第三章 图形的平移与旋转
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( D )
A B C D
2.在平面直角坐标系中,△ABC经过平移得到△A′B′C′,若A
(1,m),B(4,2),点A的对应点A′(3,m+2),则点B的对应点B′的坐标为( B )
A.(6,5) B.(6,4) C.(5,m) D.(6,m)
3.如图,在正方形网格中,线段A′B′是线段AB绕某点顺时针旋转一定角度所得,点A′与点A是对应点,则旋转的角度可能是( C )
A.45° B.60° C.90° D.135°
4.小明沿墙挪动墙角的三角储物柜,示意图如图,则下列能表示平移距离的是( D )
A.线段BC的长 B.线段BF的长
C.线段CE的长 D.线段AD的长
5.已知点P1(a-1,1)和P2(2,b-1)关于原点对称,则(a+b)2 024的值为( A )
A.1 B.0 C.-1 D.(-3)2 024
6.如图,Rt△ABC沿直角边AB所在的直线向下平移得到△DEF,下列结论中不一定正确的是( B )
A.BC=EF B.AD=BD
C.AD=BE D.AC=DF
7.如图,在△ACB中,∠C=90°,∠B=60°,BC=1,△ACB绕点A顺时针旋转90°得到△ADE,则点B,E之间的距离为( C )
A.2 B. C.2 D.3
8.如图,在△ABC中,AB=4,BC=6,∠B=60°,将△ABC沿射线BC的方向平移,得到△A′B′C′,再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后,点B′恰好与点C重合,则平移的距离为( A )
A.2 B.3 C.4 D.5
9.如图,在△ABC中,AB=12,点D,E分别在边AC,AB上,将△ADE沿直线DE折叠,使点A落在点F处,将线段EF向右平移,平移后恰能与边BC重合,连接CF.若2BC-CF=15,则BC+2CF的值为( B )
A.12 B.15 C.18 D.20
10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=1,将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△A′B′C,其中点A′与点A是对应点,点B′与点B是对应点.若点B′恰好落在AB边上,则点A到直线A′C的距离为( C )
A.1 B. C. D.
二、填空题(每小题4分,共16分)
11.在平面直角坐标系中,若点A(x+1,2y+1)与点A′(y-2,x)关于原点O对称,则代数式x2-y2的值为 5 .
12.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=5,BC=12,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,使得点D落在AC上,连接EC,则EC的长为 4 .
13.如图,△ABC与△DEC关于点C成中心对称,AB=3,AE=5,∠D=90°,则AC= 2 .
14.已知两个完全相同的直角三角形纸片△ABC,△DEF如图放置,点B,D重合,点F在BC上,AB与EF交于点G,∠C=∠EFD=90°,∠E=
∠ABC=30°,现将图中的△ABC绕点F按每秒15°的速度沿逆时针方向旋转180°,在旋转的过程中,△ABC恰有一边与DE平行的时间为
2或8或10 秒.
三、解答题(共74分)
15.(10分)(2024安徽)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy,格点(网格线的交点)A,B,C,D的坐标分别为(7,8),(2,8),(10,4),(5,4).
(1)以点D为旋转中心,将△ABC旋转180°得到△A1B1C1,画出△A1B1C1;
(2)直接写出以B,C1,B1,C为顶点的四边形的面积;
(3)在所给的网格图中确定一个格点E,使得射线AE平分∠BAC,写出点E的坐标.
解:(1)△A1B1C1如图.
(2)以B,C1,B1,C为顶点的四边形的面积=10×8-2××2×4-2××
4×8=40.
(3)如图,点E即为所求(答案不唯一),点E的坐标为(6,6).
16.(10分)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-2,2),B(-1,4),C(-4,5),请解答下列问题:
(1)△ABC经过平移后得到△A1B1C1,已知点C1的坐标为(1,0),作出
△A1B1C1并写出其余两个顶点的坐标;
(2)将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2,作出△A2B2C2.
解:(1)如图,△A1B1C1即为所求作,点A1(3,-3),B1(4,-1).
(2)如图,△A2B2C2即为所求作.
17.(12分)在平面直角坐标系中,将线段AB平移得到线段A′B′,点A的对应点为点A′.
(1)如果点A,B,A′的坐标分别为(-2,-1),(1,-3),(2,3),那么点B′的坐标为 .
(2)已知点A(m,n),B(2n,m),A′(3m,n),B′(6n,m),m和n之间满足怎样的数量关系 请说明理由.
(3)已知点A(m,n+1),B(n-1,n-2),A′(2n-5,2m+3),B′(2m+3,n+3),求点A,B的坐标.
解:(1)(5,1)
(2)m=2n.理由如下:
∵将线段AB平移得到线段A′B′,点A的对应点为点A′,点A(m,n),
B(2n,m),A′(3m,n),B′(6n,m),
∴3m-m=6n-2n,
∴m=2n.
(3)∵将线段AB平移得到线段A′B′,点A的对应点为点A′,点A(m,n+1),B(n-1,n-2),A′(2n-5,2m+3),B′(2m+3,n+3),
∴解得
∴点A的坐标为(6,10),点B的坐标为(8,7).
18.(12分)图①、图②、图③都是由小等边三角形构成的网格,每个网格图中有4个小等边三角形已涂上阴影,请在余下的空白小等边三角形中,分别按下列要求选取两个等边三角形涂上阴影.
① ② ③
(1)使得6个阴影小等边三角形组成的图形既是轴对称图形,又是中心对称图形;
(2)使得6个阴影小等边三角形组成的图形是中心对称图形,不是轴对称图形;
(3)使得6个阴影小等边三角形组成的图形是轴对称图形,不是中心对称图形.
(请将3个小题依次作答在图①、图②、图③中,均只需画出符合条件的一种情形)
解:(1)如图①,阴影部分图形既是轴对称图形,又是中心对称图形.
(2)如图②,阴影部分图形是中心对称图形,不是轴对称图形.
(3)如图③,阴影部分图形是轴对称图形,不是中心对称图形.
(本题答案合理即可)
① ② ③
19.(14分)如图,在四边形ABCD中,AC,BD是对角线,将点B绕点C逆时针旋转60°得到点E,连接AE,BE,CE.
(1)求∠CBE的度数;
(2)若△ACD是等边三角形,且∠ABC=30°,AB=3,BD=5,求BE的长.
解:(1)∵将点B绕点C逆时针旋转60°得到点E,
∴CB=CE,∠BCE=60°,
∴△BCE是等边三角形,
∴∠CBE=60°,
∴∠CBE的度数为60°.
(2)∵△ACD是等边三角形,
∴AC=DC,∠ACD=60°.
∵∠ACD=∠BCE=60°,
∴∠ACD+∠ACB=∠BCE+∠ACB,
∴∠DCB=∠ACE.
∵AC=DC,∠ACE=∠DCB,CE=CB,
∴△ACE≌△DCB(SAS),∴AE=BD=5.
∵∠CBE=60°,∠ABC=30°,
∴∠ABE=∠CBE+∠ABC=90°.
∵在Rt△ABE中,AB=3,AE=5,
∴BE===4,
∴BE的长为4.
20.(16分)已知四边形ABCD中,AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,∠ABC=120°,∠MBN=60°,∠MBN绕点B旋转,它的两边分别交AD,DC(或它们的延长线)于点E,F.当∠MBN绕点B旋转到AE=CF时(如图①),易证:AE+CF=
EF(不必证明).
① ② ③
(1)当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时(如图②),求证:AE+CF=EF.
(2)当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时(如图③),上述结论是否成立 若成立,请给予证明;若不成立,写出线段AE,CF,EF之间的数量关系,并说明理由.
(1)证明:如图①,延长FC到点H,使CH=AE,连接BH.
①
∵AB⊥AD,BC⊥CD,
∴∠A=∠BCH=90°.
在△BCH和△BAE中,
BC=BA,∠BCH=∠A,CH=AE,
∴△BCH≌△BAE,
∴BH=BE,∠CBH=∠ABE.
∵∠ABC=120°,∠MBN=60°,
∴∠ABE+∠CBF=∠ABC-∠MBN=60°,
∴∠CBH+∠CBF=60°,
即∠HBF=60°,
∴∠HBF=∠EBF.
在△HBF和△EBF中,
BH=BE,∠HBF=∠EBF,BF=BF,
∴△HBF≌△EBF,
∴HF=EF.
∵HF=CH+CF=AE+CF,
∴AE+CF=EF.
(2)解:不成立.EF=AE-CF.
理由如下:如图②,在AE上截取AQ=CF,连接BQ.
②
∵AB⊥AD,BC⊥CD,
∴∠A=∠BCF=90°.
在△BCF和△BAQ中,
BC=BA,∠BCF=∠A,CF=AQ,
∴△BCF≌△BAQ,
∴BF=BQ,∠CBF=∠ABQ.
∵∠MBN=60°=∠CBF+∠CBE,
∴∠CBE+∠ABQ=60°.
∵∠ABC=120°,
∴∠QBE=120°-60°=60°=∠FBE.
在△FBE和△QBE中,
BF=BQ,∠FBE=∠QBE,BE=BE,
∴△FBE≌△QBE,
∴EF=EQ,
∴AE=EQ+AQ=EF+CF,
即EF=AE-CF.第三章 图形的平移与旋转
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A B C D
2.在平面直角坐标系中,△ABC经过平移得到△A′B′C′,若A
(1,m),B(4,2),点A的对应点A′(3,m+2),则点B的对应点B′的坐标为( )
A.(6,5) B.(6,4) C.(5,m) D.(6,m)
3.如图,在正方形网格中,线段A′B′是线段AB绕某点顺时针旋转一定角度所得,点A′与点A是对应点,则旋转的角度可能是( )
A.45° B.60° C.90° D.135°
4.小明沿墙挪动墙角的三角储物柜,示意图如图,则下列能表示平移距离的是( )
A.线段BC的长 B.线段BF的长
C.线段CE的长 D.线段AD的长
5.已知点P1(a-1,1)和P2(2,b-1)关于原点对称,则(a+b)2 024的值为( )
A.1 B.0 C.-1 D.(-3)2 024
6.如图,Rt△ABC沿直角边AB所在的直线向下平移得到△DEF,下列结论中不一定正确的是( )
A.BC=EF B.AD=BD
C.AD=BE D.AC=DF
7.如图,在△ACB中,∠C=90°,∠B=60°,BC=1,△ACB绕点A顺时针旋转90°得到△ADE,则点B,E之间的距离为( )
A.2 B. C.2 D.3
8.如图,在△ABC中,AB=4,BC=6,∠B=60°,将△ABC沿射线BC的方向平移,得到△A′B′C′,再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后,点B′恰好与点C重合,则平移的距离为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
9.如图,在△ABC中,AB=12,点D,E分别在边AC,AB上,将△ADE沿直线DE折叠,使点A落在点F处,将线段EF向右平移,平移后恰能与边BC重合,连接CF.若2BC-CF=15,则BC+2CF的值为( )
A.12 B.15 C.18 D.20
10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=1,将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△A′B′C,其中点A′与点A是对应点,点B′与点B是对应点.若点B′恰好落在AB边上,则点A到直线A′C的距离为( )
A.1 B. C. D.
二、填空题(每小题4分,共16分)
11.在平面直角坐标系中,若点A(x+1,2y+1)与点A′(y-2,x)关于原点O对称,则代数式x2-y2的值为 .
12.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=5,BC=12,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,使得点D落在AC上,连接EC,则EC的长为 .
13.如图,△ABC与△DEC关于点C成中心对称,AB=3,AE=5,∠D=90°,则AC= .
14.已知两个完全相同的直角三角形纸片△ABC,△DEF如图放置,点B,D重合,点F在BC上,AB与EF交于点G,∠C=∠EFD=90°,∠E=
∠ABC=30°,现将图中的△ABC绕点F按每秒15°的速度沿逆时针方向旋转180°,在旋转的过程中,△ABC恰有一边与DE平行的时间为
秒.
三、解答题(共74分)
15.(10分)(2024安徽)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy,格点(网格线的交点)A,B,C,D的坐标分别为(7,8),(2,8),(10,4),(5,4).
(1)以点D为旋转中心,将△ABC旋转180°得到△A1B1C1,画出△A1B1C1;
(2)直接写出以B,C1,B1,C为顶点的四边形的面积;
(3)在所给的网格图中确定一个格点E,使得射线AE平分∠BAC,写出点E的坐标.
16.(10分)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-2,2),B(-1,4),C(-4,5),请解答下列问题:
(1)△ABC经过平移后得到△A1B1C1,已知点C1的坐标为(1,0),作出
△A1B1C1并写出其余两个顶点的坐标;
(2)将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2,作出△A2B2C2.
17.(12分)在平面直角坐标系中,将线段AB平移得到线段A′B′,点A的对应点为点A′.
(1)如果点A,B,A′的坐标分别为(-2,-1),(1,-3),(2,3),那么点B′的坐标为 .
(2)已知点A(m,n),B(2n,m),A′(3m,n),B′(6n,m),m和n之间满足怎样的数量关系 请说明理由.
(3)已知点A(m,n+1),B(n-1,n-2),A′(2n-5,2m+3),B′(2m+3,n+3),求点A,B的坐标.
18.(12分)图①、图②、图③都是由小等边三角形构成的网格,每个网格图中有4个小等边三角形已涂上阴影,请在余下的空白小等边三角形中,分别按下列要求选取两个等边三角形涂上阴影.
① ② ③
(1)使得6个阴影小等边三角形组成的图形既是轴对称图形,又是中心对称图形;
(2)使得6个阴影小等边三角形组成的图形是中心对称图形,不是轴对称图形;
(3)使得6个阴影小等边三角形组成的图形是轴对称图形,不是中心对称图形.
(请将3个小题依次作答在图①、图②、图③中,均只需画出符合条件的一种情形)
19.(14分)如图,在四边形ABCD中,AC,BD是对角线,将点B绕点C逆时针旋转60°得到点E,连接AE,BE,CE.
(1)求∠CBE的度数;
(2)若△ACD是等边三角形,且∠ABC=30°,AB=3,BD=5,求BE的长.
20.(16分)已知四边形ABCD中,AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,∠ABC=120°,∠MBN=60°,∠MBN绕点B旋转,它的两边分别交AD,DC(或它们的延长线)于点E,F.当∠MBN绕点B旋转到AE=CF时(如图①),易证:AE+CF=
EF(不必证明).
① ② ③
(1)当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时(如图②),求证:AE+CF=EF.
(2)当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时(如图③),上述结论是否成立 若成立,请给予证明;若不成立,写出线段AE,CF,EF之间的数量关系,并说明理由.
