2024年北师大版九年级下册数学导学案 编写:初三数学教研组 2025.01.08
第三章 圆
§3.1 圆的定义和性质
【学习目标】
1. 明确圆的概念,了解确定圆的条件,掌握点与圆的位置关系及其判定方法;
2. 探索圆的对称性,归纳圆心角、弧、弦之间的关系定理及推论;
【学习过程】
一、与圆有关的概念
1. 圆的定义
(1)在一个平面内,线段绕它固定的一个端点旋转一周,另一个端点随之旋转所形成的图形叫做_____,固定的端点叫做_________,线段叫做_________。以点为圆心的圆,记作_____,读作_________。
(2)圆是到定点的距离等于_________的点的集合。
2. 连结圆上任意两点的线段叫做_________,经过圆心的弦叫做_________,圆心到弦的距离叫做_________。
3. 圆心相同、半径不等的两个圆叫做_________,圆心不同、半径相等的两个圆叫做_________。
4. 圆上任意两点间的部分叫做_________,简称弧。以、为端点的弧记作_________,读作_________。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做_________,大于半圆的弧叫做_________,小于半圆的弧叫做_________。在同圆或等圆中,能够完全重合的弧叫做_________。
5. 顶点在_________的角叫做圆心角,顶点在_________的角叫做圆周角。
例1 如图,点,,以及点,,分别在一条直线上,指出在中的弦、直径、弧、优弧、劣弧、圆周角、圆心角。
例2 如图,的直径与弦的延长线交于点,若,,求的度数。
[识记理解1]
1. 如图,是的直径,点,在上,,,连接,求的度数。
2. 在如图,某海域内以点为圆心、3 km为半径的圆形区域为多暗礁的危险区,但渔业资源丰富,渔船要从点处前往处进行捕鱼,,两点之间的距离是10 km,如果渔船始终保持10 km/h的航速行驶,那么在什么时段内,渔船是安全的?渔船何时进入危险区域?
二、点与圆的位置关系
1. 点与圆的位置关系的性质与判定
点在圆外点到圆心的距离_________半径,即_________;
点在圆上点到圆心的距离_________半径,即_________;
点在圆内点到圆心的距离_________半径,即_________。
2. 平面上在圆外的一个点到圆的最小距离是__________________,最大距离是__________________。
例3 已知直线与直线同时经过点,点是在以点为圆心、为半径的圆上的一个动点,求线段的最小值。
[识记理解2]
1. 平面上的一个点到圆的最小距离是4 cm,最大距离是9 cm,求圆的半径。
2. 如图,在边长为5的菱形中,,是边的中点,是边上的一动点,将沿所在直线翻折得到,连接,求长度的最小值。
三、圆的对称性
1. 圆是_________图形,也是_________图形,具有____________。
2. 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量_________。
例4 如图,,是的弦,且,若,求的度数。
例5 如图,是圆内接三角形,点是圆上一点,连结,,与交于点,且满足,。若,,求的长度。
[识记理解3]
1. 如图,是的直径,,若,求的度数。
2. 如图,,是上的两点,,是的中点。求证:四边形是菱形。
四、确定圆的条件
1. ______________的三个点可以确定一个圆,且_________一个圆可以被确定。
2. 三角形的三个顶点可以确定_________圆,这个三角形叫作圆的____________,这个圆叫作三角形的_________。
3. 三角形的外心
(1)定义:三角形_________的圆心,即三角形三条____________的交点。
(2)性质:三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等,等于_______________,即满足垂直平分线的性质。
(3)位置:锐角三角形的外心在三角形_________,直角三角形的外心在__________,钝角三角形的外心在三角形_________。
例6 如图,直角坐标系中,,,经过,,三点的圆,圆心为,求点的坐标。
例7 已知是圆内接等腰三角形,它的底边长是8,若圆的半径是5,求的面积。
[识记理解4]
1. 如图,的三个顶点的坐标分别为,,,求的外接圆圆心的坐标。
2. 在Rt中,,,,求这个三角形的外接圆的直径。
【知能提升】
一、选择题
1. 已知的半径为5,则该圆中最长的弦的长是( )
A. B. C. 10. D. 15
2. 下列说法,不正确的是( )
A. 过圆心的弦是圆的直径 B. 长度相等的弧是等弧.
C. 周长相等的两个圆是等圆 D. 半圆是弧,但弧不一定是半圆
3. 在平面直角坐标系中,点,的半径为4,那么点与的位置关系是( )
A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外. D. 不能确定
4. 下列说法正确的是( )
A. 等弧所对的弦相等 B. 相等的弦所对的弧相等
C. 相等的圆心角所对的弧相等. D. 相等的圆心角所对的弦相等
5. 已知点是半径为5的内一点,且,在过点的所有弦中,弦长为整数的条数为( )
A. 2 B. 3 C. 4. D. 5
6. 已知,,三点可以确定一个圆,则以下点坐标不满足要求的是( )
A. B. C. D.
7. 如图是一块被打碎的圆形玻璃,若想要去店里配到与原来大小一样的圆形玻璃,应该带去店里的碎片是( )
A. ① B. ② C. ③ D. ④
第7题图 第8题图
8. 如图,是的外接圆,弦交于点,,,过点作于点,延长交于点,若,,则的长为( )
A. B. C. 13 D. 14.
二、填空题
9. 如图,在中,弦有__________,直径是__________,优弧有__________,劣弧有__________。
第9题图 第10题图
10. 如图,是的直径,,半径,是弧上的动点(不与点,,重合),,,垂足分别是,,则的长为__________。
11. ,是半径为5 cm的上两个不同的点,则弦的取值范围是__________。
12. 如图,是半径为1的半圆弧,为等边三角形,是上的一动点,则的面积的最大值是__________。
第12题图 第13题图
13. 如图,点,的坐标分别为,,为坐标平面内一点,,为线段的中点,连接,当最大时,点的坐标为__________。
14. 已知的半径为,点和圆心之间的距离为,且是关于的一元二次方程的实数根,则点与的位置关系是__________。
15. 如图,在中,,,则__________。
第15题图 第16题图
16. 如图,是的直径,,,则的度数是__________。
三、解答题
17. 如图,,,求的度数。
18. 如图,在Rt中,,,,是的角平分线,过,,三点的圆与斜边交于点,连接。
(1)求证:;
(2)求外接圆的半径。
19. 如图,平面直角坐标系中有一个。
(1)用无刻度的直尺和圆规作出的外接圆的圆心,利用网格并写出圆心坐标是__________;
(2)判断点与的位置关系,说明理由。
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