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八年级数学下学期第一次月考
范围：人教版八下第16~17章：二次根式+勾股定理
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 连江县期末）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】依题意，得
，
解得，．
故选．
2．（2024春 萨尔图区校级期中）下列3个数能成为勾股数的是
A．6，8，9 B．1，， C．7，15，17 D．5，12，13
【答案】
【解析】．，，，故6、8、9不是勾股数，不符合题意；
．与不是整数，故1、、不是勾股数，不符合题意；
．，，，故7、15、17不是勾股数，不符合题意；
．，，，故5、12、13是勾股数，符合题意；
故选．
3．（2024春 青浦区校级期末）下列二次根式中，最简二次根式是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】．，故该选项不是最简二次根式，不符合题意；
．，故该选项不是最简二次根式，不符合题意；
．是最简二次根式，符合题意；
．，故该选项不是最简二次根式，不符合题意．
故选．
4．（2024春 郾城区期末）下列四个算式正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】、，故不符合题意；
、，故符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意．
故选．
5．（2024秋 惠山区期末）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是1，，，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点，则点表示的数是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
，
，
以为圆心，为半径作弧交数轴于点，
，
点表示的数是；
故选．
6．（2024春 西安区校级期末）已知实数满足条件，那么的值为
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】
【解析】由题意得：，即，
，
即，
故选．
7．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，这块菜地的面积是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】连接，
，，，
，
，，
，，
，
是直角三角形，
，
四边形的面积的面积的面积
，
这块菜地的面积为，
故选．
8．在化简时，甲、乙两位同学的解答如下：
甲：
乙：．
A．两人解法都对 B．甲错乙对 C．甲对乙错 D．两人都错
【答案】B
【解析】甲进行分母有理化时不能确定，故不能直接进行分母的有理化，故甲错误；
乙分子因式分解，再与分母约分，故乙正确．
故选．
9．（2024秋 三台县期末）如图，是一个可调节平板支架，其结构示意图如图所示，已知平板宽度为，支架脚的长度为，当时，可测得，保持此时△的形状不变，当平分时，点到的距离是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】过点作于点，于点，如图所示：
平分，
，
在△中，，，，
由勾股定理得：，
由三角形的面积公式得：，
，
，
点到的距离是．
故选．
10．（2024春 镇海区校级期中）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，由四个全等三角形和一个小正方形组成一个边长为6的大正方形．连结并延长，分别交和于点和点，若，则的长为
A． B． C． D．5
【答案】
【解析】由四个全等三角形和一个小正方形组成一个边长为6的大正方形，
，，，
，
，
，
，
，，
，
，
设，
在△中，由勾股定理得：，
，
，
，
故选．
二．填空题（共6小题）
11．（2024 广饶县校级开学）有下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥，是二次根式的有 （填序号）
【答案】①③⑥．
【解析】①，是二次根式；
②，不是二次根式；
③当时，，所以是二次根式；
④不确定是正数、0还是负数，所以不一定是二次根式；
⑤根指数是3，不是二次根式；
⑥，所以是二次根式；
故答案为：①③⑥．
12．（2024秋 衡阳期末）一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则其面积为 ．
【答案】．
【解析】设三边长为，，，
，
，
，
周长为，
，
解得：，
，，
它的面积为：，
故答案为：．
13．（2024秋 大名县期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为 ．
【答案】4；
【解析】，与最简二次根式是同类二次根式，
，
解得．
故答案为：4．
14．（2024秋 鼓楼区校级期末）已知的结果为正整数，则正整数的最小值为 ．
【答案】2；
【解析】，
是正整数，也是一个正整数，
的最小值为2．故答案为：2．
15．（2024春 全椒县月考）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式．
（1）若与是关于4的共轭二次根式，则 ．
（2）若与是关于12的共轭二次根式，则的值为 ．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）与是关于4的共轭二次根式，
，故答案为：；
（2）与是关于12的共轭二次根式，
，
，故答案为：．
16．（2025 南岗区校级开学）如图，△中，，，，分别是△的中线、角平分线和高．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的序号有 ．
【答案】①②③⑤．
【解析】①如图，在上截取，连接，
，，
，
，
，
，
，
，
，即，所以结论①正确．
②如图，在上截取，连接，
平分，
，即，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
，
，
，
，所以结论②正确；
③分别是△的中线，
，
由（1）知：，
，即，所以结论③正确；
④，若设，则，
，
是△的中线，
，
是△的角平分线，
，
，
，
，即，所以结论④错误；
⑤是△的高，
，
，，
，
由①知：，，，
，
即，所以结论⑤正确．
综上所述，正确的结论有①②③⑤，故答案为：①②③⑤．
三．解答题（共8小题）
17．（2025 西安开学）计算：
（1）；
（2）．
【解析】（1）
；
（2）
．
18．（2024春 黔西南州期末）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题：
（1）已知，则的值为 ；
（2）若，为实数，且，求的值．
【解析】（1），
，，
解得：，，
那么，
故答案为：；
（2）由题意可得，，
则，
那么，
则或，
那么或，
即的值是7或3．
19．（2024秋 栖霞市期末）周末，小明和小亮去汉风公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得水平距离的长为12米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.65米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降11米，则他应该往回收线多少米？
【解析】（1）由题意可知：米，米，，米，
在△中，由勾股定理得，，
（负值已舍去），
（米，
答：风筝的垂直高度为17.65米；
（2）风筝沿方向下降11米，保持不变，如图，
此时的（米，
即此时在△中，米，有（米，
相比下降之前，缩短长度为（米，
他应该往回收线7米．
20．（2024春 淄博期中）对两个含有二次根式的非零代数式相乘时，小明观察发现如下的结论：
由，得．
请仿照上面的结论解决如下问题：
（1）；
（2）若，求的值．
【解析】（1）
；
（2），
．
21．如图，在中，过点作于点．
（1）若，，求的长；
（2）在（1）的条件下，，求的面积；
（3）若，，，求的面积．
【解析】（1），
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：（负值已舍去）；
（2）如图1，过点作于点，
则，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
是等腰直角三角形，
，
，
；
（3）如图2，过点作于点，
则，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
，
解得：（负值已舍去），
．
22．（2024春 龙口市期中）阅读理解：
形如的式子的化简，只要我们找到两个正数，，使，，，，那么便有．
例如：化简．
解：这里，，
由于，，即，，
所以．
请根据材料解答下列问题：
（1）填空： ；
（2）化简：（请写出计算过程）；
（3）化简：．
【解析】（1），，即，，
．
故答案为：；
（2）首先把化为，这里，，
，，即，，
．
（3）
．
23．（2024秋 永吉县期末）如图，已知△中，，，，，是△边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为，点从点开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设运动的时间为 ．
（1）出发后，求的长；
（2）当点在边上运动时，出发几秒钟，△是等腰三角形？
【解析】（1）当时，，．
，
，
在△中，由勾股定理可得，
，
即的长为．
（2）由题意可知，，
又，
，
当△为等腰三角形时，则有，
，解得，
出发后△是等腰三角形．
24．（2024秋 海门区期末）在△中，，，，且．
（1）当△是锐角三角形时，小明猜想：．以下是他的证明过程：
小明的证明过程
如图①，过点作，垂足为．设． 在△中，， 在△中，①， ①． 化简得，． ，，②． ． ．
其中，①是 ；②是 ．
（2）如图②，当△是钝角三角形时，猜想与之间的关系并证明．
【解析】（1）如图①，过点作，垂足为，设，
在△中，，
在△中，，
，
化简得，，
，，
，
，
．
其中，①是；②是；
故答案为：，；
（2）；
证明：如图，
过点作的延长线，垂足为，设，
在△中，，
在△中，，
，
化简得，，
，，
，
，
．中小学教育资源及组卷应用平台
八年级数学下学期第一次月考
范围：人教版八下第16~17章：二次根式+勾股定理
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 连江县期末）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是
A． B． C． D．
2．（2024春 萨尔图区校级期中）下列3个数能成为勾股数的是
A．6，8，9 B．1，， C．7，15，17 D．5，12，13
3．（2024春 青浦区校级期末）下列二次根式中，最简二次根式是
A． B． C． D．
4．（2024春 郾城区期末）下列四个算式正确的是
A． B．
C． D．
5．（2024秋 惠山区期末）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是1，，，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点，则点表示的数是
A． B． C． D．
6．（2024春 西安区校级期末）已知实数满足条件，那么的值为
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
7．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，这块菜地的面积是
A． B． C． D．
8．在化简时，甲、乙两位同学的解答如下：
甲：
乙：．
A．两人解法都对 B．甲错乙对 C．甲对乙错 D．两人都错
9．（2024秋 三台县期末）如图，是一个可调节平板支架，其结构示意图如图所示，已知平板宽度为，支架脚的长度为，当时，可测得，保持此时△的形状不变，当平分时，点到的距离是
A． B． C． D．
10．（2024春 镇海区校级期中）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，由四个全等三角形和一个小正方形组成一个边长为6的大正方形．连结并延长，分别交和于点和点，若，则的长为
A． B． C． D．5
二．填空题（共6小题）
11．（2024 广饶县校级开学）有下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥，是二次根式的有 （填序号）
12．（2024秋 衡阳期末）一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则其面积为 ．
13．（2024秋 大名县期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为 ．
14．（2024秋 鼓楼区校级期末）已知的结果为正整数，则正整数的最小值为 ．
15．（2024春 全椒县月考）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式．
（1）若与是关于4的共轭二次根式，则 ．
（2）若与是关于12的共轭二次根式，则的值为 ．
16．（2025 南岗区校级开学）如图，△中，，，，分别是△的中线、角平分线和高．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的序号有 ．
三．解答题（共8小题）
17．（2025 西安开学）计算：
（1）；
（2）．
18．（2024春 黔西南州期末）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题：
（1）已知，则的值为 ；
（2）若，为实数，且，求的值．
19．（2024秋 栖霞市期末）周末，小明和小亮去汉风公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得水平距离的长为12米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.65米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降11米，则他应该往回收线多少米？
20．（2024春 淄博期中）对两个含有二次根式的非零代数式相乘时，小明观察发现如下的结论：
由，得．
请仿照上面的结论解决如下问题：
（1）；
（2）若，求的值．
21．如图，在中，过点作于点．
（1）若，，求的长；
（2）在（1）的条件下，，求的面积；
（3）若，，，求的面积．
22．（2024春 龙口市期中）阅读理解：
形如的式子的化简，只要我们找到两个正数，，使，，，，那么便有．
例如：化简．
解：这里，，
由于，，即，，
所以．
请根据材料解答下列问题：
（1）填空： ；
（2）化简：（请写出计算过程）；
（3）化简：．
23．（2024秋 永吉县期末）如图，已知△中，，，，，是△边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为，点从点开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设运动的时间为 ．
（1）出发后，求的长；
（2）当点在边上运动时，出发几秒钟，△是等腰三角形？
24．（2024秋 海门区期末）在△中，，，，且．
（1）当△是锐角三角形时，小明猜想：．以下是他的证明过程：
小明的证明过程
如图①，过点作，垂足为．设． 在△中，， 在△中，①， ①． 化简得，． ，，②． ． ．
其中，①是 ；②是 ．
（2）如图②，当△是钝角三角形时，猜想与之间的关系并证明．
