广东省汕头市潮阳启声学校2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题
1．（2024高二下·潮阳月考）已知是虚数单位，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．（2024高二下·潮阳月考）已知向量，则（ ）
A．// B．//
C． D．
3．（2024高二下·潮阳月考）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·潮阳月考）已知函数 是R上的可导函数， 的导数 的图像如图，则下列结论正确的是
A．a， c分别是极大值点和极小值点
B．b，c分别是极大值点和极小值点
C．f(x)在区间（a，c）上是增函数
D．f(x)在区间（b，c）上是减函数
5．（2024高二下·潮阳月考）学校里获奖的3名同学和一名颁奖领导排成一排上台拍照，要求领导站在最边上，则不同的站位顺序共有（ ）
A．6种 B．12种 C．18种 D．24种
6．（2024高二下·潮阳月考）已知甲乙两人投篮的命中率分别是0.5和0.9，且两人投篮相互没有影响，若投进一球得2分，未投进得0分，则每人投篮一次，得分相等的概率为（ ）
A．0.40 B．0.45 C．0.50 D．0.05
7．（2024高二下·潮阳月考）某产品的销售收入，生产成本，产量之间满足以下函数，，要使利润最大，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．（2024高二下·潮阳月考）若函数单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·潮阳月考）已知椭圆，则下列说法中正确的是（ ）
A．椭圆的焦点在轴上 B．椭圆的长轴长是
C．椭圆的焦距为 D．椭圆的离心率为
10．（2024高二下·潮阳月考）过点且与曲线相切的直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高二下·潮阳月考）已知函数，则（ ）
A．是最小正周期是 B．是的一个极值点
C．的最小值是 D．在上单调递减
12．（2024高二下·潮阳月考）函数在处的切线方程为 .
13．（2024高二下·潮阳月考）已知是各项均为正的等比数列，为其前项和，若，，则公比 ， ．
14．（2024高二下·潮阳月考）已知函数，，请写出函数和的图象的一条公共切线的方程为 .
15．（2024高二下·潮阳月考）某公司对25家连锁店进行了考核，将各连锁店的评估分数按分成4组，划分为四个等级，等级评定标准如表所示.
评估分数
评定等级
（1）估计各连锁店评估得分的第52百分位数；
（2）从评估分数不小于80的连锁店中随机抽取2家介绍经验，求至少抽到1家等级的概率.
16．（2024高二下·潮阳月考）已知函数在处的切线方程为.
（1）求实数的值；
（2）求函数的极值.
17．（2024高二下·潮阳月考）如图，在四面体中，平面为的中点.
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求四面体外接球的表面积.
18．（2024高二下·潮阳月考）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若对恒成立，求的取值范围．
19．（2024高二下·潮阳月考） 已知函数.
（1）证明：恰有一个零点，且；
（2）我们曾学习过“二分法”求函数零点的近似值，另一种常用的求零点近似值的方法是“牛顿切线法”.任取，实施如下步骤：在点处作的切线，交轴于点：在点处作的切线，交轴于点；一直继续下去，可以得到一个数列，它的各项是不同精确度的零点近似值.
（i）设，求的解析式；
（ii）证明：当，总有.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数的模
【解析】【解答】由题意.
故选：C.
【分析】本题考查复数的模长公式.根据复数模长公式的性质：，再利用复数的模长公式进行计算可得：，再进行计算可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】A.D.易知，因为，
所以，故成立，则//不成立，故A错误，D正确，
B.C.而，显然，，
则，//不成立，故BC错误.
故选：D
【分析】本题考查平面向量平行的坐标转化和平面向量垂直的坐标转化.利用平面向量的坐标运算结合平面向量垂直的坐标转化公式计算可判断A选项和D选项；利用平面向量垂直的坐标转化公式和平面向量平行的坐标转化公式计算可判断B选项和C选项.
3．【答案】A
【知识点】并集及其运算；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】，则.
故选：A.
【分析】本题考查集合的基本运算.先利用对数函数单调性可求出集合，再利用集合并集含义可求出，据此可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】A，在x=a处导数左负右正，为极小值点，在x=c处导数左正右正，不为极值点，A错误；
B，在x=b处导数不为0，在x=c处导数左正右正，不为极值点，B错误；
C，f（x）在区间（a，c）上的导数大于0，则f（x）在区间（a，c）上是增函数，C正确；
D，f（x）在区间（b，c）上的导数大于0，则f（x）在区间（b，c）上是增函数，D错误．
故选：C．
【分析】利用函数极值点的定义以及导函数与函数单调性的关系可判断出正确选项.
5．【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】领导可以在最左边或者最右边，剩余的3名同学全排列即可，
则共有不同的站位顺序共有种.
故选：B.
【分析】本题考查排列组合的实际应用.根据题意可得领导可以在最左边或者最右边，剩余的3名同学全排列，据此可列出式子，再进行计算可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】若两人都没有投进，概率，
若两人都投进，概率，
则得分相等的概率.
故答案为：C.
【分析】本题考查相互独立事件的概率.根据题意需要分两种情况：两人都没有投进；两人都投进，利用相互独立事件的概率公式依次求出两种情况的概率，再进行相加可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】依题意，，，求导得，
当时，；当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，利润最大.
故选：A
【分析】本题考查利用导函数研究函数的极值.先求出导函数可得：，进而可得函数的单调性，根据单调性可求出函数的最值，进而可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】依题意，即对任意恒成立，
即恒成立，因为（当且仅当时取“=”），
所以.
故选：D
【分析】本题考查函数的恒成立问题，利用基本不等式求最值.根据单调递增可得：，进而可推出对任意恒成立，分离常数可得：恒成立，再利用基本不等式进行计算可求出的取值范围.
9．【答案】A,B,D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，
因为椭圆的方程为，
A.所以椭圆的焦点在上，且，A正确，
B.所以椭圆的长轴长为，B正确，
C.椭圆的焦距为，C错误；
D.椭圆的离心率，D正确.
故选：ABD.
【分析】本题考查椭圆的简单几何性质.设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，根据椭圆方程可推出椭圆的焦点在上，且，据此可判断A选项；根据椭圆长轴长为2a可求出长轴长，据此可判断B选项；根据椭圆的焦距为2c可求出焦距，据此可判断C选项；根据椭圆的离心率计算公式可求出椭圆的离心率，据此可判断D选项；
10．【答案】B,C
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】设过点的切线与曲线相切于点，
因为，则曲线在点处的切线斜率为，
所以切线方程为，
因为切线过点，所以，解得或，
故切线方程为或.
故选：BC.
【分析】本题考查曲线的切线方程，设过点的切线与曲线相切于点，再求出导函数求出切线的斜率，写出切线方程为，再根据切线过点可列出方程，解方程可求出的值，反代回式子可求出切线的方程.
11．【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：对于A，假设是最小正周期是为，
则，
显然根据正弦的诱导公式知的最小正值为，则是最小正周期是，故A正确；
对于B，
，
则，
当时，；当时，，
则在的左右两侧，导函数符号不变，故不是的一个极值点，故B错误；
对于C，，
当时，，函数单调递增；
当，时，，函数单调递减，
所以，故C错误；
对于D，由选项C分析可知，令，则的一个单调减区间为，
则在上单调递减，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】通过结合函数的周期性，则可判断选项A；先求导得出，再根据极值点的定义，即可判断选项B；根据选项B中的导函数判断函数的单调性，即可判断选项C和选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】，所以切线的斜率为，
所以函数在处的切线方程为，即.
故答案为：.
【分析】本题考查曲线的切线方程.先求出导函数可得：，再利用导数可求得切线斜率，利用直线的点斜式方程可求出过点的切线方程.
13．【答案】2；15
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】依题意，，，解得，
所以.
故答案为：；
【分析】本题考查等比数列的通项公式和前n项和公式.利用等比数列的通项公式可列出方程，解方程可求出公比q，再代入等比数列的前n项和公式可求出.
14．【答案】（或）
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】因为，，则，，
设函数上的切点坐标为，切线斜率为，
函数上的切点坐标为，切线斜率为，
由切线斜率可得，即，
可得公切线方程为，
代入点可得，
代入可得，
整理得，解得或，
所以切线方程为或.
故答案为：（或）.
【分析】本题考查曲线的切线方程.设切点坐标分别为，，写出公切线方程为，代入点，化简后可列出方程：，解得或，反代回方程可求出公切线方程.
15．【答案】（1）依题意，评估分数在的频率为，
评估得分的第52百分位数，则，解得，
所以各连锁店评估得分的第52百分位数是75.
（2）评估分数不小于80的连锁店共有家，其中在内的有4家，记为，
在内的有2家，记为，从6家连锁店中随机抽取2家的样本空间：
，共15个样本点，
至少抽到1家等级的事件，共9个样本点，
所以至少抽到1家等级的概率.
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】本题考查百分位数的定义，古典型概率的公式.（1）先利用频率分布直方图求出评估分数在的频率，评估得分的第52百分位数，再利用百分位数的定义可列出方程，解方程可求出m的值，据此可求出答案；
（2）先求出评估分数不小于80的连锁店家数，在内的有4家，记为，
在内的有2家，记为，再利用列举法可写出样本空间，利用古典型概率的公式可求出概率.
（1）依题意，评估分数在的频率为，
评估得分的第52百分位数，则，解得，
所以各连锁店评估得分的第52百分位数是75.
（2）评估分数不小于80的连锁店共有家，其中在内的有4家，记为，
在内的有2家，记为，从6家连锁店中随机抽取2家的样本空间：
，共15个样本点，
至少抽到1家等级的事件，共9个样本点，
所以至少抽到1家等级的概率.
16．【答案】（1）因为，则，
因为函数在处的切线方程为，
则，解得.
（2）函数的定义域为，
则，
由可得，列表如下：
减 极小值 增
所以，函数的单调减区间为，单调增区间为，
故函数的极小值为，无极大值.
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】本题考查古典型概率，利用导函数研究函数的极值.（1）先求出导函数可得：，利用导数的几何意义可列出方程组：，解方程组可求出、的值，进而可求出答案；
（2）先求出函数的定义域，在求出导函数可得：，令可求出，进而可求出函数的单调性，利用极值的定义可求出函数的极值.
（1）因为，则，
因为函数在处的切线方程为，
则，解得.
（2）函数的定义域为，
则，
由可得，列表如下：
减 极小值 增
所以，函数的单调减区间为，单调增区间为，
故函数的极小值为，无极大值.
17．【答案】（1）因为平面，平面，所以.
又因为，，平面，
所以平面，又平面，所以.
（2）如图，设的中点为，的中点为，连接，，
因为平面，且，所以平面，
由，且，可得，，两两垂直，
所以分别以，，所在直线为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，.
所以，，.
设平面的一个法向量为，
由，，得令，得.
设平面的一个法向量为，
由，，得令，得.
所以.
由图可知，二面角的平面角为锐角，故余弦值为.
（3）根据（2），记的中点为，
由题意，为直角三角形，斜边，所以.
由（1）得平面，因为平面，所以.
在直角中，为斜边的中点， 所以.
所以为四面体的外接球的球心，
故四面体的外接球的表面积.
【知识点】球内接多面体；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】本题考查直线与平面垂直的盘点，利用空间向量求二面角，几何体的外接球问题.（1）先利用直线与平面垂直的性质可得：平面，利用直线与平面垂直的判定定理可得：平面，利用直线与平面垂直的性质可证明：；
（2）利用中位线的性质和直线与平面垂直的性质可得：平面，以，，所在直线为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用空间向量的夹角计算公式可求出二面角的余弦值 ；
（3）取的中点为，利用直角三角形的性质可得，利用线段长相等即可证得为四面体的外接球的球心，利用球的表面积计算公式进行计算可求出球的表面积.
（1）因为平面，平面，所以.
又因为，，平面，
所以平面，又平面，所以.
（2）如图，设的中点为，的中点为，连接，，
因为平面，且，所以平面，
由，且，可得，，两两垂直，
所以分别以，，所在直线为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，.
所以，，.
设平面的一个法向量为，
由，，得令，得.
设平面的一个法向量为，
由，，得令，得.
所以.
由图可知，二面角的平面角为锐角，故余弦值为.
（3）根据（2），记的中点为，
由题意，为直角三角形，斜边，所以.
由（1）得平面，因为平面，所以.
在直角中，为斜边的中点， 所以.
所以为四面体的外接球的球心，
故四面体的外接球的表面积.
18．【答案】（1）由题，，
令，得或，
当时，令，解得或，
令，解得，
当时，，
当时，令，解得或，
令，解得，
综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减，
当时，在R上单调递增，
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（2）因为，对恒成立，
所以，得，
若，由（1）知在和上单调递增，在上单调递减，
，即，解得，
；
若，在上单调递增，恒成立，
；
若，在和上单调递增，在上单调递减.
，即，解得，
又，
，
，
综上，符合题意的实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】本题考查利用导函数研究函数的单调性，函数的恒成立问题.（1）先求出导数可得：，讨论判断的正负，据此可求出函数的单调性 ；
（2）先通过特例，得， 根据（1）的结论可列出不等式组
，解不等式组可得：；若，利用单调性可得满足；若，根据（1）的结论可列出不等式组，解不等式组可得，综合三种情况可求出实数a的取值范围.
（1）由题，，
令，得或，
当时，令，解得或，
令，解得，
当时，，
当时，令，解得或，
令，解得，
综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减，
当时，在R上单调递增，
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（2）因为，对恒成立，
所以，得，
若，由（1）知在和上单调递增，在上单调递减，
，即，解得，
；
若，在上单调递增，恒成立，
；
若，在和上单调递增，在上单调递减.
，即，解得，
又，
，
，
综上，符合题意的实数的取值范围为.
19．【答案】（1），定义域为，
所以，在上恒成立，
所以函数在上单调递增，
因为， ，
所以，存在唯一，使得，即：有唯一零点，且；
（2）（i）由（1）知，
所以，曲线在处的切线斜率为，
所以，曲线在处的切线方程为，即，
令得，
所以，切线与轴的交点，即，
所以，；
证明：（ii）对任意的，由（i）知，曲线在，处的切线方程为：，
故令，
令，
所以，，
所以，当时，，单调递增，当，时，，单调递减，
所以，恒有，即恒成立，当且仅当时等号成立，
另一方面，由（i）知，，且当时，，
（若，则，故任意，显然矛盾），
因为是的零点，
所以，
因为为单调递增函数，
所以，对任意的时，总有，
又因为，
所以，对于任意，均有，
所以，，，
所以，
综上，当，总有．
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】本题主要考查导师的几何意义及利用导数判定函数的单调性，零点存在定理.
（1）先确定函数的定义域再对函数求导，利用导数的正负判定函数的单调性，再根据零点存在定理即可证明结论；
（2）（i）由（1）知，根据导数的几何意义可得曲线在处的切线斜率为，然后再运用点斜式写出直线的方程，令y=0，可求得切线与x轴的交点，进而得到的解析式；（ii）令，进而构造函数，然后求导确定函数的单调性，根据其单调性即可证明结论.
1 / 1广东省汕头市潮阳启声学校2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题
1．（2024高二下·潮阳月考）已知是虚数单位，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】复数的模
【解析】【解答】由题意.
故选：C.
【分析】本题考查复数的模长公式.根据复数模长公式的性质：，再利用复数的模长公式进行计算可得：，再进行计算可求出答案.
2．（2024高二下·潮阳月考）已知向量，则（ ）
A．// B．//
C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】A.D.易知，因为，
所以，故成立，则//不成立，故A错误，D正确，
B.C.而，显然，，
则，//不成立，故BC错误.
故选：D
【分析】本题考查平面向量平行的坐标转化和平面向量垂直的坐标转化.利用平面向量的坐标运算结合平面向量垂直的坐标转化公式计算可判断A选项和D选项；利用平面向量垂直的坐标转化公式和平面向量平行的坐标转化公式计算可判断B选项和C选项.
3．（2024高二下·潮阳月考）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】并集及其运算；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】，则.
故选：A.
【分析】本题考查集合的基本运算.先利用对数函数单调性可求出集合，再利用集合并集含义可求出，据此可求出答案.
4．（2024高二下·潮阳月考）已知函数 是R上的可导函数， 的导数 的图像如图，则下列结论正确的是
A．a， c分别是极大值点和极小值点
B．b，c分别是极大值点和极小值点
C．f(x)在区间（a，c）上是增函数
D．f(x)在区间（b，c）上是减函数
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】A，在x=a处导数左负右正，为极小值点，在x=c处导数左正右正，不为极值点，A错误；
B，在x=b处导数不为0，在x=c处导数左正右正，不为极值点，B错误；
C，f（x）在区间（a，c）上的导数大于0，则f（x）在区间（a，c）上是增函数，C正确；
D，f（x）在区间（b，c）上的导数大于0，则f（x）在区间（b，c）上是增函数，D错误．
故选：C．
【分析】利用函数极值点的定义以及导函数与函数单调性的关系可判断出正确选项.
5．（2024高二下·潮阳月考）学校里获奖的3名同学和一名颁奖领导排成一排上台拍照，要求领导站在最边上，则不同的站位顺序共有（ ）
A．6种 B．12种 C．18种 D．24种
【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】领导可以在最左边或者最右边，剩余的3名同学全排列即可，
则共有不同的站位顺序共有种.
故选：B.
【分析】本题考查排列组合的实际应用.根据题意可得领导可以在最左边或者最右边，剩余的3名同学全排列，据此可列出式子，再进行计算可求出答案.
6．（2024高二下·潮阳月考）已知甲乙两人投篮的命中率分别是0.5和0.9，且两人投篮相互没有影响，若投进一球得2分，未投进得0分，则每人投篮一次，得分相等的概率为（ ）
A．0.40 B．0.45 C．0.50 D．0.05
【答案】C
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】若两人都没有投进，概率，
若两人都投进，概率，
则得分相等的概率.
故答案为：C.
【分析】本题考查相互独立事件的概率.根据题意需要分两种情况：两人都没有投进；两人都投进，利用相互独立事件的概率公式依次求出两种情况的概率，再进行相加可求出答案.
7．（2024高二下·潮阳月考）某产品的销售收入，生产成本，产量之间满足以下函数，，要使利润最大，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】依题意，，，求导得，
当时，；当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，利润最大.
故选：A
【分析】本题考查利用导函数研究函数的极值.先求出导函数可得：，进而可得函数的单调性，根据单调性可求出函数的最值，进而可求出答案.
8．（2024高二下·潮阳月考）若函数单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】依题意，即对任意恒成立，
即恒成立，因为（当且仅当时取“=”），
所以.
故选：D
【分析】本题考查函数的恒成立问题，利用基本不等式求最值.根据单调递增可得：，进而可推出对任意恒成立，分离常数可得：恒成立，再利用基本不等式进行计算可求出的取值范围.
9．（2024高二下·潮阳月考）已知椭圆，则下列说法中正确的是（ ）
A．椭圆的焦点在轴上 B．椭圆的长轴长是
C．椭圆的焦距为 D．椭圆的离心率为
【答案】A,B,D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，
因为椭圆的方程为，
A.所以椭圆的焦点在上，且，A正确，
B.所以椭圆的长轴长为，B正确，
C.椭圆的焦距为，C错误；
D.椭圆的离心率，D正确.
故选：ABD.
【分析】本题考查椭圆的简单几何性质.设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，根据椭圆方程可推出椭圆的焦点在上，且，据此可判断A选项；根据椭圆长轴长为2a可求出长轴长，据此可判断B选项；根据椭圆的焦距为2c可求出焦距，据此可判断C选项；根据椭圆的离心率计算公式可求出椭圆的离心率，据此可判断D选项；
10．（2024高二下·潮阳月考）过点且与曲线相切的直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】设过点的切线与曲线相切于点，
因为，则曲线在点处的切线斜率为，
所以切线方程为，
因为切线过点，所以，解得或，
故切线方程为或.
故选：BC.
【分析】本题考查曲线的切线方程，设过点的切线与曲线相切于点，再求出导函数求出切线的斜率，写出切线方程为，再根据切线过点可列出方程，解方程可求出的值，反代回式子可求出切线的方程.
11．（2024高二下·潮阳月考）已知函数，则（ ）
A．是最小正周期是 B．是的一个极值点
C．的最小值是 D．在上单调递减
【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：对于A，假设是最小正周期是为，
则，
显然根据正弦的诱导公式知的最小正值为，则是最小正周期是，故A正确；
对于B，
，
则，
当时，；当时，，
则在的左右两侧，导函数符号不变，故不是的一个极值点，故B错误；
对于C，，
当时，，函数单调递增；
当，时，，函数单调递减，
所以，故C错误；
对于D，由选项C分析可知，令，则的一个单调减区间为，
则在上单调递减，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】通过结合函数的周期性，则可判断选项A；先求导得出，再根据极值点的定义，即可判断选项B；根据选项B中的导函数判断函数的单调性，即可判断选项C和选项D，从而找出正确的选项.
12．（2024高二下·潮阳月考）函数在处的切线方程为 .
【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】，所以切线的斜率为，
所以函数在处的切线方程为，即.
故答案为：.
【分析】本题考查曲线的切线方程.先求出导函数可得：，再利用导数可求得切线斜率，利用直线的点斜式方程可求出过点的切线方程.
13．（2024高二下·潮阳月考）已知是各项均为正的等比数列，为其前项和，若，，则公比 ， ．
【答案】2；15
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】依题意，，，解得，
所以.
故答案为：；
【分析】本题考查等比数列的通项公式和前n项和公式.利用等比数列的通项公式可列出方程，解方程可求出公比q，再代入等比数列的前n项和公式可求出.
14．（2024高二下·潮阳月考）已知函数，，请写出函数和的图象的一条公共切线的方程为 .
【答案】（或）
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】因为，，则，，
设函数上的切点坐标为，切线斜率为，
函数上的切点坐标为，切线斜率为，
由切线斜率可得，即，
可得公切线方程为，
代入点可得，
代入可得，
整理得，解得或，
所以切线方程为或.
故答案为：（或）.
【分析】本题考查曲线的切线方程.设切点坐标分别为，，写出公切线方程为，代入点，化简后可列出方程：，解得或，反代回方程可求出公切线方程.
15．（2024高二下·潮阳月考）某公司对25家连锁店进行了考核，将各连锁店的评估分数按分成4组，划分为四个等级，等级评定标准如表所示.
评估分数
评定等级
（1）估计各连锁店评估得分的第52百分位数；
（2）从评估分数不小于80的连锁店中随机抽取2家介绍经验，求至少抽到1家等级的概率.
【答案】（1）依题意，评估分数在的频率为，
评估得分的第52百分位数，则，解得，
所以各连锁店评估得分的第52百分位数是75.
（2）评估分数不小于80的连锁店共有家，其中在内的有4家，记为，
在内的有2家，记为，从6家连锁店中随机抽取2家的样本空间：
，共15个样本点，
至少抽到1家等级的事件，共9个样本点，
所以至少抽到1家等级的概率.
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】本题考查百分位数的定义，古典型概率的公式.（1）先利用频率分布直方图求出评估分数在的频率，评估得分的第52百分位数，再利用百分位数的定义可列出方程，解方程可求出m的值，据此可求出答案；
（2）先求出评估分数不小于80的连锁店家数，在内的有4家，记为，
在内的有2家，记为，再利用列举法可写出样本空间，利用古典型概率的公式可求出概率.
（1）依题意，评估分数在的频率为，
评估得分的第52百分位数，则，解得，
所以各连锁店评估得分的第52百分位数是75.
（2）评估分数不小于80的连锁店共有家，其中在内的有4家，记为，
在内的有2家，记为，从6家连锁店中随机抽取2家的样本空间：
，共15个样本点，
至少抽到1家等级的事件，共9个样本点，
所以至少抽到1家等级的概率.
16．（2024高二下·潮阳月考）已知函数在处的切线方程为.
（1）求实数的值；
（2）求函数的极值.
【答案】（1）因为，则，
因为函数在处的切线方程为，
则，解得.
（2）函数的定义域为，
则，
由可得，列表如下：
减 极小值 增
所以，函数的单调减区间为，单调增区间为，
故函数的极小值为，无极大值.
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】本题考查古典型概率，利用导函数研究函数的极值.（1）先求出导函数可得：，利用导数的几何意义可列出方程组：，解方程组可求出、的值，进而可求出答案；
（2）先求出函数的定义域，在求出导函数可得：，令可求出，进而可求出函数的单调性，利用极值的定义可求出函数的极值.
（1）因为，则，
因为函数在处的切线方程为，
则，解得.
（2）函数的定义域为，
则，
由可得，列表如下：
减 极小值 增
所以，函数的单调减区间为，单调增区间为，
故函数的极小值为，无极大值.
17．（2024高二下·潮阳月考）如图，在四面体中，平面为的中点.
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求四面体外接球的表面积.
【答案】（1）因为平面，平面，所以.
又因为，，平面，
所以平面，又平面，所以.
（2）如图，设的中点为，的中点为，连接，，
因为平面，且，所以平面，
由，且，可得，，两两垂直，
所以分别以，，所在直线为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，.
所以，，.
设平面的一个法向量为，
由，，得令，得.
设平面的一个法向量为，
由，，得令，得.
所以.
由图可知，二面角的平面角为锐角，故余弦值为.
（3）根据（2），记的中点为，
由题意，为直角三角形，斜边，所以.
由（1）得平面，因为平面，所以.
在直角中，为斜边的中点， 所以.
所以为四面体的外接球的球心，
故四面体的外接球的表面积.
【知识点】球内接多面体；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】本题考查直线与平面垂直的盘点，利用空间向量求二面角，几何体的外接球问题.（1）先利用直线与平面垂直的性质可得：平面，利用直线与平面垂直的判定定理可得：平面，利用直线与平面垂直的性质可证明：；
（2）利用中位线的性质和直线与平面垂直的性质可得：平面，以，，所在直线为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用空间向量的夹角计算公式可求出二面角的余弦值 ；
（3）取的中点为，利用直角三角形的性质可得，利用线段长相等即可证得为四面体的外接球的球心，利用球的表面积计算公式进行计算可求出球的表面积.
（1）因为平面，平面，所以.
又因为，，平面，
所以平面，又平面，所以.
（2）如图，设的中点为，的中点为，连接，，
因为平面，且，所以平面，
由，且，可得，，两两垂直，
所以分别以，，所在直线为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，.
所以，，.
设平面的一个法向量为，
由，，得令，得.
设平面的一个法向量为，
由，，得令，得.
所以.
由图可知，二面角的平面角为锐角，故余弦值为.
（3）根据（2），记的中点为，
由题意，为直角三角形，斜边，所以.
由（1）得平面，因为平面，所以.
在直角中，为斜边的中点， 所以.
所以为四面体的外接球的球心，
故四面体的外接球的表面积.
18．（2024高二下·潮阳月考）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若对恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）由题，，
令，得或，
当时，令，解得或，
令，解得，
当时，，
当时，令，解得或，
令，解得，
综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减，
当时，在R上单调递增，
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（2）因为，对恒成立，
所以，得，
若，由（1）知在和上单调递增，在上单调递减，
，即，解得，
；
若，在上单调递增，恒成立，
；
若，在和上单调递增，在上单调递减.
，即，解得，
又，
，
，
综上，符合题意的实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】本题考查利用导函数研究函数的单调性，函数的恒成立问题.（1）先求出导数可得：，讨论判断的正负，据此可求出函数的单调性 ；
（2）先通过特例，得， 根据（1）的结论可列出不等式组
，解不等式组可得：；若，利用单调性可得满足；若，根据（1）的结论可列出不等式组，解不等式组可得，综合三种情况可求出实数a的取值范围.
（1）由题，，
令，得或，
当时，令，解得或，
令，解得，
当时，，
当时，令，解得或，
令，解得，
综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减，
当时，在R上单调递增，
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（2）因为，对恒成立，
所以，得，
若，由（1）知在和上单调递增，在上单调递减，
，即，解得，
；
若，在上单调递增，恒成立，
；
若，在和上单调递增，在上单调递减.
，即，解得，
又，
，
，
综上，符合题意的实数的取值范围为.
19．（2024高二下·潮阳月考） 已知函数.
（1）证明：恰有一个零点，且；
（2）我们曾学习过“二分法”求函数零点的近似值，另一种常用的求零点近似值的方法是“牛顿切线法”.任取，实施如下步骤：在点处作的切线，交轴于点：在点处作的切线，交轴于点；一直继续下去，可以得到一个数列，它的各项是不同精确度的零点近似值.
（i）设，求的解析式；
（ii）证明：当，总有.
【答案】（1），定义域为，
所以，在上恒成立，
所以函数在上单调递增，
因为， ，
所以，存在唯一，使得，即：有唯一零点，且；
（2）（i）由（1）知，
所以，曲线在处的切线斜率为，
所以，曲线在处的切线方程为，即，
令得，
所以，切线与轴的交点，即，
所以，；
证明：（ii）对任意的，由（i）知，曲线在，处的切线方程为：，
故令，
令，
所以，，
所以，当时，，单调递增，当，时，，单调递减，
所以，恒有，即恒成立，当且仅当时等号成立，
另一方面，由（i）知，，且当时，，
（若，则，故任意，显然矛盾），
因为是的零点，
所以，
因为为单调递增函数，
所以，对任意的时，总有，
又因为，
所以，对于任意，均有，
所以，，，
所以，
综上，当，总有．
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】本题主要考查导师的几何意义及利用导数判定函数的单调性，零点存在定理.
（1）先确定函数的定义域再对函数求导，利用导数的正负判定函数的单调性，再根据零点存在定理即可证明结论；
（2）（i）由（1）知，根据导数的几何意义可得曲线在处的切线斜率为，然后再运用点斜式写出直线的方程，令y=0，可求得切线与x轴的交点，进而得到的解析式；（ii）令，进而构造函数，然后求导确定函数的单调性，根据其单调性即可证明结论.
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