云南省昭通市昭通一中教研联盟2023-2024学年高二下学期期中质量检测数学试题(B卷)
1．（2024高二下·昭通期中）设集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由，
则.
故答案为：D.
【分析】利用对数函数的单调性和对数函数的定义域，从而求交集得出集合，再由交集的运算法则得出集合.
2．（2024高二下·昭通期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由，得或，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次不等式求解方法和充分条件、必要条件的判断方法，从而得出正确的选项.
3．（2024高二下·昭通期中）已知平面向量.若，则（ ）
A．或1 B． C．1 D．2
【答案】C
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：，
，
，
由，解得.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出t的值.
4．（2024高二下·昭通期中）“五一”假期将至，腾冲又将迎来今年的新一轮旅游热潮．腾冲某旅行社适时推出了“火山热海”、“和顺古镇”、“叠水河畔”、“湿地荷韵”和“佤寨风光”共五条旅游线路可供旅客选择，其中“火山热海”线路只剩下一个名额，其余线路名额充足．现甲、乙、丙、丁四人前去报名，每人只选择其中一条线路，四人选完后，恰好选择了三条不同的线路．则他们报名的情况总共有（ ）
A．720种 B．360种 C．320种 D．288种
【答案】D
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：在四人中，没有人选择“火山热海”线路，，
则方法数有种；
在四人中，恰有人选择“火山热海”线路，
则方法数有种，
所以他们报名的情况总共有种.
故答案为：D.
【分析】根据四人是否有人选择“火山热海”线路进行分类讨论，再结合排列数公式、组合数公式以及分类加法计数原理，从而得出四人报名的情况共有的种数.
5．（2024高二下·昭通期中）大西洋鲑鱼每年都要逆游而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为300，则一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为（ ）
A．900 B．1200 C．2700 D．8100
【答案】C
【知识点】“对数增长”模型
【解析】【解答】解：由题意可得，解得，所以.
令，解得，所以游速为时耗氧量的单位数为2700.
故答案为：C.
【分析】先根据已知条件求出的值，再代入求出的值，从而得出一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数.
6．（2024高二下·昭通期中）在空间中，“经过点，法向量为的平面的方程（即平面上任意一点的坐标满足的关系式）为：".用此方法求得平面和平面的方程，化简后的结果为分别和，则这两平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：因为平面的法向量为，平面的法向量为，
则，所以两平面所成角的余弦值为.
故答案为：B.
【分析】由题中的定义得出两直线的法向量，再结合数量积求向量夹角公式求出这两平面所成角的余弦值.
7．（2024高二下·昭通期中）已知圆为直线上的一个动点，过点作圆的切线，切点分别为，若直线关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】如图，
根据题意，可得圆的圆心为，半径.
若圆的切线关于直线对称，则，
又因为直线的斜率，可知直线的方程为，
由，解得，所以，
又因为，由对称性可知，
故.
故答案为：B.
【分析】利用圆的切线关于直线对称，则，再结合直线的斜率可知直线的方程，将两直线联立得出交点P的坐标，得出OP的长，再由正弦函数的定义和图形的对称性以及二倍角的余弦公式，从而得出的值.
8．（2024高二下·昭通期中） 已知定义在上的函数满足：，且．若，则（ ）
A．506 B．1012 C．2024 D．4048
【答案】C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：因为函数 满足①，所以用代替可得，
即，所以，即函数的图象关于对称，
令，则，所以，
令，，又，所以，
又因为，所以②，
即函数的图象关于直线对称，，
且由①和②，得，
所以，则函数的一个周期为4，则，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件推出函数是以4为周期的周期函数，再根据已知条件求得，利用周期性求值即可.
9．（2024高二下·昭通期中）设方程在复数范围内的两根分别为，则下列关于的说法正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；复数代数形式的混合运算；方程在复数范围内的解集
【解析】【解答】解：对于A，由实系数一元二次方程求根公式知，
则（与顺序无关），故A正确；
对于B，因为，所以，故B正确；
对于C，由选项A可知，，故C错误；
对于D，由韦达定理可得，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】利用一元二次方程求解的方法可得，再结合韦达定理和复数的运算法则，从而逐项判断找出说法正确的选项.
10．（2024高二下·昭通期中）已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．的最小正周期为 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．在区间上单调递减
【答案】C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：对于A，因为，
故函数的周期，故A错误；
对于B，因为，即函数关于点对称，故B错误；
对于C，当时，则取得最值，即函数关于直线对称，故C正确；
对于D，令，，则，
当时，可得函数的一个单调递减区间为，又因为，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】由辅助角公式化简求出函数的解析式，再结合正弦型函数的最小正周期公式判断出选项A；利用换元法和正弦函数的对称性，则得出正弦型函数的对称性，从而判断出选项B和选项C；利用换元法和正弦函数的单调性，从而判断出正弦型函数的单调性，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项．
11．（2024高二下·昭通期中）已知函数，则（ ）
A．有一个零点 B．的极小值为
C．的对称中心为 D．直线是曲线的切线
【答案】A,B,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：对于A，由，得，
令，得；令，得或，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
且，
所以，当时，；当时，存在唯一零点，
故函数在上只有一个零点，故A正确；
对于B，由选项A可知，函数的极小值为，故B正确；
对于C，令，定义域为，
则，
所以函数为奇函数，对称中心为，
将函数图象向下平移1个长度单位，得函数的图象，
所以的对称中心为，故C错误；
对于D，由选项A知，，
令，又因为，
所以切线方程为，即，
所以直线是曲线在点处的切线，故D正确，
故答案为：ABD.
【分析】由函数求导判断函数的单调性的方法，则得出函数的单调区间，再结合零点存在性定理判断出选项A；由选项A判断出函数的单调性，从而得出函数的极小值，则判断出选项B；令，再结合奇函数的定义判断出函数为奇函数，再由奇函数的图象的对称性和图象变换，从而得出函数的对称中心，则判断出选项C；利用选项A得出导函数，再结合导数的几何意义得出切线的斜率，再根据点斜式得出切线方程，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．（2024高二下·昭通期中）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若， .
【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为角与角关于轴对称，
所以，，
所以，
所以．
故答案为：.
【分析】根据图形的对称关系可得的关系，再结合诱导公式和二倍角的余弦公式，从而得出的值.
13．（2024高二下·昭通期中）如图，中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要将共名航天员全部安排开展实验，其中天和核心舱要安排人，问天实验舱与梦天实验舱都各要安排人，且不在问天实验舱，则不同的安排方案共有 种.（用数字作答）
【答案】
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：因为不在问天实验舱，且问天实验舱只安排人，
所以从另外人中任选一人安排在问天实验舱，有种方法，
从剩余的人中任选人安排在天和核心舱，剩余的人安排在梦天实验舱，共种方法，
由分步乘法计数原理可得，共有种方法.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和组合数公式以及分步乘法计数原理，从而得出不同的安排方案共有的种数.
14．（2024高二下·昭通期中）如图，在水平放置的底面直径与高相等的圆柱内，放入三个半径相等的实心小球（小球材质密度），向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球，若圆柱底面半径为，则球的体积为 ；圆柱的侧面积与球的表面积的比值为 .
【答案】；
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：根据题意，作出圆柱的轴截面图，连接，过作，垂足为，
如图所示，设小球半径为，圆柱的底面圆半径为，
根据题意可得：，，
在三角形中，由勾股定理可得，
即，整理得，
因为，则，
又因为，则，
故球的体积为；
因为圆柱的侧面积，球的表面积，
则
.
故答案为：，.
【分析】根据题意作出圆柱的轴截面图，连接，过作，垂足为，设小球半径为，圆柱的底面圆半径为，由勾股定理列方程求出的值，再利用球的体积公式、球的表面积公式和圆柱的侧面积公式，从而求出球的体积和圆柱的侧面积与球的表面积的比值.
15．（2024高二下·昭通期中）在中，内角的对边分别是，已知.
（1）求角；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）解：因为，
由余弦定理可得：，
所以，整理可得：，
由余弦定理可得：，
所以，
又因为，可得.
（2）解：由余弦定理可得，
又因为，即，
即，解得或，
所以，
或，
所以的面积为或.
【知识点】余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由已知条件和余弦定理以及三角形中角B的取值范围，从而得出角B的值.
（2）由已知条件和余弦定理得出c的值，再结合三角形的面积公式得出的面积．
（1）解：因为，
由余弦定理可得：，
所以，
整理可得：，
由余弦定理可得：，
所以，
而，可得.
（2）由余弦定理可得，
而，即，
即，解得或，
所以，
或.
所以的面积为或.
16．（2024高二下·昭通期中）某中学高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：.其中，且.该50名学生的期中考试物理成绩统计如下表：
分组
频数 6 9 20 10 5
（1）根据频率分布直方图，求的值，并估计数学成绩的平均分（同一组数据用该区间的中点值代表）；
（2）若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”的同学总数为6人，从数学成绩为“优”的同学中随机抽取2人，求两人恰好均为物理成绩为“优”的概率.
【答案】（1）解：依题意，，
，
解得，
所以数学成绩的平均分：
（2）解：因为数学成绩为“优”的同学有人，物理成绩为“优”有5人，
因为至少有一个“优”的同学总数为6名同学，
则两科均为“优”的人数为3人.
设两科均为“优”的同学为，物理成绩不是“优”的同学为，
则从4人中随机抽取2人的所有情况有：，
符合题意的情况有：，
故两人恰好均为物理成绩“优”的概率.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件和频率分布直方图以及概率之和等于1，从而计算出的值，再利用频率分布直方图估计出数学成绩的平均数.
（2）先计算得到两科均为“优”的人数为3人，设两科均为“优”的同学为，物理成绩不是“优”的同学为，从而列出所有情况，再统计满足条件的情况，则根据古典概率公式得出两人恰好均为物理成绩为“优”的概率.
（1）依题意，，
，
解得，
所以数学成绩的平均分：
；
（2）数学成绩为“优”的同学有人，物理成绩为“优”有5人，
因为至少有一个“优”的同学总数为6名同学，则两科均为“优”的人数为3人.
设两科均为“优”的同学为，物理成绩不是“优”的同学为，
则从4人中随机抽取2人的所有情况有：，
符合题意的情况有：，
故两人恰好均为物理成绩“优”的概率.
17．（2024高二下·昭通期中）已知各项均为正数的数列满足，且.
（1）写出，并求的通项公式；
（2）记求.
【答案】（1）解：因为，
所以，当时，，即，所以，
当时，所以；
当时，
，
所以，
当时，也符合上式，
综上所述，.
（2）解：由（1）得，
设，
则①，
②，
①-②得
，
所以，
故.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）利用递推关系得出的值，再结合题意结合“累加法”求出数列的通项公式.
（2）利用（1）中数列的通项公式得出数列的通项公式，再利用错位相减法得出的值.
（1）因为，
所以，当时，，即，
所以，
当时，所以，
当时，
，
所以，
当时，也符合上式.
综上，.
（2）由（1）得，
设，
则①，
②，
①-②得
，
所以，
故.
18．（2024高二下·昭通期中）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在上单调递增，求的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，则，
又因为，所以，
所以在处的切线方程为，
即.
（2）解：因为在上单调递增，
所以在区间上恒成立，
所以，
令，则，
令，则，
当时，单调递增，，
所以，所以单调递增，
所以，所以，
所以的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据a的值得出函数的解析式，再求导得出，则由导数的几何意义得出切线的斜率，再利用代入法得出切点坐标，则根据点斜式得出曲线在点处的切线方程.
（2）根据题意可得在区间上恒成立，再分离参数，从而转化为函数最值问题，进而得出实数的取值范围.
（1）当时，，则，
又，所以，
所以在处的切线方程为，
即.
（2）因为在上单调递增，
所以在区间上恒成立，
所以，
令，则，
令，则，
当时，单调递增，，
所以，所以单调递增，所以，所以，
所以的取值范围为.
19．（2024高二下·昭通期中）已知双曲线的一条渐近线为，其实轴长为为双曲线上任意一点.
（1）求双曲线的方程；
（2）求证：到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值；
（3）若双曲线的左顶点为，右焦点为，求的最小值.
【答案】（1）解：由题意可得，
解得，
因此，双曲线的方程为.
（2）证明：设，则，渐近线为，
所以到两条渐近线的距离之积为：
.
（3）解：由已知条件得，如图，
设或，
又因为在双曲线上，所以，
因此
或，
其对称轴为，
由于或，所以当时，取得最小值为.
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由双曲线的渐近线方程、实轴长定义建立关于a，b的方程组，再解方程组得出a，b的值，从而得出双曲线的方程.
（2）设，利用双曲线中a，b的值求出渐近线方程，再利用点到直线的距离公式证出点到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值.
（3）设，利用代入法和数量积的坐标表示出为二次函数，再根据的取值范围和二次函数的对称性以及开口方向得出的最小值.
（1）由题意可得，
解得，
因此，双曲线的方程为；
（2）设，则，渐近线为，
到两条渐近线的距离之积
；
（3）由已知，得，如图，
设或，
又在双曲线上，所以，
因此
或，
其对称轴为，
由于或，
所以当时，取得最小值为.
1 / 1云南省昭通市昭通一中教研联盟2023-2024学年高二下学期期中质量检测数学试题(B卷)
1．（2024高二下·昭通期中）设集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高二下·昭通期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024高二下·昭通期中）已知平面向量.若，则（ ）
A．或1 B． C．1 D．2
4．（2024高二下·昭通期中）“五一”假期将至，腾冲又将迎来今年的新一轮旅游热潮．腾冲某旅行社适时推出了“火山热海”、“和顺古镇”、“叠水河畔”、“湿地荷韵”和“佤寨风光”共五条旅游线路可供旅客选择，其中“火山热海”线路只剩下一个名额，其余线路名额充足．现甲、乙、丙、丁四人前去报名，每人只选择其中一条线路，四人选完后，恰好选择了三条不同的线路．则他们报名的情况总共有（ ）
A．720种 B．360种 C．320种 D．288种
5．（2024高二下·昭通期中）大西洋鲑鱼每年都要逆游而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为300，则一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为（ ）
A．900 B．1200 C．2700 D．8100
6．（2024高二下·昭通期中）在空间中，“经过点，法向量为的平面的方程（即平面上任意一点的坐标满足的关系式）为：".用此方法求得平面和平面的方程，化简后的结果为分别和，则这两平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·昭通期中）已知圆为直线上的一个动点，过点作圆的切线，切点分别为，若直线关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·昭通期中） 已知定义在上的函数满足：，且．若，则（ ）
A．506 B．1012 C．2024 D．4048
9．（2024高二下·昭通期中）设方程在复数范围内的两根分别为，则下列关于的说法正确的有（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高二下·昭通期中）已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．的最小正周期为 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．在区间上单调递减
11．（2024高二下·昭通期中）已知函数，则（ ）
A．有一个零点 B．的极小值为
C．的对称中心为 D．直线是曲线的切线
12．（2024高二下·昭通期中）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若， .
13．（2024高二下·昭通期中）如图，中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要将共名航天员全部安排开展实验，其中天和核心舱要安排人，问天实验舱与梦天实验舱都各要安排人，且不在问天实验舱，则不同的安排方案共有 种.（用数字作答）
14．（2024高二下·昭通期中）如图，在水平放置的底面直径与高相等的圆柱内，放入三个半径相等的实心小球（小球材质密度），向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球，若圆柱底面半径为，则球的体积为 ；圆柱的侧面积与球的表面积的比值为 .
15．（2024高二下·昭通期中）在中，内角的对边分别是，已知.
（1）求角；
（2）若，求的面积.
16．（2024高二下·昭通期中）某中学高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：.其中，且.该50名学生的期中考试物理成绩统计如下表：
分组
频数 6 9 20 10 5
（1）根据频率分布直方图，求的值，并估计数学成绩的平均分（同一组数据用该区间的中点值代表）；
（2）若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”的同学总数为6人，从数学成绩为“优”的同学中随机抽取2人，求两人恰好均为物理成绩为“优”的概率.
17．（2024高二下·昭通期中）已知各项均为正数的数列满足，且.
（1）写出，并求的通项公式；
（2）记求.
18．（2024高二下·昭通期中）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在上单调递增，求的取值范围.
19．（2024高二下·昭通期中）已知双曲线的一条渐近线为，其实轴长为为双曲线上任意一点.
（1）求双曲线的方程；
（2）求证：到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值；
（3）若双曲线的左顶点为，右焦点为，求的最小值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由，
则.
故答案为：D.
【分析】利用对数函数的单调性和对数函数的定义域，从而求交集得出集合，再由交集的运算法则得出集合.
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由，得或，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次不等式求解方法和充分条件、必要条件的判断方法，从而得出正确的选项.
3．【答案】C
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：，
，
，
由，解得.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出t的值.
4．【答案】D
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：在四人中，没有人选择“火山热海”线路，，
则方法数有种；
在四人中，恰有人选择“火山热海”线路，
则方法数有种，
所以他们报名的情况总共有种.
故答案为：D.
【分析】根据四人是否有人选择“火山热海”线路进行分类讨论，再结合排列数公式、组合数公式以及分类加法计数原理，从而得出四人报名的情况共有的种数.
5．【答案】C
【知识点】“对数增长”模型
【解析】【解答】解：由题意可得，解得，所以.
令，解得，所以游速为时耗氧量的单位数为2700.
故答案为：C.
【分析】先根据已知条件求出的值，再代入求出的值，从而得出一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数.
6．【答案】B
【知识点】用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：因为平面的法向量为，平面的法向量为，
则，所以两平面所成角的余弦值为.
故答案为：B.
【分析】由题中的定义得出两直线的法向量，再结合数量积求向量夹角公式求出这两平面所成角的余弦值.
7．【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】如图，
根据题意，可得圆的圆心为，半径.
若圆的切线关于直线对称，则，
又因为直线的斜率，可知直线的方程为，
由，解得，所以，
又因为，由对称性可知，
故.
故答案为：B.
【分析】利用圆的切线关于直线对称，则，再结合直线的斜率可知直线的方程，将两直线联立得出交点P的坐标，得出OP的长，再由正弦函数的定义和图形的对称性以及二倍角的余弦公式，从而得出的值.
8．【答案】C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：因为函数 满足①，所以用代替可得，
即，所以，即函数的图象关于对称，
令，则，所以，
令，，又，所以，
又因为，所以②，
即函数的图象关于直线对称，，
且由①和②，得，
所以，则函数的一个周期为4，则，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件推出函数是以4为周期的周期函数，再根据已知条件求得，利用周期性求值即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；复数代数形式的混合运算；方程在复数范围内的解集
【解析】【解答】解：对于A，由实系数一元二次方程求根公式知，
则（与顺序无关），故A正确；
对于B，因为，所以，故B正确；
对于C，由选项A可知，，故C错误；
对于D，由韦达定理可得，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】利用一元二次方程求解的方法可得，再结合韦达定理和复数的运算法则，从而逐项判断找出说法正确的选项.
10．【答案】C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：对于A，因为，
故函数的周期，故A错误；
对于B，因为，即函数关于点对称，故B错误；
对于C，当时，则取得最值，即函数关于直线对称，故C正确；
对于D，令，，则，
当时，可得函数的一个单调递减区间为，又因为，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】由辅助角公式化简求出函数的解析式，再结合正弦型函数的最小正周期公式判断出选项A；利用换元法和正弦函数的对称性，则得出正弦型函数的对称性，从而判断出选项B和选项C；利用换元法和正弦函数的单调性，从而判断出正弦型函数的单调性，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项．
11．【答案】A,B,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：对于A，由，得，
令，得；令，得或，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
且，
所以，当时，；当时，存在唯一零点，
故函数在上只有一个零点，故A正确；
对于B，由选项A可知，函数的极小值为，故B正确；
对于C，令，定义域为，
则，
所以函数为奇函数，对称中心为，
将函数图象向下平移1个长度单位，得函数的图象，
所以的对称中心为，故C错误；
对于D，由选项A知，，
令，又因为，
所以切线方程为，即，
所以直线是曲线在点处的切线，故D正确，
故答案为：ABD.
【分析】由函数求导判断函数的单调性的方法，则得出函数的单调区间，再结合零点存在性定理判断出选项A；由选项A判断出函数的单调性，从而得出函数的极小值，则判断出选项B；令，再结合奇函数的定义判断出函数为奇函数，再由奇函数的图象的对称性和图象变换，从而得出函数的对称中心，则判断出选项C；利用选项A得出导函数，再结合导数的几何意义得出切线的斜率，再根据点斜式得出切线方程，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为角与角关于轴对称，
所以，，
所以，
所以．
故答案为：.
【分析】根据图形的对称关系可得的关系，再结合诱导公式和二倍角的余弦公式，从而得出的值.
13．【答案】
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：因为不在问天实验舱，且问天实验舱只安排人，
所以从另外人中任选一人安排在问天实验舱，有种方法，
从剩余的人中任选人安排在天和核心舱，剩余的人安排在梦天实验舱，共种方法，
由分步乘法计数原理可得，共有种方法.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和组合数公式以及分步乘法计数原理，从而得出不同的安排方案共有的种数.
14．【答案】；
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：根据题意，作出圆柱的轴截面图，连接，过作，垂足为，
如图所示，设小球半径为，圆柱的底面圆半径为，
根据题意可得：，，
在三角形中，由勾股定理可得，
即，整理得，
因为，则，
又因为，则，
故球的体积为；
因为圆柱的侧面积，球的表面积，
则
.
故答案为：，.
【分析】根据题意作出圆柱的轴截面图，连接，过作，垂足为，设小球半径为，圆柱的底面圆半径为，由勾股定理列方程求出的值，再利用球的体积公式、球的表面积公式和圆柱的侧面积公式，从而求出球的体积和圆柱的侧面积与球的表面积的比值.
15．【答案】（1）解：因为，
由余弦定理可得：，
所以，整理可得：，
由余弦定理可得：，
所以，
又因为，可得.
（2）解：由余弦定理可得，
又因为，即，
即，解得或，
所以，
或，
所以的面积为或.
【知识点】余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由已知条件和余弦定理以及三角形中角B的取值范围，从而得出角B的值.
（2）由已知条件和余弦定理得出c的值，再结合三角形的面积公式得出的面积．
（1）解：因为，
由余弦定理可得：，
所以，
整理可得：，
由余弦定理可得：，
所以，
而，可得.
（2）由余弦定理可得，
而，即，
即，解得或，
所以，
或.
所以的面积为或.
16．【答案】（1）解：依题意，，
，
解得，
所以数学成绩的平均分：
（2）解：因为数学成绩为“优”的同学有人，物理成绩为“优”有5人，
因为至少有一个“优”的同学总数为6名同学，
则两科均为“优”的人数为3人.
设两科均为“优”的同学为，物理成绩不是“优”的同学为，
则从4人中随机抽取2人的所有情况有：，
符合题意的情况有：，
故两人恰好均为物理成绩“优”的概率.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件和频率分布直方图以及概率之和等于1，从而计算出的值，再利用频率分布直方图估计出数学成绩的平均数.
（2）先计算得到两科均为“优”的人数为3人，设两科均为“优”的同学为，物理成绩不是“优”的同学为，从而列出所有情况，再统计满足条件的情况，则根据古典概率公式得出两人恰好均为物理成绩为“优”的概率.
（1）依题意，，
，
解得，
所以数学成绩的平均分：
；
（2）数学成绩为“优”的同学有人，物理成绩为“优”有5人，
因为至少有一个“优”的同学总数为6名同学，则两科均为“优”的人数为3人.
设两科均为“优”的同学为，物理成绩不是“优”的同学为，
则从4人中随机抽取2人的所有情况有：，
符合题意的情况有：，
故两人恰好均为物理成绩“优”的概率.
17．【答案】（1）解：因为，
所以，当时，，即，所以，
当时，所以；
当时，
，
所以，
当时，也符合上式，
综上所述，.
（2）解：由（1）得，
设，
则①，
②，
①-②得
，
所以，
故.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）利用递推关系得出的值，再结合题意结合“累加法”求出数列的通项公式.
（2）利用（1）中数列的通项公式得出数列的通项公式，再利用错位相减法得出的值.
（1）因为，
所以，当时，，即，
所以，
当时，所以，
当时，
，
所以，
当时，也符合上式.
综上，.
（2）由（1）得，
设，
则①，
②，
①-②得
，
所以，
故.
18．【答案】（1）解：当时，，则，
又因为，所以，
所以在处的切线方程为，
即.
（2）解：因为在上单调递增，
所以在区间上恒成立，
所以，
令，则，
令，则，
当时，单调递增，，
所以，所以单调递增，
所以，所以，
所以的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据a的值得出函数的解析式，再求导得出，则由导数的几何意义得出切线的斜率，再利用代入法得出切点坐标，则根据点斜式得出曲线在点处的切线方程.
（2）根据题意可得在区间上恒成立，再分离参数，从而转化为函数最值问题，进而得出实数的取值范围.
（1）当时，，则，
又，所以，
所以在处的切线方程为，
即.
（2）因为在上单调递增，
所以在区间上恒成立，
所以，
令，则，
令，则，
当时，单调递增，，
所以，所以单调递增，所以，所以，
所以的取值范围为.
19．【答案】（1）解：由题意可得，
解得，
因此，双曲线的方程为.
（2）证明：设，则，渐近线为，
所以到两条渐近线的距离之积为：
.
（3）解：由已知条件得，如图，
设或，
又因为在双曲线上，所以，
因此
或，
其对称轴为，
由于或，所以当时，取得最小值为.
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由双曲线的渐近线方程、实轴长定义建立关于a，b的方程组，再解方程组得出a，b的值，从而得出双曲线的方程.
（2）设，利用双曲线中a，b的值求出渐近线方程，再利用点到直线的距离公式证出点到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值.
（3）设，利用代入法和数量积的坐标表示出为二次函数，再根据的取值范围和二次函数的对称性以及开口方向得出的最小值.
（1）由题意可得，
解得，
因此，双曲线的方程为；
（2）设，则，渐近线为，
到两条渐近线的距离之积
；
（3）由已知，得，如图，
设或，
又在双曲线上，所以，
因此
或，
其对称轴为，
由于或，
所以当时，取得最小值为.
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