四川省自贡市第一中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
1．（2024高二下·自贡期中）下列导数计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：对于A，因为，故A正确；
对于B，因为，故B正确；
对于C，因为，故C正确；
对于D，因为，故D错误.
故答案为：D.
【分析】利用幂函数的求导法则计算，即可判断选项A；利用简单复合函数求导法则计算，即可判断选项B；利用导数的乘法和除法法则，从而计算判断出选项C和选项D，进而找出导数计算错误的选项.
2．（2024高二下·自贡期中）命题甲：对任意，有；命题乙：在内是单调递增的，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：∵在内，则在内单调递增，
反过来，若在内单调递增，则，
∴“在内”是“在内单调递增”的充分不必要条件．
故答案为：．
【分析】将在内单调递增等价于，再由充分条件、必要条件判断方法找出正确的选项.
3．（2024高二下·自贡期中）设函数在处存在导数为2，则（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】C
【知识点】极限及其运算；导数的概念
【解析】【解答】解：由题意，知，
则.
故答案为：C.
【分析】利用导数的定义和函数的极限的关系式，从而得出.
4．（2024高二下·自贡期中）中国文字博物馆荟萃历代中国文字样本精华，用详尽的资料向世界展示了中华民族一脉相承的文字和辉煌灿烂的文明．该博物馆馆藏的重要藏品主要分为铜器、碑碣、钱币、陶器、玉石器、甲骨、竹木、纸质、瓷器共九类．小胡同学去该馆任意选取四类重要藏品参观，则在钱币、玉石器、甲骨、瓷器这四类中至少参观其中一类的不同选择方案的种数是（ ）
A．224 B．121 C．96 D．84
【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：从铜器、碑碣、钱币、陶器、玉石器、甲骨、竹木、纸质、
瓷器这九类中任取四类重要藏品参观，不同的选法种数为，
其中钱币、玉石器、甲骨、瓷器这四类都不选的选法种数为，
因此满足条件的不同选法种数为.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和组合数公式以及间接法，从而得出在钱币、玉石器、甲骨、瓷器这四类中至少参观其中一类的不同选择方案的种数.
5．（2024高二下·自贡期中）已知等比数列的公比为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：，，.
故答案为：C.
【分析】利用等比数列下标和等比数列的性质可得的值，再由等比数列的性质得出等比数列第6项的值.
6．（2024高二下·自贡期中）设，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：设，
对于A，因为，故A错；
对于B，
因为，
故B错；
对于C、D，因为，
所以，，
，故C对、D错.
故答案为：C.
【分析】设，再利用赋值法可判断各选项的正误，从而找出说法正确的选项.
7．（2024高二下·自贡期中）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：当时，，可排除选项A，
因为，
令，解得或，
所以在和上单调递增；在上单调递减，
结合图象可排除选项B和选项D，从而得出选项C正确.
故答案为：C.
【分析】由可排除选项A；再求导判断函数的单调性可判断出选项C、选项B和选项D，从而找出函数的大致图象.
8．（2024高二下·自贡期中），均有成立，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：不妨设，
由，得，
即，两边同时除以，得，
令，即，所以函数在区间上单调递减，
所以，即恒成立，
所以，上恒成立，函数在区间上单调递减，
所以的最大值为1，所以.
故答案为：B.
【分析】先将不等式转化为，构造函数为，则转化为函数在区间上恒成立，再利用参变分离转化为最值问题，从而求出实数的取值范围.
9．（2024高二下·自贡期中）某校文艺汇演共6个节目，其中歌唱类节目3个，舞蹈类节目2个，语言类节目1个，则下列说法正确的是（ ）
A．若以歌唱类节目开场，则有360种不同的出场顺序
B．若舞蹈类节目相邻，则有120种出场顺序
C．若舞蹈类节目不相邻，则有240种不同的出场顺序
D．从中挑选2个不同类型的节目参加市艺术节，则有11种不同的选法
【答案】A,D
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：对于A：从3个歌唱节目选1个作为开场，有种方法，后面的5个节目全排列，
所以符合题意的方法共有种，故A正确；
对于B：将2个舞蹈节目捆绑在一起，则种方法，再与其余4个节目全排列，
所以符合题意的方法共有，故B错误；
对于C：除了2个舞蹈节目以外的4个节目全排列，有种，
再由4个节目组成的5个空插入2个舞蹈节目，
所以符合题意的方法有种，故C错误；
对于D：符合题意的情况可能是1个歌唱1个舞蹈、1个歌唱1个语言、1个舞蹈1个语言，
所以不同的选法共种，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据全排列、捆绑法、插空法结合分步与分类计数原理，从而逐项分析找出说法正确的选项.
10．（2024高二下·自贡期中）已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项不正确的是（ ）
A．数列为递减数列 B．
C．的最大值为 D．
【答案】A,B,C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为，所以又因为则所以数列为递增数列，则A、B选项错误，
则且，则 的最小值为，故C选项错误，
又则D选项正确.
故答案为：A、B、C.
【分析】本题主要考查等差数列的基本性质，根据等差数列的性质可得：再结合已知条件可得：，所以数列为递增数列即可判定A、B选项，再根据可得的最小值为，可判定C选项，根据等差数列的求和公式即可判定D选项.
11．（2024高二下·自贡期中）对于函数，下列说法正确的有（ ）
A．在处取得极大值
B．只有一个零点
C．
D．若在上恒成立，则
【答案】A,B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点
【解析】【解答】对于A，
函数
，
，
令
，即
，解得
，
当
时，
，故
在
上为单调递增函数，
当
时，
，故
在
上为单调递减函数，
在
时取得极大值
，A符合题意；
对于B，
在
上为单调递增函数，
，
函数
在
上有唯一零点，
当
时，
恒成立，即函数
在
上没有零点，故
有唯一零点，B符合题意；
对于C，
在
上为单调递减函数，
，
，C不符合题意；
对与D，由
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
设
，则
，令
，解得：
，
当
时，
，函数
在
上单调递增；
当
时，
，函数
在
上单调递减，
当
时，函数
取得最大值，最大值为
，
，D不符合题意．
故答案为：AB
【分析】对A，利用导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值即可判断；对B，利用函数的单调性和函数值的范围即可判断；对C，利用函数的单调性比较出函数值的大小关系即可判断；对D，利用不等式恒成立，参数分离法即可求解.
12．（2024高二下·自贡期中）在的展开式中，含的项的系数为 .
【答案】6
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】由题设，展开式通项公式为，
当时，，
∴含的项的系数为6.
故答案为：6.
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合通项公式得出含的项的系数。
13．（2024高二下·自贡期中）数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“客醉花间花醉客”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343，12521等，两位数的回文数有11，22，33，…，99共9个，则三位数的回文数中是奇数的个数是 ．
【答案】50
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：设三位数的回文数为ABA，A有1到9，共9种可能，即1B1、2B2、3B3、9B9.
其中奇数共5种可能，即1B1，3B3，5B5，7B7，9B9；
B有0到9共10种可能，即A0A、A1A、A2A、A3A、A9A，
所以符合题意的有5×10=50个.
故答案为：50.
【分析】设三位数的回文数为ABA，先分析A的可能取值，再分析B的可能取值，由分步乘法计数原理得出三位数的回文数中是奇数的个数.
14．（2024高二下·自贡期中）若方程有两个不等的实数根，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：方程化为，
令，
则问题转化为的图像与直线由2个交点，
因为
当，则，单调递减，
当，，单调递增，
易知，
当正向无限趋近0时，的取值无限趋近于正无穷大，
当
故方程 有两个不等的实数根时，
故答案为：
【分析】本题主要考查函数零点与方程根的关系，对于本题，应先转化方程，接着转换为函数图象的零点关系，接着对此函数进行求导，判断其单调性，进而求出取值范围即可。
15．（2024高二下·自贡期中）求解下列问题．
（1）求值：；
（2）解不等式：；
【答案】（1）解：.
（2）解：由，得，
化简得，解得，①
又因为，所以，②
由①②和，得.
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【分析】（1）根据已知条件和组合数公式得出的值.
（2）根据排列数公式和排列数中x的取值范围，再结合一元二次不等式求解方法和交集的运算法则得出不等式的解集.
（1）.
（2）由，得，
化简得，解得，①
又，所以，②
由①②及得.
16．（2024高二下·自贡期中）已知函数 .
（1）求这个函数的图象在 处的切线方程；
（2）若过点 的直线 与这个函数图象相切，求 的方程.
【答案】（1）解： ，
时， ，
∴这个图象在 处的切线方程为 .
（2）解：设 与这个图象的切点为 ， 方程为
，
由 过点 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ 方程为 .
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的斜截式方程
【解析】【分析】（1）利用求导的方法求出函数图象在切点处的切线斜率，再利用切点的横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标，再利用点斜式求出函数图象在切点处的切线方程，再转化为切线的斜截式方程。
（2） 设 与这个图象的切点为 ， 再利用切点结合点斜式求出过切点的切线方程，再由 过点 ，将原点坐标代入设出的切线方程中求出切点的横坐标，再利用切点的横坐标代入设出的切线方程求出切线l的方程。
17．（2024高二下·自贡期中）已知函数在处取得极小值-2.
（1）求实数的值；
（2）若，都有成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为，
又因为函数在处取得极小值-2，
所以，即，解得．
经检验，当，时，在处取到极小值，
所以，.
（2）解：由（1）可知，，则
令，解得或，
又因为，
所以当，时，单调递增；
当时，单调递减，
所以当时，.
若，都有成立，
只需，所以，
故实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据已知条件结合导数求极值点和代入法求极值的方法，从而可得，解方程组得出实数的值.
（2）利用已知条件，将问题等价于，再利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的最大值和最小值，即可求出实数c的取值范围.
（1），
因为函数在处取得极小值-2，
所以，即，解得．
经检验，当，时，在处取到极小值，
所以，.
（2）由（1）可知，，则
令，解得或，
而，所以当，时，单调递增；
当时，单调递减.
又
所以当时，.
若，都有成立，
只需，所以.
故实数的取值范围为.
18．（2024高二下·自贡期中）已知等差数列满足，，的前n项和为．
（1）求及的通项公式；
（2）记，求证：．
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
则，解得，，
.
（2）证明：由（1）得，
，即.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式，从而列方程组求出首相和公差，结合等差数列的通项公式可得数列的通项公式，再根据等差数列前项和公式得出数列的前n项和.
（2）利用裂项相消法求出，再根据的取值范围可得的取值范围，从而证出不等式成立.
（1）设等差数列的公差为，
则，解得，
，
；
（2）由（1）得，
，
即.
19．（2024高二下·自贡期中） 已知函数.
（1）讨论 的单调性；
（2）证明：当 时，.
【答案】（1）当时，此时单调递减；
当时， . 此时与均单调递减，所以单调递减；
当时，，令则，
∴当时，，单调递减；
当时，，单调递增。
综上所述：当时，单调递减；
当时，当，单调递减；当，单调递增。
（2）要证当时，，只需证，
由（1）知，即证，
当时，恒成立，
令，则只需证，
，易知单调递增，且，
所以当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增。
所以.
综上所述，当时，
【知识点】函数单调性的判断与证明；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【分析】（1）根据题意，分类讨论a的常规正负三种分类情形，结合基本函数单调性与求导分析即得答案。
(2) 将条件转化为恒成立问题，求导分析函数单调性得出极值。
1 / 1四川省自贡市第一中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
1．（2024高二下·自贡期中）下列导数计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·自贡期中）命题甲：对任意，有；命题乙：在内是单调递增的，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024高二下·自贡期中）设函数在处存在导数为2，则（ ）
A．1 B．2 C． D．3
4．（2024高二下·自贡期中）中国文字博物馆荟萃历代中国文字样本精华，用详尽的资料向世界展示了中华民族一脉相承的文字和辉煌灿烂的文明．该博物馆馆藏的重要藏品主要分为铜器、碑碣、钱币、陶器、玉石器、甲骨、竹木、纸质、瓷器共九类．小胡同学去该馆任意选取四类重要藏品参观，则在钱币、玉石器、甲骨、瓷器这四类中至少参观其中一类的不同选择方案的种数是（ ）
A．224 B．121 C．96 D．84
5．（2024高二下·自贡期中）已知等比数列的公比为，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·自贡期中）设，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高二下·自贡期中）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024高二下·自贡期中），均有成立，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·自贡期中）某校文艺汇演共6个节目，其中歌唱类节目3个，舞蹈类节目2个，语言类节目1个，则下列说法正确的是（ ）
A．若以歌唱类节目开场，则有360种不同的出场顺序
B．若舞蹈类节目相邻，则有120种出场顺序
C．若舞蹈类节目不相邻，则有240种不同的出场顺序
D．从中挑选2个不同类型的节目参加市艺术节，则有11种不同的选法
10．（2024高二下·自贡期中）已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项不正确的是（ ）
A．数列为递减数列 B．
C．的最大值为 D．
11．（2024高二下·自贡期中）对于函数，下列说法正确的有（ ）
A．在处取得极大值
B．只有一个零点
C．
D．若在上恒成立，则
12．（2024高二下·自贡期中）在的展开式中，含的项的系数为 .
13．（2024高二下·自贡期中）数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“客醉花间花醉客”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343，12521等，两位数的回文数有11，22，33，…，99共9个，则三位数的回文数中是奇数的个数是 ．
14．（2024高二下·自贡期中）若方程有两个不等的实数根，则实数的取值范围是 ．
15．（2024高二下·自贡期中）求解下列问题．
（1）求值：；
（2）解不等式：；
16．（2024高二下·自贡期中）已知函数 .
（1）求这个函数的图象在 处的切线方程；
（2）若过点 的直线 与这个函数图象相切，求 的方程.
17．（2024高二下·自贡期中）已知函数在处取得极小值-2.
（1）求实数的值；
（2）若，都有成立，求实数的取值范围.
18．（2024高二下·自贡期中）已知等差数列满足，，的前n项和为．
（1）求及的通项公式；
（2）记，求证：．
19．（2024高二下·自贡期中） 已知函数.
（1）讨论 的单调性；
（2）证明：当 时，.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：对于A，因为，故A正确；
对于B，因为，故B正确；
对于C，因为，故C正确；
对于D，因为，故D错误.
故答案为：D.
【分析】利用幂函数的求导法则计算，即可判断选项A；利用简单复合函数求导法则计算，即可判断选项B；利用导数的乘法和除法法则，从而计算判断出选项C和选项D，进而找出导数计算错误的选项.
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：∵在内，则在内单调递增，
反过来，若在内单调递增，则，
∴“在内”是“在内单调递增”的充分不必要条件．
故答案为：．
【分析】将在内单调递增等价于，再由充分条件、必要条件判断方法找出正确的选项.
3．【答案】C
【知识点】极限及其运算；导数的概念
【解析】【解答】解：由题意，知，
则.
故答案为：C.
【分析】利用导数的定义和函数的极限的关系式，从而得出.
4．【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：从铜器、碑碣、钱币、陶器、玉石器、甲骨、竹木、纸质、
瓷器这九类中任取四类重要藏品参观，不同的选法种数为，
其中钱币、玉石器、甲骨、瓷器这四类都不选的选法种数为，
因此满足条件的不同选法种数为.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和组合数公式以及间接法，从而得出在钱币、玉石器、甲骨、瓷器这四类中至少参观其中一类的不同选择方案的种数.
5．【答案】C
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：，，.
故答案为：C.
【分析】利用等比数列下标和等比数列的性质可得的值，再由等比数列的性质得出等比数列第6项的值.
6．【答案】C
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：设，
对于A，因为，故A错；
对于B，
因为，
故B错；
对于C、D，因为，
所以，，
，故C对、D错.
故答案为：C.
【分析】设，再利用赋值法可判断各选项的正误，从而找出说法正确的选项.
7．【答案】C
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：当时，，可排除选项A，
因为，
令，解得或，
所以在和上单调递增；在上单调递减，
结合图象可排除选项B和选项D，从而得出选项C正确.
故答案为：C.
【分析】由可排除选项A；再求导判断函数的单调性可判断出选项C、选项B和选项D，从而找出函数的大致图象.
8．【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：不妨设，
由，得，
即，两边同时除以，得，
令，即，所以函数在区间上单调递减，
所以，即恒成立，
所以，上恒成立，函数在区间上单调递减，
所以的最大值为1，所以.
故答案为：B.
【分析】先将不等式转化为，构造函数为，则转化为函数在区间上恒成立，再利用参变分离转化为最值问题，从而求出实数的取值范围.
9．【答案】A,D
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：对于A：从3个歌唱节目选1个作为开场，有种方法，后面的5个节目全排列，
所以符合题意的方法共有种，故A正确；
对于B：将2个舞蹈节目捆绑在一起，则种方法，再与其余4个节目全排列，
所以符合题意的方法共有，故B错误；
对于C：除了2个舞蹈节目以外的4个节目全排列，有种，
再由4个节目组成的5个空插入2个舞蹈节目，
所以符合题意的方法有种，故C错误；
对于D：符合题意的情况可能是1个歌唱1个舞蹈、1个歌唱1个语言、1个舞蹈1个语言，
所以不同的选法共种，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据全排列、捆绑法、插空法结合分步与分类计数原理，从而逐项分析找出说法正确的选项.
10．【答案】A,B,C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为，所以又因为则所以数列为递增数列，则A、B选项错误，
则且，则 的最小值为，故C选项错误，
又则D选项正确.
故答案为：A、B、C.
【分析】本题主要考查等差数列的基本性质，根据等差数列的性质可得：再结合已知条件可得：，所以数列为递增数列即可判定A、B选项，再根据可得的最小值为，可判定C选项，根据等差数列的求和公式即可判定D选项.
11．【答案】A,B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点
【解析】【解答】对于A，
函数
，
，
令
，即
，解得
，
当
时，
，故
在
上为单调递增函数，
当
时，
，故
在
上为单调递减函数，
在
时取得极大值
，A符合题意；
对于B，
在
上为单调递增函数，
，
函数
在
上有唯一零点，
当
时，
恒成立，即函数
在
上没有零点，故
有唯一零点，B符合题意；
对于C，
在
上为单调递减函数，
，
，C不符合题意；
对与D，由
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
设
，则
，令
，解得：
，
当
时，
，函数
在
上单调递增；
当
时，
，函数
在
上单调递减，
当
时，函数
取得最大值，最大值为
，
，D不符合题意．
故答案为：AB
【分析】对A，利用导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值即可判断；对B，利用函数的单调性和函数值的范围即可判断；对C，利用函数的单调性比较出函数值的大小关系即可判断；对D，利用不等式恒成立，参数分离法即可求解.
12．【答案】6
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】由题设，展开式通项公式为，
当时，，
∴含的项的系数为6.
故答案为：6.
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合通项公式得出含的项的系数。
13．【答案】50
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：设三位数的回文数为ABA，A有1到9，共9种可能，即1B1、2B2、3B3、9B9.
其中奇数共5种可能，即1B1，3B3，5B5，7B7，9B9；
B有0到9共10种可能，即A0A、A1A、A2A、A3A、A9A，
所以符合题意的有5×10=50个.
故答案为：50.
【分析】设三位数的回文数为ABA，先分析A的可能取值，再分析B的可能取值，由分步乘法计数原理得出三位数的回文数中是奇数的个数.
14．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：方程化为，
令，
则问题转化为的图像与直线由2个交点，
因为
当，则，单调递减，
当，，单调递增，
易知，
当正向无限趋近0时，的取值无限趋近于正无穷大，
当
故方程 有两个不等的实数根时，
故答案为：
【分析】本题主要考查函数零点与方程根的关系，对于本题，应先转化方程，接着转换为函数图象的零点关系，接着对此函数进行求导，判断其单调性，进而求出取值范围即可。
15．【答案】（1）解：.
（2）解：由，得，
化简得，解得，①
又因为，所以，②
由①②和，得.
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【分析】（1）根据已知条件和组合数公式得出的值.
（2）根据排列数公式和排列数中x的取值范围，再结合一元二次不等式求解方法和交集的运算法则得出不等式的解集.
（1）.
（2）由，得，
化简得，解得，①
又，所以，②
由①②及得.
16．【答案】（1）解： ，
时， ，
∴这个图象在 处的切线方程为 .
（2）解：设 与这个图象的切点为 ， 方程为
，
由 过点 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ 方程为 .
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的斜截式方程
【解析】【分析】（1）利用求导的方法求出函数图象在切点处的切线斜率，再利用切点的横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标，再利用点斜式求出函数图象在切点处的切线方程，再转化为切线的斜截式方程。
（2） 设 与这个图象的切点为 ， 再利用切点结合点斜式求出过切点的切线方程，再由 过点 ，将原点坐标代入设出的切线方程中求出切点的横坐标，再利用切点的横坐标代入设出的切线方程求出切线l的方程。
17．【答案】（1）解：因为，
又因为函数在处取得极小值-2，
所以，即，解得．
经检验，当，时，在处取到极小值，
所以，.
（2）解：由（1）可知，，则
令，解得或，
又因为，
所以当，时，单调递增；
当时，单调递减，
所以当时，.
若，都有成立，
只需，所以，
故实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据已知条件结合导数求极值点和代入法求极值的方法，从而可得，解方程组得出实数的值.
（2）利用已知条件，将问题等价于，再利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的最大值和最小值，即可求出实数c的取值范围.
（1），
因为函数在处取得极小值-2，
所以，即，解得．
经检验，当，时，在处取到极小值，
所以，.
（2）由（1）可知，，则
令，解得或，
而，所以当，时，单调递增；
当时，单调递减.
又
所以当时，.
若，都有成立，
只需，所以.
故实数的取值范围为.
18．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
则，解得，，
.
（2）证明：由（1）得，
，即.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式，从而列方程组求出首相和公差，结合等差数列的通项公式可得数列的通项公式，再根据等差数列前项和公式得出数列的前n项和.
（2）利用裂项相消法求出，再根据的取值范围可得的取值范围，从而证出不等式成立.
（1）设等差数列的公差为，
则，解得，
，
；
（2）由（1）得，
，
即.
19．【答案】（1）当时，此时单调递减；
当时， . 此时与均单调递减，所以单调递减；
当时，，令则，
∴当时，，单调递减；
当时，，单调递增。
综上所述：当时，单调递减；
当时，当，单调递减；当，单调递增。
（2）要证当时，，只需证，
由（1）知，即证，
当时，恒成立，
令，则只需证，
，易知单调递增，且，
所以当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增。
所以.
综上所述，当时，
【知识点】函数单调性的判断与证明；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【分析】（1）根据题意，分类讨论a的常规正负三种分类情形，结合基本函数单调性与求导分析即得答案。
(2) 将条件转化为恒成立问题，求导分析函数单调性得出极值。
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