贵州省凯里市第三中学2023-2024学年高二下学期第一次测试数学试卷
1．（2024高二下·凯里月考）设集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，则A∩B=（ ）
A． B．{2}
C．{﹣2，2} D．{﹣2，1，2，3}
2．（2024高二下·凯里月考）若复数 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·凯里月考）已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
4．（2024高二下·凯里月考）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{an}的公差为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．（2024高二下·凯里月考）等差数列 的首项为1，公差不为0，若 成等比数列，则 前6项的和为（ ）
A． B． C． D．8
6．（2024高二下·凯里月考）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
7．（2024高二下·凯里月考）函数 的图像在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·凯里月考）已知曲线 在点 处的切线方程为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024高二下·凯里月考）为等比数列的前三项，则的可能值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
10．（2024高二下·凯里月考）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024高二下·凯里月考）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A． B．
C． D．
12．（2024高二下·凯里月考）函数 的定义域为 .
13．（2024高二下·凯里月考）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
14．（2024高二下·凯里月考）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10=0，S15=25，则nSn的最小值为 ．
15．（2024高二下·凯里月考）等差数列中，设数列满足，
（1）求数列通项公式；
（2）设，求数列的前8项和.
16．（2024高二下·凯里月考）已知函数 ．
（1）当 时，求 的最大值；
（2）若 恰有一个零点，求a的取值范围．
17．（2024高二下·凯里月考）等比数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．
18．（2024高二下·凯里月考）已知数列满足.
(1)证明是等比数列，并求的通项公式；
(2)证明： .
19．（2024高二下·凯里月考）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，
∴A∩B={2}．
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合交集的运算法则，从而得出集合A∩B.
2．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为 ，所以 的虚部为 .
故答案为：D.
【分析】 先利用复数的除法运算化简复数z，再根据虛部的定义即可求解.
3．【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】 【解答】解：∵a5=3a3+4a1，则 ，∵ ，∴ ，
解得 或 （舍），∵各项均为正数，∴ ，又∵等比数列{an}的前4项为和为15，
∴ ，解得 ，∴ ，
故答案为：C.
【分析】由已知利用等比数列的通项公式列式，得到q=2，再由前4项为和为15列式，解得 ，即可求出 的值.
4．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，
∴ ，
解得a1=﹣2，d=4，
∴{an}的公差为4．
故选：C．
【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{an}的公差．
5．【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】∵等差数列{an}的首项为1,公差不为0.a2,a3,a6成等比数列，
∴a23=a2 a6，
∴(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),且a1=1，d≠0，
解得d= 2，
∴{an}前6项的和为 .
本题选择A选项.
故答案为：A
【分析】利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出{an}前6项的和．
6．【答案】B
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设这个塔顶层有a盏灯，
∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，
∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，
又总共有灯381盏，
∴381= =127a，解得a=3，
则这个塔顶层有3盏灯，
故选B．
【分析】设这个塔顶层有a盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前n项公式列出方程，求出a的值．
7．【答案】B
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】 ， ， ， ，
因此，所求切线的方程为 ，即 .
故答案为：B.
【分析】求得函数 的导数 ，计算出 和 的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.
8．【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：
，
将 代入 得 ，故选D．
【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得 ，将点的坐标代入直线方程，求得 ．
9．【答案】A,C
【知识点】等比中项
【解析】【解答】解：由为等比数列的前三项，得，
所以或.
故答案为：AC.
【分析】根据已知条件和等比中项公式，从而列式得出实数m的可能的值.
10．【答案】B,C
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：设正方体的棱长为，
A、连接，如图（1）所示：
则，故（或其补角）为异面直线所成的角，在直角三角形，
，，故，则不成立，故A错误；
B、取的中点为，连接，，如图（2）所示：
则，，由正方体可得平面，平面，
故，而，故平面，
又因为平面，，，
所以平面，而平面，故，故B正确；
C、连接，如图（3）所示：
则，由B的判断可得，故，故C正确；
D、取的中点，的中点，连接，如图（4）所示：
则，因为，故，故，
所以或其补角为异面直线所成的角，
因为正方体的棱长为2，故，，
，，故不是直角，
故不垂直，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】由题意，根据线面垂直的判定定理即可判断BC；平移直线构造所考虑的线线角后即可判断AD.
11．【答案】B,C
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由函数图象可知：，
则，故A错，
不妨令，当时，，
解得：，
即函数的解析式为：
，
则.
故答案为：BC.
【分析】先利用正弦型函数的最小正周期公式确定的值，结合五点对应法确定的值，即可确定函数的解析式，再利用诱导公式找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】根据题意有 ，从而求得函数的定义域为 ．
【分析】根据函数的解析式有关于x的不等式，求解不等式即可。
13．【答案】；
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：方法一： 因为，当时，
设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又因为切线过坐标原点，所以，解得，
所以，切线方程为，即；
当时，设切点为，
因为，所以，所以切线方程为，
又因为切线过坐标原点，所以，解得，
所以切线方程为，即.
故答案为：；.
方法二：当时，设切点为，
因为，所以，所以切线方程为，
又因为切线过坐标原点，所以，解得，
所以切线方程为，即；
因为是偶函数，其图象为：
所以，当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可.
方法三：因为，当时，设切点为，
因为，所以，所以切线方程为，
又因为切线过坐标原点，所以，解得，
所以切线方程为，即；
当时，设切点为，
因为，所以，所以切线方程为，
又因为切线过坐标原点，所以，解得，
所以切线方程为，即.
故答案为：；.
【分析】利用三种方法求解.方法一：利用绝对值的定义，将函数化为分段函数，再分和两种情况，当时，设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时，同理可得出切线方程；方法二：根据函数的对称性，数形结合
14．【答案】-49
【知识点】利用导数研究函数的极值；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
∵S10=10a1+45d=0，S15=15a1+105d=25，
∴a1=﹣3，d= ，
∴Sn=na1+ d= n2﹣ n，
∴nSn= n3﹣ n2，令nSn=f（n），
∴f′（n）=n2﹣ n，
∴当n= 时，f（n）取得极值，当n＜ 时，f（n）递减；当n＞ 时，f（n）递增；
因此只需比较f（6）和f（7）的大小即可．
f（6）=﹣48，f（7）=﹣49，
故nSn的最小值为﹣49．
故答案为：﹣49．
【分析】由等差数列的前n项和公式化简已知两等式，联立求出首项a1与公差d的值，结合导数求出nSn的最小值．
15．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
由，得，解得，
所以，数列的通项公式是.
（2）解：由（1）得，，
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据已知条件和等差数列的通项公式，从而列式求出公差的值，再利用等差数列的通项公式得出数列通项公式.
（2）由（1）的结论得出数列的通项公式，再根据裂项相消法求和，从而得出数列的前8项和.
（1）设等差数列的公差为，由，得，解得，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）得，，
所以.
16．【答案】（1）解：当 时，
x （0，1） 1 （1，+∞）
f’（x） + 0 -
f（x） ↗ ↘
∴ 的最大值=f（1）=-1-ln1=-1
（2）解： 定义域为（0，+∞）
根据（1）得：a=0时，f（x）max=-1＜0，∴f（x）无零点
当a＜0时， x＞0，ax-1＜0，又x2＞0
x （0，1） 1 （1，+∞）
f’（x） + 0 -
f（x） ↗ ↘
∴ x＞0，f（x）≤f（1）=a-1＜0，∴f（x）无零点
当a＞0时，
①当0＜a＜1时， ＞1
x （0，1） 1 （1， ） （ ，+∞）
f’（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ ↘ ↗
∴ x∈（0， ]，f（x）≤f（1）=a-1＜0，
又 f（x）=+∞，∴f（x）恰有一个零点
②当a=1时， ，
∴f（x）在（0，+∞）上递增，
由f（1）=a-1=0可得，f（x）恰有一个零点
③当a＞1时， ∈（0，1]
x （0， ） （ ，1） 1 （1，+∞）
f’（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ ↘ ↗
∴ x∈[ ，+∞），f（x）≥f（1）=a-1＞0，
又 f（x）=-∞，∴f（x）恰有一个零点
综上所得a取值范围为
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点
【解析】【分析】（1）将 代入，再对函数求导利用导数判断函数的单调性，从而求其最大值；
（2）求导得 ，分a=0、a＜0及a＞0三种情况讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解.
17．【答案】解：（1）设的公比为，由题设得，
由已知得，解得（舍去），或，
故或．
（2）若，则，
由得，此方程没有正整数解，
若，则，
由得，解得，
综上所述，．
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）利用已知条件和等比数列的通项公式列出方程，从而解出q的值，再根据等比数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）利用等比数列的前n项和公式求出等比数列的前n项和，再根据已知条件解方程可得m的值．
18．【答案】证明：（1）由得，所以，
所以是等比数列，首项为，公比为3，
所以，解得.
（2）由（1）知：，所以，
因为当时，，所以，
则=，
所以.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）利用已知条件和递推公式以及等比数列的定义，从而证明数列是等比数列，可利用等比数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）先由第（1）问求出，再转化为等比数列求和，最后用放缩法证明不等式成立.
19．【答案】解：（1），，，，∴切点坐标为(1，1+e)，
∴函数在点(1，f(1)处的切线方程为，
即，切线与坐标轴交点坐标分别为，
∴所求三角形面积为．
（2）［方法一］：通性通法
，，且，
设，则
∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增，
当时，，∴，∴成立；
当时， ，，，
∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，
因此
>1，
∴∴恒成立；
当时，∴不是恒成立，
综上所述，实数a的取值范围是[1，+∞).
［方法二］【最优解】：同构
由得，即，
而，所以，
令，则，所以在R上单调递增，
由，可知，
所以，所以，
令，则，
所以当时，单调递增；
当时，单调递减，
所以，则，即，
所以a的取值范围为．
［方法三］：换元同构
由题意知，令，
所以，所以，
于是，
由于，
而在时为增函数，故，
即，分离参数后有，
令，所以，
当时，单调递增；当时，单调递减，
所以当时，取得最大值为，所以．
［方法四］：
因为定义域为，且，所以，即，
令，则，
所以在区间内单调递增，
因为，所以时，
则，即，
下面证明当时，恒成立，
令，只需证当时，恒成立，
因为，所以在区间内单调递增，
则，
因此，要证明时，恒成立，
只需证明即可，
由，得，
上面两个不等式两边相加可得，故时，恒成立，
当时，因为，显然不满足恒成立，
所以a的取值范围为．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件和导数的几何意义求出曲线在点切线方程，即可得到切线与坐标轴交点坐标，再根据三角形面积公式得出曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积
（2）利用四种方法求解.
方法一：利用导数研究函数的单调性，当a=1时，由得，符合题意；当a>1时，可证，从而得出存在零点，使得，进而得到，利用函数零点的条件结合指数、对数的运算化简后，再利用基本不等式求最值的方法，从而可证不等式恒成立；当时，研究，即可得不符合题意，综上可得实数a的取值范围.
方法二：由得，利用得出，令，根据求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的最值，则，令，再根据求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的最值，进而得出实数a的取值范围.
方法三：由题意知，令，则，
由于，利用在时为增函数，则，即，分离参数后有，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的最值，进而得出实数a的取值范围.
方法四：利用函数定义域为且，则，即，令，则，则在区间内单调递增，利用得出当时，则，即，再根据分析法证出当时，恒成立，从而得出实数a的取值范围.
1 / 1贵州省凯里市第三中学2023-2024学年高二下学期第一次测试数学试卷
1．（2024高二下·凯里月考）设集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，则A∩B=（ ）
A． B．{2}
C．{﹣2，2} D．{﹣2，1，2，3}
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，
∴A∩B={2}．
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合交集的运算法则，从而得出集合A∩B.
2．（2024高二下·凯里月考）若复数 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为 ，所以 的虚部为 .
故答案为：D.
【分析】 先利用复数的除法运算化简复数z，再根据虛部的定义即可求解.
3．（2024高二下·凯里月考）已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】 【解答】解：∵a5=3a3+4a1，则 ，∵ ，∴ ，
解得 或 （舍），∵各项均为正数，∴ ，又∵等比数列{an}的前4项为和为15，
∴ ，解得 ，∴ ，
故答案为：C.
【分析】由已知利用等比数列的通项公式列式，得到q=2，再由前4项为和为15列式，解得 ，即可求出 的值.
4．（2024高二下·凯里月考）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{an}的公差为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，
∴ ，
解得a1=﹣2，d=4，
∴{an}的公差为4．
故选：C．
【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{an}的公差．
5．（2024高二下·凯里月考）等差数列 的首项为1，公差不为0，若 成等比数列，则 前6项的和为（ ）
A． B． C． D．8
【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】∵等差数列{an}的首项为1,公差不为0.a2,a3,a6成等比数列，
∴a23=a2 a6，
∴(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),且a1=1，d≠0，
解得d= 2，
∴{an}前6项的和为 .
本题选择A选项.
故答案为：A
【分析】利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出{an}前6项的和．
6．（2024高二下·凯里月考）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
【答案】B
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设这个塔顶层有a盏灯，
∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，
∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，
又总共有灯381盏，
∴381= =127a，解得a=3，
则这个塔顶层有3盏灯，
故选B．
【分析】设这个塔顶层有a盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前n项公式列出方程，求出a的值．
7．（2024高二下·凯里月考）函数 的图像在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】 ， ， ， ，
因此，所求切线的方程为 ，即 .
故答案为：B.
【分析】求得函数 的导数 ，计算出 和 的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.
8．（2024高二下·凯里月考）已知曲线 在点 处的切线方程为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：
，
将 代入 得 ，故选D．
【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得 ，将点的坐标代入直线方程，求得 ．
9．（2024高二下·凯里月考）为等比数列的前三项，则的可能值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】A,C
【知识点】等比中项
【解析】【解答】解：由为等比数列的前三项，得，
所以或.
故答案为：AC.
【分析】根据已知条件和等比中项公式，从而列式得出实数m的可能的值.
10．（2024高二下·凯里月考）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：设正方体的棱长为，
A、连接，如图（1）所示：
则，故（或其补角）为异面直线所成的角，在直角三角形，
，，故，则不成立，故A错误；
B、取的中点为，连接，，如图（2）所示：
则，，由正方体可得平面，平面，
故，而，故平面，
又因为平面，，，
所以平面，而平面，故，故B正确；
C、连接，如图（3）所示：
则，由B的判断可得，故，故C正确；
D、取的中点，的中点，连接，如图（4）所示：
则，因为，故，故，
所以或其补角为异面直线所成的角，
因为正方体的棱长为2，故，，
，，故不是直角，
故不垂直，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】由题意，根据线面垂直的判定定理即可判断BC；平移直线构造所考虑的线线角后即可判断AD.
11．（2024高二下·凯里月考）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由函数图象可知：，
则，故A错，
不妨令，当时，，
解得：，
即函数的解析式为：
，
则.
故答案为：BC.
【分析】先利用正弦型函数的最小正周期公式确定的值，结合五点对应法确定的值，即可确定函数的解析式，再利用诱导公式找出正确的选项.
12．（2024高二下·凯里月考）函数 的定义域为 .
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】根据题意有 ，从而求得函数的定义域为 ．
【分析】根据函数的解析式有关于x的不等式，求解不等式即可。
13．（2024高二下·凯里月考）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
【答案】；
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：方法一： 因为，当时，
设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又因为切线过坐标原点，所以，解得，
所以，切线方程为，即；
当时，设切点为，
因为，所以，所以切线方程为，
又因为切线过坐标原点，所以，解得，
所以切线方程为，即.
故答案为：；.
方法二：当时，设切点为，
因为，所以，所以切线方程为，
又因为切线过坐标原点，所以，解得，
所以切线方程为，即；
因为是偶函数，其图象为：
所以，当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可.
方法三：因为，当时，设切点为，
因为，所以，所以切线方程为，
又因为切线过坐标原点，所以，解得，
所以切线方程为，即；
当时，设切点为，
因为，所以，所以切线方程为，
又因为切线过坐标原点，所以，解得，
所以切线方程为，即.
故答案为：；.
【分析】利用三种方法求解.方法一：利用绝对值的定义，将函数化为分段函数，再分和两种情况，当时，设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时，同理可得出切线方程；方法二：根据函数的对称性，数形结合
14．（2024高二下·凯里月考）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10=0，S15=25，则nSn的最小值为 ．
【答案】-49
【知识点】利用导数研究函数的极值；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
∵S10=10a1+45d=0，S15=15a1+105d=25，
∴a1=﹣3，d= ，
∴Sn=na1+ d= n2﹣ n，
∴nSn= n3﹣ n2，令nSn=f（n），
∴f′（n）=n2﹣ n，
∴当n= 时，f（n）取得极值，当n＜ 时，f（n）递减；当n＞ 时，f（n）递增；
因此只需比较f（6）和f（7）的大小即可．
f（6）=﹣48，f（7）=﹣49，
故nSn的最小值为﹣49．
故答案为：﹣49．
【分析】由等差数列的前n项和公式化简已知两等式，联立求出首项a1与公差d的值，结合导数求出nSn的最小值．
15．（2024高二下·凯里月考）等差数列中，设数列满足，
（1）求数列通项公式；
（2）设，求数列的前8项和.
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
由，得，解得，
所以，数列的通项公式是.
（2）解：由（1）得，，
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据已知条件和等差数列的通项公式，从而列式求出公差的值，再利用等差数列的通项公式得出数列通项公式.
（2）由（1）的结论得出数列的通项公式，再根据裂项相消法求和，从而得出数列的前8项和.
（1）设等差数列的公差为，由，得，解得，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）得，，
所以.
16．（2024高二下·凯里月考）已知函数 ．
（1）当 时，求 的最大值；
（2）若 恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】（1）解：当 时，
x （0，1） 1 （1，+∞）
f’（x） + 0 -
f（x） ↗ ↘
∴ 的最大值=f（1）=-1-ln1=-1
（2）解： 定义域为（0，+∞）
根据（1）得：a=0时，f（x）max=-1＜0，∴f（x）无零点
当a＜0时， x＞0，ax-1＜0，又x2＞0
x （0，1） 1 （1，+∞）
f’（x） + 0 -
f（x） ↗ ↘
∴ x＞0，f（x）≤f（1）=a-1＜0，∴f（x）无零点
当a＞0时，
①当0＜a＜1时， ＞1
x （0，1） 1 （1， ） （ ，+∞）
f’（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ ↘ ↗
∴ x∈（0， ]，f（x）≤f（1）=a-1＜0，
又 f（x）=+∞，∴f（x）恰有一个零点
②当a=1时， ，
∴f（x）在（0，+∞）上递增，
由f（1）=a-1=0可得，f（x）恰有一个零点
③当a＞1时， ∈（0，1]
x （0， ） （ ，1） 1 （1，+∞）
f’（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ ↘ ↗
∴ x∈[ ，+∞），f（x）≥f（1）=a-1＞0，
又 f（x）=-∞，∴f（x）恰有一个零点
综上所得a取值范围为
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点
【解析】【分析】（1）将 代入，再对函数求导利用导数判断函数的单调性，从而求其最大值；
（2）求导得 ，分a=0、a＜0及a＞0三种情况讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解.
17．（2024高二下·凯里月考）等比数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．
【答案】解：（1）设的公比为，由题设得，
由已知得，解得（舍去），或，
故或．
（2）若，则，
由得，此方程没有正整数解，
若，则，
由得，解得，
综上所述，．
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）利用已知条件和等比数列的通项公式列出方程，从而解出q的值，再根据等比数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）利用等比数列的前n项和公式求出等比数列的前n项和，再根据已知条件解方程可得m的值．
18．（2024高二下·凯里月考）已知数列满足.
(1)证明是等比数列，并求的通项公式；
(2)证明： .
【答案】证明：（1）由得，所以，
所以是等比数列，首项为，公比为3，
所以，解得.
（2）由（1）知：，所以，
因为当时，，所以，
则=，
所以.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）利用已知条件和递推公式以及等比数列的定义，从而证明数列是等比数列，可利用等比数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）先由第（1）问求出，再转化为等比数列求和，最后用放缩法证明不等式成立.
19．（2024高二下·凯里月考）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．
【答案】解：（1），，，，∴切点坐标为(1，1+e)，
∴函数在点(1，f(1)处的切线方程为，
即，切线与坐标轴交点坐标分别为，
∴所求三角形面积为．
（2）［方法一］：通性通法
，，且，
设，则
∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增，
当时，，∴，∴成立；
当时， ，，，
∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，
因此
>1，
∴∴恒成立；
当时，∴不是恒成立，
综上所述，实数a的取值范围是[1，+∞).
［方法二］【最优解】：同构
由得，即，
而，所以，
令，则，所以在R上单调递增，
由，可知，
所以，所以，
令，则，
所以当时，单调递增；
当时，单调递减，
所以，则，即，
所以a的取值范围为．
［方法三］：换元同构
由题意知，令，
所以，所以，
于是，
由于，
而在时为增函数，故，
即，分离参数后有，
令，所以，
当时，单调递增；当时，单调递减，
所以当时，取得最大值为，所以．
［方法四］：
因为定义域为，且，所以，即，
令，则，
所以在区间内单调递增，
因为，所以时，
则，即，
下面证明当时，恒成立，
令，只需证当时，恒成立，
因为，所以在区间内单调递增，
则，
因此，要证明时，恒成立，
只需证明即可，
由，得，
上面两个不等式两边相加可得，故时，恒成立，
当时，因为，显然不满足恒成立，
所以a的取值范围为．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件和导数的几何意义求出曲线在点切线方程，即可得到切线与坐标轴交点坐标，再根据三角形面积公式得出曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积
（2）利用四种方法求解.
方法一：利用导数研究函数的单调性，当a=1时，由得，符合题意；当a>1时，可证，从而得出存在零点，使得，进而得到，利用函数零点的条件结合指数、对数的运算化简后，再利用基本不等式求最值的方法，从而可证不等式恒成立；当时，研究，即可得不符合题意，综上可得实数a的取值范围.
方法二：由得，利用得出，令，根据求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的最值，则，令，再根据求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的最值，进而得出实数a的取值范围.
方法三：由题意知，令，则，
由于，利用在时为增函数，则，即，分离参数后有，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的最值，进而得出实数a的取值范围.
方法四：利用函数定义域为且，则，即，令，则，则在区间内单调递增，利用得出当时，则，即，再根据分析法证出当时，恒成立，从而得出实数a的取值范围.
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