，
第一次取得白球，第二次取得黑球的概率为：，
第一次取得白球，第二次取得白球的概率为：，
第一次取得黑球，第二次取得黑球的概率为：，
A、第一次取得黑球，第二次取得白球的概率为：，A错误；
B、第二次取得黑球的概率为，
第二次取得白球的概率为，
所以，B正确；
C、，C正确；
D、，D错误.
故选：BC.
【分析】由独立事件的概率公式P(AB)= P(A)P(B)与条件概率的概率公式计算判断即可.
12．（2024高二下·宁蒗期中）设随机变量，则 ．
【答案】
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：随机变量服从．
故填：
【分析】根据二项分布的概率计算公式即可求解.
13．（2024高二下·宁蒗期中）由0、1、2、3、4、5、6这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有 个.
【答案】90
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：当0排在第6位时，共有个；
当0排在第5位时，共有个；
当0排在第4位时，共有个，
故这样的七位数共有个．
故答案为：90.
【分析】偶数排列顺序固定且0只能在6，5，4位，奇数可任意排列，结合排列组合求解即可.
14．（2024高二下·宁蒗期中）有3台车床加工同一类型的零件，第1台加工的次品率为4%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，30%，50%，现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为 ．
【答案】
【知识点】全概率公式；贝叶斯公式
【解析】【解答】解：零件为第台车床加工记为为事件“，
事件“任取一个零件为次品”，
由已知，，，
由全概率公式可知所以，
所以．
故.
故答案为：.
【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式即可求得结果.
15．（2024高二下·宁蒗期中）已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，.
（1）求的值：
（2）求展开式中的系数.
【答案】（1）解：因为二项式的展开式中二项式系数之和为a，所以，又因为各项的系数之和为，所以 ，即，解得；
（2）解：由（1）知，展开式的通项公式，
令，解得，则开式中的系数为.
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【分析】（1）由题意，可得、，结合题意即可求解；
（2）由（1）知，写出展开式的通项，令即可求解.
16．（2024高二下·宁蒗期中）某收费APP（手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计、方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱.该APP所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用x（单位：元）及该月对应的用户数量y（单位：万人），得到如下数据表格：
用户一个月月租减免的费用x（元） 4 5 6 7 8
用户数量y（万人） 2 2.1 2.5 2.9 3.2
已知x与y线性相关.
（1）求y关于x的经验回归方程（，）；
（2）据此预测，当月租减免费用为14元时，该月用户数量为多少？
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
【答案】（1）解：由，
，
有，
，
故y关于x的经验回归方程为；
（2）解：由（1）知经验回归方程为，当时，，
所以预测该月的用户数量为5.10万人
【知识点】线性回归方程
【解析】【分析】（1）分别求出，的值，再由公式可计算得，继而易得，从而得出答案；
（2）代入（1）得到的回归方程即可得出结论.
（1）由，
，
有，
，
故y关于x的经验回归方程为；
（2）由（1）知经验回归方程为，当时，，
所以预测该月的用户数量为5.10万人
17．（2024高二下·宁蒗期中）每年的3月21日是世界睡眠日，保持身体健康的重要标志之一就是有良好的睡眠，某机构调查参加体育锻炼对睡眠的影响，从辖区内同一年龄层次的人员中，常参加体育锻炼和不常参加体育锻炼的人中，各抽取了200人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间（单位：小时），并绘制出如下频率分布直方图.
（1）求a的值；
（2）根据频率分布直方图，求常参加体育锻炼人员一周内的平均睡眠时间（同一组的数据用该组区间的中点值代替）；
（3）若每周的睡眠时间不少于44小时的列为“睡眠足”，每周的睡眠时间在44小时以下的列为“睡眠不足”，请根据已知条件完成下列列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关.
睡眠足 睡眠不足 总计
常参加体育锻炼人员
不常参加体育锻炼人员
总计
附：，其中.
0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
【答案】（1）解：由频率分布直方图可知，
，
解得，
所以.
（2）解：由频率分布直方图可得：
，
所以常参加体育锻炼人员一周内的平均睡眠时间.
（3）解：常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：，则“睡眠不足”的人数为50；
不常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：，
则“睡眠不足”的人数为90，
列联表如下：
睡眠足 睡眠不足 总计
常参加体育锻炼人员 150 50 200
不常参加体育锻炼人员 110 90 200
总计 260 140 400
因此，
所以有99.9%的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关.
【知识点】频率分布直方图；独立性检验的应用；2×2列联表
【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出a值作答.
（2）利用频率分布直方图估计平均数作答.
（3）结合给定的频率分布直方图列出列联表，再计算的观测值，并与临界值比对作答.
（1）由频率分布直方图可知，，解得，
所以.
（2）由频率分布直方图可得：
，
所以常参加体育锻炼人员一周内的平均睡眠时间.
（3）常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：，
则“睡眠不足”的人数为50；
不常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：，
则“睡眠不足”的人数为90，
列联表如下：
睡眠足 睡眠不足 总计
常参加体育锻炼人员 150 50 200
不常参加体育锻炼人员 110 90 200
总计 260 140 400
因此，
所以有99.9%的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关.
18．（2024高二下·宁蒗期中）某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为．
（1）在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率；
（2）若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：由题意知共有个集团，取出2个集团的方法总数是，
其中全是大集团的情况有，
故全是大集团的概率是，
整理得到，解得，
若2个全是大集团，共有种情况；
若2个全是小集团，共有种情况，
故全为小集团的概率为．
（2）解：由题意知，随机变量的可能取值为，
则，，
，，
故的分布列为：
0 1 2 3
数学期望为．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据已知条件和古典概率公式结合组合数公式，从而计算出全为小集团的概率值.
（2）由题意知随机变量的可能取值，再结合组合数公式和古典概率公式计算出对应的概率值，从而写出随机变量X的分布列，进而求出随机变量X的数学期望．
（1）由题意知共有个集团，取出2个集团的方法总数是，其中全是大集团的情况有，故全是大集团的概率是，
整理得到，解得．
若2个全是大集团，共有种情况；
若2个全是小集团，共有种情况；
故全为小集团的概率为．
（2）由题意知，随机变量的可能取值为，
计算，，
，；
故的分布列为：
0 1 2 3
数学期望为．
19．（2024高二下·宁蒗期中）某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测了120个零件的长度（单位：分米），按数据分成，，，，，这6组，得到如下的频数分布表：
分组
频数 5 15 40 40 15 5
以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率．
（1）若从这批零件中随机抽取3个，记X为抽取的零件的长度在中的个数，求X的分布列和数学期望；
（2）若变量S满足，且，则称变量S满足近似于正态分布的概率分布，如果这批零件的长度Y（单位：分米）满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收，试问该批零件能否被签收？
【答案】（1）解：从这批零件中随机选取1件，长度在的概率’
随机变量X的可能取值为0，1，2，3，
则，，
，，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以；
（2）解：由题意知，，
，
，
因为，，
所以这批零件的长度满足近似于正态分布的概率分布，
所以认为这批零件是合格的，将顺利被该公司签收．
【知识点】概率分布列；正态分布定义；正态分布的期望与方差
【解析】【分析】（1）写出随机变量的可能取值，并求解每个值的概率，即可求解；
（2）求出与的概率，即可求解.
（1）从这批零件中随机选取1件，长度在的概率’
随机变量X的可能取值为0，1，2，3，
则，，
，，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以；
（2）由题意知，，
，
，
因为，，
所以这批零件的长度满足近似于正态分布的概率分布，
所以认为这批零件是合格的，将顺利被该公司签收．
1 / 1云南省丽江市宁蒗彝族自治县第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
1．（2024高二下·宁蒗期中）某大学食堂备有4种荤菜 8种素菜 2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（ ）
A．14 B．64 C．72 D．80
2．（2024高二下·宁蒗期中）下面给出四个随机变量：
①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数；
②一个沿轴进行随机运动的质点，它在轴上的位置；
③某派出所一天内接到的报警电话次数；
④某同学上学路上离开家的距离．
其中是离散型随机变量的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024高二下·宁蒗期中）若随机变量的分布列如表，则的值为（ ）
1 2 3 4
A． B． C． D．
4．（2024高二下·宁蒗期中）已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
5．（2024高二下·宁蒗期中）色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中.已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，若该数据的残差为0.6，则（ ）
色差x 21 23 25 27
色度y 15 18 19 20
A．23.4 B．23.6 C．23.8 D．24.0
6．（2024高二下·宁蒗期中）设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.3、0.5，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.6、0.8，则甲正点到达目的地的概率为（ ）
A．0.62 B．0.64 C．0.58 D．0.68
7．（2024高二下·宁蒗期中）对任意实数，有，则的值为（ ）
A． B． C．22 D．30
8．（2024高二下·宁蒗期中）甲 乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若的数学期望为，则（ ）
A． B． C． D．或
9．（2024高二下·宁蒗期中）下列各组的两个变量中呈正相关关系的是（ ）
A．学生的身高与学生的化学成绩 B．汽车行驶的里程与它的耗油量
C．人的年龄与年收入 D．水果的重量与它的总价
10．（2024高二下·宁蒗期中）高二年级安排甲 乙 丙三位同学到六个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（ ）
A．如果社区必须有同学选择，则不同的安排方法有88种
B．如果同学乙必须选择社区，则不同的安排方法有36种
C．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有150种
D．如果甲 丙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有36种
11．（2024高二下·宁蒗期中）一个盒子中装有3个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球.记“第一次取得黑球”为，“第一次取得白球”为，“第二次取得黑球”为，“第二次取得白球”为，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024高二下·宁蒗期中）设随机变量，则 ．
13．（2024高二下·宁蒗期中）由0、1、2、3、4、5、6这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有 个.
14．（2024高二下·宁蒗期中）有3台车床加工同一类型的零件，第1台加工的次品率为4%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，30%，50%，现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为 ．
15．（2024高二下·宁蒗期中）已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，.
（1）求的值：
（2）求展开式中的系数.
16．（2024高二下·宁蒗期中）某收费APP（手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计、方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱.该APP所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用x（单位：元）及该月对应的用户数量y（单位：万人），得到如下数据表格：
用户一个月月租减免的费用x（元） 4 5 6 7 8
用户数量y（万人） 2 2.1 2.5 2.9 3.2
已知x与y线性相关.
（1）求y关于x的经验回归方程（，）；
（2）据此预测，当月租减免费用为14元时，该月用户数量为多少？
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
17．（2024高二下·宁蒗期中）每年的3月21日是世界睡眠日，保持身体健康的重要标志之一就是有良好的睡眠，某机构调查参加体育锻炼对睡眠的影响，从辖区内同一年龄层次的人员中，常参加体育锻炼和不常参加体育锻炼的人中，各抽取了200人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间（单位：小时），并绘制出如下频率分布直方图.
（1）求a的值；
（2）根据频率分布直方图，求常参加体育锻炼人员一周内的平均睡眠时间（同一组的数据用该组区间的中点值代替）；
（3）若每周的睡眠时间不少于44小时的列为“睡眠足”，每周的睡眠时间在44小时以下的列为“睡眠不足”，请根据已知条件完成下列列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关.
睡眠足 睡眠不足 总计
常参加体育锻炼人员
不常参加体育锻炼人员
总计
附：，其中.
0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
18．（2024高二下·宁蒗期中）某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为．
（1）在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率；
（2）若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为，求的分布列和数学期望．
19．（2024高二下·宁蒗期中）某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测了120个零件的长度（单位：分米），按数据分成，，，，，这6组，得到如下的频数分布表：
分组
频数 5 15 40 40 15 5
以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率．
（1）若从这批零件中随机抽取3个，记X为抽取的零件的长度在中的个数，求X的分布列和数学期望；
（2）若变量S满足，且，则称变量S满足近似于正态分布的概率分布，如果这批零件的长度Y（单位：分米）满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收，试问该批零件能否被签收？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：因为备有4种素菜，8种荤菜，2种汤，所以素菜有4种选法，荤菜有8种选法，汤菜有2种选法，
所以要配成一荤一素一汤的套餐，可以配制出不同的套餐有种.
故选：B．
【分析】按照分步乘法计数原理计算求解.
2．【答案】B
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：①中，经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量；
②中，质点在直线上的位置不能一一列举出来，不是离散型随机变量；
③中，报警电话次数可以一一列举出来，是离散型随机变量；
④中，离开家的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，不是离散型随机变量，
所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③．
故答案为：B．
【分析】根据定义理解离散型随机变量直接判断即可.
3．【答案】A
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：根据概率之和为1得，
故答案为：A．
【分析】根据概率之和为1求得a，代入计算即可.
4．【答案】D
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：随机变量服从两点分布，设成功的概率为，
．
故选：D．
【分析】根据两点分布的期望即可求解.
5．【答案】A
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由题意可知，
，
，
将代入，即
，解得，
所以，
当时，，
则.
故选：A.
【分析】先求出x、y的平均值，再代入方程，求得，从而得到，再将代入并加上残差0.6即可得出答案.
6．【答案】C
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设事件表示甲正点到达目的地，事件表示甲乘动车到达目的地，事件表示甲乘汽车到达目的地，
由题意知，，，．
由全概率公式得．
故选：C．
【分析】利用全概率公式求解.
7．【答案】B
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：易知，
因为，
所以，，则.
故答案为：B.
【分析】易知，利用二项式定理求解即可.
8．【答案】D
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：随机变量可能的取值为2，3．
，
，
故的分布列为：
2 3
故，
由，解得或．
故选：D．
【分析】由三局两胜的比赛制度可得随机变量可能的取值为2和3，分别求出概率，列出分布列，利用离散型随机变量的期望公式计算求得的值．
9．【答案】B,D
【知识点】变量相关关系
【解析】【解答】解：由题意知，
A、为非确定性关系，A不符合题意；
B、为相关关系，且为正相关关系，B符合题意；
C、为非确定性关系，C不符合题意；
D、为相关关系，且为正相关关系，D符合题意．
故选：BD
【分析】根据相关关系的概念，逐项判定，即可求解.
10．【答案】B,D
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：安排甲 乙 丙三位同学到六个社区进行暑期社会实践活动，
A、如果社区必须有同学选择，则不同的安排方法有（种），A错误；
B、如果同学乙必须选择社区，则不同的安排方法有（种），B正确；
C、如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有（种），C错误；
D、如果甲 丙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有（种），D正确．
故选：．
【分析】根据间接法即可判断A，根据分步乘法计数原理即可判断BCD.
11．【答案】B,C
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意，，
因为在“第一次取得黑球”的前提条件下，盒子中还有2个黑球，4个白球，共6个球，
所以，，
因为在“第一次取得白球”的前提条件下，盒子中还有3个黑球，3个白球，共6个球，
所以，
第一次取得白球，第二次取得黑球的概率为：，
第一次取得白球，第二次取得白球的概率为：，
第一次取得黑球，第二次取得黑球的概率为：，
A、第一次取得黑球，第二次取得白球的概率为：，A错误；
B、第二次取得黑球的概率为，
第二次取得白球的概率为，
所以，B正确；
C、，C正确；
D、，D错误.
故选：BC.
【分析】由独立事件的概率公式P(AB)= P(A)P(B)与条件概率的概率公式计算判断即可.
12．【答案】
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：随机变量服从．
故填：
【分析】根据二项分布的概率计算公式即可求解.
13．【答案】90
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：当0排在第6位时，共有个；
当0排在第5位时，共有个；
当0排在第4位时，共有个，
故这样的七位数共有个．
故答案为：90.
【分析】偶数排列顺序固定且0只能在6，5，4位，奇数可任意排列，结合排列组合求解即可.
14．【答案】
【知识点】全概率公式；贝叶斯公式
【解析】【解答】解：零件为第台车床加工记为为事件“，
事件“任取一个零件为次品”，
由已知，，，
由全概率公式可知所以，
所以．
故.
故答案为：.
【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式即可求得结果.
15．【答案】（1）解：因为二项式的展开式中二项式系数之和为a，所以，又因为各项的系数之和为，所以 ，即，解得；
（2）解：由（1）知，展开式的通项公式，
令，解得，则开式中的系数为.
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【分析】（1）由题意，可得、，结合题意即可求解；
（2）由（1）知，写出展开式的通项，令即可求解.
16．【答案】（1）解：由，
，
有，
，
故y关于x的经验回归方程为；
（2）解：由（1）知经验回归方程为，当时，，
所以预测该月的用户数量为5.10万人
【知识点】线性回归方程
【解析】【分析】（1）分别求出，的值，再由公式可计算得，继而易得，从而得出答案；
（2）代入（1）得到的回归方程即可得出结论.
（1）由，
，
有，
，
故y关于x的经验回归方程为；
（2）由（1）知经验回归方程为，当时，，
所以预测该月的用户数量为5.10万人
17．【答案】（1）解：由频率分布直方图可知，
，
解得，
所以.
（2）解：由频率分布直方图可得：
，
所以常参加体育锻炼人员一周内的平均睡眠时间.
（3）解：常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：，则“睡眠不足”的人数为50；
不常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：，
则“睡眠不足”的人数为90，
列联表如下：
睡眠足 睡眠不足 总计
常参加体育锻炼人员 150 50 200
不常参加体育锻炼人员 110 90 200
总计 260 140 400
因此，
所以有99.9%的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关.
【知识点】频率分布直方图；独立性检验的应用；2×2列联表
【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出a值作答.
（2）利用频率分布直方图估计平均数作答.
（3）结合给定的频率分布直方图列出列联表，再计算的观测值，并与临界值比对作答.
（1）由频率分布直方图可知，，解得，
所以.
（2）由频率分布直方图可得：
，
所以常参加体育锻炼人员一周内的平均睡眠时间.
（3）常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：，
则“睡眠不足”的人数为50；
不常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：，
则“睡眠不足”的人数为90，
列联表如下：
睡眠足 睡眠不足 总计
常参加体育锻炼人员 150 50 200
不常参加体育锻炼人员 110 90 200
总计 260 140 400
因此，
所以有99.9%的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关.
18．【答案】（1）解：由题意知共有个集团，取出2个集团的方法总数是，
其中全是大集团的情况有，
故全是大集团的概率是，
整理得到，解得，
若2个全是大集团，共有种情况；
若2个全是小集团，共有种情况，
故全为小集团的概率为．
（2）解：由题意知，随机变量的可能取值为，
则，，
，，
故的分布列为：
0 1 2 3
数学期望为．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据已知条件和古典概率公式结合组合数公式，从而计算出全为小集团的概率值.
（2）由题意知随机变量的可能取值，再结合组合数公式和古典概率公式计算出对应的概率值，从而写出随机变量X的分布列，进而求出随机变量X的数学期望．
（1）由题意知共有个集团，取出2个集团的方法总数是，其中全是大集团的情况有，故全是大集团的概率是，
整理得到，解得．
若2个全是大集团，共有种情况；
若2个全是小集团，共有种情况；
故全为小集团的概率为．
（2）由题意知，随机变量的可能取值为，
计算，，
，；
故的分布列为：
0 1 2 3
数学期望为．
19．【答案】（1）解：从这批零件中随机选取1件，长度在的概率’
随机变量X的可能取值为0，1，2，3，
则，，
，，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以；
（2）解：由题意知，，
，
，
因为，，
所以这批零件的长度满足近似于正态分布的概率分布，
所以认为这批零件是合格的，将顺利被该公司签收．
【知识点】概率分布列；正态分布定义；正态分布的期望与方差
【解析】【分析】（1）写出随机变量的可能取值，并求解每个值的概率，即可求解；
（2）求出与的概率，即可求解.
（1）从这批零件中随机选取1件，长度在的概率’
随机变量X的可能取值为0，1，2，3，
则，，
，，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以；
（2）由题意知，，
，
，
因为，，
所以这批零件的长度满足近似于正态分布的概率分布，
所以认为这批零件是合格的，将顺利被该公司签收．
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