第一章 三角形的证明
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列说法中正确的是( )
A.任何一个命题都有逆命题
B.若原命题是假命题,则它的逆命题也是假命题
C.任何一个定理都有逆定理
D.若原命题是真命题,则它的逆命题也是真命题
2.在△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,则不能判定△ABC为直角三角形的是( )
A.∠A+∠B=∠C B.∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5
C.a∶b∶c=7∶24∶25 D.a=4,b=5,c=6
3.已知:在△ABC中,AB≠AC.求证:∠B≠∠C.若用反证法来证明这个结论,可以假设( )
A.∠A=∠B B.AB=BC C.∠B=∠C D.∠A=∠C
4.如图,△ABC是等边三角形,AD∥CE,∠BAD=10°,则∠BCE的度数为( )
A.50° B.45° C.40° D.35°
5.如图,在△ABC中,AB=AC,分别以AB,AC为边在△ABC的外侧作等边三角形ABE和等边三角形ACD,若∠EDC=40°,则∠ABC的度数为( )
A.75° B.80° C.70° D.85°
6.如图,在△ABC中,AB边的垂直平分线交边AC于点E,交边AB于点D,若AC的长为9 cm,BE的长为6 cm,则EC的长为( )
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm
7.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,过△ABC的顶点B作直线l,且点A到直线l的距离为2,点C到直线l的距离为3,则AC的长是( )
A. B.2 C. D.5
8.如图,△OAB的顶点A,B分别在第一、四象限,且AB⊥x轴,若AB=12,
OA=OB=10,则点A的坐标是( )
A.(10,8) B.(6,8) C.(10,6) D.(8,6)
9.如图,BM是∠ABC的平分线,点D是BM上一点,点P为直线BC上的一个动点.若△ABD的面积为12,AB=8,则线段DP的长不可能是( )
A.2 B.3 C.4 D.5.5
10.如图,在△ABC中,∠A=∠ACB=30°,分别以点B,A为圆心,BC,AC长为半径作弧,两弧交于点D,连接CD,交AB的延长线于点E.有下列结论:①∠CBE=60°;②S△ABC=BE·CE;③AC=CD;④AE垂直平分线段CD.其中,正确的结论是( )
A.①④ B.①②④
C.①③④ D.①②③④
二、填空题(每小题4分,共16分)
11.如图,在Rt△ABC中,AC的垂直平分线DE交AC于点D,交BC于点E,∠BAE=20°,则∠DCE的度数为 .
12.如图,已知点A,D,C,F在同一条直线上,∠B=∠E=90°,AB=DE,若添加一个条件后,能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF,则添加的条件可以是 .(只需写一个,不添加辅助线)
13.在△ABC中,AB=5,BC=a,AC=b,如果a,b满足(a+5)(a-5)-b2=0,那么△ABC的形状是 .
14.如图,△ABC是边长为6的等边三角形,点P是AC边上一动点,由点A向点C运动(点P不与点A,C重合),点Q是CB延长线上一动点,与点P同时出发以相同的速度由点B向CB延长线方向运动(点Q不与点B重合),连接PQ交AB于点D.当∠BQD=30°时,AP的长为 .
三、解答题(共74分)
15.(10分)如图,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,且DB=DC,求证:EB=FC.
16.(10分)如图,已知锐角三角形ABC.
(1)在△ABC内部作一点P,使PB=PC,且点P到AB,BC的距离相等;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)若∠A=60°,∠ACP=27°,求∠ABP的度数.
17.(12分)如图,笔直的河一侧有一旅游地C,河边有两个漂流点A,B,其中AB=AC,由于某种原因,由点C到点A的路现在已经不通.为方便游客,现决定在河边新建一个漂流点H(点A,H,B在一条直线上),并新修一条路CH,测得BC=5千米,CH=4千米,BH=3千米.
(1)CH是否为从旅游地C到河的最近的路线 请通过计算说明理由.
(2)求路线AC的长.
18.(12分)如图,在△ABC中,DE是边BC的垂直平分线,分别交边AC,
BC于点D,E,BF⊥AC,且F为线段AD的中点,延长BF与BC的垂直平分线交于点G,连接CG.
(1)若D是AC的中点,求证:AC=2AB;
(2)若∠ACB=30°,求证:△BGC为等边三角形.
19.(14分)在等腰三角形ABC中,CA=CB,∠ACB=120°,将一块含30°角的足够大的直角三角尺PMN(∠M=90°,∠MPN=30°)按如图的方式放置,顶点P在线段AB上运动(点P不与点A,B重合),三角尺的直角边PM始终经过点C,并与CB的夹角为α(∠PCB=α),斜边PN交AC于点D.
(1)特例感知:当∠BPC=110°时,α= °;当点P从点B向点A运动时,∠ADP逐渐变 (填“大”或“小”).
(2)思维拓展:在点P的运动过程中,△PCD可以是等腰三角形吗 若可以,请求出α的度数;若不可以,请说明理由.
20.(16分)如图①,若△ABC和△ADE为等边三角形,M,N分别为EB,CD的中点,易证:CD=BE,△AMN是等边三角形.
(1)当把△ADE绕点A旋转到如图②的位置时,CD=BE吗 若相等,请证明;若不相等,请说明理由.
(2)当把△ADE绕点A旋转到如图③的位置时,△AMN还是等边三角形吗 若是,请证明;若不是,请说明理由[可用第(1)问结论].
① ② ③第一章 三角形的证明
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列说法中正确的是( A )
A.任何一个命题都有逆命题
B.若原命题是假命题,则它的逆命题也是假命题
C.任何一个定理都有逆定理
D.若原命题是真命题,则它的逆命题也是真命题
2.在△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,则不能判定△ABC为直角三角形的是( D )
A.∠A+∠B=∠C B.∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5
C.a∶b∶c=7∶24∶25 D.a=4,b=5,c=6
3.已知:在△ABC中,AB≠AC.求证:∠B≠∠C.若用反证法来证明这个结论,可以假设( C )
A.∠A=∠B B.AB=BC C.∠B=∠C D.∠A=∠C
4.如图,△ABC是等边三角形,AD∥CE,∠BAD=10°,则∠BCE的度数为( A )
A.50° B.45° C.40° D.35°
5.如图,在△ABC中,AB=AC,分别以AB,AC为边在△ABC的外侧作等边三角形ABE和等边三角形ACD,若∠EDC=40°,则∠ABC的度数为( B )
A.75° B.80° C.70° D.85°
6.如图,在△ABC中,AB边的垂直平分线交边AC于点E,交边AB于点D,若AC的长为9 cm,BE的长为6 cm,则EC的长为( B )
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm
7.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,过△ABC的顶点B作直线l,且点A到直线l的距离为2,点C到直线l的距离为3,则AC的长是( C )
A. B.2 C. D.5
8.如图,△OAB的顶点A,B分别在第一、四象限,且AB⊥x轴,若AB=12,
OA=OB=10,则点A的坐标是( D )
A.(10,8) B.(6,8) C.(10,6) D.(8,6)
9.如图,BM是∠ABC的平分线,点D是BM上一点,点P为直线BC上的一个动点.若△ABD的面积为12,AB=8,则线段DP的长不可能是( A )
A.2 B.3 C.4 D.5.5
10.如图,在△ABC中,∠A=∠ACB=30°,分别以点B,A为圆心,BC,AC长为半径作弧,两弧交于点D,连接CD,交AB的延长线于点E.有下列结论:①∠CBE=60°;②S△ABC=BE·CE;③AC=CD;④AE垂直平分线段CD.其中,正确的结论是( D )
A.①④ B.①②④
C.①③④ D.①②③④
二、填空题(每小题4分,共16分)
11.如图,在Rt△ABC中,AC的垂直平分线DE交AC于点D,交BC于点E,∠BAE=20°,则∠DCE的度数为 35° .
12.如图,已知点A,D,C,F在同一条直线上,∠B=∠E=90°,AB=DE,若添加一个条件后,能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF,则添加的条件可以是 AD=CF(答案不唯一) .(只需写一个,不添加辅助线)
13.在△ABC中,AB=5,BC=a,AC=b,如果a,b满足(a+5)(a-5)-b2=0,那么△ABC的形状是 直角三角形 .
14.如图,△ABC是边长为6的等边三角形,点P是AC边上一动点,由点A向点C运动(点P不与点A,C重合),点Q是CB延长线上一动点,与点P同时出发以相同的速度由点B向CB延长线方向运动(点Q不与点B重合),连接PQ交AB于点D.当∠BQD=30°时,AP的长为 2 .
三、解答题(共74分)
15.(10分)如图,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,且DB=DC,求证:EB=FC.
证明:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.
在Rt△DBE和Rt△DCF中,
∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL),
∴EB=FC.
16.(10分)如图,已知锐角三角形ABC.
(1)在△ABC内部作一点P,使PB=PC,且点P到AB,BC的距离相等;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)若∠A=60°,∠ACP=27°,求∠ABP的度数.
解:(1)如图,点P即为所求.
(2)∵PB=PC,∴∠PBC=∠PCB.
设∠ABP=x,由作图,知∠ABP=∠PBC,则∠PBC=∠PCB=x.
∵∠A=60°,∠ACP=27°,∴∠A+∠ACP+3x=180°,
∴∠ABP=x=×(180°-60°-27°)=31°.
17.(12分)如图,笔直的河一侧有一旅游地C,河边有两个漂流点A,B,其中AB=AC,由于某种原因,由点C到点A的路现在已经不通.为方便游客,现决定在河边新建一个漂流点H(点A,H,B在一条直线上),并新修一条路CH,测得BC=5千米,CH=4千米,BH=3千米.
(1)CH是否为从旅游地C到河的最近的路线 请通过计算说明理由.
(2)求路线AC的长.
解:(1)CH是从旅游地C到河的最近的路线.
理由如下:在△CHB中,∵CH2+BH2=42+32=25,BC2=25,∴CH2+BH2=BC2,
∴△HBC是直角三角形且∠CHB=90°,
∴CH⊥AB,
∴CH是从旅游地C到河的最近的路线.
(2)设AC=AB=x千米,则AH=(x-3)千米.
在Rt△ACH中,AC=x千米,AH=(x-3)千米,CH=4千米,AC2=AH2+CH2,
∴x2=(x-3)2+42,解得x=,
∴路线AC的长为千米.
18.(12分)如图,在△ABC中,DE是边BC的垂直平分线,分别交边AC,
BC于点D,E,BF⊥AC,且F为线段AD的中点,延长BF与BC的垂直平分线交于点G,连接CG.
(1)若D是AC的中点,求证:AC=2AB;
(2)若∠ACB=30°,求证:△BGC为等边三角形.
证明:(1)如图,连接BD.
∵DE是边BC的垂直平分线,∴DB=DC.
∵D为AC的中点,∴DA=DC,
∴DB=DA.
∵BF⊥AC,F为AD的中点,
∴AB=BD,∴AB=BD=AD,
∴△ABD是等边三角形,∴AB=AD,
∴AC=2AB.
(2)∵DB=DC,∠ACB=30°,
∴∠DBC=∠DCB=30°,∴∠ADB=60°.
∵AB=BD,∴△ABD为等边三角形.
∵F为AD中点,
∴∠DBF=30°,∴∠CBF=60°.
∵BC的垂直平分线为DE,
∴BG=CG,
∴△BCG为等边三角形.
19.(14分)在等腰三角形ABC中,CA=CB,∠ACB=120°,将一块含30°角的足够大的直角三角尺PMN(∠M=90°,∠MPN=30°)按如图的方式放置,顶点P在线段AB上运动(点P不与点A,B重合),三角尺的直角边PM始终经过点C,并与CB的夹角为α(∠PCB=α),斜边PN交AC于点D.
(1)特例感知:当∠BPC=110°时,α= °;当点P从点B向点A运动时,∠ADP逐渐变 (填“大”或“小”).
(2)思维拓展:在点P的运动过程中,△PCD可以是等腰三角形吗 若可以,请求出α的度数;若不可以,请说明理由.
解:(1)40 小
(2)可以.
由题意,得在△PCD中,∠PCD=120°-α,∠CPD=30°.
①当PC=PD时,∠PCD=∠PDC=×(180°-30°)=75°,即120°-α=75°,∴α=45°;
②当PD=CD时,∠PCD=∠CPD=30°,即120°-α=30°,∴α=90°;
③当PC=CD时,∠CDP=∠CPD=30°,∴∠PCD=180°-2×30°=120°,
即120°-α=120°,∴α=0°,此时点P与点B重合,不符合题意,
舍去.
综上所述,当△PCD是等腰三角形时,α的度数为45°或90°.
20.(16分)如图①,若△ABC和△ADE为等边三角形,M,N分别为EB,CD的中点,易证:CD=BE,△AMN是等边三角形.
(1)当把△ADE绕点A旋转到如图②的位置时,CD=BE吗 若相等,请证明;若不相等,请说明理由.
(2)当把△ADE绕点A旋转到如图③的位置时,△AMN还是等边三角形吗 若是,请证明;若不是,请说明理由[可用第(1)问结论].
① ② ③
解:(1)CD=BE.证明如下:
∵△ABC和△ADE为等边三角形,
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠EAD=60°.
∵∠BAE=∠BAC-∠EAC=60°-∠EAC,∠DAC=∠DAE-∠EAC=60°-
∠EAC,
∴∠BAE=∠DAC.
在△ABE和△ACD中,
∴△ABE≌△ACD(SAS),
∴CD=BE.
(2)△AMN是等边三角形.证明如下:
∵△ABE≌△ACD,∴∠ABE=∠ACD,BE=CD.
∵M,N分别是BE,CD的中点,
∴BM=CN.
在△ABM和△ACN中,
∴△ABM≌△ACN(SAS),
∴AM=AN,∠MAB=∠NAC,
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°,
∴△AMN是等边三角形.
