第13章 立体几何初步A卷 基础夯实——2024-2025学年高一数学苏教版2019必修第二册单元达标测试卷（含解析）

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第13章 立体几何初步A卷 基础夯实——2024-2025学年高一数学苏教版2019必修第二册单元达标测试卷
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．设正方体的棱长为2，则点到平面的距离是( )
A. B. C. D.
2．已知一个圆锥的母线长为,高为3,则该圆锥的表面积为( )
A. B. C. D.
3．在三棱锥中，，，，设三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则( )
A. B. C. D.
4．已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，是边长为2的正三角形，E，F分别是，的中点，，则球O的体积为( )
A. B. C. D.
5．在直角三角形ABC中,已知,,,以AC为旋转轴将旋转一周,AB、BC边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥,则经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为( )
A. B.4 C. D.8
6．三棱锥的四个顶点都在半径为5的球面上，并且，，则三棱锥的体积的最大值为( )
A.56 B.48 C.32 D.58
7．已知边长为1的正方形绕边所在直线为轴旋转一周形成的面围成一个圆柱，点M和N分别是圆柱上底面和下底面的动点，点P是线段的中点，则三棱锥体积的最大值为( )
A. B. C. D.
8．若正四面体的棱长为，则该正四面体的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知a,b,c为三条不同的直线,,为两个不同的平面,则下列说法正确的是( )
A.若,,,则
B.若,,,,则
C.若,,,,则
D.若,,,则
10．如图,在四棱柱中,M是线段上的动点（不包括两个端点）,则下列三棱锥的体积为定值的是( )
A.三棱锥 B.三棱锥 C.三棱锥 D.三棱锥
11．设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列命题正确的是( )
A.若，，则 B.若，，则.
C.若，，则 D.若，，则.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．“米升子”是一种古代专司量米的量器,其形状是上大下小的正四棱台.将“米升子”装满后用手指或筷子沿升子口刮平叫“平升”.现有一“米升子”的缩小模型,上,下两面正方形的边长分别为5cm和3cm,侧面与上面的夹角为,则该“米升子”模型“平升”的容积为_________.
13．在直三棱柱中,,M,N分别是,的中点,,则与所成角的余弦值为_____________.
14．在长方体（如图1）中，已知，，上底面绕着其中心旋转得到一个十面体（如图2），则该十面体的外接球的体积为___________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知A，B，C是球O上的3点，，，，球O的半径等于13，求球心O到平面ABC的距离.
16．一条直线与两条平行直线都相交，这3条直线是否一定共面？为什么？
17．用符号表示图中点、直线、平面的位置关系.
18．3条直线两两相交，可以确定几个平面？
19．如图所示是一个正方体的表面展开图，则在正方体中，AB，CD，EF，GH这4条线段所在的直线中，是异面直线的有几对？
参考答案
1．答案：D
解析：如图所示，是边长为的等边三角形，
，
设点到平面的距离是h，
由，
可得，
，
解得.
故选：D.
2．答案：C
解析：因为圆锥的母线长为,高为3,
所以圆锥底面圆半径为,
则该圆锥的表面积为.
故选:C
3．答案：B
解析：设G到平面的距离为，设D到平面的距离为，
由于，故；
又，，则，，
故，
故，
故选：B
4．答案：D
解析：解法一:，为边长为2的等边三角形，
为正三棱锥，
，又E，F分别为、中点，
，，又，，
平面，平面，
，，为正方体一部分，
，即，，故选D.
解法二:
设，E，F分别为，中点，
，且，为边长为2的等边三角形，
又
，
中余弦定理，作于D，，
D为中点，，，
，，，，
又，，，两两垂直，
，，.
故选D.
5．答案：D
解析：如图,圆锥任意两条母线为AB和AD,则截面为等腰三角形ABD,
截面面积为:,由图可知,当截面为圆锥轴截面时,∠BAD最大,最大为,
,最大值为1,
为定值,故当最大时截面面积最大,
故截面面积最大为.
故选:D.
6．答案：A
解析：设球心为O，连接OA，OB，OC，，
设点C、D到平面OAB的距离分别为、，
点A、B到平面OCD的距离分别为、，
则，，
，
则
，
当且仅当平面OAB，平面OCD时取等号.
故选：A
7．答案：B
解析：
由题意知，，三角形的面积为
设点P到平面的高为h，又，
要使三棱锥体积的最大，则需h最大，根据图形可得，
当，且时，h最大，最大为1，.
故选：B
8．答案：A
解析：如图，正四面体中，
作底面的高，由正四面体的性质，
点E为的中心，
设O为外接球的球心，外接球的半径为R，
由正三角形的性质，，
；
由，
得，
解得，
该球的表面积为.
故选：A.
9．答案：AC
解析：对于A,因为,,所以,又,,所以,所以,A正确;
对于B,当时,直线a不一定垂直于,B错误;
对于C,由面面平行的判定定理可知,C正确;
对于D,由面面垂直性质定理可知,若直线时,直线a不一定垂直于,D错误.
故选：AC
10．答案：BC
解析：因为几何体中仅M为动点,
故当三棱锥的体积为定值时,应平行于另外三点所确定的平面,
由四棱柱的性质可得,而平面,平面,
故平面,同理平面即平面,
由四棱柱可得平面,平面,
故AD错误,BC正确,
故选:BC
11．答案：AC
解析：对于A：因为，可知在平面内存在直线l，使得，如图所示，
又因为，且，则，所以，因此A正确；
对于B：如图所示：，，但，故B错误；
对于C：若，，则由线面垂直的判定定理得，故C正确.
对于D：，，如图所示，，故D错误.
故选：AC.
12．答案：
解析：
13．答案：
解析：如图,以为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,
建立空间直角坐标系,
不妨设,则,,,,
,,于是,
所以与所成角的余弦值为.
故答案为：.
14．答案：
解析：该十面体的外接球的球心是上下底面中心连线的中点，
该点到该十面体每个顶点的距离均为，
所以这个十面体的外接球的半径为，
所以体积.
故答案为：
15．答案：12
解析：如图所示.，，，.
取AB的中点M，则球面上A、B、C三点所在的圆即为.
连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离.
在中，，，
.
16．答案：一定，理由见解析
解析：一定.如图，已知直线，，.
，a，b确定一个平面.
，，，.
又，，.
即这3条直线共面.
17．答案：见解析
解析：，，，，.
18．答案：一个或三个
解析：当三条直线相交于一点时：可以确定一个或三个平面；
当三条直线不相交于一点时：如图所示，，相交可以确定一个平面，，，
，，即，这三条直线共面，故确定一个平面；
综上所述：可以确定1或3个平面.
19．答案：3对
解析：还原正方体，如图AB与CD，AB与GH，EF与GH是异面直线，共3对.
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