广东省湛江第一中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试题
1．（2024高二下·湛江月考）一列轻轨在某段时间内从中山北至广州南往返一次，其中站点有：广州南、北滘、顺德、容桂、小榄、东升、中山北，则高铁部门应为这七个站间准备不同的轻轨票种数为（ ）
A．21种 B．30种 C．36种 D．42种
【答案】D
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】因为7个站中每2个站一种 轻轨票 ，所以七个站间准备不同的轻轨票种数为，
故答案为：D.
【分析】利用排列定义，可求七个站间准备不同的轻轨票种数.
2．（2024高二下·湛江月考）展开式中的常数项为（ ）
A．-20 B．-15 C．15 D．20
【答案】C
【知识点】二项式定理的应用；二项展开式的通项
【解析】【解答】因为的展开式通项公式为，
令，得，所以，即展开式的常数项为15.
故答案为：C.
【分析】先写出二项展开通项，再令的指数为0，得到相应的项数，即可求出常数项.
3．（2024高二下·湛江月考）把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现反面”为事件B，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】条件概率与独立事件；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面。“第二次出现反面”为事件B，其A包括的基本事件为{正，正}、{正，反}，包括的基本事件为{正，反}，∴，
故答案为：A．
【分析】先用列举法列出事件，包含的基本事件，再利用条件概率的概率公式计算即可；
4．（2024高二下·湛江月考）英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献.根据贝叶斯统计理论，事件A，B，（A的对立事件）存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.01，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为10%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有10%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（ ）
A．0.01 B．0.0099 C．0.1089 D．0.1
【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；条件概率乘法公式
【解析】【解答】设用该试剂检测呈现阳性为事件B，被检测者患病为事件A，未患病为事件，
则，，，，
所以 结果呈现阳性的 概率，
故答案为：C.
【分析】利用条件概率的概率公式结合对立事件的概率公式求解即可.
5．（2024高二下·湛江月考）在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的，数学考试成绩在80分到100分（含80分和100分）之间的人数为800，则可以估计参加本次联考的总人数约为（ ）
A．1600 B．1800 C．2100 D．2400
【答案】D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：依题意，随机变量，
则，即正态曲线的对称轴为，
由，得，
80分到100分（含80分和100分）之间的人数为800，
所以设参加本次联考的总人数约为，
则，解得：.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件结合正态分布的对称性，从而求出成绩在80分到100分的概率，再结合频数等于频率乘以样本容量，从而可以估计出参加本次联考的总人数.
6．（2024高二下·湛江月考）甲同学参加青年志愿者的选拔，选拔以现场答题的方式进行，已知在备选的8道试题中，甲能答对其中的4道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出4道题进行测试，设甲答对的试题数为X，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】设甲答对的试题数为X， 在备选的8道试题中，甲能答对其中的4道题，有种.
则从备选题中随机抽出4道题进行测试，答对3道题有，种，
所以 的概率．
故答案为：D．
【分析】利用古典概型概率公式求时的概率，即可求解.
7．（2024高二下·湛江月考）甲、乙两人进行象棋比赛，假设每局比赛甲胜的概率是，各局比赛是相互独立的，采用4局3胜制，假设比赛没有平局，则乙战胜甲的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】设每局比赛甲胜的概率是 ，若比赛只有3局，3局都是乙胜的概率为．若比赛有4局，前3局乙胜2局，第4局乙胜的概率．
综上知乙战胜甲的概率为：．
故答案为：B．
【分析】利用 相互独立的 概率公式计算即可求解．
8．（2024高二下·湛江月考）对任意，不等式恒成立，则正数a的最大值为（ ）
A． B． C． D．e
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】∵，
∴．
令，则不等式化为．
∵为增函数，
∴，即．
令，则，
当时，，即递减；
当时，，即递增；
所以．
∴实数a的最大值为e．
故答案为：D
【分析】由题意得，令，则不等式化为．令，则，根据导数分析函数的单调性，得到所以．
9．（2024高二下·湛江月考）已知等差数列，其前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．的最小值为6 D．数列是公比为2的等比数列
【答案】A,B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列概念与表示
【解析】【解答】在 等差数列中，对于A、B，因为，即，解得，
，，故A，B正确，
对于C，，
当且仅当，时等式成立，
所以当时，，
当时，，∴的最小值为，故C错误，
对于D，∵，
∴是公比为4的等比数列，故D错误.
故答案为：A、B.
【分析】对A，B选项，先根据等差数列通项公式和前项和公式列方程组，解出，代入通项公式、求和公式即可判断A、B正确.
对C选项，代入所求通项得，利用基本不等式可求出最值，但是要注意取等条件，判断C错误，对D选项，代入通项计算的值即可.
10．（2024高二下·湛江月考）已知，随机变量的分布列如下表所示，若，则下列结论中不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】 ，
，
， ，
又 ， .A不可能成立，
当 时， ，B可能成立，
令 ，即
，方程无解，C不可能成立，
当 时， ，D可能成立，
故答案为：AC.
【分析】由期望及方差的计算公式可得， ，进而逐项判断即可。
11．（2024高二下·湛江月考）已知函数，若有6个不同的零点分别为，且，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．的取值范围为
C．当时，的取值范围为
D．当时，的取值范围为
【答案】A,C
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】因为，所以当时，，此时，令，解得，
令，解得，可得在上单调递减，在上单调递增，
且，
∴当时，，故A正确；
对于B，作出如图所示图像：
由有6个不同的零点，
等价于有6个不同的实数根，
解得或，
∵，∴若，可得，而当时，，可得，而；
当时，，可得而，
故的范围为的子集，的取值范围不可能为，故B选项错误；
对于C，该方程有6个根，且，知且，
当时，，
，联立解得，
，
故C正确；
对于D，当时，，
，联立解得，
．
故D错误.
故答案为：A、C.
【分析】对A选项，对求导，通过导数研究其单调性、最值即可判断A正确，
对B选项，将看成整体解出或，通过图像找到所在位置，依据，假设通过消元解出范围，再通过数形结合求出的范围，两者比较即可，判断B错误.
对C，D通过减少变量，将式子化为，然后转化为的范围进行分类讨论即可判断C正确、D错误.
12．（2024高二下·湛江月考）对任意实数，有，则的值为 .
【答案】
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式
【解析】【解答】 因为所以，所以.
故答案为：.
【分析】根据，得到，结合二项式的性质，即可求解.
13．（2024高二下·湛江月考）有3台车床加工同一类型的零件，第1台加工的次品率为4%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，30%，50%，现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为 ．
【答案】
【知识点】全概率公式；贝叶斯公式
【解析】【解答】解：零件为第台车床加工记为为事件“，
事件“任取一个零件为次品”，
由已知，，，
由全概率公式可知所以，
所以．
故.
故答案为：.
【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式即可求得结果.
14．（2024高二下·湛江月考）某批零件的尺寸服从正态分布，且满足，零件的尺寸与8的误差不超过2即合格，从这批产品中抽取件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.8，则的最小值为 .
【答案】4
【知识点】函数单调性的性质；互斥事件与对立事件；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】因为 批零件的尺寸服从正态分布，且，
所以，
所以每个零件合格的概率为，
因为合格零件不少于2件的对立事件是合格零件件数为0或1，
所以合格零件件数为0或1的概率为，
要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.8 ，则，
即，
令，则有，即单调递减，
而，因此不等式的解集为，
所以的最小值为4.
故答案为：4
【分析】根据零件的尺寸服从正态分布 ，利用正态分布的对称性可得每个合格的概率为，再利用对立事件的概率以及二项分布的概率公式得，作商可得，利用单调递减，即可求解.
15．（2024高二下·湛江月考）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且．
（1）求角B的大小；
（2）若的面积为，求AC边上的中线长．
【答案】（1）解：∵，∴，
由正弦定理得，
由，得，
又由，得，，，
由余弦定理得，
又∵，∴，
由，，，得，
∴，；
（2）解：由（1）得，，，，，，，所以，
设AC的中点为D，则，
在中，由余弦定理得，
所以AC边上的中线长为．
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由得，代入得到三边关系，由余弦定理求得后得到大小，从而求得大小；
（2） 由条件可求得的各边与各角，在中由余弦定理求AC边上的中线长．
（1）∵，∴，
由正弦定理得，
由，得，
又由，得，，，
由余弦定理得，
又∵，∴，
由，，，得，
∴，；
（2）由（1）得，，，，，，，
所以，
设AC的中点为D，则，
在中，由余弦定理得，
所以AC边上的中线长为．
16．（2024高二下·湛江月考）如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，与相交于点E，点F在线段上，且.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的正弦值.
【答案】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
证明：设，则 ，
所以，
又，所以，所以，
所以，，
所以所以，
所以，又平面，
所以平面；
（2）解：，
设平面的法向量，，，
则，取，得，
平面的法向量，
则，取，得，
设平面与平面的夹角，
则．
．
所以平面与平面夹角的正弦值 为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面的法向量；空间向量垂直的坐标表示；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出所需点坐标，进而得，，利用向量的垂直关系证明线线垂直，即可根据线面垂直的判定定理，即可得证，
（2）建立空间直角坐标系，求出 平面与平面 的法向量，两平面法向量的夹角即为 平面与平面夹角的余弦，利用同角三角函数关系即可求得正弦 .
（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，则
故，由得，所以，
，，
由于因此，
进而，又平面，
故平面；
（2），
设平面的法向量，，，
则，取，得，
平面的法向量，
则，取，得，
设平面与平面的夹角，
则．
．
17．（2024高二下·湛江月考）在高考结束后，程浩同学回初中母校看望数学老师，顺便帮老师整理初三年级学生期中考试的数学成绩，并进行统计分析，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数不低于90分为优秀．
（1）从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的分数不低于70分，问这名学生数学成绩为优秀的概率；
（2）在样本中，采取分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，再从这13名学生中随机抽取3名，记这3名学生中成绩为优秀的人数为X，求X的分布列与数学期望．
【答案】（1）解：依 如图所示的频率分布直方图， 得，
解得，
则不低于70分的人数为，
成绩在内的，即优秀的人数为；
故这名学生成绩是优秀的概率为；
（2）解：因为成绩在内的有（人）；
成绩在内的有（人）；成绩在内的有人；
所以采用分层抽样抽取的13名学生中，成绩在内的有6人，在内的有5人，在内的有2人，
所以 这3名学生中成绩为优秀的人数X 的可能取值为0，1，2，
则，，，
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
故．
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）先根据频率直方图中频率之和为，求得，从而求得不低于70分与不低于90分的人数，即可求得这名学生成绩是优秀的概率；
（2）结合（1）中结论，求得成绩在，与内的人数，利用分层抽样比例相同求得 这3名学生中成绩为优秀的人数X 的可能取值为0，1，2，利用组合数求得各取值对应的概率，进而得到X的分布列与数学期望．
（1）依题意，得，解得，
则不低于70分的人数为，
成绩在内的，即优秀的人数为；
故这名学生成绩是优秀的概率为；
（2）成绩在内的有（人）；
成绩在内的有（人）；成绩在内的有人；
故采用分层抽样抽取的13名学生中，成绩在内的有6人，在内的有5人，在内的有2人，
所以由题可知，X的可能取值为0，1，2，
则，，，
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
故．
18．（2024高二下·湛江月考）已知双曲线的离心率为，左、右顶点分别为，直线与双曲线分别交于两点，当时，.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设的斜率分别为，当且时，求和的值.
【答案】（1）解：因为双曲线的离心率为 ，所以，
因为，所以时，，
所以该双曲线经过点，所以，解得，
又，所以，
即双曲线的标准方程为；
（2）当时，直线的方程为，
解：因为 直线与双曲线分别交于两点，
联立方程，消去后整理为，
，
所以，
所以，
因为，
所以
故.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由 双曲线的离心率为 可得，双曲线经过点，代入双曲线方程结合可求出，从而可求出双曲线方程；
（2） 直线与双曲线分别交于两点， 联立方程，直线的方程为，代入双曲线方程化简得一元二次方程，利用根与系数的关系，然后化简和即可得答案.
（1）由题意可知，，
因为，所以时，，
所以该双曲线经过点，即，解得，
又，所以，
即双曲线的标准方程为；
（2）当时，直线的方程为，
联立方程，消去后整理为，
，
所以，
所以，
因为，
所以
故.
19．（2024高二下·湛江月考）已知函数，（其中是自然对数的底数，）.
（1）若函数在处取得极值，求函数的单调区间；
（2）若函数和均存在极值点，且函数的极值点均大于的极值点，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：，由题意知，解得，
经验证，当时，在处取得极大值，
此时，定义域为，所以，
解的解集为，的解集为，
所以函数的单调增区间为和，单调减区间为；
（2）解：，令，则，
①当时，在上恒成立，单调递减，
又因为，，所以存在，使得，
易知是函数的极大值点，
，令，解得或，
易知极大值点为，极小值点为1，
由题意可知，成立，则有，解得；
②当时，由（1）及①可知，0既是函数的极大值点，又是的极大值点，
不符题意，所以舍去；
③当时，的解集为，的解集为，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为有极值点，所以有两个零点，所以应有，解得，
，令，则，令，
因为时，由上述论证可知，恒成立，所以，
即在上单调递增，又因为，所以在上恒成立，
所以，又因为.
所以存在，使得，即是函数的极值点，
易知1是的极值点，而，不符题意，所以舍去.
综上，的取值范围为.
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据函数 在处取得极值，求得的值，根据导数与函数的关系，即可确定函数的单调区间；
（2）根据函数和均存在极值点，先确定函数的极值点，讨论①当、、时的单调性，从而可得函数的极值点，再得确定函数的极值点，由函数的极值点均大于的极值点，即可得实数的取值范围.
（1）解：，由题意知，解得，
经验证，当时，在处取得极大值，
此时，定义域为，所以，
解的解集为，的解集为，
所以函数的单调增区间为和，单调减区间为；
（2）解：，令，则，
①当时，在上恒成立，单调递减，
又因为，，所以存在，使得，
易知是函数的极大值点，
，令，解得或，
易知极大值点为，极小值点为1，
由题意可知，成立，则有，解得；
②当时，由（1）及①可知，0既是函数的极大值点，又是的极大值点，
不符题意，所以舍去；
③当时，的解集为，的解集为，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为有极值点，所以有两个零点，所以应有，解得，
，令，则，令，
因为时，由上述论证可知，恒成立，所以，
即在上单调递增，又因为，所以在上恒成立，
所以，又因为.
所以存在，使得，即是函数的极值点，
易知1是的极值点，而，不符题意，所以舍去.
综上，的取值范围为.
1 / 1广东省湛江第一中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试题
1．（2024高二下·湛江月考）一列轻轨在某段时间内从中山北至广州南往返一次，其中站点有：广州南、北滘、顺德、容桂、小榄、东升、中山北，则高铁部门应为这七个站间准备不同的轻轨票种数为（ ）
A．21种 B．30种 C．36种 D．42种
2．（2024高二下·湛江月考）展开式中的常数项为（ ）
A．-20 B．-15 C．15 D．20
3．（2024高二下·湛江月考）把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现反面”为事件B，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·湛江月考）英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献.根据贝叶斯统计理论，事件A，B，（A的对立事件）存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.01，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为10%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有10%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（ ）
A．0.01 B．0.0099 C．0.1089 D．0.1
5．（2024高二下·湛江月考）在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的，数学考试成绩在80分到100分（含80分和100分）之间的人数为800，则可以估计参加本次联考的总人数约为（ ）
A．1600 B．1800 C．2100 D．2400
6．（2024高二下·湛江月考）甲同学参加青年志愿者的选拔，选拔以现场答题的方式进行，已知在备选的8道试题中，甲能答对其中的4道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出4道题进行测试，设甲答对的试题数为X，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·湛江月考）甲、乙两人进行象棋比赛，假设每局比赛甲胜的概率是，各局比赛是相互独立的，采用4局3胜制，假设比赛没有平局，则乙战胜甲的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·湛江月考）对任意，不等式恒成立，则正数a的最大值为（ ）
A． B． C． D．e
9．（2024高二下·湛江月考）已知等差数列，其前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．的最小值为6 D．数列是公比为2的等比数列
10．（2024高二下·湛江月考）已知，随机变量的分布列如下表所示，若，则下列结论中不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高二下·湛江月考）已知函数，若有6个不同的零点分别为，且，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．的取值范围为
C．当时，的取值范围为
D．当时，的取值范围为
12．（2024高二下·湛江月考）对任意实数，有，则的值为 .
13．（2024高二下·湛江月考）有3台车床加工同一类型的零件，第1台加工的次品率为4%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，30%，50%，现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为 ．
14．（2024高二下·湛江月考）某批零件的尺寸服从正态分布，且满足，零件的尺寸与8的误差不超过2即合格，从这批产品中抽取件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.8，则的最小值为 .
15．（2024高二下·湛江月考）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且．
（1）求角B的大小；
（2）若的面积为，求AC边上的中线长．
16．（2024高二下·湛江月考）如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，与相交于点E，点F在线段上，且.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的正弦值.
17．（2024高二下·湛江月考）在高考结束后，程浩同学回初中母校看望数学老师，顺便帮老师整理初三年级学生期中考试的数学成绩，并进行统计分析，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数不低于90分为优秀．
（1）从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的分数不低于70分，问这名学生数学成绩为优秀的概率；
（2）在样本中，采取分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，再从这13名学生中随机抽取3名，记这3名学生中成绩为优秀的人数为X，求X的分布列与数学期望．
18．（2024高二下·湛江月考）已知双曲线的离心率为，左、右顶点分别为，直线与双曲线分别交于两点，当时，.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设的斜率分别为，当且时，求和的值.
19．（2024高二下·湛江月考）已知函数，（其中是自然对数的底数，）.
（1）若函数在处取得极值，求函数的单调区间；
（2）若函数和均存在极值点，且函数的极值点均大于的极值点，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】因为7个站中每2个站一种 轻轨票 ，所以七个站间准备不同的轻轨票种数为，
故答案为：D.
【分析】利用排列定义，可求七个站间准备不同的轻轨票种数.
2．【答案】C
【知识点】二项式定理的应用；二项展开式的通项
【解析】【解答】因为的展开式通项公式为，
令，得，所以，即展开式的常数项为15.
故答案为：C.
【分析】先写出二项展开通项，再令的指数为0，得到相应的项数，即可求出常数项.
3．【答案】A
【知识点】条件概率与独立事件；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面。“第二次出现反面”为事件B，其A包括的基本事件为{正，正}、{正，反}，包括的基本事件为{正，反}，∴，
故答案为：A．
【分析】先用列举法列出事件，包含的基本事件，再利用条件概率的概率公式计算即可；
4．【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；条件概率乘法公式
【解析】【解答】设用该试剂检测呈现阳性为事件B，被检测者患病为事件A，未患病为事件，
则，，，，
所以 结果呈现阳性的 概率，
故答案为：C.
【分析】利用条件概率的概率公式结合对立事件的概率公式求解即可.
5．【答案】D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：依题意，随机变量，
则，即正态曲线的对称轴为，
由，得，
80分到100分（含80分和100分）之间的人数为800，
所以设参加本次联考的总人数约为，
则，解得：.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件结合正态分布的对称性，从而求出成绩在80分到100分的概率，再结合频数等于频率乘以样本容量，从而可以估计出参加本次联考的总人数.
6．【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】设甲答对的试题数为X， 在备选的8道试题中，甲能答对其中的4道题，有种.
则从备选题中随机抽出4道题进行测试，答对3道题有，种，
所以 的概率．
故答案为：D．
【分析】利用古典概型概率公式求时的概率，即可求解.
7．【答案】B
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】设每局比赛甲胜的概率是 ，若比赛只有3局，3局都是乙胜的概率为．若比赛有4局，前3局乙胜2局，第4局乙胜的概率．
综上知乙战胜甲的概率为：．
故答案为：B．
【分析】利用 相互独立的 概率公式计算即可求解．
8．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】∵，
∴．
令，则不等式化为．
∵为增函数，
∴，即．
令，则，
当时，，即递减；
当时，，即递增；
所以．
∴实数a的最大值为e．
故答案为：D
【分析】由题意得，令，则不等式化为．令，则，根据导数分析函数的单调性，得到所以．
9．【答案】A,B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列概念与表示
【解析】【解答】在 等差数列中，对于A、B，因为，即，解得，
，，故A，B正确，
对于C，，
当且仅当，时等式成立，
所以当时，，
当时，，∴的最小值为，故C错误，
对于D，∵，
∴是公比为4的等比数列，故D错误.
故答案为：A、B.
【分析】对A，B选项，先根据等差数列通项公式和前项和公式列方程组，解出，代入通项公式、求和公式即可判断A、B正确.
对C选项，代入所求通项得，利用基本不等式可求出最值，但是要注意取等条件，判断C错误，对D选项，代入通项计算的值即可.
10．【答案】A,C
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】 ，
，
， ，
又 ， .A不可能成立，
当 时， ，B可能成立，
令 ，即
，方程无解，C不可能成立，
当 时， ，D可能成立，
故答案为：AC.
【分析】由期望及方差的计算公式可得， ，进而逐项判断即可。
11．【答案】A,C
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】因为，所以当时，，此时，令，解得，
令，解得，可得在上单调递减，在上单调递增，
且，
∴当时，，故A正确；
对于B，作出如图所示图像：
由有6个不同的零点，
等价于有6个不同的实数根，
解得或，
∵，∴若，可得，而当时，，可得，而；
当时，，可得而，
故的范围为的子集，的取值范围不可能为，故B选项错误；
对于C，该方程有6个根，且，知且，
当时，，
，联立解得，
，
故C正确；
对于D，当时，，
，联立解得，
．
故D错误.
故答案为：A、C.
【分析】对A选项，对求导，通过导数研究其单调性、最值即可判断A正确，
对B选项，将看成整体解出或，通过图像找到所在位置，依据，假设通过消元解出范围，再通过数形结合求出的范围，两者比较即可，判断B错误.
对C，D通过减少变量，将式子化为，然后转化为的范围进行分类讨论即可判断C正确、D错误.
12．【答案】
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式
【解析】【解答】 因为所以，所以.
故答案为：.
【分析】根据，得到，结合二项式的性质，即可求解.
13．【答案】
【知识点】全概率公式；贝叶斯公式
【解析】【解答】解：零件为第台车床加工记为为事件“，
事件“任取一个零件为次品”，
由已知，，，
由全概率公式可知所以，
所以．
故.
故答案为：.
【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式即可求得结果.
14．【答案】4
【知识点】函数单调性的性质；互斥事件与对立事件；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】因为 批零件的尺寸服从正态分布，且，
所以，
所以每个零件合格的概率为，
因为合格零件不少于2件的对立事件是合格零件件数为0或1，
所以合格零件件数为0或1的概率为，
要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.8 ，则，
即，
令，则有，即单调递减，
而，因此不等式的解集为，
所以的最小值为4.
故答案为：4
【分析】根据零件的尺寸服从正态分布 ，利用正态分布的对称性可得每个合格的概率为，再利用对立事件的概率以及二项分布的概率公式得，作商可得，利用单调递减，即可求解.
15．【答案】（1）解：∵，∴，
由正弦定理得，
由，得，
又由，得，，，
由余弦定理得，
又∵，∴，
由，，，得，
∴，；
（2）解：由（1）得，，，，，，，所以，
设AC的中点为D，则，
在中，由余弦定理得，
所以AC边上的中线长为．
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由得，代入得到三边关系，由余弦定理求得后得到大小，从而求得大小；
（2） 由条件可求得的各边与各角，在中由余弦定理求AC边上的中线长．
（1）∵，∴，
由正弦定理得，
由，得，
又由，得，，，
由余弦定理得，
又∵，∴，
由，，，得，
∴，；
（2）由（1）得，，，，，，，
所以，
设AC的中点为D，则，
在中，由余弦定理得，
所以AC边上的中线长为．
16．【答案】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
证明：设，则 ，
所以，
又，所以，所以，
所以，，
所以所以，
所以，又平面，
所以平面；
（2）解：，
设平面的法向量，，，
则，取，得，
平面的法向量，
则，取，得，
设平面与平面的夹角，
则．
．
所以平面与平面夹角的正弦值 为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面的法向量；空间向量垂直的坐标表示；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出所需点坐标，进而得，，利用向量的垂直关系证明线线垂直，即可根据线面垂直的判定定理，即可得证，
（2）建立空间直角坐标系，求出 平面与平面 的法向量，两平面法向量的夹角即为 平面与平面夹角的余弦，利用同角三角函数关系即可求得正弦 .
（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，则
故，由得，所以，
，，
由于因此，
进而，又平面，
故平面；
（2），
设平面的法向量，，，
则，取，得，
平面的法向量，
则，取，得，
设平面与平面的夹角，
则．
．
17．【答案】（1）解：依 如图所示的频率分布直方图， 得，
解得，
则不低于70分的人数为，
成绩在内的，即优秀的人数为；
故这名学生成绩是优秀的概率为；
（2）解：因为成绩在内的有（人）；
成绩在内的有（人）；成绩在内的有人；
所以采用分层抽样抽取的13名学生中，成绩在内的有6人，在内的有5人，在内的有2人，
所以 这3名学生中成绩为优秀的人数X 的可能取值为0，1，2，
则，，，
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
故．
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）先根据频率直方图中频率之和为，求得，从而求得不低于70分与不低于90分的人数，即可求得这名学生成绩是优秀的概率；
（2）结合（1）中结论，求得成绩在，与内的人数，利用分层抽样比例相同求得 这3名学生中成绩为优秀的人数X 的可能取值为0，1，2，利用组合数求得各取值对应的概率，进而得到X的分布列与数学期望．
（1）依题意，得，解得，
则不低于70分的人数为，
成绩在内的，即优秀的人数为；
故这名学生成绩是优秀的概率为；
（2）成绩在内的有（人）；
成绩在内的有（人）；成绩在内的有人；
故采用分层抽样抽取的13名学生中，成绩在内的有6人，在内的有5人，在内的有2人，
所以由题可知，X的可能取值为0，1，2，
则，，，
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
故．
18．【答案】（1）解：因为双曲线的离心率为 ，所以，
因为，所以时，，
所以该双曲线经过点，所以，解得，
又，所以，
即双曲线的标准方程为；
（2）当时，直线的方程为，
解：因为 直线与双曲线分别交于两点，
联立方程，消去后整理为，
，
所以，
所以，
因为，
所以
故.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由 双曲线的离心率为 可得，双曲线经过点，代入双曲线方程结合可求出，从而可求出双曲线方程；
（2） 直线与双曲线分别交于两点， 联立方程，直线的方程为，代入双曲线方程化简得一元二次方程，利用根与系数的关系，然后化简和即可得答案.
（1）由题意可知，，
因为，所以时，，
所以该双曲线经过点，即，解得，
又，所以，
即双曲线的标准方程为；
（2）当时，直线的方程为，
联立方程，消去后整理为，
，
所以，
所以，
因为，
所以
故.
19．【答案】（1）解：，由题意知，解得，
经验证，当时，在处取得极大值，
此时，定义域为，所以，
解的解集为，的解集为，
所以函数的单调增区间为和，单调减区间为；
（2）解：，令，则，
①当时，在上恒成立，单调递减，
又因为，，所以存在，使得，
易知是函数的极大值点，
，令，解得或，
易知极大值点为，极小值点为1，
由题意可知，成立，则有，解得；
②当时，由（1）及①可知，0既是函数的极大值点，又是的极大值点，
不符题意，所以舍去；
③当时，的解集为，的解集为，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为有极值点，所以有两个零点，所以应有，解得，
，令，则，令，
因为时，由上述论证可知，恒成立，所以，
即在上单调递增，又因为，所以在上恒成立，
所以，又因为.
所以存在，使得，即是函数的极值点，
易知1是的极值点，而，不符题意，所以舍去.
综上，的取值范围为.
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据函数 在处取得极值，求得的值，根据导数与函数的关系，即可确定函数的单调区间；
（2）根据函数和均存在极值点，先确定函数的极值点，讨论①当、、时的单调性，从而可得函数的极值点，再得确定函数的极值点，由函数的极值点均大于的极值点，即可得实数的取值范围.
（1）解：，由题意知，解得，
经验证，当时，在处取得极大值，
此时，定义域为，所以，
解的解集为，的解集为，
所以函数的单调增区间为和，单调减区间为；
（2）解：，令，则，
①当时，在上恒成立，单调递减，
又因为，，所以存在，使得，
易知是函数的极大值点，
，令，解得或，
易知极大值点为，极小值点为1，
由题意可知，成立，则有，解得；
②当时，由（1）及①可知，0既是函数的极大值点，又是的极大值点，
不符题意，所以舍去；
③当时，的解集为，的解集为，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为有极值点，所以有两个零点，所以应有，解得，
，令，则，令，
因为时，由上述论证可知，恒成立，所以，
即在上单调递增，又因为，所以在上恒成立，
所以，又因为.
所以存在，使得，即是函数的极值点，
易知1是的极值点，而，不符题意，所以舍去.
综上，的取值范围为.
1 / 1
