第13章 立体几何初步 B卷 能力提升——2024-2025学年高一数学苏教版2019必修第二册单元达标测试卷（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
第13章 立体几何初步 B卷 能力提升——2024-2025学年高一数学苏教版2019必修第二册单元达标测试卷
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知圆锥的高为4，侧面积是底面积的3倍，则圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
2．若圆锥的侧面积为，底面圆的半径为2，则该圆锥的高为( )
A.4 B. C.2 D.
3．如图,在正方体中,M,N分别为,的中点,异面直线MN与所成角为( )
A. B. C. D.
4．已知正三棱锥底面边长为,且其侧面积是底面积的3倍,则此正三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
5．已知圆台的上 下底面圆的半径分别为2，5，侧面积为，则以该圆台外接球的球心为顶点，上 下底面圆为底面的两个圆锥的体积比为( )
A. B. C. D.
6．“牟合方盖”是指由两个相同的圆柱成直角相交而得到的公共部分对应的几何体，如图(1)，若圆柱的底面半径为r，则组成的牟合方盖的表面积为现有底面半径为1，高为3的两个圆柱成直角相交形成一个“十字”几何体，如图(2)，则该几何体的表面积为( )
A. B. C. D.
7．某大学举办校庆，为了烘托热闹的氛围，需要准备20000盆绿色植物作装饰，已知栽种绿色植物的花盆可近似看成圆台，上底面圆直径约为9厘米，下底面圆直径约为18厘米，母线长约为7.5厘米.假定每一个花盆都装满营养土，请问共需要营养土约为（参考数据）( )
A.17.02立方米 B.17.23立方米 C.17.80立方米 D.18.22立方米
8．正四棱锥中，，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为( )
A.4 B.2 C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知m，n是空间中两条不同的直线，，是不同的两个平面，则下列说法正确的是( )
A.若，，则
B.若，，，则
C.若，，则
D.若，，则
10．如图,平行六面体的体积为6,点P为线段上的动点,则下列三棱锥中,其体积为1的有( )
A.三棱锥 B.三棱锥 C.三棱锥 D.三棱锥
11．用一个平面去截正方体，关于截面的说法，正确的有( )
A.截面有可能是三角形，并且有可能是正三角形
B.截面有可能是四边形，并且有可能是正方形
C.截面有可能是五边形，并且有可能是正五边形
D.截面有可能是六边形，并且有可能是正六边形
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦值为________.
13．现有甲、乙两个形状完全相同的正四棱台容器如图所示，其中，，，现按一定的速度匀速往甲容器里注水，当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时19分钟，如果按照相同的速度匀速往乙容器里注水，当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时___________分钟.
14．已知底面半径为3的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为1，则此圆柱的侧面积为________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．怎样检查一张桌子的4条腿的下端是否在同一平面内？
16．如图所示，在三棱锥中，是等边三角形，.
（1）证明：；
（2）若，且平面平面PBC，求三棱锥的体积.
17．如图,四边形ABCD是正方形,四边形AEPD是直角梯形且,,,,,,的中点分别为F,G,H.
(1)证明：平面平面ADPE,并求直线CE与平面FGH所成角的正弦值;
(2)设截面FGH与平面ABCD的交线为l,确定l的位置并说明理由.
18．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，平面平面，E是棱的中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的大小.
19．如图,在四棱锥中,已知底面是正方形,E是棱上一点.
（1）若平面,证明:E是的中点.
（2）若,,问线段上是否存在点E,使点E到平面的距离为 若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：D
解析：设圆雉的底面半径为r，母线长为l，高为h，
由题意知，所以，
又，所以，
所以圆锥的体积.
2．答案：B
解析：设圆锥的母线长为l，高为h，底面圆的半径为r，
因为圆锥的侧面积为，底面圆的半径为2，
所以，则，则，
故选：B
3．答案：B
解析：连结,,因为在正方体中,M,N分别为,的中点,
所以,
因此,异面直线与所成角即为直线与所成角,即,显然为.
故选:B
4．答案：D
解析：在正三棱锥中,设顶点P在底面的射影点为H,则H为正的中心,
延长交于点M,则M为的中点,连接,
因为正的边长为,M为的中点,则,
因为,则,
则,
,
由题意可知,正三棱锥的侧面积为,则,
即,故,
因为H为正的中心,则,
因为平面,平面,则,
所以,,
因此,该三棱锥的体积为.
故选：D.
5．答案：D
解析：依题意，记圆台的上 下底面半径分别为，，
设圆台的母线为l，则侧面积为，故，
则圆台的高，依题意画出轴截面，
记外接球球心到上底面的距离为x，
则，解得，
故两个体积之比为
故选：D
6．答案：A
解析：由题可知该几何体的表面积等于
两个圆柱表面积的和减去“牟合方盖”的表面积，
即
故选：A.
7．答案：C
解析：依题意，设圆台的高为h厘米，
则厘米，
所以圆台的体积为
立方厘米，
故需要营养土约为立方米.
故选：C.
8．答案：D
解析：连接，，相交于点H，
则H为正方形的中心，
故⊥底面，
取的中点Q，连接，
则，，，
故为二面角的平面角，所以，
故，
所以该四棱锥的体积为.
故选：D
9．答案：AB
解析：A选项，由于，，所以，故A正确．
B选项，由于，，所以，
由于，所以，故B正确．
C选项，若，，则m,n可能平行，相交或异面，故C错误。
D选项，若，，则，故D错误．
故选：AB
10．答案：ACD
解析：记平行六面体的体积为,
对于A,由平行六面体的性质,平面故点到平面的距离等于点B到平面的距离,故,故A正确;
对于B,因为,底面面积固定,点P在线段上位置不同,高不同,故体积不为定值,故B错误;
对于C,因为,平面,平面故平面
点P到平面的距离等于点B到平面的距离,
故,故C正确;
对于D,因为,平面,平面故平面
点到平面的距离等于点B到平面的距离,
故,故D正确;
故选:ACD.
11．答案：ABD
解析：由题意，在正方体中，
对于A中，过点A，，三点的截面为，
截面的形状为正三角形，所以A正确；
对于B中，过棱，，，的中点，
作正方体的截面，此时截面与上下底面平行且全等，
所以截面的性质为正方形，所以B正确；
对于C中，用一个平面截正方体，截面可以是五边形，
但不能为正五边形，所以C错误；
对于D中，如图所示，用一个平面截正方体，
当取各边的中点时，截面是正六边形，所以D正确.
故选：ABD.
12．答案：
解析：
13．答案：37
解析：设正四棱台的高为h，
所以，
即，解得.
因为，，
所以截面（图中阴影部分）是边长为6的正方形，
当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时，
甲容器内水的体积为，
设注水的速度为v，则，解得.
当乙容器中水的高度恰好是正四棱台高度的一半时，
水的体积为，
当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时为分钟.
故答案为：37.
14．答案：
解析：如图作出圆锥的轴截面，根据题意可知，
，，
所以可得，
根据三角形相似可得，
所以，可求得，
根据圆柱侧面积公式可得.
故答案为:
15．答案：见解析
解析：可以将位于对角处的腿的下端用细线拉紧，构成四边形的两条对角线.
若两条对角线相交，由两条相交的直线可确定一个平面知道这两条对角线都在一个平面内，而四条腿的下端又分别在两条对角线上，则四条腿下端也都在一个平面内.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：因为是等边三角形，所以，
又，，
所以，所以.
如图，取AB中点D，连接PD，CD，则，，
又，所以平面PDC，所以.
（2）作，垂足为E，连结AE.
因为，所以，.易得平面ABE.
因为平面，所以.
设，则.
在中，由得，
解得，.
可得E为PC中点.
由，得，所以.
所以三棱锥的体积.
17．答案：(1)见解析
(2)见解析
解析：(1)证明：是BP中点,H是 PC中点,,
又,,平面AEPD,同理平面,
平面平面.
,,则平面 PDAE ,
则就是CE与平面 ADPE所成的角,
又平面 平面 ADPE,所以就是直线CE与平面FGH所成角,
在 中,,,所以,
(2)延长PE交DA于点Q连接BQ,延长FG与BQ交于点R,则由F,G分别为中点,
则R是BQ中点,取CD中点M,则RM就是所求的直线l
理由：平面平面,平面平面,
又平面平面ADPE,所以,设平面FGH与棱CD的交点为M,
又H为PC中点,所以M为棱CD中点,所以RM就是所求的直线l.
18．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：（1）连接交于点O，连接，
因为四边形为平行四边形，点O为的中点，点E为的中点，
所以，又因为平面，平面，
所以平面
（2）在中，，，，
即，因为，，
由，得，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，平面，故，
所以，，两两互相垂直，以B为坐标原点，以，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
，.
设为平面的一个法向量，
则，即，令，则，，
所以，取平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
因为，所以.
故平面与平面的夹角的大小为.
19．答案：（1）证明见解析
（2）存在,
解析：（1）证明:连接交于O,连接,
因为四边形是正方形,所以O为的中点,
因为平面,平面,平面平面,
所以,
因为O为的中点,所以E是的中点.
（2）因为,,四边形是正方形,
所以,,
所以,,
因为,,平面,
所以平面,所以,
因为平面,平面,所以,
因为,,,平面,
所以平面,
因为平面,所以,
所以,
设线段上存在点E,使点E到平面的距离为,
设,则,
因为,
所以,解得,
所以线段上存在点E,且时,点E到平面的距离为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)