广东省广州市白云区广东第二师范学院实验中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
1．（2024高二下·白云期中）等比数列中，则（ ）
A． B．5 C．10 D．20
【答案】C
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，
则，所以，
故.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和等比数列的性质，从而求出公比的值，再结合等比数列的性质得出的值.
2．（2024高二下·白云期中）点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】导数的几何意义；直线的一般式方程与直线的平行关系；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：因为点是曲线上任意一点，
所以当点处的切线和直线平行时，点到直线的距离最小，
因为直线的斜率等于1，曲线的导数，
令，可得或(舍去)，
所以在曲线上与直线平行的切线经过的切点坐标为，
所以点P到直线的最小距离为.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件将问题转化为当过点的切线与直线平行时，点P到直线的距离最小，利用导数的几何意义求出点的坐标，再结合点到直线的距离公式得出点到直线的距离的最小值.
3．（2024高二下·白云期中）为了配合社区做好新冠肺炎疫情防控工作，某校要派四名教师到甲、乙两个社区开展志愿者服务，若每个教师只去一个社区，且两个社区都有教师去，则不同的安排方法有（ ）
A．14种 B．20种 C．10种 D．7种
【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：第一步：将四名教师分成两组，有两种情况：
一种情况是1组1人、1组3人，一种情况是每组2人，共有种分法；
第二步：将第一步得到的两个不同组分给两个不同社区，有种分法，
则不同的安排方法有（种）.
故答案为：A．
【分析】按照分组、分配的方法，再结合组合数公式和排列数公式以及分步乘法计数原理，从而得出不同的安排方法种数.
4．（2024高二下·白云期中）的展开式中的系数为（ ）
A．6 B．8 C．27 D．33
【答案】D
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：解法一：因为，
即原展开式可以看作两个二项式展开式各项的乘积，
因为展开式的通项为，
则展开式中含的项为；含的项为；含的项为
又因为展开式的通项为，
则展开式中含的项为；含的项为；
含的项为，
综上所述，的展开式中的项为，系数为.
解法二：因为，
展开式的通项为，
要使展开式中含，则可取或，
当时，，
展开式的通项为，
显然时，展开式含，该项为；
当时，，
展开式的通项为，
显然时，展开式含，该项为，
综上所述，的展开式中的项为，系数为.
故答案为：D．
【分析】利用两种方法求解.
解法一：将原展开式看作与展开式各项的乘积，再根据二项式定理展开式的通项，分别求出两个二项式展开式中含的项，即可得出的展开式中的系数.
解法二：利用已知条件得出，再反复根据二项式定理展开式求解得出的展开式中的系数.
5．（2024高二下·白云期中）某校高三（1）班和（2）班各有40名同学，其中参加数学兴趣社团的学生分别有10人和8人，现从这两个班中随机抽取一名同学，若抽到的是参加数学兴趣社团的学生，则他来自高三（1）班的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：设事件为“抽到的学生来自高三（1）班”，
事件为“抽到的学生来自高三（2）班”，
事件为“抽到的学生参加数学兴趣社团”，
则，，，，
由全概率公式得，
由乘法公式得，
由条件概率公式得.
故答案为：B.
【分析】设出事件A，B，C，根据题意得出，，，的值，再由全概率公式求出的值，则由条件概率乘法公式得到的值，最后由条件概率公式得到的值.
6．（2024高二下·白云期中）骰子是六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个圆点且质地均匀的小正方体，常被用来做等可能性试验．掷一颗骰子一次，用A，B，C，D分别表示事件“结果是偶数”“结果不小于3”“结果不大于2”与“结果为奇数”，则下列结论错误的是（ ）
A．事件A与B相互独立 B．事件B与C互为对立事件
C． D．
【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；条件概率
【解析】【解答】解：由题意得.
对于A，因为，，
故，则事件A与B相互独立，故A正确；
对于B，因为事件“结果不小于3”“结果不大于2”不可能同时发生，
故二者互斥且二者必有一个发生，所以事件B与C互为对立事件，故B正确；
对于C，因为，，
所以，故C正确，
对于D，因为事件“结果不大于2”与“结果为奇数”不互斥，二者有相同事件“结果为1”，
所以，故D错误.
故答案为：D.
【分析】先求出事件A、B、C、D的概率，再根据独立事件的乘法公式判断选项A；根据对立事件的定义判断选项B；根据条件概率公式判断选项C；先判断C，D不互斥，从而求出的值，则判断选项D，进而找出结论错误的选项.
7．（2024高二下·白云期中）已知离散型随机变量X的分布列如下表：
X 0 1 2 3
P a
若离散型随机变量，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：因为离散型随机变量X的分布列和概率之和等于1，得出
所以，，因为离散型随机变量，又因为则，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合随机变量X的分布列和概率之和等于1得出a的值，再结合离散型随机变量和随机变量Y的取值范围，从而得出随机变量X的取值范围，再由互斥事件加法求概率公式得出的值.
8．（2024高二下·白云期中）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设，则，
当时，有，所以在上单调递减，
这表明，即，所以，即，
因为，
所以，即，
所以，
综上所述，.
故答案为：A.
【分析】先构造，利用导数判断其在上的单调性，通过得到，再根据不等式放缩得到，从而得到，进而比较出a，b，c的大小.
9．（2024高二下·白云期中）有甲、乙、丙等6名同学，则下列说法正确的是（ ）
A．6人站成一排，甲、乙两人相邻，则不同的排法种数为240
B．6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位（不一定相邻），则不同的站法种数为240
C．6名同学平均分成三组分别到、、三个工厂参观，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观，则不同的安排方法有90种
D．6名同学分成三组参加不同的活动，每名同学必须去，且每个活动都有人参加，甲、乙、丙在一起，则不同的安排方法有36种
【答案】A,C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：对于A，6人站成一排，甲、乙两人相邻，可以采用捆绑法，
则不同的排法种数为，所以A对；
对于B，6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位（不一定相邻），
可用倍缩法进行求解，则不同的站法种数为，所以B错；
对于C，6名同学平均分成三组分别到、、C三个工厂参观，每名同学必须去，
且每个工厂都有人参观，则不同的安排方法有种，所以C对；
对于D，6名同学分成三组参加不同的活动，每名同学必须去，且每个活动都有人参加，
甲、乙、丙在一起，若还有一位同学与他们一组，共有种分法；
若三组同学分为3人一组，2人一组和1人一组，先将除甲、乙、丙外的剩余3人分为两组，
有种分法，共有6种分组方法，则不同的安排方法有6种，所以D错.
故答案为：AC.
【分析】用捆绑法即可判断选项A；利用倍缩法判断选项B；用平均分组公式判断出选项C；用分类加法计数原理和分步乘法计数原理判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
10．（2024高二下·白云期中）已知，若随机事件，相互独立，则( )
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；条件概率
【解析】【解答】解：B、，则，故B正确；
A、，则，故A错误；
C、，，故C正确；
D、，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由题意，根据条件概率公式和独立事件乘法公式即可判断ABC；再根据即可判断D.
11．（2024高二下·白云期中）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数存在三个不同的零点
B．函数既存在极大值又存在极小值
C．若时，，则的最小值为
D．若方程有两个实根，则
【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：定义域为，，
当时，；当时，；
在，上单调递减，在上单调递增；
对于A，，，，
在区间和内各存在一个零点；
当时，，，恒成立；
有且仅有两个不同的零点，A错误；
对于B，由单调性可知：的极小值为，极大值为，B正确；
对于C，，作出图象如下图所示，可知方程存在另一个解，
若当时，，则，C错误；
对于D，方程有两个实根等价于与有两个不同交点，
作出图象如下图所示，
结合图象可知：，D正确.
故选：BD.
【分析】求导后，结合正负可得单调性；利用零点存在定理可说明零点个数，知A错误；根据极值定义可知B正确；采用数形结合的方式可求得CD正误.
12．（2024高二下·白云期中） 有位大学生要分配到三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每个单位至少要接收一位学生实习，已知这位学生中的甲同学分配在单位实习，则这位学生实习的不同分配方案有 种．（用数字作答）
【答案】
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：当单位只有甲时，其余四人分配到，不同分配方案有种；
当单位不只有甲时，其余四人分配到，不同分配方案有种，
则这位学生实习的不同分配方案有种不同分配方案.
故答案为：50.
【分析】根据特殊元素进行分类计数即可.
13．（2024高二下·白云期中）已知的展开式中，含项的系数为，.则 .
【答案】1023
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：因为的展开式的通项公式为：，
令，则含项的系数为，则，
对，令，解得；
对，令，解得，
故.
故答案为：.
【分析】根据二项展开式的通项公式结合题意求出的值，再通过赋值法先求和的值，从而得出的值.
14．（2024高二下·白云期中）袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的数学期望 ．
【答案】
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；超几何分布的应用
【解析】【解答】解：若黑球数小于，则至少得到一个白球的概率为1，矛盾，
设有个黑球，则，解得满足题意，
由题意白球的个数为X服从超几何分布，
所以随机变量X的数学期望为.
故答案为：.
【分析】由古典概率公式列方程求出黑球个数，再根据超几何分布的数学期望公式得出随机变量X的数学期望.
15．（2024高二下·白云期中）在数列中，，，设
（1）求证：数列为等比数列
（2）求数列的前n项和
【答案】（1）证明：由，故，
又因为，
故数列为以为公比，为首项的等比数列.
（2）解：由（1）可得，，故，
则.
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件和等比数列的定义，从而证出数列为等比数列.
（2）利用(1)结合等比数列的通项公式得出数列的通项公式，再结合等比数列的前n项公式，从而得数列的前n项和.
（1）由，故，
又，故数列为以为公比，为首项的等比数列；
（2）由（1）可得，，故，
则.
16．（2024高二下·白云期中）第十四届“中华人民共和国全国人民代表大会”和“中国人民政治协商会议”分别于2023年3月5日和3月4日胜利召开，为实现新时代新征程的目标任务汇聚智慧和力量.某市计划开展“学两会，争当新代先锋”知识竞赛活动.某单位初步推选出3名党员和5名民主党派人士，并从中随机选取4人组成表队参赛.
（1）在代表队中既有党员又有民主党派人士的条件下，求党员甲被选中的概率.
（2）现从代表队中随机选取1名队员，求该队员是党员的概率.
【答案】（1）解：设事件表示“党员甲被选中”，
事件表示“代表队中既有党员又有民主党派人士”，
则，
，
所以，.
（2）解：设选取4人中党员个数为的事件为，
从代表队中随机选取1名队员，该队员是党员为事件，则
且则
.
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【分析】（1）设事件表示“党员甲被选中”，事件表示“代表队中既有党员又有民主党派人士”，根据已知条件求出的值，再根据条件概率的公式计算出党员甲被选中的概率.
（2）先求出3名党员和5名民主党派人士中随机选取4人组成代表队中党员个数对应的概率，再由全概率公式得出该队员是党员的概率.
（1）设事件表示“党员甲被选中”，事件表示“代表队中既有党员又有民主党派人士”，
则，
，
所以，.
（2）设选取4人中党员个数为的事件为，从代表队中随机选取1名队员，该队员是党员为事件，
则
且
所以
.
17．（2024高二下·白云期中）盒中有大小颜色相同的6个乒乓球，其中4个未使用过（称之为新球），2个使用过（称之为旧球）.每局比赛从盒中随机取2个球作为比赛用球，该局比赛结束后放回盒中. 使用过的球即成为旧球.
（1）求一局比赛后盒中恰有3个新球的概率；
（2）设两局比赛后盒中新球的个数为，求的分布列.
【答案】（1）解：由题意可知：本局比赛取到了一个旧球，一个新球，
则从6个球中，取一个新球，一个旧球的概率为；
（2）解：设第一局取到两个旧球为事件，取到新旧两个球为，取到两个新球为，
第二局取到两个旧球为事件，取到新旧两个球为，取到两个新球为，
则两局比赛后新球的个数可能为0，1，2，3，4.
；
；
；
；
.
则分布列如下：
0 1 2 3 4
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；超几何分布
【解析】【分析】（1）由题意可知：本局比赛取到了一个新球，一个旧球，根据古典概型概率公式求解即可；
（2）由题意分析可知的可能值为0，1，2，3，4，求出相应概率，列分布列即可.
（1）因一局比赛后盒中恰有3个新球，则本局比赛取到了一个旧球，一个新球.
因一共有6个球，则总情况数为，取到一个新球，一个旧球的情况数为，
则相应概率为： ；
（2）设第一局取到两个旧球为事件，取到新旧两个球为，取到两个新球为，
第二局取到两个旧球为事件，取到新旧两个球为，取到两个新球为，
则两局比赛后新球的个数可能为0，1，2，3，4.
；
；
；
；
.
则分布列如下：
0 1 2 3 4
18．（2024高二下·白云期中）已知正项等比数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，设其前n项和为，求证：．
【答案】（1）解：设正项等比数列的公比为，
由，得，
两式相除得，则，
因为，则，
又因为，则，
所以数列的通项公式是.
（2）证明：由（1）知，
则，
于是，
两式相减得，
因此，而恒成立，则，
所以.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知的递推公式结合等比数列的定义，从而求出公比和首项的值，再根据等比数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）由（1）的结论求出，再利用错位相减求和法和放缩法，从而证出不等式成立.
（1）设正项等比数列的公比为，由，得，
两式相除得，则，又，即，而，则，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，
则，
于是，
两式相减得，
因此，而恒成立，则.
所以.
19．（2024高二下·白云期中）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：方程至多只有一个实数解．
【答案】（1）解：．
当时，，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时，恒成立，所以在上单调递减；
当时．令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
（2）解：当时，因为，所以不满足，所以．
由（1）知当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以．
由，得，解得，
即实数a的取值范围是．
（3）证明：令，
则．
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
所以恒成立，此时方程没有实数解．
当时，令，得或，令，得，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
因为，
所以至多只有一个零点，即方程至多只有一个实数解．
当时，恒成立，所以在上单调递增，
所以至多只有一个零点，即方程至多只有一个实数解．
当时，令，得或，令，得，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
因为，
所以至多只有一个零点，即方程至多只有一个实数解，
故方程至多只有一个实数解．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数与方程的综合运用
【解析】【分析】本题考查利用导函数研究函数的单调性，函数的恒成立问题，函数的零点与方程的根.
（1）先求导可得：，分三种情况：当时；当时；当时；，讨论导函数的正负，进而原函数的单调性；
（2）根据（1）中函数单调性，求出函数的最值，恒成立，可转化不等式，解不等式可求出实数a的取值范围；
（3）设函数，求导可得：，分四种情况：当时；当时；当时；当时；讨论导函数的正负，确定的单调性，进而求出最值，进一步可判断方程的实数根，综合四种情况可证明结论.
1 / 1广东省广州市白云区广东第二师范学院实验中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
1．（2024高二下·白云期中）等比数列中，则（ ）
A． B．5 C．10 D．20
2．（2024高二下·白云期中）点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．（2024高二下·白云期中）为了配合社区做好新冠肺炎疫情防控工作，某校要派四名教师到甲、乙两个社区开展志愿者服务，若每个教师只去一个社区，且两个社区都有教师去，则不同的安排方法有（ ）
A．14种 B．20种 C．10种 D．7种
4．（2024高二下·白云期中）的展开式中的系数为（ ）
A．6 B．8 C．27 D．33
5．（2024高二下·白云期中）某校高三（1）班和（2）班各有40名同学，其中参加数学兴趣社团的学生分别有10人和8人，现从这两个班中随机抽取一名同学，若抽到的是参加数学兴趣社团的学生，则他来自高三（1）班的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·白云期中）骰子是六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个圆点且质地均匀的小正方体，常被用来做等可能性试验．掷一颗骰子一次，用A，B，C，D分别表示事件“结果是偶数”“结果不小于3”“结果不大于2”与“结果为奇数”，则下列结论错误的是（ ）
A．事件A与B相互独立 B．事件B与C互为对立事件
C． D．
7．（2024高二下·白云期中）已知离散型随机变量X的分布列如下表：
X 0 1 2 3
P a
若离散型随机变量，则（ ）．
A． B． C． D．
8．（2024高二下·白云期中）设，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·白云期中）有甲、乙、丙等6名同学，则下列说法正确的是（ ）
A．6人站成一排，甲、乙两人相邻，则不同的排法种数为240
B．6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位（不一定相邻），则不同的站法种数为240
C．6名同学平均分成三组分别到、、三个工厂参观，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观，则不同的安排方法有90种
D．6名同学分成三组参加不同的活动，每名同学必须去，且每个活动都有人参加，甲、乙、丙在一起，则不同的安排方法有36种
10．（2024高二下·白云期中）已知，若随机事件，相互独立，则( )
A． B． C． D．
11．（2024高二下·白云期中）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数存在三个不同的零点
B．函数既存在极大值又存在极小值
C．若时，，则的最小值为
D．若方程有两个实根，则
12．（2024高二下·白云期中） 有位大学生要分配到三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每个单位至少要接收一位学生实习，已知这位学生中的甲同学分配在单位实习，则这位学生实习的不同分配方案有 种．（用数字作答）
13．（2024高二下·白云期中）已知的展开式中，含项的系数为，.则 .
14．（2024高二下·白云期中）袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的数学期望 ．
15．（2024高二下·白云期中）在数列中，，，设
（1）求证：数列为等比数列
（2）求数列的前n项和
16．（2024高二下·白云期中）第十四届“中华人民共和国全国人民代表大会”和“中国人民政治协商会议”分别于2023年3月5日和3月4日胜利召开，为实现新时代新征程的目标任务汇聚智慧和力量.某市计划开展“学两会，争当新代先锋”知识竞赛活动.某单位初步推选出3名党员和5名民主党派人士，并从中随机选取4人组成表队参赛.
（1）在代表队中既有党员又有民主党派人士的条件下，求党员甲被选中的概率.
（2）现从代表队中随机选取1名队员，求该队员是党员的概率.
17．（2024高二下·白云期中）盒中有大小颜色相同的6个乒乓球，其中4个未使用过（称之为新球），2个使用过（称之为旧球）.每局比赛从盒中随机取2个球作为比赛用球，该局比赛结束后放回盒中. 使用过的球即成为旧球.
（1）求一局比赛后盒中恰有3个新球的概率；
（2）设两局比赛后盒中新球的个数为，求的分布列.
18．（2024高二下·白云期中）已知正项等比数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，设其前n项和为，求证：．
19．（2024高二下·白云期中）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：方程至多只有一个实数解．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，
则，所以，
故.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和等比数列的性质，从而求出公比的值，再结合等比数列的性质得出的值.
2．【答案】D
【知识点】导数的几何意义；直线的一般式方程与直线的平行关系；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：因为点是曲线上任意一点，
所以当点处的切线和直线平行时，点到直线的距离最小，
因为直线的斜率等于1，曲线的导数，
令，可得或(舍去)，
所以在曲线上与直线平行的切线经过的切点坐标为，
所以点P到直线的最小距离为.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件将问题转化为当过点的切线与直线平行时，点P到直线的距离最小，利用导数的几何意义求出点的坐标，再结合点到直线的距离公式得出点到直线的距离的最小值.
3．【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：第一步：将四名教师分成两组，有两种情况：
一种情况是1组1人、1组3人，一种情况是每组2人，共有种分法；
第二步：将第一步得到的两个不同组分给两个不同社区，有种分法，
则不同的安排方法有（种）.
故答案为：A．
【分析】按照分组、分配的方法，再结合组合数公式和排列数公式以及分步乘法计数原理，从而得出不同的安排方法种数.
4．【答案】D
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：解法一：因为，
即原展开式可以看作两个二项式展开式各项的乘积，
因为展开式的通项为，
则展开式中含的项为；含的项为；含的项为
又因为展开式的通项为，
则展开式中含的项为；含的项为；
含的项为，
综上所述，的展开式中的项为，系数为.
解法二：因为，
展开式的通项为，
要使展开式中含，则可取或，
当时，，
展开式的通项为，
显然时，展开式含，该项为；
当时，，
展开式的通项为，
显然时，展开式含，该项为，
综上所述，的展开式中的项为，系数为.
故答案为：D．
【分析】利用两种方法求解.
解法一：将原展开式看作与展开式各项的乘积，再根据二项式定理展开式的通项，分别求出两个二项式展开式中含的项，即可得出的展开式中的系数.
解法二：利用已知条件得出，再反复根据二项式定理展开式求解得出的展开式中的系数.
5．【答案】B
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：设事件为“抽到的学生来自高三（1）班”，
事件为“抽到的学生来自高三（2）班”，
事件为“抽到的学生参加数学兴趣社团”，
则，，，，
由全概率公式得，
由乘法公式得，
由条件概率公式得.
故答案为：B.
【分析】设出事件A，B，C，根据题意得出，，，的值，再由全概率公式求出的值，则由条件概率乘法公式得到的值，最后由条件概率公式得到的值.
6．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；条件概率
【解析】【解答】解：由题意得.
对于A，因为，，
故，则事件A与B相互独立，故A正确；
对于B，因为事件“结果不小于3”“结果不大于2”不可能同时发生，
故二者互斥且二者必有一个发生，所以事件B与C互为对立事件，故B正确；
对于C，因为，，
所以，故C正确，
对于D，因为事件“结果不大于2”与“结果为奇数”不互斥，二者有相同事件“结果为1”，
所以，故D错误.
故答案为：D.
【分析】先求出事件A、B、C、D的概率，再根据独立事件的乘法公式判断选项A；根据对立事件的定义判断选项B；根据条件概率公式判断选项C；先判断C，D不互斥，从而求出的值，则判断选项D，进而找出结论错误的选项.
7．【答案】A
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：因为离散型随机变量X的分布列和概率之和等于1，得出
所以，，因为离散型随机变量，又因为则，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合随机变量X的分布列和概率之和等于1得出a的值，再结合离散型随机变量和随机变量Y的取值范围，从而得出随机变量X的取值范围，再由互斥事件加法求概率公式得出的值.
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设，则，
当时，有，所以在上单调递减，
这表明，即，所以，即，
因为，
所以，即，
所以，
综上所述，.
故答案为：A.
【分析】先构造，利用导数判断其在上的单调性，通过得到，再根据不等式放缩得到，从而得到，进而比较出a，b，c的大小.
9．【答案】A,C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：对于A，6人站成一排，甲、乙两人相邻，可以采用捆绑法，
则不同的排法种数为，所以A对；
对于B，6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位（不一定相邻），
可用倍缩法进行求解，则不同的站法种数为，所以B错；
对于C，6名同学平均分成三组分别到、、C三个工厂参观，每名同学必须去，
且每个工厂都有人参观，则不同的安排方法有种，所以C对；
对于D，6名同学分成三组参加不同的活动，每名同学必须去，且每个活动都有人参加，
甲、乙、丙在一起，若还有一位同学与他们一组，共有种分法；
若三组同学分为3人一组，2人一组和1人一组，先将除甲、乙、丙外的剩余3人分为两组，
有种分法，共有6种分组方法，则不同的安排方法有6种，所以D错.
故答案为：AC.
【分析】用捆绑法即可判断选项A；利用倍缩法判断选项B；用平均分组公式判断出选项C；用分类加法计数原理和分步乘法计数原理判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
10．【答案】B,C,D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；条件概率
【解析】【解答】解：B、，则，故B正确；
A、，则，故A错误；
C、，，故C正确；
D、，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由题意，根据条件概率公式和独立事件乘法公式即可判断ABC；再根据即可判断D.
11．【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：定义域为，，
当时，；当时，；
在，上单调递减，在上单调递增；
对于A，，，，
在区间和内各存在一个零点；
当时，，，恒成立；
有且仅有两个不同的零点，A错误；
对于B，由单调性可知：的极小值为，极大值为，B正确；
对于C，，作出图象如下图所示，可知方程存在另一个解，
若当时，，则，C错误；
对于D，方程有两个实根等价于与有两个不同交点，
作出图象如下图所示，
结合图象可知：，D正确.
故选：BD.
【分析】求导后，结合正负可得单调性；利用零点存在定理可说明零点个数，知A错误；根据极值定义可知B正确；采用数形结合的方式可求得CD正误.
12．【答案】
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：当单位只有甲时，其余四人分配到，不同分配方案有种；
当单位不只有甲时，其余四人分配到，不同分配方案有种，
则这位学生实习的不同分配方案有种不同分配方案.
故答案为：50.
【分析】根据特殊元素进行分类计数即可.
13．【答案】1023
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：因为的展开式的通项公式为：，
令，则含项的系数为，则，
对，令，解得；
对，令，解得，
故.
故答案为：.
【分析】根据二项展开式的通项公式结合题意求出的值，再通过赋值法先求和的值，从而得出的值.
14．【答案】
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；超几何分布的应用
【解析】【解答】解：若黑球数小于，则至少得到一个白球的概率为1，矛盾，
设有个黑球，则，解得满足题意，
由题意白球的个数为X服从超几何分布，
所以随机变量X的数学期望为.
故答案为：.
【分析】由古典概率公式列方程求出黑球个数，再根据超几何分布的数学期望公式得出随机变量X的数学期望.
15．【答案】（1）证明：由，故，
又因为，
故数列为以为公比，为首项的等比数列.
（2）解：由（1）可得，，故，
则.
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件和等比数列的定义，从而证出数列为等比数列.
（2）利用(1)结合等比数列的通项公式得出数列的通项公式，再结合等比数列的前n项公式，从而得数列的前n项和.
（1）由，故，
又，故数列为以为公比，为首项的等比数列；
（2）由（1）可得，，故，
则.
16．【答案】（1）解：设事件表示“党员甲被选中”，
事件表示“代表队中既有党员又有民主党派人士”，
则，
，
所以，.
（2）解：设选取4人中党员个数为的事件为，
从代表队中随机选取1名队员，该队员是党员为事件，则
且则
.
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【分析】（1）设事件表示“党员甲被选中”，事件表示“代表队中既有党员又有民主党派人士”，根据已知条件求出的值，再根据条件概率的公式计算出党员甲被选中的概率.
（2）先求出3名党员和5名民主党派人士中随机选取4人组成代表队中党员个数对应的概率，再由全概率公式得出该队员是党员的概率.
（1）设事件表示“党员甲被选中”，事件表示“代表队中既有党员又有民主党派人士”，
则，
，
所以，.
（2）设选取4人中党员个数为的事件为，从代表队中随机选取1名队员，该队员是党员为事件，
则
且
所以
.
17．【答案】（1）解：由题意可知：本局比赛取到了一个旧球，一个新球，
则从6个球中，取一个新球，一个旧球的概率为；
（2）解：设第一局取到两个旧球为事件，取到新旧两个球为，取到两个新球为，
第二局取到两个旧球为事件，取到新旧两个球为，取到两个新球为，
则两局比赛后新球的个数可能为0，1，2，3，4.
；
；
；
；
.
则分布列如下：
0 1 2 3 4
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；超几何分布
【解析】【分析】（1）由题意可知：本局比赛取到了一个新球，一个旧球，根据古典概型概率公式求解即可；
（2）由题意分析可知的可能值为0，1，2，3，4，求出相应概率，列分布列即可.
（1）因一局比赛后盒中恰有3个新球，则本局比赛取到了一个旧球，一个新球.
因一共有6个球，则总情况数为，取到一个新球，一个旧球的情况数为，
则相应概率为： ；
（2）设第一局取到两个旧球为事件，取到新旧两个球为，取到两个新球为，
第二局取到两个旧球为事件，取到新旧两个球为，取到两个新球为，
则两局比赛后新球的个数可能为0，1，2，3，4.
；
；
；
；
.
则分布列如下：
0 1 2 3 4
18．【答案】（1）解：设正项等比数列的公比为，
由，得，
两式相除得，则，
因为，则，
又因为，则，
所以数列的通项公式是.
（2）证明：由（1）知，
则，
于是，
两式相减得，
因此，而恒成立，则，
所以.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知的递推公式结合等比数列的定义，从而求出公比和首项的值，再根据等比数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）由（1）的结论求出，再利用错位相减求和法和放缩法，从而证出不等式成立.
（1）设正项等比数列的公比为，由，得，
两式相除得，则，又，即，而，则，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，
则，
于是，
两式相减得，
因此，而恒成立，则.
所以.
19．【答案】（1）解：．
当时，，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时，恒成立，所以在上单调递减；
当时．令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
（2）解：当时，因为，所以不满足，所以．
由（1）知当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以．
由，得，解得，
即实数a的取值范围是．
（3）证明：令，
则．
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
所以恒成立，此时方程没有实数解．
当时，令，得或，令，得，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
因为，
所以至多只有一个零点，即方程至多只有一个实数解．
当时，恒成立，所以在上单调递增，
所以至多只有一个零点，即方程至多只有一个实数解．
当时，令，得或，令，得，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
因为，
所以至多只有一个零点，即方程至多只有一个实数解，
故方程至多只有一个实数解．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数与方程的综合运用
【解析】【分析】本题考查利用导函数研究函数的单调性，函数的恒成立问题，函数的零点与方程的根.
（1）先求导可得：，分三种情况：当时；当时；当时；，讨论导函数的正负，进而原函数的单调性；
（2）根据（1）中函数单调性，求出函数的最值，恒成立，可转化不等式，解不等式可求出实数a的取值范围；
（3）设函数，求导可得：，分四种情况：当时；当时；当时；当时；讨论导函数的正负，确定的单调性，进而求出最值，进一步可判断方程的实数根，综合四种情况可证明结论.
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