山东省大联考2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题
1．（2024高二下·山东月考）某直线运动的物体从时刻到的位移为，那么为（ ）
A．从时刻到物体的平均速度
B．从时刻到位移的平均变化率
C．当时刻为时该物体的速度
D．该物体在时刻的瞬时速度
2．（2024高二下·山东月考）下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高二下·山东月考）函数f (x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高二下·山东月考）函数的单调增区间是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高二下·山东月考）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·山东月考）随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学 航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量P（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中P0为时该放射性同位素的含量.已知时，该放射性同位素的瞬时变化率为，则该放射性同位素含量为4.5贝克时，衰变所需时间为（ ）
A．20天 B．30天 C．45天 D．60天
7．（2024高二下·山东月考）若点不在函数的图像上，且过点P有三条直线与的图像相切，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024高二下·山东月考）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论中正确的个数是（ ）
①当时，
②函数有3个零点
③的解集为
④，都有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2024高二下·山东月考）下列复合函数的导数计算正确的有（ ）
A．若函数，则
B．若函数，则
C．若函数，则
D．若函数，则
10．（2024高二下·山东月考）函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则下列命题正确的是（ ）
A．函数在内一定不存在最小值
B．函数在内只有一个极小值点
C．函数在内有两个极大值点
D．函数在内可能没有零点
11．（2024高二下·山东月考）已知函数，，是其导函数，恒有，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024高二下·山东月考）若，则
13．（2024高二下·山东月考）若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围是 ．
14．（2024高二下·山东月考）已知，则使恒成立的的范围是 ．
15．（2024高二下·山东月考）求下列函数的导数．
（1）（为常数）；
（2）.
16．（2024高二下·山东月考）已知函数f(x)＝x2＋aln x．
（1）当a＝－2时，求函数f(x)的单调递减区间；
（2）若函数g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上单调，求实数a的取值范围．
17．（2024高二下·山东月考）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：m），其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为m3.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3万元，半球体部分每平方米建造费用为4万元．设该容器的总建造费用为y万元．
（1）将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；
（2）确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用．
18．（2024高二下·山东月考）已知函数．
（1）若，求曲线的斜率等于3的切线方程；
（2）若在区间上恰有两个零点，求a的取值范围．
19．（2024高二下·山东月考）已知定义在上的函数和.
（1）求证：；
（2）设在存在极值点，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】根据题意，直线运动的物体，从时刻到时，时间的变化量为，而物体的位移为，那么为该物体在时刻的瞬时速度.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合平均变化率求解方法和函数求极限的方法，从而找出正确的选项。
2．【答案】D
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据导数的四则远算法则，基本初等函数的导数计算判断即可.
3．【答案】B
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：观察函数的图象知：
当时，单调递增，且当时，，
随着逐渐增大，函数图象由陡逐渐变缓，，，，
因为（即点B）处切线的倾斜角比（即点A）处的倾斜角小，且均为锐角，，
又因为是割线AB的斜率，显然，
所以.
故答案为：B.
【分析】由已知的函数的图象，先判断函数的单调性，再根据函数图象斜率的变化和导数的几何意义以及直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，从而比较大小找出数值排序正确的选项．
4．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数()的定义域为，
，
令，解得：，
则函数()的单调增区间是.
故答案为：B.
【分析】先求函数的定义域，再求导，令求解即可.
5．【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】令，所以
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
因为，，，
所以，即.
故答案为：C
【分析】根据题意，构造函数，利用函数单调性比较大小即可.
6．【答案】D
【知识点】简单复合函数求导法则；瞬时变化率
【解析】【解答】解：函数，求导可得，
由时，该放射性同位素的瞬时变化率为，
则，解得，即，
当该放射性同位素含量为贝克时，即，
则，即，即，解得.
故答案为：D.
【分析】先求导，利用已知条件，求出，得函数解析式，再令，代入解析式求解即可.
7．【答案】A
【知识点】导数的几何意义；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：点不在函数的图像上，则，即，
设切线为，则切线的斜率，
整理可得，
问题转化为有三个零点，
，令，解得或，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
即当时，有极大值，当时，有极小值，
要使有三个零点，
需满足，即，解得，
则实数m的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】设切点坐标，由导数的几何意义可得，将问题转化为函数有三个零点问题，列不等式组求解即可.
8．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：①、因为函数是定义在上的奇函数，所以当时，，则，即，即，故①错误；
②、因为是定义在上的奇函数，所以，
当时，由，得，
当时，由，得，所以函数有3个零点，故②正确；
③、当时，由，得，得，
当时，由，得，得，所以，
综上，或，所以的解集为，故③正确；
④、当时，由，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，
且当时，，当时，，所以
当时，由，得，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最大值，
当时，，当时，，所以，
所以的值域为，
所以，都有，故④正确.
故答案为：C.
【分析】设，则，代入已知函数中结合奇函数化简即可判断 ① ；分情况解方程求解即可判断②；直接解不等式即可判断③；分和分别对函数求导，根据导数的正负可求出函数的单调性，再求出函数的值域即可判断④.
9．【答案】A,B,D
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：A、函数，，故A正确；
B、函数，，故B正确；
C、函数，，故C错误；
D、函数，
，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】根据复合函数的求导法则求解判断即可.
10．【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：AB、设图象与轴的交点，从而到右依次为，且，则由图可知，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增，
在内单调递减，所以函数在区间内有极小值，
当时，是函数在区间内的最小值，
故A错误，B正确；
C、函数在区间内有极大值，故C正确；
D、当时，函数在内没有零点，故D正确．
故答案为：BCD．
【分析】设图象与轴的交点，从而到右依次为，且，进而分析函数的单调性与极值和最值即可判断AB；根据导数确定原函数的极值点即可判断C；举反例即可判断D.
11．【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为，所以，
构造函数，，，
则函数在上单调递增；
A、因为，所以，即，
即，故A正确；
B、因为，所以，即，
则，故B错误；
C、因为，所以，即，
即，故C错误；
D、因为，所以，即，
即，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】由题意，可得，构造函数，求导利用导数判断其单调性，利用单调性逐项判断即可.
12．【答案】
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：函数，求导可得，
令，解得，
故答案为：.
【分析】利用导数的运算法则与赋值法求值即可.
13．【答案】
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，
当时，，函数在R上单调递增，无极值；
当时，令，解得，
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
即函数存在极小值点，
依题意，，解得，
故实数a的取值范围是．
故答案为：.
【分析】先求函数的定义域，再求导，分，讨论函数单调性，求出极值点，根据极值点大于零求解即可.
14．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：原不等式转化为，令，，
由题意，，即，
当时，，，
当时，，当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，；
当时，，，在上单调递减，
，函数在上单调递减，，
，则，即的取值范围是.
故答案为：.
【分析】原不等式转化为，由题意可得：，即，构造函数，求导利用导数判断函数的单调性，并求其最大值，即可得m的取值范围.
15．【答案】解：（1），；
（2），.
【知识点】导数的乘法与除法法则；简单复合函数求导法则
【解析】【分析】（1）利用导数的运算法则求解即可；
（2）利用复合函数的求导法则以及导数的运算法则求解即可.
16．【答案】（1）解：当时，函数定义域为，
，
令，解得，则函数的单调递减区间是；
（2）解：，，
由题意当时，恒成立，或恒成立，
若，
则恒成立，
当时，，
即的最大值为0，则；
若，，
当时，无最小值，则不可能恒成立；
综上．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）将代入，求函数的定义域，以及导函数，令求单调递减区间即可；
（2）在上的函数值恒为非负或恒为非正，分类讨论，分别分离参数求解即可．
（1）函数的定义域是，
时，，
当时，，的单调递减区间是，
∴的单调递减区间是；
（2），，
由题意当时，恒成立，或恒成立．
若，
则恒成立，
当时，，
即的最大值为0，∴；
若，，
当时，无最小值，∴不可能恒成立；
综上．
17．【答案】（1）解：由题意可知，，则，
因为圆柱的侧面积为，两端两个半球的表面积之和为，
所以，
又因为，所以，
则定义域为；
（2）解：由（1），求导可得，
令，解得，令，解得，
因为函数的定义域为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则当米时，该容器的建造费用最小，为万元，此时m.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据圆柱和球的体积公式即可得与关系，根据题意建立与的函数关系即可；
（2）求导，利用导数判断函数的单调性，并求函数的最小值即可．
（1）由题意可知，，∴，
又圆柱的侧面积为，两端两个半球的表面积之和为，
所以，
又，，
所以定义域为.
（2）因为，
所以令，得，令，得，
又定义域为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当米时，该容器的建造费用最小，为万元，此时m.
18．【答案】（1）解：当时，函数定义域为，，
设切点为，则，解得或（舍），，
切点为，则切线方程为，即；
（2）解：，令，解得，
①当，即时，在上，
则在上单调递减，此时在上不可能存在两个零点；
②当，即时，
在上，单调递减；在上，单调递增，
则在时取得极小值，
结合零点存在定理，要使在区间上恰有两个零点，
则，解得，
综上的取值范围是．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）将代入，求导函数，设切点为，令求得切点坐标，再求切线方程即可；
（2）求导函数，利用导数求出函数的单调区间，得到函数的极值点，结合零点存在定理，列出不等式求解即可.
（1）当时，，，则，
设切点为，则，解得或（舍），
∴，故切点为，
∴所求切线方程为，即．
（2），
令，得，
①当，即时，在上，
∴在上单调递减，此时在上不可能存在两个零点；
②当，即时，
在上，递减；在上，递增，
则在时取得极小值，
结合零点存在定理，要使在区间上恰有两个零点，
则，得．
∴综上的取值范围是．
19．【答案】（1）证明：令()，
，
则函数在上单调递减，即，
故；
（2）解：，
则，
由于在存在极值点，
所以有正的实数根，
即方程有正的实数根，
令，则，且，
故变形为，进而等价于有正的实数根，
令，，
则，
令，则，
当时，则，
所以在单调递增，
故，进而，
此时在单调递增，故，此时不符合要求，
当时，则，所以在单调递减，
故，进而，此时在单调递减，故，此时不符合要求，
当时，则在单调递增，由于，
当时，，故存在，使得，
故当单调递减，当单调递增，
又当时，，
因此存在，使得单调递减，
当单调递增，又，时，，
故函数有正零点，即有正的实数根，
综上可得.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】 【分析】（1）由题意，令，求导，利用导数判断函数的单调性，并求的最小值即可；
（2）转化为有正的实数根，即方程有正的实数根，令，进而等价于有正的实数根，令，，求导分类讨论求解.即可
（1）记()，
所以，
因此在上单调递减，故，
故；
（2），
则，
由于在存在极值点，
所以有正的实数根，
即方程有正的实数根，
令，则，且，
故变形为，进而等价于有正的实数根，
令，，
则，
令，则，
当时，则，
所以在单调递增，
故，进而，
此时在单调递增，故，此时不符合要求，
当时，则，所以在单调递减，
故，进而，此时在单调递减，故，此时不符合要求，
当时，则在单调递增，由于，
当时，，故存在，使得，
故当单调递减，当单调递增，
又当时，，
因此存在，使得单调递减，
当单调递增，又，时，，
故函数有正零点，即有正的实数根.
综上可得.
1 / 1山东省大联考2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题
1．（2024高二下·山东月考）某直线运动的物体从时刻到的位移为，那么为（ ）
A．从时刻到物体的平均速度
B．从时刻到位移的平均变化率
C．当时刻为时该物体的速度
D．该物体在时刻的瞬时速度
【答案】D
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】根据题意，直线运动的物体，从时刻到时，时间的变化量为，而物体的位移为，那么为该物体在时刻的瞬时速度.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合平均变化率求解方法和函数求极限的方法，从而找出正确的选项。
2．（2024高二下·山东月考）下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据导数的四则远算法则，基本初等函数的导数计算判断即可.
3．（2024高二下·山东月考）函数f (x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：观察函数的图象知：
当时，单调递增，且当时，，
随着逐渐增大，函数图象由陡逐渐变缓，，，，
因为（即点B）处切线的倾斜角比（即点A）处的倾斜角小，且均为锐角，，
又因为是割线AB的斜率，显然，
所以.
故答案为：B.
【分析】由已知的函数的图象，先判断函数的单调性，再根据函数图象斜率的变化和导数的几何意义以及直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，从而比较大小找出数值排序正确的选项．
4．（2024高二下·山东月考）函数的单调增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数()的定义域为，
，
令，解得：，
则函数()的单调增区间是.
故答案为：B.
【分析】先求函数的定义域，再求导，令求解即可.
5．（2024高二下·山东月考）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】令，所以
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
因为，，，
所以，即.
故答案为：C
【分析】根据题意，构造函数，利用函数单调性比较大小即可.
6．（2024高二下·山东月考）随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学 航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量P（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中P0为时该放射性同位素的含量.已知时，该放射性同位素的瞬时变化率为，则该放射性同位素含量为4.5贝克时，衰变所需时间为（ ）
A．20天 B．30天 C．45天 D．60天
【答案】D
【知识点】简单复合函数求导法则；瞬时变化率
【解析】【解答】解：函数，求导可得，
由时，该放射性同位素的瞬时变化率为，
则，解得，即，
当该放射性同位素含量为贝克时，即，
则，即，即，解得.
故答案为：D.
【分析】先求导，利用已知条件，求出，得函数解析式，再令，代入解析式求解即可.
7．（2024高二下·山东月考）若点不在函数的图像上，且过点P有三条直线与的图像相切，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】导数的几何意义；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：点不在函数的图像上，则，即，
设切线为，则切线的斜率，
整理可得，
问题转化为有三个零点，
，令，解得或，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
即当时，有极大值，当时，有极小值，
要使有三个零点，
需满足，即，解得，
则实数m的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】设切点坐标，由导数的几何意义可得，将问题转化为函数有三个零点问题，列不等式组求解即可.
8．（2024高二下·山东月考）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论中正确的个数是（ ）
①当时，
②函数有3个零点
③的解集为
④，都有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：①、因为函数是定义在上的奇函数，所以当时，，则，即，即，故①错误；
②、因为是定义在上的奇函数，所以，
当时，由，得，
当时，由，得，所以函数有3个零点，故②正确；
③、当时，由，得，得，
当时，由，得，得，所以，
综上，或，所以的解集为，故③正确；
④、当时，由，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，
且当时，，当时，，所以
当时，由，得，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最大值，
当时，，当时，，所以，
所以的值域为，
所以，都有，故④正确.
故答案为：C.
【分析】设，则，代入已知函数中结合奇函数化简即可判断 ① ；分情况解方程求解即可判断②；直接解不等式即可判断③；分和分别对函数求导，根据导数的正负可求出函数的单调性，再求出函数的值域即可判断④.
9．（2024高二下·山东月考）下列复合函数的导数计算正确的有（ ）
A．若函数，则
B．若函数，则
C．若函数，则
D．若函数，则
【答案】A,B,D
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：A、函数，，故A正确；
B、函数，，故B正确；
C、函数，，故C错误；
D、函数，
，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】根据复合函数的求导法则求解判断即可.
10．（2024高二下·山东月考）函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则下列命题正确的是（ ）
A．函数在内一定不存在最小值
B．函数在内只有一个极小值点
C．函数在内有两个极大值点
D．函数在内可能没有零点
【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：AB、设图象与轴的交点，从而到右依次为，且，则由图可知，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增，
在内单调递减，所以函数在区间内有极小值，
当时，是函数在区间内的最小值，
故A错误，B正确；
C、函数在区间内有极大值，故C正确；
D、当时，函数在内没有零点，故D正确．
故答案为：BCD．
【分析】设图象与轴的交点，从而到右依次为，且，进而分析函数的单调性与极值和最值即可判断AB；根据导数确定原函数的极值点即可判断C；举反例即可判断D.
11．（2024高二下·山东月考）已知函数，，是其导函数，恒有，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为，所以，
构造函数，，，
则函数在上单调递增；
A、因为，所以，即，
即，故A正确；
B、因为，所以，即，
则，故B错误；
C、因为，所以，即，
即，故C错误；
D、因为，所以，即，
即，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】由题意，可得，构造函数，求导利用导数判断其单调性，利用单调性逐项判断即可.
12．（2024高二下·山东月考）若，则
【答案】
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：函数，求导可得，
令，解得，
故答案为：.
【分析】利用导数的运算法则与赋值法求值即可.
13．（2024高二下·山东月考）若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，
当时，，函数在R上单调递增，无极值；
当时，令，解得，
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
即函数存在极小值点，
依题意，，解得，
故实数a的取值范围是．
故答案为：.
【分析】先求函数的定义域，再求导，分，讨论函数单调性，求出极值点，根据极值点大于零求解即可.
14．（2024高二下·山东月考）已知，则使恒成立的的范围是 ．
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：原不等式转化为，令，，
由题意，，即，
当时，，，
当时，，当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，；
当时，，，在上单调递减，
，函数在上单调递减，，
，则，即的取值范围是.
故答案为：.
【分析】原不等式转化为，由题意可得：，即，构造函数，求导利用导数判断函数的单调性，并求其最大值，即可得m的取值范围.
15．（2024高二下·山东月考）求下列函数的导数．
（1）（为常数）；
（2）.
【答案】解：（1），；
（2），.
【知识点】导数的乘法与除法法则；简单复合函数求导法则
【解析】【分析】（1）利用导数的运算法则求解即可；
（2）利用复合函数的求导法则以及导数的运算法则求解即可.
16．（2024高二下·山东月考）已知函数f(x)＝x2＋aln x．
（1）当a＝－2时，求函数f(x)的单调递减区间；
（2）若函数g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上单调，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：当时，函数定义域为，
，
令，解得，则函数的单调递减区间是；
（2）解：，，
由题意当时，恒成立，或恒成立，
若，
则恒成立，
当时，，
即的最大值为0，则；
若，，
当时，无最小值，则不可能恒成立；
综上．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）将代入，求函数的定义域，以及导函数，令求单调递减区间即可；
（2）在上的函数值恒为非负或恒为非正，分类讨论，分别分离参数求解即可．
（1）函数的定义域是，
时，，
当时，，的单调递减区间是，
∴的单调递减区间是；
（2），，
由题意当时，恒成立，或恒成立．
若，
则恒成立，
当时，，
即的最大值为0，∴；
若，，
当时，无最小值，∴不可能恒成立；
综上．
17．（2024高二下·山东月考）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：m），其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为m3.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3万元，半球体部分每平方米建造费用为4万元．设该容器的总建造费用为y万元．
（1）将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；
（2）确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用．
【答案】（1）解：由题意可知，，则，
因为圆柱的侧面积为，两端两个半球的表面积之和为，
所以，
又因为，所以，
则定义域为；
（2）解：由（1），求导可得，
令，解得，令，解得，
因为函数的定义域为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则当米时，该容器的建造费用最小，为万元，此时m.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据圆柱和球的体积公式即可得与关系，根据题意建立与的函数关系即可；
（2）求导，利用导数判断函数的单调性，并求函数的最小值即可．
（1）由题意可知，，∴，
又圆柱的侧面积为，两端两个半球的表面积之和为，
所以，
又，，
所以定义域为.
（2）因为，
所以令，得，令，得，
又定义域为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当米时，该容器的建造费用最小，为万元，此时m.
18．（2024高二下·山东月考）已知函数．
（1）若，求曲线的斜率等于3的切线方程；
（2）若在区间上恰有两个零点，求a的取值范围．
【答案】（1）解：当时，函数定义域为，，
设切点为，则，解得或（舍），，
切点为，则切线方程为，即；
（2）解：，令，解得，
①当，即时，在上，
则在上单调递减，此时在上不可能存在两个零点；
②当，即时，
在上，单调递减；在上，单调递增，
则在时取得极小值，
结合零点存在定理，要使在区间上恰有两个零点，
则，解得，
综上的取值范围是．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）将代入，求导函数，设切点为，令求得切点坐标，再求切线方程即可；
（2）求导函数，利用导数求出函数的单调区间，得到函数的极值点，结合零点存在定理，列出不等式求解即可.
（1）当时，，，则，
设切点为，则，解得或（舍），
∴，故切点为，
∴所求切线方程为，即．
（2），
令，得，
①当，即时，在上，
∴在上单调递减，此时在上不可能存在两个零点；
②当，即时，
在上，递减；在上，递增，
则在时取得极小值，
结合零点存在定理，要使在区间上恰有两个零点，
则，得．
∴综上的取值范围是．
19．（2024高二下·山东月考）已知定义在上的函数和.
（1）求证：；
（2）设在存在极值点，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明：令()，
，
则函数在上单调递减，即，
故；
（2）解：，
则，
由于在存在极值点，
所以有正的实数根，
即方程有正的实数根，
令，则，且，
故变形为，进而等价于有正的实数根，
令，，
则，
令，则，
当时，则，
所以在单调递增，
故，进而，
此时在单调递增，故，此时不符合要求，
当时，则，所以在单调递减，
故，进而，此时在单调递减，故，此时不符合要求，
当时，则在单调递增，由于，
当时，，故存在，使得，
故当单调递减，当单调递增，
又当时，，
因此存在，使得单调递减，
当单调递增，又，时，，
故函数有正零点，即有正的实数根，
综上可得.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】 【分析】（1）由题意，令，求导，利用导数判断函数的单调性，并求的最小值即可；
（2）转化为有正的实数根，即方程有正的实数根，令，进而等价于有正的实数根，令，，求导分类讨论求解.即可
（1）记()，
所以，
因此在上单调递减，故，
故；
（2），
则，
由于在存在极值点，
所以有正的实数根，
即方程有正的实数根，
令，则，且，
故变形为，进而等价于有正的实数根，
令，，
则，
令，则，
当时，则，
所以在单调递增，
故，进而，
此时在单调递增，故，此时不符合要求，
当时，则，所以在单调递减，
故，进而，此时在单调递减，故，此时不符合要求，
当时，则在单调递增，由于，
当时，，故存在，使得，
故当单调递减，当单调递增，
又当时，，
因此存在，使得单调递减，
当单调递增，又，时，，
故函数有正零点，即有正的实数根.
综上可得.
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