浙江省杭师大附2023-2024学年高二下学期期中数学试题
1．（2024高二下·西湖期中）等差数列满足，则（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
2．（2024高二下·西湖期中）直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·西湖期中）抛物线的焦点是
A． B． C． D．
4．（2024高二下·西湖期中）抛掷一枚骰子，当出现6点时，就说试验成功，则在30次试验中成功的次数X的均值为（ ）
A．8 B．10 C．5 D．6
5．（2024高二下·西湖期中）在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A．10 B．5 C． D．
6．（2024高二下·西湖期中）正方体的棱长为1，则（ ）
A．1 B．0 C． D．2
7．（2024高二下·西湖期中）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧DE，AC所在圆的半径分别是3和6，且，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·西湖期中）已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·西湖期中）有两组样本数据：；.其中，则这两组样本数据的（ ）
A．样本平均数相同 B．样本中位数相同
C．样本方差相同 D．样本极差相同
10．（2024高二下·西湖期中）已知方程在上有两个不同的实根，则实数a的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高二下·西湖期中）已知抛物线是该抛物线上两点，为坐标原点，为焦点，则下列结论正确的是（ ）
A．若直线过点，则
B．若，则线段的中点到准线的距离为1
C．若，则的最小值为
D．若，则
12．（2024高二下·西湖期中）已知圆，则圆心坐标为 .
13．（2024高二下·西湖期中）如果一个三位正整数如“”满足，且，则称这样的三位数为“好数”（如201，325等），那么由数字1，2，3，4，5能组成 个无重复数字的“好数”.
14．（2024高二下·西湖期中）如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为 ．
15．（2024高二下·西湖期中）已知函数.
（1）求的单调增区间；
（2）求在点处的切线方程.
16．（2024高二下·西湖期中）如图，正方体.
（1）求证：面；
（2）若E为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的大小.
17．（2024高二下·西湖期中）“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚.近几年，国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景.某公司对A充电桩进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表，并计算得.
A充电桩投资金额/百万元 3 4 6 7 9 10
所获利润/百万元 1.5 2 3 4.5 6 7
（1）已知可用线性回归模型拟合与的关系，求其线性回归方程；
（2）若规定所获利润y与投资金额x的比值不低于，则称对应的投入额为“优秀投资额”，记2分，所获利润与投资金额的比值低于且大于，则称对应的投入额为“良好投资额”，记1分，所获利润与投资金额的比值不超过，则称对应的投入额为“不合格投资额”，记0分，现从表中6个投资金额中任意选2个，用X表示记分之和，求X的分布列及数学期望.
附：对于一组数据其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，.
18．（2024高二下·西湖期中）已知各项均为正数的数列满足，且成等差数列，成等比数列.
（1）求的值；
（2）证明：数列为等差数列；
（3）记，求数列的前n项和为.
19．（2024高二下·西湖期中）已知动圆P过点，并且与圆外切，设动圆的圆心P的轨迹为C.
（1）直线与圆相切于点Q，求的值；
（2）求曲线C的方程；
（3）过点的直线与曲线C交于E，F两点，设直线，点，直线交于点M，证明直线经过定点，并求出该定点的坐标.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
由，可得，故公差，
故.
故答案为：A.
【分析】根据等差数列的通项公式得出公差的值，再结合等差数列的通项公式得出的值.
2．【答案】B
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：根据题意，设直线 的倾斜角为θ，
因直线的方程为 ，故其斜率 ，则有 ，
又由 ，则 ，
故答案为：B.
【分析】由已知条件即可得出直线的斜率，结合斜率公式计算出倾斜角的大小即可。
3．【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】因为焦点在轴上，又因为，故焦点坐标为.
故答案为：D.
【分析】先根据抛物线的标准方程判断出焦点的位置，再根据抛物线的标准方程得出的值，从而得出焦点坐标.
4．【答案】C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：因为一枚骰子，出现6点的概率为，
则在30次试验中成功的次数X服从，
故均值为.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和二项分布的期望公式，即可得出在30次试验中成功的次数X的均值.
5．【答案】C
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为的通项公式，
令，得的项的系数是.
故答案为：C.
【分析】由二项式定理求出展开式的通项，再结合赋值法得出在的展开式中，含的项的系数.
6．【答案】A
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】根据空间向量数量积的运算律结合两向量垂直数量积为0的等价关系，从而得出的值.
7．【答案】D
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆台上下底面的半径分别为，
由题意可知，解得，
又因为，解得：，
作出圆台的轴截面，如图所示：
由图可知，，
过点向作垂线，垂足为，则，
所以圆台的高，
则上底面面积，，
由圆台的体积计算公式可得：.
故答案为：.
【分析】根据题意求出圆台上、下底面半径为，圆台的高为，再代入圆台的体积公式计算出该圆台的体积.
8．【答案】B
【知识点】向量的模；余弦定理
【解析】【解答】根据题意，易得，不妨设为椭圆左焦点，如下图所示
设，则，
在中，根据余弦定理得，整理得，
∴
又∵
∴
将代入 ，
∴，
∴.
故选：B.
【分析】根据椭圆定义设，则，由余弦定理得出关于x的等量关系，结合面积的两种表达方式，利用整体的等量关系可直接将计算后代入椭圆方程即可算出 的值.
9．【答案】C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：根据题意，对于数据，，，，假设，
设其平均数为、中位数为、方差为、极差为，
则，，，
，
又由，2，，，
设其平均数为、中位数为、方差为、极差为，
则数据，，，的平均数为：
，
中位数为，
，
方差为
故这两组样本数据的方差相同、极差也相同，平均数和中位数不同．
故答案为：CD．
【分析】根据题意结合平均数公式、方差公式、中位数公式和极差公式求出两组数据的平均数、方差、中位数和极差，从而逐项判断找出正确的选项．
10．【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由，得，，
令，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，当时，函数取得最小值，，，
当 与有2个交点时，，
满足题意的为选项B和选项D，不满足题意的为选项A和选项C.
故答案为：BD.
【分析】先将方程转化为，，再转化为函数与的交点问题，则利用导数判断函数的单调性，从而作出函数的图象，利用数形结合得出实数a可能的取值.
11．【答案】B,C,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设直线的方程为，
联立得，
A错误；
，则，
线段的中点到准线的距离为B正确.
过焦点，即，
由选项A可得，
当且仅当，且，即时等号成立，C正确.
，，
相乘得，联立上式解得，
设直线的方程为，联立
则，得，
直线过定点，
则，当且仅当时等号成立，正确.
故答案为：BCD.
【分析】设，将直线与抛物线联立结合韦达定理，即可判断选项A；利用抛物线定义和梯形中位线性质，即可判断选项B；利用抛物线定义和基本不等式求最值的方法，即可判断出选项C；设直线的方程为，联立直线与抛物线方程得到一元二次方程，再根据韦达定理中两根之积求出的值，从而求出直线所过定点坐标，再结合三角形面积公式和基本不等式求最值的方法，即可判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．【答案】
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：因为圆是标准方程，则圆心坐标为.
故答案为：.
【分析】利用圆的标准方程得出圆心坐标.
13．【答案】20
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】解：当首位为2，中间位置为1有3个好数；
当首位为3，中间位置为1有3个好数；中间位置为2有2个好数；
当首位为4，中间位置为1有3个好数；中间位置为2有2个好数；中间位置为3有1个好数；
当首位为5，中间位置为1有3个好数；中间位置为2有2个好数；中间位置为3有1个好数，
综上所述，共有20个无重复数字的好数.
故答案为：20.
【分析】先讨论首位分别为1、2、3、4、5，再依次安排中间位置上的数字，并求出对应好数的个数，最后求和得出由数字1，2，3，4，5能组成无重复数字的“好数”的个数.
14．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：连接，如图，
因为平面ABC，平面ABC，则，
又因为，，平面PAB，则平面PAB，
又因为平面PAB，则，
因为M是AC的中点，则，
又因为，
，
当且仅当取“=”，
所以的最小值为.
故答案为：.
【分析】根据已知条件证出直线平面PAB，将用表示，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和空间向量数量积的运算律以及基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
15．【答案】（1）解：因为，
令，得，
由，得，
所以函数的单调增区间是.
（2）解：因为，
所以函数在处的切线方程为，
即.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用导数判断函数的单调性，从而求出函数的单调递增区间.
（2）利用导数的几何意义求出切线的斜率，再结合代入法得出切线方程.
（1），令，得，
由，得，
所以函数的单调增区间是；
（2），
所以函数在处的切线方程为，
即.
16．【答案】（1）证明：因为正方体，
所以四边形是正方形，所以，
又因为平面，平面，所以，
又因为，是平面内的两条相交直线，
所以面.
（2）解：如图，以A为原点，
以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
设正方体的边长为a，又因为E为线段的中点，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，
令，则，所以，
设平面的法向量为，
，
令，，所以，
设平面与平面所成锐二面角的大小为，
所以，
又因为，所以.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用正方体的结构特征和线面垂直的定义，从而得出线线垂直，再由线线垂直证出线面垂直，即证出面.
（2）利用已知条件建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，分别求出平面与平面的法向量，再利用公式得出平面与平面所成锐二面角的大小.
（1）因为正方体，
所以四边形是正方形，所以，
又平面，平面，所以，
又，是平面内的两条相交直线，
所以面
（2）如图，以A为原点，以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
设正方体的边长为a，又E为线段的中点，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，则，所以，
设平面的法向量为，
，令，，所以，
设平面与平面所成锐二面角的大小为.
所以，又，所以
17．【答案】（1）解：根据获得的利润统计数据表，
可得，，
所以，
，
所以y关于x的线性回归方程为.
（2）解：由题可知，“优秀投资额”有2个，“良好投资额”有1个，
“不合格投资额”有3个，
则随机变量X的可能取值为4，3，2，1，0，
，
，
，
，
，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
数学期望.
【知识点】线性回归方程；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据最小二乘法求出线性回归直线方程.
（2）先确定“优秀投资额”，“良好投资额”，“不合格投资额”的数量，从而确定随机变量X的可能取值，再利用组合数公式和古典概率公式得出随机变量X的分布列，从而得出随机变量X的数学期望.
（1）根据获得的利润统计数据表，
可得，，
所以，
，
所以y关于x的线性回归方程为；
（2）由题可知，“优秀投资额”有2个，“良好投资额”有1个，“不合格投资额”有3个.
X的可能取值为4，3，2，1，0，
，
，
，
，
，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
数学期望.
18．【答案】（1）解：因为成等差数列，所以，
当时，，即，所以，
因为成等比数列，所以，
当时，，即，所以.
（2）证明：由已知条件可得，且，
又因为，故，
代入中，得出当时，
则，即，
所以数列为等差数列.
（3）解：由（1）（2）知数列为等差数列且，
所以数列是首项为2，公差1为的等差数列，
得，即，
故，即，
所以，当时，，且也符合上式，
故，则，
数列的前n项和为：.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；等比中项；等差中项
【解析】【分析】（1）根据已知条件可得和，再将代入求得的值.
（2）根据等差中项和等比中项的性质化简后，再由等差中项证出数列为等差数列.
（3）由数列为等差数列结合等差数列的通项公式求出，再代入已知条件可求出，则利用裂项相消法得出数列的前n项和为.
（1）因为成等差数列，所以，
当时，，即，所以，
因为成等比数列，所以，
当时，，即，所以
（2）由条件可得，且，又，
故，代入中，得时，
有，即，
所以数列为等差数列
（3）由（1）（2）知数列为等差数列且，
所以数列是首项为2，公差1为的等差数列，
得，即，
故，即，
所以时，，且也符合上式，故，
则，
数列的前n项和为，
19．【答案】（1）解：由直线与圆的位置关系可知，，
所以点.
（2）解：由题意可知，设动圆半径为，，，，
即，
所以点是以为焦点的双曲线的右支，，，则，
所以曲线的方程为，.
（3）证明：当直线的斜率不存在时，，，
直线，当，得，即，
直线，此时直线过点，
当直线的斜率存在时，
设直线，，，
直线，
当时，，则，
联立，得，
则，，，
下面证明直线经过点，即证，，
把，代入整理得，
即，
所以直线经过点，
综上可知，直线经过定点，定点坐标为.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用直线与圆相切的位置关系判断结合勾股定理得出的值.
（2）由圆与圆的位置关系，从而构造双曲线的定义，再利用已知条件得出a，b的值，从而得出曲线C的方程.
（3）分直线的斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，再联立直线与双曲线方程，则利用韦达定理和两点求斜率公式表示出，从而证出直线经过定点，并求出定点坐标.
（1）由直线与圆的位置关系可知，，
所以点；
（2）由题意可知，设动圆半径为，，，，
即，
所以点是以为焦点的双曲线的右支，，，则，
所以曲线的方程为，；
（3）当直线的斜率不存在时，，，
直线，当，得，即，直线，
此时直线过点，
当直线的斜率存在时，设直线，，，
直线，当时，，
，
联立，得，
，，，
下面证明直线经过点，即证，，
把，代入整理得，
即，
所以直线经过点，
综上可知，直线经过定点，定点坐标为.
1 / 1浙江省杭师大附2023-2024学年高二下学期期中数学试题
1．（2024高二下·西湖期中）等差数列满足，则（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
由，可得，故公差，
故.
故答案为：A.
【分析】根据等差数列的通项公式得出公差的值，再结合等差数列的通项公式得出的值.
2．（2024高二下·西湖期中）直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：根据题意，设直线 的倾斜角为θ，
因直线的方程为 ，故其斜率 ，则有 ，
又由 ，则 ，
故答案为：B.
【分析】由已知条件即可得出直线的斜率，结合斜率公式计算出倾斜角的大小即可。
3．（2024高二下·西湖期中）抛物线的焦点是
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】因为焦点在轴上，又因为，故焦点坐标为.
故答案为：D.
【分析】先根据抛物线的标准方程判断出焦点的位置，再根据抛物线的标准方程得出的值，从而得出焦点坐标.
4．（2024高二下·西湖期中）抛掷一枚骰子，当出现6点时，就说试验成功，则在30次试验中成功的次数X的均值为（ ）
A．8 B．10 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：因为一枚骰子，出现6点的概率为，
则在30次试验中成功的次数X服从，
故均值为.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和二项分布的期望公式，即可得出在30次试验中成功的次数X的均值.
5．（2024高二下·西湖期中）在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A．10 B．5 C． D．
【答案】C
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为的通项公式，
令，得的项的系数是.
故答案为：C.
【分析】由二项式定理求出展开式的通项，再结合赋值法得出在的展开式中，含的项的系数.
6．（2024高二下·西湖期中）正方体的棱长为1，则（ ）
A．1 B．0 C． D．2
【答案】A
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】根据空间向量数量积的运算律结合两向量垂直数量积为0的等价关系，从而得出的值.
7．（2024高二下·西湖期中）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧DE，AC所在圆的半径分别是3和6，且，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆台上下底面的半径分别为，
由题意可知，解得，
又因为，解得：，
作出圆台的轴截面，如图所示：
由图可知，，
过点向作垂线，垂足为，则，
所以圆台的高，
则上底面面积，，
由圆台的体积计算公式可得：.
故答案为：.
【分析】根据题意求出圆台上、下底面半径为，圆台的高为，再代入圆台的体积公式计算出该圆台的体积.
8．（2024高二下·西湖期中）已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】向量的模；余弦定理
【解析】【解答】根据题意，易得，不妨设为椭圆左焦点，如下图所示
设，则，
在中，根据余弦定理得，整理得，
∴
又∵
∴
将代入 ，
∴，
∴.
故选：B.
【分析】根据椭圆定义设，则，由余弦定理得出关于x的等量关系，结合面积的两种表达方式，利用整体的等量关系可直接将计算后代入椭圆方程即可算出 的值.
9．（2024高二下·西湖期中）有两组样本数据：；.其中，则这两组样本数据的（ ）
A．样本平均数相同 B．样本中位数相同
C．样本方差相同 D．样本极差相同
【答案】C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：根据题意，对于数据，，，，假设，
设其平均数为、中位数为、方差为、极差为，
则，，，
，
又由，2，，，
设其平均数为、中位数为、方差为、极差为，
则数据，，，的平均数为：
，
中位数为，
，
方差为
故这两组样本数据的方差相同、极差也相同，平均数和中位数不同．
故答案为：CD．
【分析】根据题意结合平均数公式、方差公式、中位数公式和极差公式求出两组数据的平均数、方差、中位数和极差，从而逐项判断找出正确的选项．
10．（2024高二下·西湖期中）已知方程在上有两个不同的实根，则实数a的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由，得，，
令，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，当时，函数取得最小值，，，
当 与有2个交点时，，
满足题意的为选项B和选项D，不满足题意的为选项A和选项C.
故答案为：BD.
【分析】先将方程转化为，，再转化为函数与的交点问题，则利用导数判断函数的单调性，从而作出函数的图象，利用数形结合得出实数a可能的取值.
11．（2024高二下·西湖期中）已知抛物线是该抛物线上两点，为坐标原点，为焦点，则下列结论正确的是（ ）
A．若直线过点，则
B．若，则线段的中点到准线的距离为1
C．若，则的最小值为
D．若，则
【答案】B,C,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设直线的方程为，
联立得，
A错误；
，则，
线段的中点到准线的距离为B正确.
过焦点，即，
由选项A可得，
当且仅当，且，即时等号成立，C正确.
，，
相乘得，联立上式解得，
设直线的方程为，联立
则，得，
直线过定点，
则，当且仅当时等号成立，正确.
故答案为：BCD.
【分析】设，将直线与抛物线联立结合韦达定理，即可判断选项A；利用抛物线定义和梯形中位线性质，即可判断选项B；利用抛物线定义和基本不等式求最值的方法，即可判断出选项C；设直线的方程为，联立直线与抛物线方程得到一元二次方程，再根据韦达定理中两根之积求出的值，从而求出直线所过定点坐标，再结合三角形面积公式和基本不等式求最值的方法，即可判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．（2024高二下·西湖期中）已知圆，则圆心坐标为 .
【答案】
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：因为圆是标准方程，则圆心坐标为.
故答案为：.
【分析】利用圆的标准方程得出圆心坐标.
13．（2024高二下·西湖期中）如果一个三位正整数如“”满足，且，则称这样的三位数为“好数”（如201，325等），那么由数字1，2，3，4，5能组成 个无重复数字的“好数”.
【答案】20
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】解：当首位为2，中间位置为1有3个好数；
当首位为3，中间位置为1有3个好数；中间位置为2有2个好数；
当首位为4，中间位置为1有3个好数；中间位置为2有2个好数；中间位置为3有1个好数；
当首位为5，中间位置为1有3个好数；中间位置为2有2个好数；中间位置为3有1个好数，
综上所述，共有20个无重复数字的好数.
故答案为：20.
【分析】先讨论首位分别为1、2、3、4、5，再依次安排中间位置上的数字，并求出对应好数的个数，最后求和得出由数字1，2，3，4，5能组成无重复数字的“好数”的个数.
14．（2024高二下·西湖期中）如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：连接，如图，
因为平面ABC，平面ABC，则，
又因为，，平面PAB，则平面PAB，
又因为平面PAB，则，
因为M是AC的中点，则，
又因为，
，
当且仅当取“=”，
所以的最小值为.
故答案为：.
【分析】根据已知条件证出直线平面PAB，将用表示，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和空间向量数量积的运算律以及基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
15．（2024高二下·西湖期中）已知函数.
（1）求的单调增区间；
（2）求在点处的切线方程.
【答案】（1）解：因为，
令，得，
由，得，
所以函数的单调增区间是.
（2）解：因为，
所以函数在处的切线方程为，
即.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用导数判断函数的单调性，从而求出函数的单调递增区间.
（2）利用导数的几何意义求出切线的斜率，再结合代入法得出切线方程.
（1），令，得，
由，得，
所以函数的单调增区间是；
（2），
所以函数在处的切线方程为，
即.
16．（2024高二下·西湖期中）如图，正方体.
（1）求证：面；
（2）若E为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的大小.
【答案】（1）证明：因为正方体，
所以四边形是正方形，所以，
又因为平面，平面，所以，
又因为，是平面内的两条相交直线，
所以面.
（2）解：如图，以A为原点，
以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
设正方体的边长为a，又因为E为线段的中点，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，
令，则，所以，
设平面的法向量为，
，
令，，所以，
设平面与平面所成锐二面角的大小为，
所以，
又因为，所以.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用正方体的结构特征和线面垂直的定义，从而得出线线垂直，再由线线垂直证出线面垂直，即证出面.
（2）利用已知条件建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，分别求出平面与平面的法向量，再利用公式得出平面与平面所成锐二面角的大小.
（1）因为正方体，
所以四边形是正方形，所以，
又平面，平面，所以，
又，是平面内的两条相交直线，
所以面
（2）如图，以A为原点，以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
设正方体的边长为a，又E为线段的中点，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，则，所以，
设平面的法向量为，
，令，，所以，
设平面与平面所成锐二面角的大小为.
所以，又，所以
17．（2024高二下·西湖期中）“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚.近几年，国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景.某公司对A充电桩进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表，并计算得.
A充电桩投资金额/百万元 3 4 6 7 9 10
所获利润/百万元 1.5 2 3 4.5 6 7
（1）已知可用线性回归模型拟合与的关系，求其线性回归方程；
（2）若规定所获利润y与投资金额x的比值不低于，则称对应的投入额为“优秀投资额”，记2分，所获利润与投资金额的比值低于且大于，则称对应的投入额为“良好投资额”，记1分，所获利润与投资金额的比值不超过，则称对应的投入额为“不合格投资额”，记0分，现从表中6个投资金额中任意选2个，用X表示记分之和，求X的分布列及数学期望.
附：对于一组数据其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，.
【答案】（1）解：根据获得的利润统计数据表，
可得，，
所以，
，
所以y关于x的线性回归方程为.
（2）解：由题可知，“优秀投资额”有2个，“良好投资额”有1个，
“不合格投资额”有3个，
则随机变量X的可能取值为4，3，2，1，0，
，
，
，
，
，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
数学期望.
【知识点】线性回归方程；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据最小二乘法求出线性回归直线方程.
（2）先确定“优秀投资额”，“良好投资额”，“不合格投资额”的数量，从而确定随机变量X的可能取值，再利用组合数公式和古典概率公式得出随机变量X的分布列，从而得出随机变量X的数学期望.
（1）根据获得的利润统计数据表，
可得，，
所以，
，
所以y关于x的线性回归方程为；
（2）由题可知，“优秀投资额”有2个，“良好投资额”有1个，“不合格投资额”有3个.
X的可能取值为4，3，2，1，0，
，
，
，
，
，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
数学期望.
18．（2024高二下·西湖期中）已知各项均为正数的数列满足，且成等差数列，成等比数列.
（1）求的值；
（2）证明：数列为等差数列；
（3）记，求数列的前n项和为.
【答案】（1）解：因为成等差数列，所以，
当时，，即，所以，
因为成等比数列，所以，
当时，，即，所以.
（2）证明：由已知条件可得，且，
又因为，故，
代入中，得出当时，
则，即，
所以数列为等差数列.
（3）解：由（1）（2）知数列为等差数列且，
所以数列是首项为2，公差1为的等差数列，
得，即，
故，即，
所以，当时，，且也符合上式，
故，则，
数列的前n项和为：.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；等比中项；等差中项
【解析】【分析】（1）根据已知条件可得和，再将代入求得的值.
（2）根据等差中项和等比中项的性质化简后，再由等差中项证出数列为等差数列.
（3）由数列为等差数列结合等差数列的通项公式求出，再代入已知条件可求出，则利用裂项相消法得出数列的前n项和为.
（1）因为成等差数列，所以，
当时，，即，所以，
因为成等比数列，所以，
当时，，即，所以
（2）由条件可得，且，又，
故，代入中，得时，
有，即，
所以数列为等差数列
（3）由（1）（2）知数列为等差数列且，
所以数列是首项为2，公差1为的等差数列，
得，即，
故，即，
所以时，，且也符合上式，故，
则，
数列的前n项和为，
19．（2024高二下·西湖期中）已知动圆P过点，并且与圆外切，设动圆的圆心P的轨迹为C.
（1）直线与圆相切于点Q，求的值；
（2）求曲线C的方程；
（3）过点的直线与曲线C交于E，F两点，设直线，点，直线交于点M，证明直线经过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】（1）解：由直线与圆的位置关系可知，，
所以点.
（2）解：由题意可知，设动圆半径为，，，，
即，
所以点是以为焦点的双曲线的右支，，，则，
所以曲线的方程为，.
（3）证明：当直线的斜率不存在时，，，
直线，当，得，即，
直线，此时直线过点，
当直线的斜率存在时，
设直线，，，
直线，
当时，，则，
联立，得，
则，，，
下面证明直线经过点，即证，，
把，代入整理得，
即，
所以直线经过点，
综上可知，直线经过定点，定点坐标为.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用直线与圆相切的位置关系判断结合勾股定理得出的值.
（2）由圆与圆的位置关系，从而构造双曲线的定义，再利用已知条件得出a，b的值，从而得出曲线C的方程.
（3）分直线的斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，再联立直线与双曲线方程，则利用韦达定理和两点求斜率公式表示出，从而证出直线经过定点，并求出定点坐标.
（1）由直线与圆的位置关系可知，，
所以点；
（2）由题意可知，设动圆半径为，，，，
即，
所以点是以为焦点的双曲线的右支，，，则，
所以曲线的方程为，；
（3）当直线的斜率不存在时，，，
直线，当，得，即，直线，
此时直线过点，
当直线的斜率存在时，设直线，，，
直线，当时，，
，
联立，得，
，，，
下面证明直线经过点，即证，，
把，代入整理得，
即，
所以直线经过点，
综上可知，直线经过定点，定点坐标为.
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