【精品解析】浙江省湖州中学2023-2024学年高二下学期第二次阶段性测试数学试题

浙江省湖州中学2023-2024学年高二下学期第二次阶段性测试数学试题
1．（2024高二下·湖州月考）已知集合则（　　）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·湖州月考）已知正态分布的正态密度曲线如图所示，，则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024高二下·湖州月考） 若，函数为奇函数，则是的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024高二下·湖州月考）展开式中项的系数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·湖州月考）2023贺岁档电影精彩纷呈，小明期待去影院观看．小明家附近有甲、乙两家影院，小明第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为和．如果他第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为；如果他第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为．若小明第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·湖州月考）植树节这天，某学校组织5名学生依次给树木浇水，其中甲和乙是好朋友，必须相邻，丙不在第三位，则不同的浇水顺序的种数为（　　）
A．30 B．36 C．40 D．42
7．（2024高二下·湖州月考）下列说法正确的是（　　）
A．随机变量，则
B．某人在7次射击中，击中目标的次数为且，则当时概率最大
C．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件
D．从个红球和个白球颜色外完全相同中，一次摸出个球，则摸到红球的个数服从超几何分布
8．（2024高二下·湖州月考）已知是定义在上的奇函数，也是定义在上的奇函数，则关于的不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024高二下·湖州月考）已知的展开式中所有项的系数之和为1，则（　　）
A．展开式的常数项为
B．
C．展开式中系数最大的项的系数为80
D．所有幂指数为非负数的项的系数和为
10．（2024高二下·湖州月考）已知，且，则（　　）
A． B． C． D．
11．（2024高二下·湖州月考）如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，设移动n次后质点位于位置.则下列命题正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．移动n次后质点最有可能回到原点
12．（2024高二下·湖州月考）已知随机变量的取值为，若，，则　 　.
13．（2024高二下·湖州月考）用模型拟合一组数据组，其中.设，变换后的线性回归方程为，则　 　．
14．（2024高二下·湖州月考）已知实数，满足，则的最大值是　 　.
15．（2024高二下·湖州月考）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
（1）求在上的解析式；
（2）用函数单调性的定义证明：在上是减函数．
16．（2024高二下·湖州月考）已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
17．（2024高二下·湖州月考）盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．
（1）求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；
（2）记取出的3个小球上的最小数字为，求的分布列及数学期望．
18．（2024高二下·湖州月考）已知
（1）当a=3时，求f(x)的单调区间；
（2）若f(x)有两个极值点，，证明：f()+f()++<0
19．（2024高二下·湖州月考）PM2.5是指环境空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物．它能较长时间悬浮于空气中，其在空气中含量越高，说明空气污染越严重．城市中的PM2.5成分除扬尘等自然因素外，燃料的燃烧也是一个重要来源．某市环境检测部门为检测燃油车流量对空气质量的影响，在一个检测点统计每日过往的燃油车流量（单位：辆）和空气中的PM2.5的平均浓度（单位：）．检测人员采集了50天的数据，制成列联表（部分数据缺失）：
　 燃油车日流量 燃油车日流量 合计
PM2.5的平均浓度 16 　 24
PM2.5的平均浓度 　 20 　
合计 22 　 　
（1）完成上面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为PM2.5的平均浓度小于与燃油车日流量小于1500辆有关联？
（2）经计算得与之间的回归直线方程为，且这50天的燃油车的日流量的标准差，PM2.5的平均浓度的标准差．若相关系数满足，则判定所求回归直线方程有价值；否则判定其无价值．
①判断该回归直线方程是否有价值；
②若这50天的燃油车的日流量满足，试求这50天的PM2.5的平均浓度的平均数（利用四舍五入法精确到0.1）．
参考公式：，其中．
0.01 0.005 0.001
6.636 7.879 10.828
回归方程，其中，；
相关系数．
参考数据：，，．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由题意知，，
又因为，所以.
故答案为：B.
【分析】由题意可得，再结合交集的运算法则得出集合.
2．【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：对于A、B，因为正态分布的正态密度曲线关于直线对称，
可得图中阴影部分可表示为，
故选项A、选项B正确；
对于C：由对称性可得，故选项C错误；
对于D：由对称性可得，
所以图中阴影部分面积可表示为，故选项D正确．
故答案为：C．
【分析】借助正态分布对应的概率密度函数对应的曲线的对称性，从而逐项判断找出不能表示图中阴影部分面积的选项.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，
所以此时是奇函数，
所以p是q的充分条件.
若是奇函数，则，
即，所以，即
所以p是q的不必要条件.
综上得：p是q的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】本题考查函数的奇偶性，充分条件和必要条件的判断.将值代入函数，根据奇函数的定义式是否成立，来判断函数是否为奇函数，据此可判断充分性；由奇函数的定义式，可列出方程，解方程可求出的值，可判断必要性.
4．【答案】A
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为的展开式通项为，
又因为，
在中，令，可得项的系数为；
在中，
令，得，可得项的系数为，
所以展开式中项的系数为.
故答案为：A.
【分析】利用二项式定理求出展开式的通项，令的指数为，从而求出参数的值，再代入通项后得出展开式中项的系数.
5．【答案】D
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：设小明第一天去甲影院为事件A，第二天去甲影院为事件B，
小明第一天去乙影院为事件C，第二天去乙影院为事件D，
故，
由，
可得，
故，
则小明第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为.
故答案为：D.
【分析】设出事件，根据条件概率公式得到，再结合全概率公式求出第一天去乙影院的概率.
6．【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：若丙在第一或第五位，甲乙进行捆绑，内部可以全排列，
甲乙看作一个整体，和剩余的两个学生进行全排列，
故不同的浇水顺序有种，
若丙在第二位或第四位，甲乙进行捆绑，内部可以全排列，且甲乙只能有两个位置可以选择，
再将剩余的两为同学进行排列，
则不同的浇水顺序有种，
则不同的浇水顺序共有种．
故答案为：C.
【分析】分丙在第一或第五位和在第二位或第四位两种情况，从而求出浇水顺序，再相加得到不同的浇水顺序的种数.
7．【答案】D
【知识点】超几何分布；二项分布
【解析】【解答】解：由二项分布的概率公式可得，故A错误；
在7次射击中，击中目标的次数为且，
当时，对应的概率为，
当时，，由可得，
即当时概率最大，故B错误；
至少有一黑球包含的基本事件为“一黑一红，两黑”，
至少有一个红球包含的基本事件为“一黑一红，两红”，
故至少有一个黑球与至少有一个红球不互斥，故C错误；
设摸出红球的个数为，
则，
故满足超几何分布，故D正确.
故答案为：D.
【分析】由二项分布的概率计算公式代入计算，即可判断选项A和选项B；由互斥事件和对立事件的定义，即可判断选项C；由超几何分布的定义，即可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
8．【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：因为，
故，
故，
因为是定义在上的奇函数，故，
故，故，故，
此时，故为上的减函数，
将等价于，
即，即，故或.
故答案为：A .
【分析】根据为奇函数和为偶函数结合奇函数和偶函数的定义，从而得出函数，再利用导数判断出函数为上的减函数，从而求出不等式的解集.
9．【答案】A,C,D
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：令，得，解得，故B错误；
因为的展开式的通项公式为，
可得，
则，
则展开式的常数项为，故A正确；
因为展开式中系数最大的项的系数为80，故C正确；
因为所有幂指数为非负数的项的系数和为，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】令，根据系数可得的值，再根据二项式定理得出展开式中的通项，则由常数项的定义赋值法和展开式中系数的性质，从而逐项判断，进而找出正确的选项.
10．【答案】B,C,D
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：依题意，，，且.
对于A，因为，则，当时等号成立，故选项A错误；
对于B，因为，，
当时等号成立，故选项B正确；
对于C，因为，则
，
当且仅当，时等号成立，故选项C正确；
对于D，由于，所以，
则，当时等号成立，
因为，则由基本不等式得，故选项D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据二次函数求最值的方法、基本不等式求最值的方法，从而逐项判断找出正确的选项.
11．【答案】A,B,C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：对于B，设质点次移动中向右移动的次数为，显然每移动一次的概率为，
则，，
所以，故B正确.
对于C，由（1）知，，，
又因为，所以，故C正确.
对于A、D，由选项B可知，，，
当为偶数时，中间的一项取得最大值，
即时概率最大，此时，所以质点最有可能位于位置0；
当为奇数时，中间的两项取得最大值，
即或时概率最大，此时或，
所以，且质点最有可能位于位置或1.
故答案为：ABC.
【分析】由已知条件和二项分布求概率公式、二项分布求期望公式，从而逐项判断找出真命题的选项.
12．【答案】
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：因为随机变量的取值为，且，，
则，解得，
所以，
则.
故答案为：.
【分析】根据题意结合随机变量分布列的性质，从而列出方程组求出的值，由方差的公式得出的值，再结合得出的值.
13．【答案】
【知识点】众数、中位数、平均数；回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：因为线性回归方程为恒过，
因为，所以，
即，
，，
则.
故答案为：.
【解答】根据回归直线方程必过样本点中心，再利用换元法和对数运算法则，从而化简求值.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由，可得，
设函数，可得，所以是单调递增函数，
所以，即，
则，其中，
设，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，当时，函数取得极大值，也是最大值，最大值为.
故答案为：.
【分析】根据题意化简得到，设，再利用导数判断出函数的单调性，从而得到，进而得出，设，利用导数判断出函数的单调性，从而得出函数的最大值，即可得出的最大值.
15．【答案】（1）解：∵是定义在上的奇函数，∴，
当时，，
∴当时，则，，
∴，
故.
（2）证明：设，
则
，
∵，∴，，∴，
∴，即，
故函数在上是减函数．
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质
【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义得出，从而得出函数的解析式.
（2）首先设，再作差，进而判断正负，即可判断并证明出函数在上的单调性.
（1）∵是定义在上的奇函数，∴，
当时，，
∴当时，则，，
∴，
故，
（2）证明：设，
则
，
∵，∴，，∴，
∴，即，
故函数在上是减函数．
16．【答案】（1）解：当时，，，
所以，，
曲线在处的切线方程为.
（2）解：要使恒成立，
则需成立，则，
当时，，所以在递增，
因为，不合题意；
当时，恒成立，符合题意；
当时，令得，
则在单调递减，在单调递增，
所以，解得，
综上所述，.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得出切线的斜率，由代入法得出切点坐标，再根据点斜式得出曲线在处的切线方程.
（2）要使恒成立，则需成立，再借助导数，分、、讨论，从而判断出函数的单调性，即可得出实数a的取值范围.
（1）当时，，，
所以，，
曲线在处的切线方程为；
（2）要使恒成立，则需成立，
，
当时，，所以在递增，
而，不合题意；
当时，恒成立，符合题意；
当时，令得，
则在递减，在递增，
所以，解得.
综上所述，.
17．【答案】（1）解：记“取出的个小球上的数字两两不同”为事件，
先确定个不同数字的小球，有种方法，
然后每种小球各取个，有种取法，
所以.
（2）解：由题意可知，的可取值为，
当时，分为两种情况：只有一个数字为的小球、有两个数字为的小球，
所以；
当时，分为两种情况：只有一个数字为的小球、有两个数字为的小球，
所以；
当时，分为两种情况：只有一个数字为的小球、有两个数字为的小球，
所以，
所以的分布列为：
所以.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差；概率分布列
【解析】【分析】 (1) 记“取出的个小球上的数字两两不同”为事件，先确定个不同数字的小球，然后每种小球各取个，结合古典概型以及组合数运算求解；
(2) 由题意可知，的可取值为，古典概型以及组合数运算求分布列和期望.
18．【答案】（1）解：当a=3时，，
令得0ln3，
故f(x)的单调递增区间为(0，ln3)，单调递减区间为(-∞，0)和(ln3，+∞)
（2）解：，令t=，
则有两个不相等的正实数解为，
则△=16-4a>0，，，即0知，
则f()+f()++
=
=
=
=
设g(a)=(1-a)lna+a-2(0<4)，，
设，，
故h(a)单调递减.
而h(1)=1>0，，
故存在唯一的实数使，即，
当00，此时g(a)单调递增；
当所以g(a)的最大值为=，
由得，故，从而g(a)<0，
即f()+f()++<0，得证.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用导数值的正负即可判断原函数的单调性；
（2）根据已知可得、是方程的两个正根，借助根与系数关系可得，，进而用表示，构造函数后利用导数求得最值即可.
19．【答案】（1）解：列联表如下：
燃油车日流量 燃油车日流量 合计
PM2.5的平均浓度 16 8 24
PM2.5的平均浓度 6 20 26
合计 22 28 50
零假设：PM2.5的平均浓度小于与燃油车日流量小于1500辆无关联，
根据列联表中的数据，计算得
所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
所以可以认为PM2.5的平均浓度小于与燃油车日流量小于1500辆有关联．
（2）解：①由题意，得，
则，
由，
得
，
所以该回归直线方程有价值．
②因为，即，
所以，
又因为，
故可推算出这50天PM2.5平均浓度的平均数约为112.0．
【知识点】独立性检验的应用；可线性化的回归分析；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】（1）根据题意，完成列联表，再计算，则结合表格和独立性检验的方法，即可认为PM2.5的平均浓度小于与燃油车日流量小于1500辆有关联．
（2）先代入相关系数的公式计算，从而判断出与的相关性强弱，再由可得的值，则结合回归直线必过样本中心求出的值.
（1）列联表如下：
　 燃油车日流量 燃油车日流量 合计
PM2.5的平均浓度 16 8 24
PM2.5的平均浓度 6 20 26
合计 22 28 50
零假设：PM2.5的平均浓度小于与燃油车日流量小于1500辆无关联．
根据列联表中的数据，计算得
，
所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，所以可以认为PM2.5的平均浓度小于与燃油车日流量小于1500辆有关联．
（2）①由题意，得，
得，
由，
得
，
所以该回归直线方程有价值．
②因为，即，
所以，
又．
故可推算出这50天PM2.5平均浓度的平均数约为112.0．
1 / 1浙江省湖州中学2023-2024学年高二下学期第二次阶段性测试数学试题
1．（2024高二下·湖州月考）已知集合则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由题意知，，
又因为，所以.
故答案为：B.
【分析】由题意可得，再结合交集的运算法则得出集合.
2．（2024高二下·湖州月考）已知正态分布的正态密度曲线如图所示，，则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：对于A、B，因为正态分布的正态密度曲线关于直线对称，
可得图中阴影部分可表示为，
故选项A、选项B正确；
对于C：由对称性可得，故选项C错误；
对于D：由对称性可得，
所以图中阴影部分面积可表示为，故选项D正确．
故答案为：C．
【分析】借助正态分布对应的概率密度函数对应的曲线的对称性，从而逐项判断找出不能表示图中阴影部分面积的选项.
3．（2024高二下·湖州月考） 若，函数为奇函数，则是的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，
所以此时是奇函数，
所以p是q的充分条件.
若是奇函数，则，
即，所以，即
所以p是q的不必要条件.
综上得：p是q的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】本题考查函数的奇偶性，充分条件和必要条件的判断.将值代入函数，根据奇函数的定义式是否成立，来判断函数是否为奇函数，据此可判断充分性；由奇函数的定义式，可列出方程，解方程可求出的值，可判断必要性.
4．（2024高二下·湖州月考）展开式中项的系数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为的展开式通项为，
又因为，
在中，令，可得项的系数为；
在中，
令，得，可得项的系数为，
所以展开式中项的系数为.
故答案为：A.
【分析】利用二项式定理求出展开式的通项，令的指数为，从而求出参数的值，再代入通项后得出展开式中项的系数.
5．（2024高二下·湖州月考）2023贺岁档电影精彩纷呈，小明期待去影院观看．小明家附近有甲、乙两家影院，小明第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为和．如果他第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为；如果他第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为．若小明第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：设小明第一天去甲影院为事件A，第二天去甲影院为事件B，
小明第一天去乙影院为事件C，第二天去乙影院为事件D，
故，
由，
可得，
故，
则小明第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为.
故答案为：D.
【分析】设出事件，根据条件概率公式得到，再结合全概率公式求出第一天去乙影院的概率.
6．（2024高二下·湖州月考）植树节这天，某学校组织5名学生依次给树木浇水，其中甲和乙是好朋友，必须相邻，丙不在第三位，则不同的浇水顺序的种数为（　　）
A．30 B．36 C．40 D．42
【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：若丙在第一或第五位，甲乙进行捆绑，内部可以全排列，
甲乙看作一个整体，和剩余的两个学生进行全排列，
故不同的浇水顺序有种，
若丙在第二位或第四位，甲乙进行捆绑，内部可以全排列，且甲乙只能有两个位置可以选择，
再将剩余的两为同学进行排列，
则不同的浇水顺序有种，
则不同的浇水顺序共有种．
故答案为：C.
【分析】分丙在第一或第五位和在第二位或第四位两种情况，从而求出浇水顺序，再相加得到不同的浇水顺序的种数.
7．（2024高二下·湖州月考）下列说法正确的是（　　）
A．随机变量，则
B．某人在7次射击中，击中目标的次数为且，则当时概率最大
C．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件
D．从个红球和个白球颜色外完全相同中，一次摸出个球，则摸到红球的个数服从超几何分布
【答案】D
【知识点】超几何分布；二项分布
【解析】【解答】解：由二项分布的概率公式可得，故A错误；
在7次射击中，击中目标的次数为且，
当时，对应的概率为，
当时，，由可得，
即当时概率最大，故B错误；
至少有一黑球包含的基本事件为“一黑一红，两黑”，
至少有一个红球包含的基本事件为“一黑一红，两红”，
故至少有一个黑球与至少有一个红球不互斥，故C错误；
设摸出红球的个数为，
则，
故满足超几何分布，故D正确.
故答案为：D.
【分析】由二项分布的概率计算公式代入计算，即可判断选项A和选项B；由互斥事件和对立事件的定义，即可判断选项C；由超几何分布的定义，即可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
8．（2024高二下·湖州月考）已知是定义在上的奇函数，也是定义在上的奇函数，则关于的不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：因为，
故，
故，
因为是定义在上的奇函数，故，
故，故，故，
此时，故为上的减函数，
将等价于，
即，即，故或.
故答案为：A .
【分析】根据为奇函数和为偶函数结合奇函数和偶函数的定义，从而得出函数，再利用导数判断出函数为上的减函数，从而求出不等式的解集.
9．（2024高二下·湖州月考）已知的展开式中所有项的系数之和为1，则（　　）
A．展开式的常数项为
B．
C．展开式中系数最大的项的系数为80
D．所有幂指数为非负数的项的系数和为
【答案】A,C,D
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：令，得，解得，故B错误；
因为的展开式的通项公式为，
可得，
则，
则展开式的常数项为，故A正确；
因为展开式中系数最大的项的系数为80，故C正确；
因为所有幂指数为非负数的项的系数和为，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】令，根据系数可得的值，再根据二项式定理得出展开式中的通项，则由常数项的定义赋值法和展开式中系数的性质，从而逐项判断，进而找出正确的选项.
10．（2024高二下·湖州月考）已知，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：依题意，，，且.
对于A，因为，则，当时等号成立，故选项A错误；
对于B，因为，，
当时等号成立，故选项B正确；
对于C，因为，则
，
当且仅当，时等号成立，故选项C正确；
对于D，由于，所以，
则，当时等号成立，
因为，则由基本不等式得，故选项D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据二次函数求最值的方法、基本不等式求最值的方法，从而逐项判断找出正确的选项.
11．（2024高二下·湖州月考）如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，设移动n次后质点位于位置.则下列命题正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．移动n次后质点最有可能回到原点
【答案】A,B,C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：对于B，设质点次移动中向右移动的次数为，显然每移动一次的概率为，
则，，
所以，故B正确.
对于C，由（1）知，，，
又因为，所以，故C正确.
对于A、D，由选项B可知，，，
当为偶数时，中间的一项取得最大值，
即时概率最大，此时，所以质点最有可能位于位置0；
当为奇数时，中间的两项取得最大值，
即或时概率最大，此时或，
所以，且质点最有可能位于位置或1.
故答案为：ABC.
【分析】由已知条件和二项分布求概率公式、二项分布求期望公式，从而逐项判断找出真命题的选项.
12．（2024高二下·湖州月考）已知随机变量的取值为，若，，则　 　.
【答案】
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：因为随机变量的取值为，且，，
则，解得，
所以，
则.
故答案为：.
【分析】根据题意结合随机变量分布列的性质，从而列出方程组求出的值，由方差的公式得出的值，再结合得出的值.
13．（2024高二下·湖州月考）用模型拟合一组数据组，其中.设，变换后的线性回归方程为，则　 　．
【答案】
【知识点】众数、中位数、平均数；回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：因为线性回归方程为恒过，
因为，所以，
即，
，，
则.
故答案为：.
【解答】根据回归直线方程必过样本点中心，再利用换元法和对数运算法则，从而化简求值.
14．（2024高二下·湖州月考）已知实数，满足，则的最大值是　 　.
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由，可得，
设函数，可得，所以是单调递增函数，
所以，即，
则，其中，
设，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，当时，函数取得极大值，也是最大值，最大值为.
故答案为：.
【分析】根据题意化简得到，设，再利用导数判断出函数的单调性，从而得到，进而得出，设，利用导数判断出函数的单调性，从而得出函数的最大值，即可得出的最大值.
15．（2024高二下·湖州月考）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
（1）求在上的解析式；
（2）用函数单调性的定义证明：在上是减函数．
【答案】（1）解：∵是定义在上的奇函数，∴，
当时，，
∴当时，则，，
∴，
故.
（2）证明：设，
则
，
∵，∴，，∴，
∴，即，
故函数在上是减函数．
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质
【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义得出，从而得出函数的解析式.
（2）首先设，再作差，进而判断正负，即可判断并证明出函数在上的单调性.
（1）∵是定义在上的奇函数，∴，
当时，，
∴当时，则，，
∴，
故，
（2）证明：设，
则
，
∵，∴，，∴，
∴，即，
故函数在上是减函数．
16．（2024高二下·湖州月考）已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，，
所以，，
曲线在处的切线方程为.
（2）解：要使恒成立，
则需成立，则，
当时，，所以在递增，
因为，不合题意；
当时，恒成立，符合题意；
当时，令得，
则在单调递减，在单调递增，
所以，解得，
综上所述，.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得出切线的斜率，由代入法得出切点坐标，再根据点斜式得出曲线在处的切线方程.
（2）要使恒成立，则需成立，再借助导数，分、、讨论，从而判断出函数的单调性，即可得出实数a的取值范围.
（1）当时，，，
所以，，
曲线在处的切线方程为；
（2）要使恒成立，则需成立，
，
当时，，所以在递增，
而，不合题意；
当时，恒成立，符合题意；
当时，令得，
则在递减，在递增，
所以，解得.
综上所述，.
17．（2024高二下·湖州月考）盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．
（1）求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；
（2）记取出的3个小球上的最小数字为，求的分布列及数学期望．
【答案】（1）解：记“取出的个小球上的数字两两不同”为事件，
先确定个不同数字的小球，有种方法，
然后每种小球各取个，有种取法，
所以.
（2）解：由题意可知，的可取值为，
当时，分为两种情况：只有一个数字为的小球、有两个数字为的小球，
所以；
当时，分为两种情况：只有一个数字为的小球、有两个数字为的小球，
所以；
当时，分为两种情况：只有一个数字为的小球、有两个数字为的小球，
所以，
所以的分布列为：
所以.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差；概率分布列
【解析】【分析】 (1) 记“取出的个小球上的数字两两不同”为事件，先确定个不同数字的小球，然后每种小球各取个，结合古典概型以及组合数运算求解；
(2) 由题意可知，的可取值为，古典概型以及组合数运算求分布列和期望.
18．（2024高二下·湖州月考）已知
（1）当a=3时，求f(x)的单调区间；
（2）若f(x)有两个极值点，，证明：f()+f()++<0
【答案】（1）解：当a=3时，，
令得0ln3，
故f(x)的单调递增区间为(0，ln3)，单调递减区间为(-∞，0)和(ln3，+∞)
（2）解：，令t=，
则有两个不相等的正实数解为，
则△=16-4a>0，，，即0知，
则f()+f()++
=
=
=
=
设g(a)=(1-a)lna+a-2(0<4)，，
设，，
故h(a)单调递减.
而h(1)=1>0，，
故存在唯一的实数使，即，
当00，此时g(a)单调递增；
当所以g(a)的最大值为=，
由得，故，从而g(a)<0，
即f()+f()++<0，得证.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用导数值的正负即可判断原函数的单调性；
（2）根据已知可得、是方程的两个正根，借助根与系数关系可得，，进而用表示，构造函数后利用导数求得最值即可.
19．（2024高二下·湖州月考）PM2.5是指环境空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物．它能较长时间悬浮于空气中，其在空气中含量越高，说明空气污染越严重．城市中的PM2.5成分除扬尘等自然因素外，燃料的燃烧也是一个重要来源．某市环境检测部门为检测燃油车流量对空气质量的影响，在一个检测点统计每日过往的燃油车流量（单位：辆）和空气中的PM2.5的平均浓度（单位：）．检测人员采集了50天的数据，制成列联表（部分数据缺失）：
　 燃油车日流量 燃油车日流量 合计
PM2.5的平均浓度 16 　 24
PM2.5的平均浓度 　 20 　
合计 22 　 　
（1）完成上面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为PM2.5的平均浓度小于与燃油车日流量小于1500辆有关联？
（2）经计算得与之间的回归直线方程为，且这50天的燃油车的日流量的标准差，PM2.5的平均浓度的标准差．若相关系数满足，则判定所求回归直线方程有价值；否则判定其无价值．
①判断该回归直线方程是否有价值；
②若这50天的燃油车的日流量满足，试求这50天的PM2.5的平均浓度的平均数（利用四舍五入法精确到0.1）．
参考公式：，其中．
0.01 0.005 0.001
6.636 7.879 10.828
回归方程，其中，；
相关系数．
参考数据：，，．
【答案】（1）解：列联表如下：
燃油车日流量 燃油车日流量 合计
PM2.5的平均浓度 16 8 24
PM2.5的平均浓度 6 20 26
合计 22 28 50
零假设：PM2.5的平均浓度小于与燃油车日流量小于1500辆无关联，
根据列联表中的数据，计算得
所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
所以可以认为PM2.5的平均浓度小于与燃油车日流量小于1500辆有关联．
（2）解：①由题意，得，
则，
由，
得
，
所以该回归直线方程有价值．
②因为，即，
所以，
又因为，
故可推算出这50天PM2.5平均浓度的平均数约为112.0．
【知识点】独立性检验的应用；可线性化的回归分析；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】（1）根据题意，完成列联表，再计算，则结合表格和独立性检验的方法，即可认为PM2.5的平均浓度小于与燃油车日流量小于1500辆有关联．
（2）先代入相关系数的公式计算，从而判断出与的相关性强弱，再由可得的值，则结合回归直线必过样本中心求出的值.
（1）列联表如下：
　 燃油车日流量 燃油车日流量 合计
PM2.5的平均浓度 16 8 24
PM2.5的平均浓度 6 20 26
合计 22 28 50
零假设：PM2.5的平均浓度小于与燃油车日流量小于1500辆无关联．
根据列联表中的数据，计算得
，
所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，所以可以认为PM2.5的平均浓度小于与燃油车日流量小于1500辆有关联．
（2）①由题意，得，
得，
由，
得
，
所以该回归直线方程有价值．
②因为，即，
所以，
又．
故可推算出这50天PM2.5平均浓度的平均数约为112.0．
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