广东省佛山市南海区南海中学2023-2024学年高二下学期第一次阶段考试数学试卷
1．（2024高二下·南海月考）对函数求导正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：依题意，.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和复合函数的导数公式以及导数四则运算，从而得出对函数求导正确的选项.
2．（2024高二下·南海月考）记等差数列的前n项和为，则（ ）
A．98 B．112 C．126 D．140
【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为数列为等差数列，，所以，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用等差数列的性质和等差数列前n项和公式，从而得出的值.
3．（2024高二下·南海月考）已知双曲线E的实轴长为6，且与椭圆有公共焦点，则双曲线E的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：椭圆的焦点坐标为，因此双曲线E的焦点为，
而其实半轴长为3，则虚半轴长为，双曲线E的方程为，
所以双曲线E的渐近线方程为.
故答案为：A
【分析】根据给定条件，求出椭圆的焦点坐标，再求出双曲线方程即可求得渐近线方程.
4．（2024高二下·南海月考）已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，现往圆锥内放入一个体积最大的球，则球的表面积与圆锥的侧面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：在圆锥内放入一个体积最大的球，其半径为圆锥的轴截面等边三角形的内切圆半径，
故该球的半径为，故球的表面积为，
因为圆锥的侧面积为，
则球的表面积与圆锥的侧面积之比是.
故答案为：B.
【分析】根据圆锥的轴截面等边三角形的内切圆半径为球的半径，则由已知条件求出球的半径，再分别求出球的表面积与圆锥的侧面积，从而得出球的表面积与圆锥的侧面积之比.
5．（2024高二下·南海月考）已知函数的图象如下图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由题中图可得，当时，，为减函数；
当时，，为增函数；
当时，，为减函数；
当时，，为增函数，
结合各选项可知选项C符合题意.
故答案为：C.
【分析】由导数的符号判断出原函数的单调性，再结合各选项找出函数的大致图象.
6．（2024高二下·南海月考）如图是函数的大致图象，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：由题意得，，，
解得，，
故，，
由图象可知，为方程的两个不等实根，
故，，
故.
故答案为：D.
【分析】利用求出的值，从而得到函数解析式，再求导得到导函数，则根据为方程的两个不等实根结合韦达定理求出的值.
7．（2024高二下·南海月考）已知数列的前n项和为，且，若首项为的数列满足，则数列的前2024项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：，，
当时，，符合，
所以数列的通项公式为，
，，
即，
，
……
，又，累加法可得：，
即，
设数列的前项和为，则.
故答案为：D.
【分析】利用的关系式得出数列的通项公式，再代入结合累加法求出数列的通项公式，再根据裂项相消法求出数列的前2024项和.
8．（2024高二下·南海月考）数列满足，前12项和为164，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：因为，
所以，
，
因为数列的前12项和为164，
所以，
所以，
即，解得.
故答案为：C.
【分析】利用递推关系求出偶数项的和以及奇数项与首项的关系，再结合已知条件得出首项的值.
9．（2024高二下·南海月考）已知函数的定义域为，其导函数的图象如图所示．则对于任意，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】函数单调性的判断与证明；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由导函数的图象可知，导函数的图象在轴下方，
即，且其绝对值越来越小，
因此过函数图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角，
故函数为减函数，并且递减的速度是先快后慢，由此可得的大致图象可为：
因为，设，所以.
对于A：因为函数为减函数，
所以，即，
所以，故A正确；
对于B：由导函数图象可知导函数为增函数，
所以，即，
所以，故B错误；
对于C：分别作直线，与函数图象交于点，，连接，
作直线交线段于点，交函数图象于点，
所以，，
由图可知，所以，故C正确；
对于D：分别作直线，与函数图象交于点，，连接，
作直线交线段于点，交函数图象于点，
所以，，
由图可知，所以，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用导函数的图象和性质，从而可得函数的大致图象，再根据原函数和导函数的单调性和凹凸性，即可找出结论正确的选项.
10．（2024高二下·南海月考）已知数列满足：（m为正整数），，若，则m可能的取值有（ ）
A．3 B．4 C．5 D．32
【答案】B,C,D
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为，，所以，
若，不合题意，舍去，所以；
若，则，进而可得；
若，则，则可得，所以或.
故答案为：BCD.
【分析】利用和递推关系进行逆推，从而可得m可能的取值.
11．（2024高二下·南海月考）如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，若原正三角形边长为1，记第n个图形的边数为，第n个图形的边长为，第n个图形的周长为，第n个图形的面积为．则下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．数列的前n项和为
【答案】A,B,D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；归纳推理
【解析】【解答】解：对于A，第n个图形的每条边分成三等份，去掉中间段，
并以中间段为边向形外作正三角形，得第个图形，
则原来每条边变为4条，即，
又因为，因此，故A正确；
对于B，第2个图形在第1个图形外增加3个边长为的正三角形，
第3个图形在第2个图形外增加12个边长为的正三角形，而所有正三角形都相似，
则，故B正确；
对于C，由作法知，，
又因为，则，，故C错误；
对于D，由选项A、选项C知，，
所以数列的前n项和为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据给定的图形作法，探讨各自的变化规律，从而计算判断各选项，进而找出真命题的选项.
12．（2024高二下·南海月考）已知，则满足的实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：因为，该函数的定义域为，
，故函数为奇函数，
因为对任意的恒成立，
所以，函数在上为减函数，
由可得，
所以，，解得，即实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】先判断函数的奇偶性与单调性，将所求不等式变形为，再结合函数的单调性可得出关于实数的不等式，解不等式得出实数a的取值范围.
13．（2024高二下·南海月考）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数，一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1个初始感染者增加到1365人大约需要的天数为 ．（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……）
【答案】35
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：依题意，每一轮传染，新增感染者数依次排成一列得等比数列，，，
感染者增加到1365人需要轮传染，
则，解得，
所以感染人数由1个初始感染者增加到1365人大约需要的天数为35天.
故答案为：35.
【分析】根据已知条件将问题转化为等比数列的问题，再结合等比数列前n项和公式，从而列式计算得出感染人数由1个初始感染者增加到1365人大约需要的天数.
14．（2024高二下·南海月考）已知函数，若，且，则的最小值是 ，此时在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 ．
【答案】；
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由求导得，令，解得，
与直线平行的直线与曲线的切点为，
由，解得，
因此，
因为函数的图象在点处的切线的方程为，
又因为直线交轴于点，交轴于点，
所以切线与坐标轴所围三角形面积为.
故答案为：；.
【分析】根据已知条件求出与直线平行的直线与曲线的切点，再求出的值，即可得出的最小值；再结合求出切线方程与x轴，y轴相交得出交点A，B的坐标，则根据三角形的面积公式得出即此时在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积.
15．（2024高二下·南海月考）已知数列的首项是3，且满足．
（1）求证：是等比数列；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）证明：由，得，
又因为，
所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列．
（2）解：由（1）得数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
，，
.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）利用变形得，再结合等比数列的定义证出数列是等比数列.
（2）由（1）结合等比数列的通项公式可得，再利用分组求和和等比数列的前n项和公式，从而得出数列的前项和．
（1）证明：由，得，
又．
所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列．
（2）由（1）得数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
，，
16．（2024高二下·南海月考）已知函数．
（1）若，求函数在上的最大值和最小值；
（2）讨论函数的单调性．
【答案】（1）解：当时，函数定义域为，，
令，解得或，
因为，所以当，，在单调递减，
当，，在单调递增，
故在时取到极小值，且，
又因为，，所以函数在上的最大值为，最小值为；
（2）解：函数定义域为，，
当，即时，，则函数在单调递增，
当，即时，令，解得，
当，，在单调递增，
当，，在单调递减，
当，，在单调递增，
综上所述，当时，在单调递增，
当时，在，单调递增，在单调递减.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）将代入，求导，利用导数研究函数的单调性，并求极值和区间端点函数值比较即可求得函数的最值；
（2）求导，分、两种情况讨论函数的单调性即可.
（1）当时，，则，
令，得或，
由于，
所以当，，在单调递减，
所以当，，在单调递增，
所以在时取到极小值，且，
又因为，，
综上，函数在上的最大值为，最小值为.
（2）因为，所以，
当，即时，，
在单调递增，
当，即时，
令，则，
所以当，，在单调递增，
当，，在单调递减，
当，，在单调递增.
综上所述，当时，在单调递增，
当时，在，单调递增，在单调递减.
17．（2024高二下·南海月考）设数列的前n项和为，已知．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和．
【答案】（1）解：由题意知：①，
当时，②，
得：，
则，
所以，，，
所以数列是首项，公差的等差数列，
所以数列的通项公式为.
（2）解：因为，
所以，
，
即③，
④，
得：
.
所以.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）由的关系式和等差数列的定义，从而判断出数列是首项，公差的等差数列，再结合等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）由数列的通项公式得出数列的通项公式，再结合错位相减法得出数列的前n项和．
（1）由题知：①，
当时，②，
得：，
即，
所以，，，
从而数列是首项，公差的等差数列，
所以数列的通项公式为.
（2）因为，所以，
，
即③，
④，
得：
.
所以.
18．（2024高二下·南海月考）已知函数．
（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的极值；
（2）若的图象恒在直线的下方．
①求实数的取值范围；
②证明：对任意正整数，都有
【答案】（1）解：，
因为曲线在处的切线与直线垂直，
所以，解得，
故，
当时，，为减函数；
当时，，为增函数，
故的极大值为，无极小值．
（2）解：①函数的图象恒在直线的下方
等价于在上恒成立，
即恒成立，
令，则，
令，得，
当时，，则在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
故的最大值为，所以实数的取值范围是．
证明：②由①可知，令，则，
即对恒成立．
令，则，
所以
所以，
即．
【知识点】函数恒成立问题；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求切线的斜率的方法结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出切线的斜率，进而得出m的值，再代入得出导函数，则利用导数的方法判断函数的单调性，从而得出函数的极值.
（2）①因为函数的图象恒在直线的下方等价于在上恒成立，即恒成立，设，利用导数的方法判断其单调性，从而求出其极值，即可得出实数m的取值范围.
②令，可得，化简整理可得，再利用累加法求和，即可证出对任意正整数，都有成立.
19．（2024高二下·南海月考）现有甲、乙两名蓝球运动员进行投篮练习，甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为．
（1）为了增加投篮练习的趣味性，甲、乙两人约定进行如下游戏：甲、乙两人同时投一次篮为一局比赛，若甲投进且乙未投进，则认定甲此局获胜：若甲未投进乙投进，则认定乙此局获胜：其它情况认定为平局，获胜者此局得1分，其它情况均不得分，当一人得分比另一人得分多3分时，游戏结束，且得分多者取得游戏的胜利．求甲恰在第五局结束时取得游戏胜利的概率．
（2）投篮练习规定如下规则：甲、乙两人轮流投篮，若命中则此人继续投蓝，若未命中则对方投篮，第一次投篮由甲完成，设为第n次投篮由甲完成的概率．
①求第3次投篮由甲完成的概率；
②请表示第n次投篮由甲完成的概率．
【答案】（1）解：由题意可得，甲每次投篮不命中的概率为，乙每次投篮不命中的概率为
在一局比赛中，甲得1分的概率为，乙得1分的概率为，
甲、乙均不得分的概率为，
可得甲恰在第五局结束时取得游戏胜利的比分为3：0或4：1，
当比分是3：0时，甲获胜的概率为；
当比分是4：1时，甲获胜的概率为，
所以甲恰在第五局结束时取得游戏胜利的概率为.
（2）解：①由题意知：，，
.
②由①可得，当时，，
所以，
又因为，
所以是以为公比，为首项的等比数列，
所以，故.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式
【解析】【分析】（1）根据独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式，再按比分分情况讨论，则根据互斥事件加法求概率公式得出甲恰在第五局结束时取得游戏胜利的概率．
（2）①利用已知条件和递推公式得出第3次投篮由甲完成的概率.
②由①可得，当时，，结合等比数列的定义判断出数列是以为公比，为首项的等比数列，再根据等比数列的通项公式表示出第n次投篮由甲完成的概率．
（1）由题意可得，甲每次投篮不命中的概率为，乙每次投篮不命中的概率为，
在一局比赛中，甲得1分的概率为，乙得1分的概率为，
甲、乙均不得分的概率为，
可得甲恰在第五局结束时取得游戏胜利的比分为3：0或4：1.
当比分是3：0时，甲获胜的概率为，
当比分是4：1时，甲获胜的概率为，
所以甲恰在第五局结束时取得游戏胜利的概率为.
（2）由题意知：，，
，
可得当时，，
所以，又，
所以是以为公比，为首项的等比数列，所以，
故.
1 / 1广东省佛山市南海区南海中学2023-2024学年高二下学期第一次阶段考试数学试卷
1．（2024高二下·南海月考）对函数求导正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高二下·南海月考）记等差数列的前n项和为，则（ ）
A．98 B．112 C．126 D．140
3．（2024高二下·南海月考）已知双曲线E的实轴长为6，且与椭圆有公共焦点，则双曲线E的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·南海月考）已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，现往圆锥内放入一个体积最大的球，则球的表面积与圆锥的侧面积之比是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·南海月考）已知函数的图象如下图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高二下·南海月考）如图是函数的大致图象，则（ ）
A． B． C．2 D．
7．（2024高二下·南海月考）已知数列的前n项和为，且，若首项为的数列满足，则数列的前2024项和为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·南海月考）数列满足，前12项和为164，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．（2024高二下·南海月考）已知函数的定义域为，其导函数的图象如图所示．则对于任意，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高二下·南海月考）已知数列满足：（m为正整数），，若，则m可能的取值有（ ）
A．3 B．4 C．5 D．32
11．（2024高二下·南海月考）如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，若原正三角形边长为1，记第n个图形的边数为，第n个图形的边长为，第n个图形的周长为，第n个图形的面积为．则下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．数列的前n项和为
12．（2024高二下·南海月考）已知，则满足的实数的取值范围是 ．
13．（2024高二下·南海月考）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数，一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1个初始感染者增加到1365人大约需要的天数为 ．（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……）
14．（2024高二下·南海月考）已知函数，若，且，则的最小值是 ，此时在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 ．
15．（2024高二下·南海月考）已知数列的首项是3，且满足．
（1）求证：是等比数列；
（2）求数列的前项和．
16．（2024高二下·南海月考）已知函数．
（1）若，求函数在上的最大值和最小值；
（2）讨论函数的单调性．
17．（2024高二下·南海月考）设数列的前n项和为，已知．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和．
18．（2024高二下·南海月考）已知函数．
（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的极值；
（2）若的图象恒在直线的下方．
①求实数的取值范围；
②证明：对任意正整数，都有
19．（2024高二下·南海月考）现有甲、乙两名蓝球运动员进行投篮练习，甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为．
（1）为了增加投篮练习的趣味性，甲、乙两人约定进行如下游戏：甲、乙两人同时投一次篮为一局比赛，若甲投进且乙未投进，则认定甲此局获胜：若甲未投进乙投进，则认定乙此局获胜：其它情况认定为平局，获胜者此局得1分，其它情况均不得分，当一人得分比另一人得分多3分时，游戏结束，且得分多者取得游戏的胜利．求甲恰在第五局结束时取得游戏胜利的概率．
（2）投篮练习规定如下规则：甲、乙两人轮流投篮，若命中则此人继续投蓝，若未命中则对方投篮，第一次投篮由甲完成，设为第n次投篮由甲完成的概率．
①求第3次投篮由甲完成的概率；
②请表示第n次投篮由甲完成的概率．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：依题意，.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和复合函数的导数公式以及导数四则运算，从而得出对函数求导正确的选项.
2．【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为数列为等差数列，，所以，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用等差数列的性质和等差数列前n项和公式，从而得出的值.
3．【答案】A
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：椭圆的焦点坐标为，因此双曲线E的焦点为，
而其实半轴长为3，则虚半轴长为，双曲线E的方程为，
所以双曲线E的渐近线方程为.
故答案为：A
【分析】根据给定条件，求出椭圆的焦点坐标，再求出双曲线方程即可求得渐近线方程.
4．【答案】B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：在圆锥内放入一个体积最大的球，其半径为圆锥的轴截面等边三角形的内切圆半径，
故该球的半径为，故球的表面积为，
因为圆锥的侧面积为，
则球的表面积与圆锥的侧面积之比是.
故答案为：B.
【分析】根据圆锥的轴截面等边三角形的内切圆半径为球的半径，则由已知条件求出球的半径，再分别求出球的表面积与圆锥的侧面积，从而得出球的表面积与圆锥的侧面积之比.
5．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由题中图可得，当时，，为减函数；
当时，，为增函数；
当时，，为减函数；
当时，，为增函数，
结合各选项可知选项C符合题意.
故答案为：C.
【分析】由导数的符号判断出原函数的单调性，再结合各选项找出函数的大致图象.
6．【答案】D
【知识点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：由题意得，，，
解得，，
故，，
由图象可知，为方程的两个不等实根，
故，，
故.
故答案为：D.
【分析】利用求出的值，从而得到函数解析式，再求导得到导函数，则根据为方程的两个不等实根结合韦达定理求出的值.
7．【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：，，
当时，，符合，
所以数列的通项公式为，
，，
即，
，
……
，又，累加法可得：，
即，
设数列的前项和为，则.
故答案为：D.
【分析】利用的关系式得出数列的通项公式，再代入结合累加法求出数列的通项公式，再根据裂项相消法求出数列的前2024项和.
8．【答案】C
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：因为，
所以，
，
因为数列的前12项和为164，
所以，
所以，
即，解得.
故答案为：C.
【分析】利用递推关系求出偶数项的和以及奇数项与首项的关系，再结合已知条件得出首项的值.
9．【答案】A,C
【知识点】函数单调性的判断与证明；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由导函数的图象可知，导函数的图象在轴下方，
即，且其绝对值越来越小，
因此过函数图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角，
故函数为减函数，并且递减的速度是先快后慢，由此可得的大致图象可为：
因为，设，所以.
对于A：因为函数为减函数，
所以，即，
所以，故A正确；
对于B：由导函数图象可知导函数为增函数，
所以，即，
所以，故B错误；
对于C：分别作直线，与函数图象交于点，，连接，
作直线交线段于点，交函数图象于点，
所以，，
由图可知，所以，故C正确；
对于D：分别作直线，与函数图象交于点，，连接，
作直线交线段于点，交函数图象于点，
所以，，
由图可知，所以，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用导函数的图象和性质，从而可得函数的大致图象，再根据原函数和导函数的单调性和凹凸性，即可找出结论正确的选项.
10．【答案】B,C,D
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为，，所以，
若，不合题意，舍去，所以；
若，则，进而可得；
若，则，则可得，所以或.
故答案为：BCD.
【分析】利用和递推关系进行逆推，从而可得m可能的取值.
11．【答案】A,B,D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；归纳推理
【解析】【解答】解：对于A，第n个图形的每条边分成三等份，去掉中间段，
并以中间段为边向形外作正三角形，得第个图形，
则原来每条边变为4条，即，
又因为，因此，故A正确；
对于B，第2个图形在第1个图形外增加3个边长为的正三角形，
第3个图形在第2个图形外增加12个边长为的正三角形，而所有正三角形都相似，
则，故B正确；
对于C，由作法知，，
又因为，则，，故C错误；
对于D，由选项A、选项C知，，
所以数列的前n项和为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据给定的图形作法，探讨各自的变化规律，从而计算判断各选项，进而找出真命题的选项.
12．【答案】
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：因为，该函数的定义域为，
，故函数为奇函数，
因为对任意的恒成立，
所以，函数在上为减函数，
由可得，
所以，，解得，即实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】先判断函数的奇偶性与单调性，将所求不等式变形为，再结合函数的单调性可得出关于实数的不等式，解不等式得出实数a的取值范围.
13．【答案】35
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：依题意，每一轮传染，新增感染者数依次排成一列得等比数列，，，
感染者增加到1365人需要轮传染，
则，解得，
所以感染人数由1个初始感染者增加到1365人大约需要的天数为35天.
故答案为：35.
【分析】根据已知条件将问题转化为等比数列的问题，再结合等比数列前n项和公式，从而列式计算得出感染人数由1个初始感染者增加到1365人大约需要的天数.
14．【答案】；
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由求导得，令，解得，
与直线平行的直线与曲线的切点为，
由，解得，
因此，
因为函数的图象在点处的切线的方程为，
又因为直线交轴于点，交轴于点，
所以切线与坐标轴所围三角形面积为.
故答案为：；.
【分析】根据已知条件求出与直线平行的直线与曲线的切点，再求出的值，即可得出的最小值；再结合求出切线方程与x轴，y轴相交得出交点A，B的坐标，则根据三角形的面积公式得出即此时在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积.
15．【答案】（1）证明：由，得，
又因为，
所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列．
（2）解：由（1）得数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
，，
.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）利用变形得，再结合等比数列的定义证出数列是等比数列.
（2）由（1）结合等比数列的通项公式可得，再利用分组求和和等比数列的前n项和公式，从而得出数列的前项和．
（1）证明：由，得，
又．
所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列．
（2）由（1）得数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
，，
16．【答案】（1）解：当时，函数定义域为，，
令，解得或，
因为，所以当，，在单调递减，
当，，在单调递增，
故在时取到极小值，且，
又因为，，所以函数在上的最大值为，最小值为；
（2）解：函数定义域为，，
当，即时，，则函数在单调递增，
当，即时，令，解得，
当，，在单调递增，
当，，在单调递减，
当，，在单调递增，
综上所述，当时，在单调递增，
当时，在，单调递增，在单调递减.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）将代入，求导，利用导数研究函数的单调性，并求极值和区间端点函数值比较即可求得函数的最值；
（2）求导，分、两种情况讨论函数的单调性即可.
（1）当时，，则，
令，得或，
由于，
所以当，，在单调递减，
所以当，，在单调递增，
所以在时取到极小值，且，
又因为，，
综上，函数在上的最大值为，最小值为.
（2）因为，所以，
当，即时，，
在单调递增，
当，即时，
令，则，
所以当，，在单调递增，
当，，在单调递减，
当，，在单调递增.
综上所述，当时，在单调递增，
当时，在，单调递增，在单调递减.
17．【答案】（1）解：由题意知：①，
当时，②，
得：，
则，
所以，，，
所以数列是首项，公差的等差数列，
所以数列的通项公式为.
（2）解：因为，
所以，
，
即③，
④，
得：
.
所以.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）由的关系式和等差数列的定义，从而判断出数列是首项，公差的等差数列，再结合等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）由数列的通项公式得出数列的通项公式，再结合错位相减法得出数列的前n项和．
（1）由题知：①，
当时，②，
得：，
即，
所以，，，
从而数列是首项，公差的等差数列，
所以数列的通项公式为.
（2）因为，所以，
，
即③，
④，
得：
.
所以.
18．【答案】（1）解：，
因为曲线在处的切线与直线垂直，
所以，解得，
故，
当时，，为减函数；
当时，，为增函数，
故的极大值为，无极小值．
（2）解：①函数的图象恒在直线的下方
等价于在上恒成立，
即恒成立，
令，则，
令，得，
当时，，则在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
故的最大值为，所以实数的取值范围是．
证明：②由①可知，令，则，
即对恒成立．
令，则，
所以
所以，
即．
【知识点】函数恒成立问题；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求切线的斜率的方法结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出切线的斜率，进而得出m的值，再代入得出导函数，则利用导数的方法判断函数的单调性，从而得出函数的极值.
（2）①因为函数的图象恒在直线的下方等价于在上恒成立，即恒成立，设，利用导数的方法判断其单调性，从而求出其极值，即可得出实数m的取值范围.
②令，可得，化简整理可得，再利用累加法求和，即可证出对任意正整数，都有成立.
19．【答案】（1）解：由题意可得，甲每次投篮不命中的概率为，乙每次投篮不命中的概率为
在一局比赛中，甲得1分的概率为，乙得1分的概率为，
甲、乙均不得分的概率为，
可得甲恰在第五局结束时取得游戏胜利的比分为3：0或4：1，
当比分是3：0时，甲获胜的概率为；
当比分是4：1时，甲获胜的概率为，
所以甲恰在第五局结束时取得游戏胜利的概率为.
（2）解：①由题意知：，，
.
②由①可得，当时，，
所以，
又因为，
所以是以为公比，为首项的等比数列，
所以，故.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式
【解析】【分析】（1）根据独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式，再按比分分情况讨论，则根据互斥事件加法求概率公式得出甲恰在第五局结束时取得游戏胜利的概率．
（2）①利用已知条件和递推公式得出第3次投篮由甲完成的概率.
②由①可得，当时，，结合等比数列的定义判断出数列是以为公比，为首项的等比数列，再根据等比数列的通项公式表示出第n次投篮由甲完成的概率．
（1）由题意可得，甲每次投篮不命中的概率为，乙每次投篮不命中的概率为，
在一局比赛中，甲得1分的概率为，乙得1分的概率为，
甲、乙均不得分的概率为，
可得甲恰在第五局结束时取得游戏胜利的比分为3：0或4：1.
当比分是3：0时，甲获胜的概率为，
当比分是4：1时，甲获胜的概率为，
所以甲恰在第五局结束时取得游戏胜利的概率为.
（2）由题意知：，，
，
可得当时，，
所以，又，
所以是以为公比，为首项的等比数列，所以，
故.
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