浙江省三锋教研联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题
1．（2024高二下·浙江期中） 函数在点处的切线方程（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·浙江期中） 已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·浙江期中） 已知今天是星期三，则经过天后是（ ）
A．星期四 B．星期五 C．星期六 D．星期日
4．（2024高二下·浙江期中） 在中，，且满足该条件的有两个，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·浙江期中） 某校高二数学期末考试成绩近似服从正态分布，且，已知该校高二数学期末考试成绩超过80分的人数有420人，则（ ）
A．估计该校高二学生人数为520.
B．估计该校高二学生中成绩不超过95分的人数为280.
C．估计该校高二学生中成绩介于80到95分之间的人数为170.
D．在该校高二学生中任取1人，其成绩低于70分的概率大于超过120分的概率.
6．（2024高二下·浙江期中） 由未来科学大奖联合中国科技馆共同主办的“同上一堂科学课”——科学点燃青春：未来科学大奖获奖者对话青少年活动于2023年9月8日在全国各地以线上线下结合的方式举行.现有某市组织5名获奖者到当地三个不同的会场与学生进行对话活动，要求每个会场至多派两名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有（ ）
A．60种 B．90种 C．150种 D．180种
7．（2024高二下·浙江期中） 若函数在区间恰存在三个零点，两个最值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·浙江期中） 已知函数在上有且仅有一个零点，则实数的取值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·浙江期中）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在单调递减
C．函数的图象关于轴对称
D．若，则的最小值为
10．（2024高二下·浙江期中） 某中药材盒中共有包装相同的7袋药材，其中党参有3袋，黄芪有4袋，从中取出两袋，下列说法正确的是（ ）
A．若有放回抽取，则取出一袋党参一袋黄芪的概率为
B．若有放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，第2次取出党参的概率为
C．若不放回抽取，则第2次取到党参的概率算法可以是
D．若不放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，取到一袋党参一袋黄芪的概率为
11．（2024高二下·浙江期中）已知展开式的二项式系数和为，，下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024高二下·浙江期中） 对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的单调递减区间为和
B．当时，
C．若方程有6个不等实数根，则
D．设，若对，使得成立，则
13．（2024高二下·浙江期中） 已知随机变量满足，若，则 .
14．（2024高二下·浙江期中） 已知函数导函数为，且，则 .
15．（2024高二下·浙江期中） 小明的生日是07年10月27日，他打算从这六个数字的所有不同排列中任选一种设置为自己的6位数手机密码，其中数字1，2不相邻，则他可设置的密码有 种.
16．（2024高二下·浙江期中） 人间四月天，正是春游好时节.某学校组织高二学生去远足，该远足路线会经过一处瀑布.有一个学生为了测量该瀑布的实际高度，记录了如下测量数据：先沿一段水平山道步行至与瀑布底端在同一水平面时，在此位置测得瀑布顶端的仰角正切值为，沿着山道继续走，测得瀑布顶端仰角正切值为，已知该同学沿山道行进方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成的角为.根据该同学的测量数据，可知该瀑布的高度为 .
17．（2024高二下·浙江期中） 已知的展开式中，第二项系数与第三项系数之比为，
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中所有的有理项.
18．（2024高二下·浙江期中） 已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若，且函数在上的最大值为，求的值.
19．（2024高二下·浙江期中） 袋中有大小相同的小球10个，其中黑球3个，红球个，白球个，.从中任取2个球，至少有1个红球的概率为.
（1）任取3球，求取出的球中恰有2球同色的概率；
（2）任取2球，取到1个红球得2分，取到1个白球得0分，取到1个黑球得分，求总得分的概率分布列及数学期望.
20．（2024高二下·浙江期中） 已知锐角的内角，所对的边分别为，且.
（1）求角；
（2）若，求的周长的取值范围.
21．（2024高二下·浙江期中）某校团委组织学生开展了“全民迎亚运，学习当达人”知识竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取了100名，竞赛成绩（单位：分）分布如下：
成绩（分）
人数 6 28 30 32 4
（1）求抽取的100名学生竞赛成绩的平均分（同一组中数据用该组区间的中点值代替）；
（2）在参加该活动的学生中随机选取5名学生，求选取的5名学生中恰有3名学生竞赛成绩在区间内的概率；
（3）以频率估计概率，发现参赛学生竞赛成绩近似地服从正态分布，其中近似为样本平均分近似为样本方差，按比例前的参赛学生可获得“学习达人”称号，已知甲同学竞赛成绩86分，试问他能否获得“学习达人”称号.
参考数据：若，则，
.
22．（2024高二下·浙江期中） 已知函数.
（1）讨论函数的零点个数；
（2）若函数有两个极值点，证明：.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：函数，求导可得，则，
所以函数在点处的切线方程为，即.
故答案为：B.
【分析】根据导数的几何意义求解即可.
2．【答案】A
【知识点】同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以.
故答案为：A.
【分析】由题意，利用同角三角函数的基本关系，求出，再结合诱导公式求解即可.
3．【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：，
由于能被7整除，则除以7余，
故经过天后是是星期六.
故答案为：C.
【分析】根据，利用二项式定理求解即可.
4．【答案】D
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理可得：，解得，所以，
因为满足条件的有两个，所以，即，故的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】由正弦定理求出，由，且，求的取值范围即可.
5．【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点；正态分布定义
【解析】【解答】解：因为近似服从正态分布，所以，
又因为，则，
A、估计该校高二学生人数为，故A错误；
B、估计该校高二学生中成绩不超过95分的人数为，故B错误；
C、由，则成绩介于80到95分之间的人数为，故C正确；
D、因为，所以，故D错误；
故答案为：C.
【分析】根据近似服从正态分布，且，得到，进而得到高二学生人数，再逐项分析判断即可.
6．【答案】B
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：要求每个会场至多派两名获奖者，每名获奖者只去一个会场，将5名获奖者分成3组即型，再分配到3个不同会场，则不同的派出方法有种.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据排列组合求解即可.
7．【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：当，则，
依题意可得，解得，即的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】根据正弦函数的图象与性质，得到的取值范围，再解出的范围即可.
8．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为函数在上有且仅有一个零点，
所以方程在上有且仅有一个实数根，
令，即直线与函数在上有且仅有一个交点，
由，求导可得，令，解得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
故，即.
故答案为：C.
【分析】将问题转化为直线与函数在有且仅有一个交点，令，求导利用导数研究在上的单调性，求出的最小值，即可求得实数的取值.
9．【答案】C,D
【知识点】正弦函数的性质；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】由函数的图象，
可得，所以，所以，
又由，即，可得，
所以，因为，所以，所以，
A，由，A错误；
B，令，解得，
所以在单调递增，B错误；
C，将图象上的所有点沿轴向右平移个单位长度后，
得到的图象，此数函数为偶函数，
所以函数的图象关于轴对称，C正确；
D，由函数，可得，
使得成立，则，
因为函数的最小正周期为，所以的最小值为，D正确.
故选：CD.
【分析】本题考查根据函数图象求函数解析式，正弦函数的图象和性质.先根据函数图象可求出A的值，再根据函数图象可求出周期，利用周期计算公式可求出， 再将点代入函数解析式求出的值，进而可求出函数解析式即可判断A选项；根据正弦函数的图象和性质可得：，解不等式可求出的单调递增区间，据此可判断B选项；先求出将图象上的所有点沿轴向右平移个单位长度的解析式，再根据函数的奇偶性可判断出平移后的函数为偶函数，所以函数的图象关于轴对称，据此可判断C选项；根据函数解析式，利用正弦函数的性质可求出，再结合成立，则，利用周期性可求出的最小值，据此可判断D选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式；条件概率
【解析】【解答】解：A、因为是有放回抽取，抽到一袋党参的概率为，抽到一袋黄芪的概率为，
所以取出一袋党参一袋黄芪的概率为，故A正确；
B、第二次抽到党参的概率为，至少抽到一袋党参的概率为，所以所求概率为，故B正确；
C、因为不放回抽取，抽两次有种取法，第二次抽到党参的取法为，故C错误；
D、至少取出一袋党参的的概率为，取到一袋党参一袋黄芪的概率为，
所以在至少取出一袋党参的条件下，取到一袋党参一袋黄芪的概率为概率为，故D正确.
故选：ABD.
【分析】利用相互独立事件同时发生的概率公式求解判断即可；根据已知条件，利用条件概率公式，即可判断B；根据已知条件，利用古典概率公式求解判断C；利用条件概率公式求解判断D.
11．【答案】B,D
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由已知条件得，故，，
所以.
对于A，取，得，取，得，
所以，故A错误；
对于B，对
求导得，
取得，故B正确；
对于C，在中用替换，
得，
所以，
特别地对有，故C错误；
对于D，由得，
在中，
取得，
所以，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】先用题中条件得到的值，再取特殊值，即可判断出选项A；对表达式求导，即可判断出选项B；利用换元法结合二项式定理得出的展开式中的通项，即可判断出选项C；考查每一项系数的符号并取特殊值，即可判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】A,C,D
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、易知定义域为，又，
由，得到，所以且，
故函数的单调递减区间为，，故A正确；
B、令，则，当时，，即当在区间上单调递增，所以当时，，即，故B错误；
C、易知为偶函数，当时，，
由选项A知函数的单调递减区间为，，增区间为，
又当时，，当时，，当时，，时，
当时，，当时，，时，，
所以函数图象如图，直线与函数有6个不同交点，则，故C正确；
D、易知的值域为，而由选项C知函数的域，
由题意函数值域是函数值域的子集，则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】对求导，利用导数与函数单调性间的关系，直接求出单调区间，即可判断A；构造函数，求出的单调区间，再根据条件，即可判断B；利用为偶函数，当时，，利用选项A中的结果，求出函数的单调区间，进而可得出的图象，即可判断C；求出的值域，再根据条件，即可判断D.
13．【答案】
【知识点】极差、方差与标准差；二项分布
【解析】【解答】解：因为，所以，又因为，
所以，所以.
故答案为：8.
【分析】根据已知条件，利用二项分布的方差公式及方差性质计算判断即可.
14．【答案】
【知识点】函数的值；导数的四则运算
【解析】【解答】解：因为，所以，
则，解得，
所以，所以，
故答案为：.
【分析】由题意，对求导得到，令，求得，从而再代值求解即可.
15．【答案】
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：先排列，再将1，2进行插空，则共有种情况.
故答案为：120.
【分析】根据数字1，2不相邻，利用插空法求解即可.
16．【答案】
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设瀑布顶端为，底端为，高为，该同学第一次测量的位置为，
第二次测量的位置为，如图所示：
则，由题得，
在中，由余弦定理可知：，解得.
故答案为：50m.
【分析】设瀑布顶端为，底端为，高为，根据题意画出图象，结合题中条件求得，在中，利用余弦定理建立方程求解即可.
17．【答案】（1）解：展开式的通项为，
因为第二项系数与第三项系数之比为，所以 ，解得，则二项展开式由9项，
由二项式系数的性质可知，展开式中第5项的二项式系数最大，即.
（2）解：由（1）知，，又，由可得，
故展开式中的有理项为：.
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【分析】（1）求出展开式中第二项的系数与第三项的系数，根据已知条件可得出关于的方程，解出正整数的值，然后利用二项式系数的单调性可求得展开式中二项式系数最大的项；
（2）写出展开式的通项，即可求得展开式中所有的有理项.
18．【答案】（1）解：当时，定义域为，求导可得，
当时，；当时，
所以函数的单调减区间为，增区间为；
（2）解：，若，令得（舍负），
当时，，当，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
当，即时，所以函数在上单调递增，
则，得；
当，即时，函数在上递减，上递增，
则，
如若可以，只能，则（舍）；
当，即时，函数在上递减，
则（舍）.
综上可知，.
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）将代入求函数的定义域以及导函数，再根据导数的符号求函数的单调区间即可；
（2）先求出导函数的零点，再分零点是否在区间进行讨论，求函数的单调区间，求出函数的最值，即可求得a的值.
19．【答案】（1）解：，得，故黑球3个，红球5个，白球2个，
事件：取出的3球中恰有2球同色，则.
（2）解：的可能取值为，
，
，
，
的概率分布列
-2 -1 0 1 2 4
.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【分析】（1）根据古典概型的概率公式可得，再利用超几何分布的概率公式求解即可；
（2）根据题意可知的可能取值为，利用超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，再根据期望公式求解期望即可.
20．【答案】（1）解：因为
所以，.
即，由正弦定理得，
显然，所以，所以，
因为，所以.
（2）解：由正弦定理得，即，
则.
，
因为，解得，得，
所以，得.
【知识点】两角和与差的余弦公式；解三角形；正弦定理；辅助角公式
【解析】【分析】（1）由题意，利用两角和与差的余弦公式化简，再由正弦定理求得的值，最后结合角的范围求角即可；
（2）由正弦定理和三角恒等变换可求出周长的表达式，再根据角度的范围，利用正弦函数的性质即可求得周长的取值范围.
21．【答案】（1）；
（2）100个学生竞赛成绩在区间内的共有个，
因此从100个学生中抽取一个学生，成绩在内的概率为，
事件A：竞赛成绩在区间内且恰有3名学生，
；
（3）.
因为
所以甲同学能获得“学习达人”称号.
【知识点】频率分布直方图；二项分布；正态分布定义
【解析】【分析】本题考查频率分布直方图，二项分布，正态分布.（1）根据频率分布表，利用平均数的计算公式计算可求出平均数；
（2）先根据频率分布表求出成绩在内的概率，利用二项分布的计算公式可求出答案；
（3）先利用方差的公式计算可求出的值，利用正态分布的性质进行计算可得：，再进行计算可作出判断。
（1）；
（2）100个学生竞赛成绩在区间内的共有个，
因此从100个学生中抽取一个学生，成绩在内的概率为，
事件A：竞赛成绩在区间内且恰有3名学生，
；
（3）.
因为
所以甲同学能获得“学习达人”称号.
22．【答案】（1）解：令得，
令，
要求零点个数，即求直线与函数交点个数，
则由得，由得，
所以函数在上递增，在上递减，得，
当且无限趋近于0时，；当趋向于正无穷时，无接近于0，
故当或即或时，函数只有一个零点；
当即时，函数有两个零点；
当时，函数没有零点.
（2）解：函数有两个极值点，等价于方程有两个不同正根，
不妨设，则有，
要证明，
只需证明
将式两式相加整理得，
将式两式相减整理得，
则，即，
令，则有，
只需证明，即证，
令，则恒成立，
所以函数在区间内单调递增，则函数成立，
故原不等式成立.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）将原问题转化为直线与函数的交点个数问题，
令，求导利用导数讨论函数的单调性求得，再分或、、讨论零点个数即可；
（2）由极值点的概念可得，进而，利用换元法（令），利用导数证明即可.
1 / 1浙江省三锋教研联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题
1．（2024高二下·浙江期中） 函数在点处的切线方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：函数，求导可得，则，
所以函数在点处的切线方程为，即.
故答案为：B.
【分析】根据导数的几何意义求解即可.
2．（2024高二下·浙江期中） 已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以.
故答案为：A.
【分析】由题意，利用同角三角函数的基本关系，求出，再结合诱导公式求解即可.
3．（2024高二下·浙江期中） 已知今天是星期三，则经过天后是（ ）
A．星期四 B．星期五 C．星期六 D．星期日
【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：，
由于能被7整除，则除以7余，
故经过天后是是星期六.
故答案为：C.
【分析】根据，利用二项式定理求解即可.
4．（2024高二下·浙江期中） 在中，，且满足该条件的有两个，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理可得：，解得，所以，
因为满足条件的有两个，所以，即，故的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】由正弦定理求出，由，且，求的取值范围即可.
5．（2024高二下·浙江期中） 某校高二数学期末考试成绩近似服从正态分布，且，已知该校高二数学期末考试成绩超过80分的人数有420人，则（ ）
A．估计该校高二学生人数为520.
B．估计该校高二学生中成绩不超过95分的人数为280.
C．估计该校高二学生中成绩介于80到95分之间的人数为170.
D．在该校高二学生中任取1人，其成绩低于70分的概率大于超过120分的概率.
【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点；正态分布定义
【解析】【解答】解：因为近似服从正态分布，所以，
又因为，则，
A、估计该校高二学生人数为，故A错误；
B、估计该校高二学生中成绩不超过95分的人数为，故B错误；
C、由，则成绩介于80到95分之间的人数为，故C正确；
D、因为，所以，故D错误；
故答案为：C.
【分析】根据近似服从正态分布，且，得到，进而得到高二学生人数，再逐项分析判断即可.
6．（2024高二下·浙江期中） 由未来科学大奖联合中国科技馆共同主办的“同上一堂科学课”——科学点燃青春：未来科学大奖获奖者对话青少年活动于2023年9月8日在全国各地以线上线下结合的方式举行.现有某市组织5名获奖者到当地三个不同的会场与学生进行对话活动，要求每个会场至多派两名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有（ ）
A．60种 B．90种 C．150种 D．180种
【答案】B
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：要求每个会场至多派两名获奖者，每名获奖者只去一个会场，将5名获奖者分成3组即型，再分配到3个不同会场，则不同的派出方法有种.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据排列组合求解即可.
7．（2024高二下·浙江期中） 若函数在区间恰存在三个零点，两个最值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：当，则，
依题意可得，解得，即的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】根据正弦函数的图象与性质，得到的取值范围，再解出的范围即可.
8．（2024高二下·浙江期中） 已知函数在上有且仅有一个零点，则实数的取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为函数在上有且仅有一个零点，
所以方程在上有且仅有一个实数根，
令，即直线与函数在上有且仅有一个交点，
由，求导可得，令，解得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
故，即.
故答案为：C.
【分析】将问题转化为直线与函数在有且仅有一个交点，令，求导利用导数研究在上的单调性，求出的最小值，即可求得实数的取值.
9．（2024高二下·浙江期中）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在单调递减
C．函数的图象关于轴对称
D．若，则的最小值为
【答案】C,D
【知识点】正弦函数的性质；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】由函数的图象，
可得，所以，所以，
又由，即，可得，
所以，因为，所以，所以，
A，由，A错误；
B，令，解得，
所以在单调递增，B错误；
C，将图象上的所有点沿轴向右平移个单位长度后，
得到的图象，此数函数为偶函数，
所以函数的图象关于轴对称，C正确；
D，由函数，可得，
使得成立，则，
因为函数的最小正周期为，所以的最小值为，D正确.
故选：CD.
【分析】本题考查根据函数图象求函数解析式，正弦函数的图象和性质.先根据函数图象可求出A的值，再根据函数图象可求出周期，利用周期计算公式可求出， 再将点代入函数解析式求出的值，进而可求出函数解析式即可判断A选项；根据正弦函数的图象和性质可得：，解不等式可求出的单调递增区间，据此可判断B选项；先求出将图象上的所有点沿轴向右平移个单位长度的解析式，再根据函数的奇偶性可判断出平移后的函数为偶函数，所以函数的图象关于轴对称，据此可判断C选项；根据函数解析式，利用正弦函数的性质可求出，再结合成立，则，利用周期性可求出的最小值，据此可判断D选项.
10．（2024高二下·浙江期中） 某中药材盒中共有包装相同的7袋药材，其中党参有3袋，黄芪有4袋，从中取出两袋，下列说法正确的是（ ）
A．若有放回抽取，则取出一袋党参一袋黄芪的概率为
B．若有放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，第2次取出党参的概率为
C．若不放回抽取，则第2次取到党参的概率算法可以是
D．若不放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，取到一袋党参一袋黄芪的概率为
【答案】A,B,D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式；条件概率
【解析】【解答】解：A、因为是有放回抽取，抽到一袋党参的概率为，抽到一袋黄芪的概率为，
所以取出一袋党参一袋黄芪的概率为，故A正确；
B、第二次抽到党参的概率为，至少抽到一袋党参的概率为，所以所求概率为，故B正确；
C、因为不放回抽取，抽两次有种取法，第二次抽到党参的取法为，故C错误；
D、至少取出一袋党参的的概率为，取到一袋党参一袋黄芪的概率为，
所以在至少取出一袋党参的条件下，取到一袋党参一袋黄芪的概率为概率为，故D正确.
故选：ABD.
【分析】利用相互独立事件同时发生的概率公式求解判断即可；根据已知条件，利用条件概率公式，即可判断B；根据已知条件，利用古典概率公式求解判断C；利用条件概率公式求解判断D.
11．（2024高二下·浙江期中）已知展开式的二项式系数和为，，下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,D
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由已知条件得，故，，
所以.
对于A，取，得，取，得，
所以，故A错误；
对于B，对
求导得，
取得，故B正确；
对于C，在中用替换，
得，
所以，
特别地对有，故C错误；
对于D，由得，
在中，
取得，
所以，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】先用题中条件得到的值，再取特殊值，即可判断出选项A；对表达式求导，即可判断出选项B；利用换元法结合二项式定理得出的展开式中的通项，即可判断出选项C；考查每一项系数的符号并取特殊值，即可判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．（2024高二下·浙江期中） 对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的单调递减区间为和
B．当时，
C．若方程有6个不等实数根，则
D．设，若对，使得成立，则
【答案】A,C,D
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、易知定义域为，又，
由，得到，所以且，
故函数的单调递减区间为，，故A正确；
B、令，则，当时，，即当在区间上单调递增，所以当时，，即，故B错误；
C、易知为偶函数，当时，，
由选项A知函数的单调递减区间为，，增区间为，
又当时，，当时，，当时，，时，
当时，，当时，，时，，
所以函数图象如图，直线与函数有6个不同交点，则，故C正确；
D、易知的值域为，而由选项C知函数的域，
由题意函数值域是函数值域的子集，则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】对求导，利用导数与函数单调性间的关系，直接求出单调区间，即可判断A；构造函数，求出的单调区间，再根据条件，即可判断B；利用为偶函数，当时，，利用选项A中的结果，求出函数的单调区间，进而可得出的图象，即可判断C；求出的值域，再根据条件，即可判断D.
13．（2024高二下·浙江期中） 已知随机变量满足，若，则 .
【答案】
【知识点】极差、方差与标准差；二项分布
【解析】【解答】解：因为，所以，又因为，
所以，所以.
故答案为：8.
【分析】根据已知条件，利用二项分布的方差公式及方差性质计算判断即可.
14．（2024高二下·浙江期中） 已知函数导函数为，且，则 .
【答案】
【知识点】函数的值；导数的四则运算
【解析】【解答】解：因为，所以，
则，解得，
所以，所以，
故答案为：.
【分析】由题意，对求导得到，令，求得，从而再代值求解即可.
15．（2024高二下·浙江期中） 小明的生日是07年10月27日，他打算从这六个数字的所有不同排列中任选一种设置为自己的6位数手机密码，其中数字1，2不相邻，则他可设置的密码有 种.
【答案】
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：先排列，再将1，2进行插空，则共有种情况.
故答案为：120.
【分析】根据数字1，2不相邻，利用插空法求解即可.
16．（2024高二下·浙江期中） 人间四月天，正是春游好时节.某学校组织高二学生去远足，该远足路线会经过一处瀑布.有一个学生为了测量该瀑布的实际高度，记录了如下测量数据：先沿一段水平山道步行至与瀑布底端在同一水平面时，在此位置测得瀑布顶端的仰角正切值为，沿着山道继续走，测得瀑布顶端仰角正切值为，已知该同学沿山道行进方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成的角为.根据该同学的测量数据，可知该瀑布的高度为 .
【答案】
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设瀑布顶端为，底端为，高为，该同学第一次测量的位置为，
第二次测量的位置为，如图所示：
则，由题得，
在中，由余弦定理可知：，解得.
故答案为：50m.
【分析】设瀑布顶端为，底端为，高为，根据题意画出图象，结合题中条件求得，在中，利用余弦定理建立方程求解即可.
17．（2024高二下·浙江期中） 已知的展开式中，第二项系数与第三项系数之比为，
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中所有的有理项.
【答案】（1）解：展开式的通项为，
因为第二项系数与第三项系数之比为，所以 ，解得，则二项展开式由9项，
由二项式系数的性质可知，展开式中第5项的二项式系数最大，即.
（2）解：由（1）知，，又，由可得，
故展开式中的有理项为：.
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【分析】（1）求出展开式中第二项的系数与第三项的系数，根据已知条件可得出关于的方程，解出正整数的值，然后利用二项式系数的单调性可求得展开式中二项式系数最大的项；
（2）写出展开式的通项，即可求得展开式中所有的有理项.
18．（2024高二下·浙江期中） 已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若，且函数在上的最大值为，求的值.
【答案】（1）解：当时，定义域为，求导可得，
当时，；当时，
所以函数的单调减区间为，增区间为；
（2）解：，若，令得（舍负），
当时，，当，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
当，即时，所以函数在上单调递增，
则，得；
当，即时，函数在上递减，上递增，
则，
如若可以，只能，则（舍）；
当，即时，函数在上递减，
则（舍）.
综上可知，.
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）将代入求函数的定义域以及导函数，再根据导数的符号求函数的单调区间即可；
（2）先求出导函数的零点，再分零点是否在区间进行讨论，求函数的单调区间，求出函数的最值，即可求得a的值.
19．（2024高二下·浙江期中） 袋中有大小相同的小球10个，其中黑球3个，红球个，白球个，.从中任取2个球，至少有1个红球的概率为.
（1）任取3球，求取出的球中恰有2球同色的概率；
（2）任取2球，取到1个红球得2分，取到1个白球得0分，取到1个黑球得分，求总得分的概率分布列及数学期望.
【答案】（1）解：，得，故黑球3个，红球5个，白球2个，
事件：取出的3球中恰有2球同色，则.
（2）解：的可能取值为，
，
，
，
的概率分布列
-2 -1 0 1 2 4
.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【分析】（1）根据古典概型的概率公式可得，再利用超几何分布的概率公式求解即可；
（2）根据题意可知的可能取值为，利用超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，再根据期望公式求解期望即可.
20．（2024高二下·浙江期中） 已知锐角的内角，所对的边分别为，且.
（1）求角；
（2）若，求的周长的取值范围.
【答案】（1）解：因为
所以，.
即，由正弦定理得，
显然，所以，所以，
因为，所以.
（2）解：由正弦定理得，即，
则.
，
因为，解得，得，
所以，得.
【知识点】两角和与差的余弦公式；解三角形；正弦定理；辅助角公式
【解析】【分析】（1）由题意，利用两角和与差的余弦公式化简，再由正弦定理求得的值，最后结合角的范围求角即可；
（2）由正弦定理和三角恒等变换可求出周长的表达式，再根据角度的范围，利用正弦函数的性质即可求得周长的取值范围.
21．（2024高二下·浙江期中）某校团委组织学生开展了“全民迎亚运，学习当达人”知识竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取了100名，竞赛成绩（单位：分）分布如下：
成绩（分）
人数 6 28 30 32 4
（1）求抽取的100名学生竞赛成绩的平均分（同一组中数据用该组区间的中点值代替）；
（2）在参加该活动的学生中随机选取5名学生，求选取的5名学生中恰有3名学生竞赛成绩在区间内的概率；
（3）以频率估计概率，发现参赛学生竞赛成绩近似地服从正态分布，其中近似为样本平均分近似为样本方差，按比例前的参赛学生可获得“学习达人”称号，已知甲同学竞赛成绩86分，试问他能否获得“学习达人”称号.
参考数据：若，则，
.
【答案】（1）；
（2）100个学生竞赛成绩在区间内的共有个，
因此从100个学生中抽取一个学生，成绩在内的概率为，
事件A：竞赛成绩在区间内且恰有3名学生，
；
（3）.
因为
所以甲同学能获得“学习达人”称号.
【知识点】频率分布直方图；二项分布；正态分布定义
【解析】【分析】本题考查频率分布直方图，二项分布，正态分布.（1）根据频率分布表，利用平均数的计算公式计算可求出平均数；
（2）先根据频率分布表求出成绩在内的概率，利用二项分布的计算公式可求出答案；
（3）先利用方差的公式计算可求出的值，利用正态分布的性质进行计算可得：，再进行计算可作出判断。
（1）；
（2）100个学生竞赛成绩在区间内的共有个，
因此从100个学生中抽取一个学生，成绩在内的概率为，
事件A：竞赛成绩在区间内且恰有3名学生，
；
（3）.
因为
所以甲同学能获得“学习达人”称号.
22．（2024高二下·浙江期中） 已知函数.
（1）讨论函数的零点个数；
（2）若函数有两个极值点，证明：.
【答案】（1）解：令得，
令，
要求零点个数，即求直线与函数交点个数，
则由得，由得，
所以函数在上递增，在上递减，得，
当且无限趋近于0时，；当趋向于正无穷时，无接近于0，
故当或即或时，函数只有一个零点；
当即时，函数有两个零点；
当时，函数没有零点.
（2）解：函数有两个极值点，等价于方程有两个不同正根，
不妨设，则有，
要证明，
只需证明
将式两式相加整理得，
将式两式相减整理得，
则，即，
令，则有，
只需证明，即证，
令，则恒成立，
所以函数在区间内单调递增，则函数成立，
故原不等式成立.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）将原问题转化为直线与函数的交点个数问题，
令，求导利用导数讨论函数的单调性求得，再分或、、讨论零点个数即可；
（2）由极值点的概念可得，进而，利用换元法（令），利用导数证明即可.
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