第五章 分式与分式方程
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.有下列各式:(1-x),,,,.其中分式有( A )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.下列各分式中,无论x取何值,分式都有意义的是( D )
A. B.
C. D.
3.下列说法正确的是( D )
A.约分的结果是 B.分式与的最简公分母是x-1
C.约分的结果是1 D.化简-的结果是1
4.下列化简结果正确的是( C )
A.(a2-ab)÷=a2b B.=x-y
C.=-m+1 D.=
5.下列各式中,与分式的和为1的是( C )
A.1+ B.
C. D.1-
6.解分式方程+=2时,去分母化为一元一次方程,正确的是( C )
A.x+3=2 B.x-3=2
C.x-3=2(3x-1) D.x+3=2(3x-1)
7.嘉嘉和淇淇两人同时从A地出发,骑自行车前往B地,已知A,B两地的距离为18 km, ,并且嘉嘉比淇淇先到18 min.若设淇淇每小时骑行x km,所列方程为+=,则横线上的条件为( A )
A.嘉嘉每小时比淇淇多骑行3 km
B.嘉嘉每小时比淇淇少骑行3 km
C.嘉嘉和淇淇每小时共骑行3 km
D.嘉嘉每小时骑行的路程是淇淇的3倍
8.关于x的方程+3=有增根,那么a的值为( A )
A.1 B.2
C.-1 D.3
9.若化简÷的最终结果为整数,则“△”可以是( A )
A.2x B.x-2 C.x+4 D.4
10.“丰收1号”小麦试验田是边长为m米(m>1)的正方形去掉一个边长为1米的正方形水池后余下的部分(如图①),“丰收2号”小麦试验田是边长为(m-1)米的正方形(如图②),两块试验田的小麦都收获了n千克.设“丰收1号”小麦试验田和“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量分别为每平方米P千克和每平方米Q千克.有下列说法:①P>Q;②P=Q;③P① ②
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题4分,共16分)
11.分式,,,中,最简分式的个数是 1 .
12.当x= 1 时,分式的值为零.
13.若关于x的分式方程=3-的解为负数,则m的取值范围是 m<4且m≠3 .
14.若+=2,则分式的值为 -4 .
三、解答题(共74分)
15.(10分)化简:
(1)(x+1-)÷; (2)÷(m-2+).
解:(1)原式=·
=·
=x-2.
(2)原式=÷
=×
=.
16.(10分)解分式方程:
(1)+=4; (2)-=.
解:(1)方程两边同乘(2x-3),得x-5=4(2x-3),
解得x=1,
经检验,当x=1时,2x-3≠0,分式方程有意义,
∴原分式方程的解为x=1.
(2)方程两边同乘(x-1)(x+1),得x+1-2(x-1)=4,
解得x=-1,
经检验,当x=-1时,(x-1)(x+1)=0,分式方程无意义,
∴原分式方程无解.
17.(12分)先化简,再求值:
(1)÷(1-),其中a=5;
(2)(-1)÷,然后从0,1,2三个数中选择一个恰当的数代入求值.
解:(1)原式=÷(-)
=·
=a+2.
当a=5时,原式=5+2=7.
(2)原式=(-)÷
=·
=.
∵x-2≠0,x-1≠0,
∴x≠1,x≠2,∴x=0.
当x=0时,原式=-1.
18.(12分)(2024眉山)眉山是“三苏”故里,文化底蕴深厚.近年来眉山市旅游产业蓬勃发展,促进了文创产品的销售,某商店用960元购进的A款文创产品和用780元购进的B款文创产品数量相同.每件A款文创产品进价比B款文创产品进价多15元.
(1)求A,B两款文创产品每件的进价各是多少元.
(2)已知A款文创产品每件售价为100元,B款文创产品每件售价为80元,根据市场需求,商店计划再用不超过7 400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售,问:怎样进货才能使销售完后获得的利润最大 最大利润是多少元
解:(1)设A款文创产品每件的进价是a元,则B款文创产品每件的进价是(a-15)元,
根据题意,得=,解得a=80,
经检验,a=80是原分式方程的解,且符合题意,
∴80-15=65.
答:A款文创产品每件的进价是80元,B款文创产品每件的进价是
65元.
(2)设购进A款文创产品x件,则购进B款文创产品(100-x)件,总利润为W元.
根据题意,得80x+65(100-x)≤7 400,解得x≤60.
又由题意,得W=(100-80)x+(80-65)(100-x)=5x+1 500.
∵k=5>0,∴W随x的增大而增大,
∴当x=60时,利润最大,
∴购进A款文创产品60件,购进B款文创产品40件,获得的利润最大,W最大=5×60+1 500=1 800.
答:购进A款文创产品60件,购进B款文创产品40件,才能使销售完后获得的利润最大,最大利润是1 800元.
19.(14分)已知分式A=,当a>2时,把分式A的分子、分母同时加上3后得到分式B.
(1)分式B的值与原来的分式A的值相比较是变大了还是变小了 请说明理由.
(2)若分式A的值是整数,且a也是整数,求出符合条件的所有a的值.
解:(1)变小了.理由如下:
由题意,得B==.
A-B=-
=-
=
=.
∵a>2,
∴a-2>0,a+1>0,
∴A-B>0,
∴A>B.
故分式B的值与原来的分式A的值相比较是变小了.
(2)∵A==1+,分式A的值是整数,a也是整数,
∴a-2=±1,±2,±4,∴a=3,1,4,0,6,-2.
故所有符合条件的a的值为-2,0,1,3,4,6.
20.(16分)(1)已知A=+,B=+,若A=B,求a,b之间的关
系式.
(2)已知a,b,c都是正数,P=++,Q=++,若P=Q,则a,b,c之间有什么关系 试证明你的结论.
解:(1)由A=B,得+=+,
即(-)+(-)=0,
整理,得=0,
∴1-ab=0,且a+1≠0,b+1≠0,
∴ab=1(a≠-1,b≠-1).
(2)abc=1.证明如下:
由P=Q,得++=++,
即(-)+(-)+(-)=0,
整理,得(1-abc)[++]=0.
∵a,b,c都是正数,
∴1-abc=0,
∴abc=1.第五章 分式与分式方程
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.有下列各式:(1-x),,,,.其中分式有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.下列各分式中,无论x取何值,分式都有意义的是( )
A. B.
C. D.
3.下列说法正确的是( )
A.约分的结果是 B.分式与的最简公分母是x-1
C.约分的结果是1 D.化简-的结果是1
4.下列化简结果正确的是( )
A.(a2-ab)÷=a2b B.=x-y
C.=-m+1 D.=
5.下列各式中,与分式的和为1的是( )
A.1+ B.
C. D.1-
6.解分式方程+=2时,去分母化为一元一次方程,正确的是( )
A.x+3=2 B.x-3=2
C.x-3=2(3x-1) D.x+3=2(3x-1)
7.嘉嘉和淇淇两人同时从A地出发,骑自行车前往B地,已知A,B两地的距离为18 km, ,并且嘉嘉比淇淇先到18 min.若设淇淇每小时骑行x km,所列方程为+=,则横线上的条件为( )
A.嘉嘉每小时比淇淇多骑行3 km
B.嘉嘉每小时比淇淇少骑行3 km
C.嘉嘉和淇淇每小时共骑行3 km
D.嘉嘉每小时骑行的路程是淇淇的3倍
8.关于x的方程+3=有增根,那么a的值为( )
A.1 B.2
C.-1 D.3
9.若化简÷的最终结果为整数,则“△”可以是( )
A.2x B.x-2 C.x+4 D.4
10.“丰收1号”小麦试验田是边长为m米(m>1)的正方形去掉一个边长为1米的正方形水池后余下的部分(如图①),“丰收2号”小麦试验田是边长为(m-1)米的正方形(如图②),两块试验田的小麦都收获了n千克.设“丰收1号”小麦试验田和“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量分别为每平方米P千克和每平方米Q千克.有下列说法:①P>Q;②P=Q;③P① ②
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题4分,共16分)
11.分式,,,中,最简分式的个数是 .
12.当x= 时,分式的值为零.
13.若关于x的分式方程=3-的解为负数,则m的取值范围是 .
14.若+=2,则分式的值为 .
三、解答题(共74分)
15.(10分)化简:
(1)(x+1-)÷; (2)÷(m-2+).
16.(10分)解分式方程:
(1)+=4; (2)-=.
17.(12分)先化简,再求值:
(1)÷(1-),其中a=5;
(2)(-1)÷,然后从0,1,2三个数中选择一个恰当的数代入求值.
18.(12分)(2024眉山)眉山是“三苏”故里,文化底蕴深厚.近年来眉山市旅游产业蓬勃发展,促进了文创产品的销售,某商店用960元购进的A款文创产品和用780元购进的B款文创产品数量相同.每件A款文创产品进价比B款文创产品进价多15元.
(1)求A,B两款文创产品每件的进价各是多少元.
(2)已知A款文创产品每件售价为100元,B款文创产品每件售价为80元,根据市场需求,商店计划再用不超过7 400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售,问:怎样进货才能使销售完后获得的利润最大 最大利润是多少元
19.(14分)已知分式A=,当a>2时,把分式A的分子、分母同时加上3后得到分式B.
(1)分式B的值与原来的分式A的值相比较是变大了还是变小了 请说明理由.
(2)若分式A的值是整数,且a也是整数,求出符合条件的所有a的值.
20.(16分)(1)已知A=+,B=+,若A=B,求a,b之间的关
系式.
(2)已知a,b,c都是正数,P=++,Q=++,若P=Q,则a,b,c之间有什么关系 试证明你的结论.
