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专题35 概率（7大题型）
题型一 随机事件
1．（2024 武汉）小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是
A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．确定性事件
【答案】
【解析】小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是随机事件．
故选．
2．（2024 湖北）在下列事件中，必然事件是
A．掷一次骰子，向上一面的点数是3
B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．任意画一个三角形，其内角和是
【答案】
【解析】．掷一次骰子，向上一面的点数是3，是随机事件，不符合题意；
．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，不符合题意；
．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；
．任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意．
故选．
3．（2024 广安）下列说法正确的是
A．将580000用科学记数法表示为：
B．在8，6，3，5，8，8这组数据中，中位数和众数都是8
C．甲乙两组同学参加“环保知识竞赛”，若甲乙两组同学的平均成绩相同，甲组同学成绩的方差，乙组同学成绩的方差，则甲组同学的成绩较稳定
D．“五边形的内角和是”是必然事件
【答案】
【解析】、将580000用科学记数法表示为：，故该项不正确，不符合题意；
、在8，6，3，5，8，8这组数据中，中位数是7，众数是8，故该项不正确，不符合题意；
、甲乙两组同学参加“环保知识竞赛”，若甲乙两组同学的平均成绩相同，甲组同学成绩的方差，乙组同学成绩的方差，则乙组同学的成绩较稳定，故该项不正确，不符合题意；
、“五边形的内角和是”是必然事件，故该项正确，符合题意；
故选．
4．（2024 内江）下列事件是必然事件的是
A．打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻
B．从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级
C．小明在内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票
D．从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》
【答案】
【解析】、打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻是随机事件，不符合题意；
、从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级是必然事件，符合题意；
、小明在内江平台能抢到龙舟节开幕式门票是随机事件，不符合题意；
、从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》是随机事件，不符合题意；
故选．
题型二 概率的意义
5．（2024 连云港）下列说法正确的是
A．10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大
B．从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大
C．小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件
D．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上
【答案】
【解析】、10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸或者后摸的人摸到奖票的概率都一样大，故此选项不符合题意；
、从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得奇数的可能性较大，故此选项不符合题意；
、小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件，故此选项符合题意；
、抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次不一定有1次正面朝上，故此选项不符合题意．
故选．
题型三 概率公式
6．（2024 辽宁）一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，每个球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是
A．摸出白球 B．摸出红球 C．摸出绿球 D．摸出黑球
【答案】
【解析】一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，共有10个球，
从中随机摸出一个球，摸出白球的概率为，
摸出红球的概率为，
摸出绿球的概率为，
摸出黑球的概率为．
故选．
7．（2024 广西）不透明袋子中装有白球2个，红球1个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，取出白球的概率是
A．1 B． C． D．
【答案】
【解析】袋子中装有3个球，其中有1个红球、2个白球，
从袋子中随机摸出一个球，摸到白球的概率为：．
故选．
8．（2024 广东）长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】共有四种区域文化，
随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是．
故选．
9．（2024 兰州）七巧板、九连环、华容道、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具．现将1个七巧板，2个九连环，1个华容道，2个鲁班锁分别装在6个不透明的盒子中（每个盒子装1个），所有盒子除里面的玩具外均相同．从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率．
故选．
10．（2024 台湾）箱内有50颗白球和10颗红球，小慧打算从箱内抽球31次，每次从箱内抽出一球，如果抽出白球则将白球放回箱内，如果抽出红球则不将红球放回箱内．已知小慧在前30次抽球中共抽出红球4次，若她第31次抽球时箱内的每颗球被抽出的机会相等，则这次她抽出红球的机率为何？
A． B． C． D．
【答案】
【解析】第31次抽球时箱内共有56个球，红球有6个，
这次她抽出红球的概率为．
故选．
11．（2024 攀枝花）班级里有15位女同学和27位男同学，每位同学的名字都被分别写在一张小纸条上，放入一个盒中搅匀．如果班长已经抽出了6张纸条，其中写有2位女同学和4位男同学的名字，他把这6张纸条放在桌上，闭上眼睛在盒中余下的纸条中再抽第7张，那么这张纸条上写的是男同学的名字的概率为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】班长已经抽出了6张纸条，纸条还剩36张，其中写有女同学名字的纸条有13张，写有男同学名字的纸条有23张，
所以闭上眼睛在盒中余下的纸条中再抽第7张，那么这张纸条上写的是男同学的名字的概率为．
故选．
12．（2024 深圳）二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为，
故选．
13．（2024 天津）不透明袋子中装有10个球，其中有3个绿球、4个黑球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为 ．
【答案】．
【解析】不透明袋子中装有10个球，其中有3个绿球，
从袋子中随机取出1个球，它是绿球的概率．
故答案为：．
14．（2024 湖南）有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是 ．
【答案】．
【解析】共有四枚棋子，“”有一个，
从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是．
故答案为：．
15．（2024 资阳）一个不透明的袋中装有6个白球和个红球，这些球除颜色外无其他差别．充分搅匀后，从袋中随机取出一个球是白球的概率为，则 9 ．
【答案】9
【解析】根据题意得：
，
解得，
经检验，是原方程的解．
故答案为：9．
16．（2024 泸州）在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为 3个 ．
【答案】3个
【解析】设黄球的个数为个，
根据题意得：，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
黄球的个数为3个．
故答案为：3个．
17．（2024 哈尔滨）一个不透明的袋子中装有7个小球，其中6个红球，1个黑球，这些小球除颜色外无其它差别．小峰同学从袋子中随机摸出1个小球，则摸出的小球是红球的概率是 ．
【答案】．
【解析】从袋中任意摸出一个球，共有7种等可能结果，其中是红球的有6种结果，
从袋中任意摸出一个球，是红球的概率为，
故答案为：．
18．（2024 西宁）在一个不透明的袋中装有5个相同的小球，分别写有，，，，，随机摸出一个小球，上面的二次根式是最简二次根式的概率是 ．
【答案】．
【解析】在，，，，这5个二次根式中，，是最简二次根式，有2个，
随机摸出一个小球，上面的二次根式是最简二次根式的概率是，
故答案为：．
19．（2024 成都）盒中有枚黑棋和枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为 ．
【答案】．
【解析】盒中有枚黑棋和枚白棋，共有个棋，
从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，
可得关系式，
，
即，
．
故答案为：．
20．（2024 湖北）小亮了解了祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶这5位著名数学家的生平简介，知晓他们取得的伟大成就对我国乃至世界数学发展起到的巨大推进作用，准备在数学课上随机选取其中一位的成就进行分享，选到数学家赵爽的概率是 ．
【答案】．
【解析】因为总共有5人，
所以从中任选一个，恰好是赵爽是概率是．
故答案为：．
21．（2024 上海）一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同．随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有 3 个绿球．
【答案】3．
【解析】一个袋子中有若干个白球和绿球，随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，
袋子中至少有3个绿球，
故答案为：3．
22．（2024 潍坊）小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分别一致．完成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是 ．
【答案】．
【解析】由题意可得，共有6种结果：红红，黄黄，蓝蓝；红红，蓝黄，黄蓝；黄红，红黄，蓝蓝；黄红，蓝黄，红蓝；蓝红，红黄，黄蓝；蓝红，黄黄，红蓝；
其中每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的有2种结果，
每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是，
故答案为：．
23．（2024 雅安）将，，，0，，3.14这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为有理数的概率是 ．
【答案】．
【解析】在，，，0，，3.14这6个数中，
有理数为：，，0，3.14，共4个数，
则（卡片上的数为有理数）．
故答案为：．
24．（2024 甘孜州）某校组织多项活动加强科学教育，八年级（一班分两批次确定项目组成员，参加“实践探究”活动，第一批次确定了7人，第二批次确定了1名男生、2名女生．现从项目组中随机抽取1人承担联络任务，若抽中男生的概率为，则第一批次确定的人员中，男生为 5 人．
【答案】5．
【解析】设第一批次确定的人员中，男生为人，
则，
解得，
所以第一批次确定的人员中，男生为5人．
故答案为：5．
25．（2024 长沙）某乡镇组织“新农村，新气象”春节联欢晚会，进入抽奖环节．抽奖方案如下：不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有3个，蓝球有5个，每次摇匀后从中随机摸一个球，摸到红球获一等奖，摸到黄球获二等奖，摸到蓝球获三等奖，每个家庭有且只有一次抽奖机会．小明家参与抽奖，获得一等奖的概率为 ．
【答案】．
【解析】球的个数有（个，而红球有2个，
小明家抽到一等奖的概率是．
故答案为：．
题型四 几何概率
26．（2024 徐州）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】如图：设，则圆的直径为，
则小正方形的边长为：，
则飞镖落在阴影区域的概率为：．
故选．
27．（2024 威海）如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设的半径为，
，
，
点是的中点，
，
在中，，
，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，
阴影部分的面积，
点落在阴影部分的概率．
故选．
28．（2024 苏州）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是 ．
【答案】．
【解析】根据题意可知，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，
其中阴影部分的面积为3个面积相等的三角形，
指针落在阴影部分的概率等于阴影部分的面积除以正八边形的面积，即，
故答案为：．
29．（2024 济南）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为 ．
【答案】．
【解析】圆被等分成4份，其中红色部分占1份，
落在红色区域的概率．
故答案为：．
题型五 游戏公平性
30．（2024 青岛）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者．九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程．
（1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
【解析】（1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到1，2，3的三张纸牌的可能性相同，
摸到“1”的概率是；
故答案为：；
（2）游戏公平，理由如下：
根据题意列表如下：
1 2 3
1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
由表可知：共有9种等可能的情况数，其中两次摸到的数字之和大于4的有3种，两次摸到的数字之和小于4的有3种，
小明获胜的概率是，小红获胜的概率为，
两人获胜的概率相等，
游戏公平．
31．（2024 甘肃）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜．
（1）请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．
（2）这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由．
【解析】（1）画树状图得：
共有12种等可能的结果，其中甲获胜的结果有8种，
甲获胜的概率为；
（2）不公平．
由树状图可知，乙获胜的结果有4种，
乙获胜的概率为，
，
游戏不公平．
题型六 利用频率估计概率
32．（2024 贵州）小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是
A．小星定点投篮1次，不一定能投中
B．小星定点投篮1次，一定可以投中
C．小星定点投篮10次，一定投中4次
D．小星定点投篮4次，一定投中1次
【答案】
【解析】、小星定点投篮1次，不一定能投中，故符合题意；
、小星定点投篮1次，不一定可以投中，故不符合题意；
、小星定点投篮10次，不一定投中4次，故不符合题意；
、小星定点投篮4次，不一定投中1次，故不符合题意；
故选．
33．（2024 淮安）一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.4，则袋中约有红球 12 个．
【答案】12．
【解析】由题意可得，
袋中约有红球：
（个，
故答案为：12．
34．（2024 宁夏）为考查一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如表所示：
移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500
成活数 35 134 271 451 631 899 1350
成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900
估计这种幼苗移植成活的概率是 0.9 （结果精确到．
【答案】0.9．
【解析】根据表中数据，试验频率逐渐稳定在0.9左右，
这种幼苗在此条件下移植成活的概率是0.9；
故答案为：0.9．
35．（2024 扬州）数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表：
累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
盖面朝上次数 28 54 106 157 264 527 1056 1587 2650
盖面朝上频率 0.560 0.540 0.530 0.523 0.528 0.527 0.528 0.529 0.530
根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为 0.53 （精确到
【答案】0.53．
【解析】由题意可知，盖面朝上频率在0.53左右波动，
根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为0.53．
故答案为：0.53．
题型七 列表法与树状图法
36．（2024 包头）为发展学生的阅读素养，某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》4个整本书阅读项目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这四个阅读项目中随机抽取1个，则他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】记《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别为、、、，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中甲、乙两名同学恰好抽到同一个阅读项目的结果有4种，
他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是，
故选．
37．（2024 东营）如图，四边形是平行四边形，从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，能使是正方形的概率为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由题意知，能使是正方形的有①②，①③．
列表如下：
① ② ③
① ①，② ①，③
② ②，① ②，③
③ ③，① ③，②
共有6种等可能的结果，其中能使是正方形的结果有：①，②，①，③，②，①，③，①，共4种，
能使是正方形的概率为．
故选．
38．（2024 北京）不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】列表如下：
红 黄
红 （红，红） （红，黄）
黄 （黄，红） （黄，黄）
共有4种等可能的结果，其中两次摸出的都是红球的结果有1种，
两次摸出的都是红球的概率为．
故选．
39．（2024 武汉）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】列表如下：
直行 左转 右转
直行 （直行，直行） （直行，左转） （直行，右转）
左转 （左转，直行） （左转，左转） （左转，右转）
右转 （右转，直行） （右转，左转） （右转，右转）
由表格可知，共有9种等可能的结果，由表格可知，至少有一辆车向右转的结果有共5种，
至少有一辆车向右转的概率为．
故选．
40．（2024 济南）3月14日是国际数学节．某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】把“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个活动分别记为、、，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，小华和小丽恰好选到同一个宣传队的结果有3种，
小华和小丽恰好选到同一个宣传队的概率为，
故选．
41．（2024 内江）如图所示的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，灯泡能发光的概率为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设、、中分别用1、2、3表示，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中灯泡能发光的有4种结果，
灯泡能发光的概率为：，
故选．
42．（2024 齐齐哈尔）六月份，在“阳光大课间”活动中，某校设计了“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种运动项目，则甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】列表如下：
篮球 足球 排球 羽毛球
篮球 （篮球，篮球） （篮球，足球） （篮球，排球） （篮球，羽毛球）
足球 （足球，篮球） （足球，足球） （足球，排球） （足球，羽毛球）
排球 （排球，篮球） （排球，足球） （排球，排球） （排球，羽毛球）
羽毛球 （羽毛球，篮球） （羽毛球，足球） （羽毛球，排球） （羽毛球，羽毛球）
共有16种等可能的结果，其中甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的结果有4种，
甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率为．
故选．
43．（2024 福建）哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】列表如下：
2 3 5
2
3
5
共有6种等可能的结果，其中和是偶数的结果有：，，共2种，
和是偶数的概率为．
故选．
44．（2024 河南）豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】把3张卡片分别记为、、，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有3种，
两次抽取的卡片图案相同的概率为．
故选．
45．（2024 牡丹江）某校八年级3班承担下周学校升旗任务，老师从备选的甲、乙、丙、丁四名同学中，选择两名担任升旗手，则甲、乙两名同学同时被选中的概率是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙）
由列表可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两名同学同时被选中的情况有2种，则甲、乙两名同学同时被选中的概率是．
故选．
46．（2024 山东）某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设跳绳、踢毽子、韵律操分别为、、，
画树状图如下，
共有9种等可能的结果，甲、乙恰好选择同一项活动的有3种情况，
故他们选择同一项活动的概率是，
故选．
47．（2024 大庆）“铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”是大庆市四个有代表性的旅游景点．若小娜从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】令四个景点：“铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”，分别为、、、，
列表得：
由表格可得：共有12种等可能出现的结果，其中这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的有6种结果，
所以这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率为，
故选．
48．（2024 重庆）甲、乙两人分别从、、三个景区中随机选取一个景区前往游览，则他们恰好选择同一景区的概率为 ．
【答案】．
【解析】根据题意列表如下：
甲乙
由上面表格可得总共有9种可能，其中他们恰好选择同一景区的有3种，
则他们恰好选择同一景区的概率是．
故答案为：．
49．（2024 德州）衣橱里挂着3套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同，若从衣橱里各任取一件上衣和一条裤子，则它们取自同一套的概率是 ．
【答案】．
【解析】令3件上衣分别为、、，对应的裤子分别为、、，
画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能结果，其中取自同一套的有3种可能，
所以它们取自同一套的概率为，
故答案为：．
50．（2024 黑龙江）七年一班要从2名男生和3名女生中选择两名学生参加朗诵比赛，恰好选择1名男生和1名女生的概率是 ．
【答案】．
【解析】画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中所选的2人恰好是1名男生和1名女生的结果有12种，
所选的2人恰好是1名男生和1名女生的概率为．
故答案为：．
51．（2024 重庆）重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源．甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分别从，，三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择景点的概率为 ．
【答案】．
【解析】画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人同时选择景点情况共1种，
甲、乙两人同时选择景点的概率为．
故答案为：．
52．（2024 青海）如图，一只蚂蚁在树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个叉路口都随机选择一条路径，它获得食物的概率是 ．
【答案】．
【解析】根据题意得：
共计有2条大路径，以开始的2个小路径，
其中获得食物的路径有1条，
则（获得食物）．
故答案为：．
53．（2024 安徽）不透明的袋中装有大小质地完全相同的4个球，其中1个黄球、1个白球和2个红球．从袋中任取2个球，恰为2个红球的概率是 ．
【答案】．
【解析】
由图可知，共有12种可能的结果，其中2个红球的结果出现2次，
，
故答案为：．
54．（2024 泰安）某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颖准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是 ．
【答案】．
【解析】将《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》、《朝花夕拾》分别记为，，，，
列表如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小颖恰好选中书名相同的书的结果有2种，
小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率为．
故答案为：．
55．（2024 徐州）不透明的袋子中装有2个红球与2个白球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）甲从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为 0.5 ；
（2）甲、乙两人分别从袋子中随机摸出1个球（不放回），用列表或画树状图的方法，求两人摸到相同颜色球的概率．
【解析】（1）摸到红球的概率；
故答案为：0.5；
（2）画树状图得：
共有12种等可能的结果，两人都摸到相同颜色小球的有4种情况，
两人都摸到相同颜色小球的概率为：．
答：两人摸到相同颜色球的概率为．
56．（2024 南通）南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动．
（1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为 ；
（2）求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率．
【解析】（1）（甲在2号出入口开展志愿服务活动），
故答案为：；
（2）
一共有16种情况，甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动有4种情况，
（甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动）．
57．（2024 连云港）数学文化节猜谜游戏中，有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，分别记作字谜、字谜、字谜、字谜，其中字谜、字谜是猜“数学名词”，字谜、字谜是猜“数学家人名”．
（1）若小军从中随机抽取一张字谜卡片，则小军抽取的字谜是猜“数学名词”的概率是 ；
（2）若小军一次从中随机抽取两张字谜卡片，请用画树状图或列表的方法求小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率．
【解析】（1）字谜、字谜、字谜、字谜，其中字谜、字谜是猜“数学名词”，字谜、字谜是猜“数学家人名”，
小军从中随机抽取一张字谜卡片，则小军抽取的字谜是猜“数学名词”的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能结果，其中小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的结果有2种，即、，
小军抽取的字谜均是“猜数学家人名”的概率．
58．（2024 南京）甲袋子中有2个红球、1个白球；乙袋子中有1个红球、1个白球．这些球除颜色外无其他差别．先从甲袋子中随机摸出1个球放入乙袋子，摇匀后，再从乙袋子中随机摸出1个球．
（1）从甲袋子中摸出的球是白球的概率是 ；
（2）从两个袋子中摸出的球都是红球的概率是多少？
【解析】（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中从甲袋子中摸出的球是白球的结果有1种，
从甲袋子中摸出的球是白球的概率是．
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中从两个袋子中摸出的球都是红球的结果有4种，
从两个袋子中摸出的球都是红球的概率为．
59．（2024 甘南州）某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图．
请根据图中信息，回答下列问题：
（1）共调查了 50 名学生，图2中所对应的圆心角度数为 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率．
【解析】（1）共调查的学生人数为：（名，
图2中所对应的圆心角度数为：，
故答案为：50，；
（2）的人数为：（人，
的人数为：（人，
补全条形统计图如下：
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，
抽到的学生恰好是一男一女的概率为．
60．（2024 广安）睡眠管理作为“五项管理”中的重要内容之一，也是学校教育重点关注的内容．某校为了解学生平均每天睡眠时间，随机抽取该校部分学生进行问卷调查，并将结果进行了统计和整理，绘制成如下统计表和不完整的统计图．
学生类别 学生平均每天睡眠时间（单位：小时）
（1）本次抽取调查的学生共有 50 人，扇形统计图中表示类学生平均每天睡眠时间的扇形的圆心角度数为 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）被抽取调查的类4名学生中有2名女生，2名男生．从这4人中随机抽取2人进行电话回访，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率．
【解析】（1）本次抽取调查的学生共有（人，
扇形统计图中表示类学生平均每天睡眠时间的扇形的圆心角度数为，
故答案为：50，；
（2）的人数为：（人，
补全条形统计图如下：
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到2名男生的结果有2种，
恰好抽到2名男生的概率．
61．（2024 宜宾）某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素养．在课外活动中开设了四个兴趣小组：．插花组；．跳绳组；．话剧组；．书法组．为了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图．
请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 40 名学生，并将条形统计图补充完整；
（2）话剧组所对应扇形的圆心角为 度；
（3）书法组成绩最好的4名学生由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
【解析】（1）此次调查的学生人数为：（人，“”类兴趣课的人数为：（人，
补全条形统计图如下：
故答案为：40；
（2）“”类兴趣课所对应扇形的圆心角的度数为：；
故答案为：72；
（3）将1名女生记为，3名男生分别记为，，，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中刚好抽到1名男生与1名女生的结果有：，，，，，，共6种，
刚好抽到1名男生与1名女生的概率为．
62．（2024 临夏州）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了，，，四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀．
（1）小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中卡片的概率是 ；
（2）小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率．
【解析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽中卡片的结果有1种，
抽中卡片的概率是．
故答案为：．
（2）四张卡片内容中是化学变化的有：，，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有：，，共2种，
小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为．
63．（2024 资阳）我国古诗词源远流长．某校以“赏诗词之美、寻文化之根、铸民族之魂”为主题，组织学生开展了古诗词知识竞赛活动．为了解学生对古诗词的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为，，，四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：
（1）本次共抽取了 400 名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；
（2）若该校共有2000人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为等级的学生人数；
（3）学校在竞赛成绩为等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加经典诵读活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率．
【解析】（1）（名，
等级的人数为：（名，
补全条形统计图如下：
（2）（人，
答：估计竞赛成绩为等级的学生人数为800人；
（3）画树状图如下：
，
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有1人被选中的结果有8种，
甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率为．
64．（2024 日照）为进一步推动阳光体育运动，提高学生身体素质，今年5月学校举行健美操比赛，最终有甲、乙、丙三个班级进入团体决赛．团体决赛需要分别进行五个单项比赛，计分规则如下表：
单项比赛计分规则 五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平均数即为该项得分
团体决赛计分规则 各单项比赛得分之和为团体最终成绩，名次按团体最终成绩由高到低排序
现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理、描述和分析，并绘制统计图表，部分信息如下：
．甲、乙两班五个单项得分折线图：
．丙班五个单项得分表：
项目 一 二 三 四 五
得分 78 94 90 92
根据以上信息，回答下列问题：
（1）已知丙班第二个单项比赛中，五名裁判的打分分别为80，84，86，83，82，求丙班第二个单项的得分；
（2）若团体最终成绩相同，则整体发挥稳定性最好的班级排名靠前，那么获得团体比赛冠军的是 乙 班；（填“甲”“乙”或“丙”
（3）获得团体决赛前两名的班级可得到一套图书奖励，现有，，三种图书可供选择．请用列表或画树状图的方法，求两个班级都选择同一套图书的概率．
【解析】（1）去掉最高分86分，最低分80分后，（分，
所以丙班第二个单项得分为83分；
（2）由统计图和统计表可以看出乙班五项成绩波动较小，整体发挥稳定性最好，
故答案为：乙；
（3）方法一：列表如图，
方法二：树状图如图，
由图可知共有9种等可能的情况，两个班选择同一种图书的情况共有3种，
．
65．（2024 遂宁）遂宁市作为全国旅游城市，有众多著名景点，为了解“五一”假期同学们的出游情况，某实践探究小组对部分同学假期旅游地做了调查，以下是调查报告的部分呢，请完善报告：
小组关于学校学生“五一”出游情况调查报告
数据收集
调查方式 抽样调查 调查对象 学校学生
数据的整理与描述
景点 ：中国死海 ：龙风古镇 ：灵泉风景区 ：金华山 ：未出游 ：其他
数据分析及运用
（1）本次被抽样调查的学生总人数为 100 ，扇形统计图中， ，“：龙风古镇”对应圆心角的度数是 ； （2）请补全条形统计图； （3）该学校总人数为1800人，请你估计该学校学生“五一”假期未出游的人数； （4）未出游中的甲、乙两位同学计划下次假期从、、、四个景点中任选一个景点旅游，请用树状图或列表的方法求出他们选择同一景点的概率．
【解析】（1）（人，
本次被抽样调查的学生总人数为100人；
出游景点的人数为：（人，
；
，
“：龙风古镇”对应圆心角的度数是，
故答案为：100，10，；
（2）由（1）知：出游景点的人数为10人，
补全条形统计图如下：
（3）（人，
答：估计该学校学生“五一”假期未出游的有144人；
（4）画树状图如下：
一共有16种等可能的结果，其中两人选择同一景点有4种可能的结果，
（选择同一景点）．
66．（2024 自贡）某校为了解学生身体健康状况，从全校600名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如表），并绘制出不完整的条形统计图（如图）．
学生体质健康统计表
成绩 频数 百分比
不及格 3
及格
良好 45
优秀 32
（1）如表中 ， ， ；
（2）请补全如图的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数；
（3）为听取测试建议，学校选出了3名“良好”1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会，请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率．
【解析】（1）这次调查的人数为：（人，
，，，
故答案为：，20，；
（2）补全条形统计图如下：
（人，
估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数为462人；
（3）设3名“良好”分别为甲、乙、丙，1名“优秀”学生为丁，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中两人均为“良好”的结果有6种，
所抽取的两人均为“良好”的概率为．
67．（2024 济宁）为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表．
【收集数据】
八年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．
八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．
【描述数据】
八年级（1）班20名学生成绩统计表
分数 80 85 90 95 100
人数 3 3 3
【分析数据】
八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表
统计量班级 平均数 中位数 众数 方差
八年级（1）班 95 41.5
八年级（3）班 91 90 26.5
【应用数据】
根据以上信息，回答下列问题．
（1）请补全条形统计图；
（2）填空： 91 ， ；
（3）你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由；
（4）从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率．
【解析】（1）补全条形统计图，如图所示：
（2）根据题意得：；
从小到大排列得：80，80，80，85，85，85，90，90，90，90，95，95，95，95，95，95，95，100，100，100，
最中间的两个为90和95，；
故答案为：91，92.5；
（3）我认为八年级（1）班成绩更好一些，理由为：
平均数两个班相同，中位数和众数方面（1）班优于（3）班，方差方面（3）班优于（1）班，
综上所述，八年级（1）班成绩更好一些；
（4）八年级（1）班三位满分同学记作1，2，3，（3）班两位同学满分记作4，5，
列表如下：
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
所有等可能的情况有20种，其中所抽取的2名学生恰好在同一个班级的情况有，，，，，，，共8种，
则（所抽取的2名学生恰好在同一个班级）．
68．（2024 绥化）为了落实国家“双减”政策，某中学在课后服务时间里，开展了音乐、体操、诵读、书法四项社团活动、为了了解七年级学生对社团活动的喜爱情况，该校从七年级全体学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选择一项社团活动（且只能选择一项）．根据调查结果，绘制成如下两幅统计图请根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）参加本次问卷调查的学生共有 60 人；
（2）在扇形统计图中，组所占的百分比是 ，并补全条形统计图．
（3）端午节前夕，学校计划进行课后服务成果展示，准备从这4个社团中随机抽取2个社团汇报展示，请用树状图法或列表法，求选中的2个社团恰好是和的概率．
【解析】（1）参加本次问卷调查的学生共有（人．
故答案为：60．
（2）组的人数为（人，
在扇形统计图中，组所占的百分比是．
故答案为：．
补全条形统计图如图所示．
（3）列表如下：
共有12种等可能的结果，其中选中的2个社团恰好是和的结果有：，，共2种，
选中的2个社团恰好是和的概率为．
69．（2024 东营）为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，东营市某学校举办“我参与，我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解学生周末在家劳动情况，学校随机调查了八年级部分学生在家劳动时间（单位：小时），并进行整理和分析（劳动时间分成五档：档：；档：；档：；档：；档：，调查的八年级男生、女生劳动时间的不完整统计图如图所示：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查中，共调查了 50 名学生，补全条形统计图；
（2）调查的男生劳动时间在档的数据是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9，则调查的全部男生劳动时间的中位数为 小时．
（3）学校为了提高学生的劳动意识，现从档中选两名学生作劳动经验交流，请用列表法或画树状图的方法求所选两名学生恰好都是女生的概率．
【解析】（1）本次调查中，共调查了（名学生．
档的学生人数为（人，
档中女生人数为（人．
补全条形统计图如图所示．
故答案为：50．
（2）由题意知，调查的男生人数为（人，
将23名男生的劳动时间数据按照从小到大的顺序排列，排在第12名的数据为2.5，
调查的全部男生劳动时间的中位数为2.5小时．
故答案为：2.5．
（3）由题意知，档中有2名男生，2名女生，
列表如下：
男 男 女 女
男 （男，男） （男，女） （男，女）
男 （男，男） （男，女） （男，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女）
共有12种等可能的结果，其中所选两名学生恰好都是女生的结果有2种，
所选两名学生恰好都是女生的概率为．
70．（2024 淄博）希望中学做了如下表的调查报告（不完整）
调查目的 了解本校学生：（1）周家务劳动的时间；（2）最喜欢的劳动课程
调查方式 随机问卷调查随机问卷调直
调查对象 随机问卷调直部分七年级学生（该校所有学生周家务劳动时间都在范围内）
调查内容 （1）你的周家务劳动时间（单位，是 ①②③④⑤ （2）你最喜欢的劳动课程是（必选且只选一门） ．家政．烹饪．剪纸．园艺．陶艺
调查结果
结合调查信息，回答下列问题：
（1）参与本次问卷调查的学生人数 100 名；在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数为 度；
（2）补全周家务劳动时间的频数分布直方图；
（3）若该校七年级学生共有800人，请估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数；
（4）小红和小颖分别从“家政”等五门最喜欢的劳动课程中任选一门学习，请用列表法或画树状图的方法，求两人恰好选到同一门课程的概率．
【解析】（1）参与本次问卷调查的学生人数为（名．
在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数为．
故答案为：100；126．
（2）周家条劳动时间是③的人数为（人．
补全周家务劳动时间的频数分布直方图如图所示．
（3）（人．
估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数约176人．
（4）列表如下：
共有25种等可能的结果，其中两人恰好选到同一门课程的结果有5种，
两人恰好选到同一门课程的概率为．中小学教育资源及组卷应用平台
专题35 概率（7大题型）
题型一 随机事件
1．（2024 武汉）小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是
A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．确定性事件
2．（2024 湖北）在下列事件中，必然事件是
A．掷一次骰子，向上一面的点数是3
B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．任意画一个三角形，其内角和是
3．（2024 广安）下列说法正确的是
A．将580000用科学记数法表示为：
B．在8，6，3，5，8，8这组数据中，中位数和众数都是8
C．甲乙两组同学参加“环保知识竞赛”，若甲乙两组同学的平均成绩相同，甲组同学成绩的方差，乙组同学成绩的方差，则甲组同学的成绩较稳定
D．“五边形的内角和是”是必然事件
4．（2024 内江）下列事件是必然事件的是
A．打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻
B．从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级
C．小明在内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票
D．从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》
题型二 概率的意义
5．（2024 连云港）下列说法正确的是
A．10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大
B．从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大
C．小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件
D．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上
题型三 概率公式
6．（2024 辽宁）一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，每个球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是
A．摸出白球 B．摸出红球 C．摸出绿球 D．摸出黑球
7．（2024 广西）不透明袋子中装有白球2个，红球1个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，取出白球的概率是
A．1 B． C． D．
8．（2024 广东）长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是
A． B． C． D．
9．（2024 兰州）七巧板、九连环、华容道、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具．现将1个七巧板，2个九连环，1个华容道，2个鲁班锁分别装在6个不透明的盒子中（每个盒子装1个），所有盒子除里面的玩具外均相同．从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是
A． B． C． D．
10．（2024 台湾）箱内有50颗白球和10颗红球，小慧打算从箱内抽球31次，每次从箱内抽出一球，如果抽出白球则将白球放回箱内，如果抽出红球则不将红球放回箱内．已知小慧在前30次抽球中共抽出红球4次，若她第31次抽球时箱内的每颗球被抽出的机会相等，则这次她抽出红球的机率为何？
A． B． C． D．
11．（2024 攀枝花）班级里有15位女同学和27位男同学，每位同学的名字都被分别写在一张小纸条上，放入一个盒中搅匀．如果班长已经抽出了6张纸条，其中写有2位女同学和4位男同学的名字，他把这6张纸条放在桌上，闭上眼睛在盒中余下的纸条中再抽第7张，那么这张纸条上写的是男同学的名字的概率为
A． B． C． D．
12．（2024 深圳）二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为
A． B． C． D．
13．（2024 天津）不透明袋子中装有10个球，其中有3个绿球、4个黑球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为 ．
14．（2024 湖南）有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是 ．
15．（2024 资阳）一个不透明的袋中装有6个白球和个红球，这些球除颜色外无其他差别．充分搅匀后，从袋中随机取出一个球是白球的概率为，则 ．
16．（2024 泸州）在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为 ．
17．（2024 哈尔滨）一个不透明的袋子中装有7个小球，其中6个红球，1个黑球，这些小球除颜色外无其它差别．小峰同学从袋子中随机摸出1个小球，则摸出的小球是红球的概率是 ．
18．（2024 西宁）在一个不透明的袋中装有5个相同的小球，分别写有，，，，，随机摸出一个小球，上面的二次根式是最简二次根式的概率是 ．
19．（2024 成都）盒中有枚黑棋和枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为 ．
20．（2024 湖北）小亮了解了祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶这5位著名数学家的生平简介，知晓他们取得的伟大成就对我国乃至世界数学发展起到的巨大推进作用，准备在数学课上随机选取其中一位的成就进行分享，选到数学家赵爽的概率是 ．
21．（2024 上海）一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同．随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有 个绿球．
22．（2024 潍坊）小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分别一致．完成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是 ．
23．（2024 雅安）将，，，0，，3.14这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为有理数的概率是 ．
24．（2024 甘孜州）某校组织多项活动加强科学教育，八年级（一班分两批次确定项目组成员，参加“实践探究”活动，第一批次确定了7人，第二批次确定了1名男生、2名女生．现从项目组中随机抽取1人承担联络任务，若抽中男生的概率为，则第一批次确定的人员中，男生为 人．
25．（2024 长沙）某乡镇组织“新农村，新气象”春节联欢晚会，进入抽奖环节．抽奖方案如下：不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有3个，蓝球有5个，每次摇匀后从中随机摸一个球，摸到红球获一等奖，摸到黄球获二等奖，摸到蓝球获三等奖，每个家庭有且只有一次抽奖机会．小明家参与抽奖，获得一等奖的概率为 ．
题型四 几何概率
26．（2024 徐州）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为
A． B． C． D．
27．（2024 威海）如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是
A． B． C． D．
28．（2024 苏州）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是 ．
29．（2024 济南）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为 ．
题型五 游戏公平性
30．（2024 青岛）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者．九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程．
（1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
31．（2024 甘肃）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜．
（1）请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．
（2）这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由．
题型六 利用频率估计概率
32．（2024 贵州）小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是
A．小星定点投篮1次，不一定能投中
B．小星定点投篮1次，一定可以投中
C．小星定点投篮10次，一定投中4次
D．小星定点投篮4次，一定投中1次
33．（2024 淮安）一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.4，则袋中约有红球 个．
34．（2024 宁夏）为考查一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如表所示：
移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500
成活数 35 134 271 451 631 899 1350
成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900
估计这种幼苗移植成活的概率是 （结果精确到．
35．（2024 扬州）数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表：
累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
盖面朝上次数 28 54 106 157 264 527 1056 1587 2650
盖面朝上频率 0.560 0.540 0.530 0.523 0.528 0.527 0.528 0.529 0.530
根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为 （精确到
题型七 列表法与树状图法
36．（2024 包头）为发展学生的阅读素养，某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》4个整本书阅读项目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这四个阅读项目中随机抽取1个，则他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是
A． B． C． D．
37．（2024 东营）如图，四边形是平行四边形，从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，能使是正方形的概率为
A． B． C． D．
38．（2024 北京）不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是
A． B． C． D．
39．（2024 武汉）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是
A． B． C． D．
40．（2024 济南）3月14日是国际数学节．某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是
A． B． C． D．
41．（2024 内江）如图所示的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，灯泡能发光的概率为
A． B． C． D．
42．（2024 齐齐哈尔）六月份，在“阳光大课间”活动中，某校设计了“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种运动项目，则甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是
A． B． C． D．
43．（2024 福建）哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是
A． B． C． D．
44．（2024 河南）豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为
A． B． C． D．
45．（2024 牡丹江）某校八年级3班承担下周学校升旗任务，老师从备选的甲、乙、丙、丁四名同学中，选择两名担任升旗手，则甲、乙两名同学同时被选中的概率是
A． B． C． D．
46．（2024 山东）某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是
A． B． C． D．
47．（2024 大庆）“铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”是大庆市四个有代表性的旅游景点．若小娜从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率是
A． B． C． D．
48．（2024 重庆）甲、乙两人分别从、、三个景区中随机选取一个景区前往游览，则他们恰好选择同一景区的概率为 ．
49．（2024 德州）衣橱里挂着3套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同，若从衣橱里各任取一件上衣和一条裤子，则它们取自同一套的概率是 ．
50．（2024 黑龙江）七年一班要从2名男生和3名女生中选择两名学生参加朗诵比赛，恰好选择1名男生和1名女生的概率是 ．
51．（2024 重庆）重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源．甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分别从，，三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择景点的概率为 ．
52．（2024 青海）如图，一只蚂蚁在树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个叉路口都随机选择一条路径，它获得食物的概率是 ．
53．（2024 安徽）不透明的袋中装有大小质地完全相同的4个球，其中1个黄球、1个白球和2个红球．从袋中任取2个球，恰为2个红球的概率是 ．
54．（2024 泰安）某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颖准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是 ．
55．（2024 徐州）不透明的袋子中装有2个红球与2个白球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）甲从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为 ；
（2）甲、乙两人分别从袋子中随机摸出1个球（不放回），用列表或画树状图的方法，求两人摸到相同颜色球的概率．
56．（2024 南通）南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动．
（1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为 ；
（2）求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率．
57．（2024 连云港）数学文化节猜谜游戏中，有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，分别记作字谜、字谜、字谜、字谜，其中字谜、字谜是猜“数学名词”，字谜、字谜是猜“数学家人名”．
（1）若小军从中随机抽取一张字谜卡片，则小军抽取的字谜是猜“数学名词”的概率是 ；
（2）若小军一次从中随机抽取两张字谜卡片，请用画树状图或列表的方法求小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率．
58．（2024 南京）甲袋子中有2个红球、1个白球；乙袋子中有1个红球、1个白球．这些球除颜色外无其他差别．先从甲袋子中随机摸出1个球放入乙袋子，摇匀后，再从乙袋子中随机摸出1个球．
（1）从甲袋子中摸出的球是白球的概率是 ；
（2）从两个袋子中摸出的球都是红球的概率是多少？
59．（2024 甘南州）某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图．
请根据图中信息，回答下列问题：
（1）共调查了 名学生，图2中所对应的圆心角度数为 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率．
60．（2024 广安）睡眠管理作为“五项管理”中的重要内容之一，也是学校教育重点关注的内容．某校为了解学生平均每天睡眠时间，随机抽取该校部分学生进行问卷调查，并将结果进行了统计和整理，绘制成如下统计表和不完整的统计图．
学生类别 学生平均每天睡眠时间（单位：小时）
（1）本次抽取调查的学生共有 人，扇形统计图中表示类学生平均每天睡眠时间的扇形的圆心角度数为 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）被抽取调查的类4名学生中有2名女生，2名男生．从这4人中随机抽取2人进行电话回访，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率．
61．（2024 宜宾）某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素养．在课外活动中开设了四个兴趣小组：．插花组；．跳绳组；．话剧组；．书法组．为了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图．
请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生，并将条形统计图补充完整；
（2）话剧组所对应扇形的圆心角为 度；
（3）书法组成绩最好的4名学生由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
62．（2024 临夏州）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了，，，四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀．
（1）小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中卡片的概率是 ；
（2）小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率．
63．（2024 资阳）我国古诗词源远流长．某校以“赏诗词之美、寻文化之根、铸民族之魂”为主题，组织学生开展了古诗词知识竞赛活动．为了解学生对古诗词的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为，，，四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：
（1）本次共抽取了 名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；
（2）若该校共有2000人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为等级的学生人数；
（3）学校在竞赛成绩为等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加经典诵读活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率．
64．（2024 日照）为进一步推动阳光体育运动，提高学生身体素质，今年5月学校举行健美操比赛，最终有甲、乙、丙三个班级进入团体决赛．团体决赛需要分别进行五个单项比赛，计分规则如下表：
单项比赛计分规则 五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平均数即为该项得分
团体决赛计分规则 各单项比赛得分之和为团体最终成绩，名次按团体最终成绩由高到低排序
现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理、描述和分析，并绘制统计图表，部分信息如下：
．甲、乙两班五个单项得分折线图：
．丙班五个单项得分表：
项目 一 二 三 四 五
得分 78 94 90 92
根据以上信息，回答下列问题：
（1）已知丙班第二个单项比赛中，五名裁判的打分分别为80，84，86，83，82，求丙班第二个单项的得分；
（2）若团体最终成绩相同，则整体发挥稳定性最好的班级排名靠前，那么获得团体比赛冠军的是 班；（填“甲”“乙”或“丙”
（3）获得团体决赛前两名的班级可得到一套图书奖励，现有，，三种图书可供选择．请用列表或画树状图的方法，求两个班级都选择同一套图书的概率．
65．（2024 遂宁）遂宁市作为全国旅游城市，有众多著名景点，为了解“五一”假期同学们的出游情况，某实践探究小组对部分同学假期旅游地做了调查，以下是调查报告的部分呢，请完善报告：
小组关于学校学生“五一”出游情况调查报告
数据收集
调查方式 抽样调查 调查对象 学校学生
数据的整理与描述
景点 ：中国死海 ：龙风古镇 ：灵泉风景区 ：金华山 ：未出游 ：其他
数据分析及运用
（1）本次被抽样调查的学生总人数为 ，扇形统计图中， ，“：龙风古镇”对应圆心角的度数是 ； （2）请补全条形统计图； （3）该学校总人数为1800人，请你估计该学校学生“五一”假期未出游的人数； （4）未出游中的甲、乙两位同学计划下次假期从、、、四个景点中任选一个景点旅游，请用树状图或列表的方法求出他们选择同一景点的概率．
66．（2024 自贡）某校为了解学生身体健康状况，从全校600名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如表），并绘制出不完整的条形统计图（如图）．
学生体质健康统计表
成绩 频数 百分比
不及格 3
及格
良好 45
优秀 32
（1）如表中 ， ， ；
（2）请补全如图的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数；
（3）为听取测试建议，学校选出了3名“良好”1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会，请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率．
67．（2024 济宁）为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表．
【收集数据】
八年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．
八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．
【描述数据】
八年级（1）班20名学生成绩统计表
分数 80 85 90 95 100
人数 3 3 3
【分析数据】
八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表
统计量班级 平均数 中位数 众数 方差
八年级（1）班 95 41.5
八年级（3）班 91 90 26.5
【应用数据】
根据以上信息，回答下列问题．
（1）请补全条形统计图；
（2）填空： ， ；
（3）你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由；
（4）从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率．
68．（2024 绥化）为了落实国家“双减”政策，某中学在课后服务时间里，开展了音乐、体操、诵读、书法四项社团活动、为了了解七年级学生对社团活动的喜爱情况，该校从七年级全体学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选择一项社团活动（且只能选择一项）．根据调查结果，绘制成如下两幅统计图请根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）参加本次问卷调查的学生共有 人；
（2）在扇形统计图中，组所占的百分比是 ，并补全条形统计图．
（3）端午节前夕，学校计划进行课后服务成果展示，准备从这4个社团中随机抽取2个社团汇报展示，请用树状图法或列表法，求选中的2个社团恰好是和的概率．
69．（2024 东营）为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，东营市某学校举办“我参与，我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解学生周末在家劳动情况，学校随机调查了八年级部分学生在家劳动时间（单位：小时），并进行整理和分析（劳动时间分成五档：档：；档：；档：；档：；档：，调查的八年级男生、女生劳动时间的不完整统计图如图所示：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查中，共调查了 名学生，补全条形统计图；
（2）调查的男生劳动时间在档的数据是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9，则调查的全部男生劳动时间的中位数为 小时．
（3）学校为了提高学生的劳动意识，现从档中选两名学生作劳动经验交流，请用列表法或画树状图的方法求所选两名学生恰好都是女生的概率．
70．（2024 淄博）希望中学做了如下表的调查报告（不完整）
调查目的 了解本校学生：（1）周家务劳动的时间；（2）最喜欢的劳动课程
调查方式 随机问卷调查随机问卷调直
调查对象 随机问卷调直部分七年级学生（该校所有学生周家务劳动时间都在范围内）
调查内容 （1）你的周家务劳动时间（单位，是 ①②③④⑤ （2）你最喜欢的劳动课程是（必选且只选一门） ．家政．烹饪．剪纸．园艺．陶艺
调查结果
结合调查信息，回答下列问题：
（1）参与本次问卷调查的学生人数 名；在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数为 度；
（2）补全周家务劳动时间的频数分布直方图；
（3）若该校七年级学生共有800人，请估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数；
（4）小红和小颖分别从“家政”等五门最喜欢的劳动课程中任选一门学习，请用列表法或画树状图的方法，求两人恰好选到同一门课程的概率．
