广西南宁市第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
1．（2024高二下·南宁期中）在的展开式中，的系数为（ ）
A．8 B．10 C．80 D．160
2．（2024高二下·南宁期中）欧拉公式（e为自然对数的底数，为虚数单位）由瑞士数学家Euler（欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则（ ）
A．-1 B．1 C．- D．
3．（2024高二下·南宁期中）直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离
C．相交且l过圆C的圆心 D．相交且l不过圆C的圆心
4．（2024高二下·南宁期中）已知数列{an}，a1＝1，an－an－1＝n－1(n≥2)，则a6＝（ ）
A．7 B．11 C．16 D．17
5．（2024高二下·南宁期中）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期
B．函数的图象关于点中心对称
C．函数的图象关于直线对称
D．函数在区间上单调递增
6．（2024高二下·南宁期中）某一地区的患有癌症的人占0.004，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.02.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率约为（ ）
A．0.16 B．0.32 C．0.42 D．0.84
7．（2024高二下·南宁期中）下列四个图象中，有一个图象是函数的导数的图象，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·南宁期中）过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，直线交直线于点．若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·南宁期中）某单位开展“学习强国”知识答题活动，在5道试题中（有3道选择题和2道填空题），不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高二下·南宁期中）在中，，，，则( )
A． B．
C．的面积为 D．外接圆的直径是
11．（2024高二下·南宁期中）如图，正方体的棱长为2，E是棱的中点，F是侧面上的动点，且满足平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．平面截正方体所得截面面积为
B．点F的轨迹长度为
C．存在点F，使得
D．平面与平面所成二面角的正弦值为
12．（2024高二下·南宁期中）为落实好乡村振兴计划，某机关工会将李莉，王红等4名工作人员分配到3个乡村去指导工作，要保证每个乡村至少有一名工作人员做指导，其中李莉和王红必须在同一村指导工作，则不同的分配方案种数为 ．（用数字作答）．
13．（2024高二下·南宁期中）在某次数学测试中，学生成绩服从正态分布.若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩低于80分的概率是 .
14．（2024高二下·南宁期中）已知函数有两个零点，，则可设，由可知，，这就是一元二次方程根与系数的关系，也称韦达定理．多项式运算可以更好地理解“韦达定理”，类似地，若为方程的3个实数根，设，则为的系数，为的系数，为常数项，于是有，，实际上任意实系数次方程都有类似结论．设方程的四个实数根为，则 ， ．
15．（2024高二下·南宁期中）袋子中有8张水果卡片，其中4张苹果卡片，4张梨子卡片，消费者从该袋子中不放回地随机抽取4张卡片，若抽到的4张卡片都是同一种水果，则获得一张10元代金券；若抽到的4张卡片中恰有3张卡片是同一种水果，则获得一张5元代金券；若抽到的4张卡片是其他情况，则不获得任何奖励．
（1）求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片都是苹果卡片的概率；
（2）记随机变量X为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求X的分布列和数学期望；
（3）该商家规定，每位消费者若想再次参加该项抽奖活动，则需支付2元．若你是消费者，是否愿意再次参加该项抽奖活动？请说明理由．
16．（2024高二下·南宁期中）如图，在三棱锥中，平面平面，且，．
（1）证明：平面；
（2）若，点满足，求二面角的大小．
17．（2024高二下·南宁期中）已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数存在两个零点，求实数的取值范围．
18．（2024高二下·南宁期中）设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，，分别是椭圆的左、右焦点，离心率，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求直线的方程；
（3）已知直线斜率存在，若是椭圆经过原点的弦，且，求证：为定值．
19．（2024高二下·南宁期中）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．
（I）求和的通项公式；
（II）记，
（i）证明是等比数列；
（ii）证明
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：因为的展开式的通项公式为，其中，
当时，可得展开式中的系数为.
故答案为：C.
【分析】由题意结合二项式定理求出展开式的通项公式，再令x的指数为3求出r的值，从而可得出展开式中的系数.
2．【答案】A
【知识点】欧拉公式的应用
【解析】【解答】解：由题意得：.
故答案为：A.
【分析】根据题中的中欧拉公式结合代入法得出.
3．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为圆心到直线的距离为，
所以圆心在直线上，则直线和圆相交且l过圆C的圆心.
故答案为：C.
【分析】先求出圆心到直线的距离，再结合直线与圆位置关系判断方法和代入法，从而得出直线与圆的位置关系.
4．【答案】C
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：∵a1＝1，an－an－1＝n－1，
∴a2－a1＝1，a3－a2＝2，a4－a3＝3，a5－a4＝4，a6－a5＝5，
.∴a6－a1＝1＋2＋3＋4＋5，
.∴a6＝16.
故答案为：C.
【分析】由数列递推式依次写出n=2，3，4，5，6的等式，再累加得出数列第六项的值.
5．【答案】D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：对于A，因为函数的最小正周期，故A错误；
对于B，由，得函数f(x)的图象不关于点对称，故B错误；
对于C，由，得函数f(x)的图象不关于直线对称，故C错误；
对于D，当时，则，又因为正弦函数在上单调递增，
因此函数在区间上单调递增，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件结合正弦函数的性质逐项判断即得.
6．【答案】A
【知识点】贝叶斯公式
【解析】【解答】解：依题意，此人是癌症患者的概率为.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件和贝叶斯公式求出此人是癌症患者的概率.
7．【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：函数，求导得，
则函数的图象是开口向上，对称轴为的抛物线，故①②不满足，
又因为，即函数的图象对称轴不是y轴，故④不满足，因此符合条件的是③，
因为函数的图象过原点，且，显然，
则，，
所以.
故答案为：D.
【分析】先求出函数的导函数，由导函数的开口方向和对称性确定函数图象，再结合代入法得出a的值，从而得出函数的解析式，则代入得出函数的值.
8．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：取右焦点，连接、，作于点，
因为为圆的切线，故，
又因为，为中点，故为中点，、
因为，故为中点，
又因为，
则，，
则，，
因为直线为双曲线的渐近线，
所以，则，
在中，由余弦定理可得，
则，即，
即，化简得，即，
所以.
故答案为：D.
【分析】取右焦点，连接、，作于点，由题意结合几何性质可得相应的边长和角度间的关系，借助余弦定理和双曲线中a，b，c三者的关系式列出与、、有关齐次式，再结合双曲线的离心率公式得出双曲线的离心率的值.
9．【答案】C,D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式；条件概率
【解析】【解答】解：由题意可得，，故A错误；
因为，故B错误；
因为，，
，故C正确；
因为，故D正确．
故答案为：CD.
【分析】根据古典概率公式、对立事件求概率公式，条件概率公式，从而逐项判断找出结论正确的选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：A，，故A正确；
B，由A选项知，
由余弦定理得．
故，B正确；
C，由于在中，，故，
所以，
，C错误；
D，设外接圆半径为R，，D正确．
故答案为：ABD
【分析】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，同角三角函数的基本关系.直接利用二倍角的余弦公式可求出，据此可判断A选项；结合A选项利用余弦定理可求出，据此可判断B选项；先利用同角三角函数的基本关系可求出，再利用三角形面积公式进行计算可判断C选项；利用正弦定理可求出外接圆直径判断D选项.
11．【答案】A,C
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；空间中直线与直线之间的位置关系；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：如图所示：取CD中点G，连接BG、EG，
则等腰梯形为截面，
因为，，
所以梯形面积为，故A正确；
取中点M，中点N，连接，
则，故四边形为平行四边形，则，
又因为平面，平面，
所以平面，同理平面，
因为，平面，
故平面平面，
∴点F的运动轨迹为线段MN，其长度为，故B错误；
取MN的中点F，则，
∴，∵，∴，故C正确；
因为平面平面且，，
∴即为平面与平面所成二面角，
则，故D错误．
故答案为：AC.
【分析】取CD中点G，连接BG、EG，再计算截面的面积后判断出选项A；取中点M，中点N，则点F的运动轨迹为线段MN，则判断出选项B；取MN的中点F，则，则可判断出选项C；因为为平面与平面所成的二面角，计算其正弦值后，则可判断选项D，从而找出结论正确的选项.
12．【答案】6
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：将李莉和王红捆绑在一起，看作一个元素，
则三个元素全排列，分配方案有（种）.
故答案为：6.
【分析】采用捆绑法，将李莉和王红捆绑在一起，看作一个元素，和其他剩下的两个元素进行全排列，即可得出不同的分配方案种数.
13．【答案】
【知识点】二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为，服从正态分布
所以，
则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩低于80分的概率为：
.
故答案为：.
【分析】利用正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性和互斥事件加法求概率公式，从而得答案.
14．【答案】；
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：设
，，
由，
可得，
所以，即，，，，，
所以，，
，．
故答案为：；.
【分析】先将式子展开，再结合所给定义计算可得和的值.
15．【答案】（1）解：记“某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都是苹果为事件A，
则P（A）＝＝，
所以某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都是苹果的概率为.
（2）解：依题意随机变量X的所有可能取值为0、5、10，
则P（X＝0）＝＝，
P（X＝5）＝＝，
P（X＝10）＝＝，
所以X的分布列为：
X 0 5 10
P
所以E（X）＝10×+5×+0×＝.
（3）解：记随机变量Y为消费者在一次抽奖活动中的收益，则Y＝X﹣2，
所以E（Y）＝E（X﹣2）＝E（X）﹣2＝﹣2＝＞0，
所以愿意再次参加该项抽奖活动．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据已知条件和古典概率公式，从而计算可得某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片都是苹果卡片的概率.
（2）依题意得出随机变量X的可能取值，结合组合数公式和古典概率公式求出所对应的概率，从而列出随机变量X的分布列，进而求出随机变量X的数学期望.
（3）记随机变量Y为消费者在一次抽奖活动中的收益，则Y＝X﹣3，根据期望的性质求出E（Y）的值的正负，即可判断出消费者是否愿意再次参加该项抽奖活动.
（1）记“某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都是苹果为事件A，
则P（A）＝＝，所以某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都是苹果的概率为；
（2）依题意随机变量X的所有可能取值为0、5、10，
则P（X＝0）＝＝，P（X＝5）＝＝，P（X＝10）＝＝，
所以X的分布列为：
X 0 5 10
P
所以E（X）＝10×+5×+0×＝；
（3）记随机变量Y为消费者在一次抽奖活动中的收益，
则Y＝X﹣2，所以E（Y）＝E（X﹣2）＝E（X）﹣2＝﹣2＝＞0，
所以愿意再次参加该项抽奖活动．
16．【答案】（1）证明：过作于点，平面平面，
且平面平面，平面，
故平面，
因为平面，，
又因为，，平面，平面，
所以平面.
（2）解：由（1）可知平面，平面，故，
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，，1，，，
故，，
所以，，，
设平面的法向量，
则，令，则，
又因为平面的法向量，
则，
又因为二面角所成角为锐角，
所以二面角所成角的余弦值为且角的大小为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质定理证出线面垂直，结合线面垂直的性质定理证出线线垂直，再由线面垂直的判定定理证出线面垂直，即证出平面.
（2）由（1）可知平面，平面，则，从而建立如图所示的空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，求出平面的法向量和平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和二面角所成角为锐角，从而得出二面角的大小．
（1）过作于点，平面平面，且平面平面，平面，
故平面．又平面，．
又，，平面，平面，
所以平面，
（2）由（1）平面，平面，故，
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，，1，，，
故，，所以，
，
设平面的法向量，
则，令有，故，
平面的法向量，
则，
又二面角所成角为锐角，
二面角所成角的余弦值为，角的大小为．
17．【答案】（1）解：因为函数的定义域为R，求导得，
当时，恒成立，函数在R上单调递增；
当时，由，得；
由，得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，函数在R上单调递增；
当时，函数的递减区间是，递增区间是.
（2）解：函数的定义域为，
由，得，
令，
求导得，
令，求导得，
即函数在上单调递增，
又因为，则当时，；
当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
当时，，
函数在上单调递减，函数值集合为，
因此函数在上无最大值，值域为；
当时，令，
则在上单调递增，，
即函数在上单调递增，，则，
又因为函数在上单调递增，函数值集合为，
因此函数在上无最大值，值域为，
所以实数的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）先求出函数的导函数，再分类讨论结合导数判断函数单调性的方法，从而求出函数的单调区间.
（2）由函数的解析式求出函数的解析式，利用函数零点定义分离参数，则构造出函数，再结合分类讨论的方法和导数判断函数单调性的方法，从而得出函数的最值，进而得出实数m的取值范围.
（1）函数的定义域为R，求导得，
当时，恒成立，函数在R上单调递增；
当时，由，得，由，得，即在上递减，在上递增，
所以当时，函数在R上单调递增；
当时，函数的递减区间是，递增区间是.
（2）函数的定义域为，由，得，
令，求导得，
令，求导得，即函数在上单调递增，
而，则当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，，
当时，，函数在上单调递减，函数值集合为，
因此函数在上无最大值，值域为；
当时，令，则在上单调递增，，
即函数在上单调递增，，则，
而函数在上单调递增，函数值集合为，
因此函数在上无最大值，值域为，
所以实数的取值范围是.
18．【答案】（1）解：因为抛物线的焦点为，
由题意得，解得，，
所以椭圆的方程为.
（2）解：由（1）可得，
由题意知，直线与椭圆必相交.
①当直线斜率不存在时，
由，解得或，
不妨令，，
则，不合题意；
②当直线存在时，设直线，设，，
联立，消去整理得，
所以，，
解得，
所以直线方程为或.
（3）证明：由（2）可得，
设直线，设，，
联立，消去得，
所以，，
所以，
所以，即为定值.
【知识点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）先求出抛物线的焦点坐标，依题意可得，从而得出，b，c的值，即可求出椭圆标准方程.
（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率不存在时直接求出、的坐标，再结合数量积的坐标表示判断出，不合题意；当直线存在时，设直线，，，联立直线与椭圆方程，消元结合韦达定理，则根据数量积的坐标表示和得到方程，从而求出的值，即可求出直线方程.
（3）由弦长公式表示出，设直线，，，再将直线与椭圆联立求出、，则根据弦长公式和、与k的关系式表示出，从而证出为定值．
（1）抛物线的焦点为，
由题意得，
解得，，所以椭圆的方程为.
（2）由（1）可得，由题意知，直线与椭圆必相交，
①当直线斜率不存在时，由，解得或，
不妨令，，则，不合题意；
②当直线存在时，设直线，设，，
联立，消去整理得，
所以，，
则，
解得，
所以直线方程为或.
（3）证明：由（2）可得，
设直线，设，，
联立，消去得，
所以、，
所以，
所以，即为定值.
19．【答案】解：（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64，
所以，所以，
所以，
设等比数列的公比为，
所以，解得（负值舍去），
所以.
（II）（i）由题意，，
所以，
所以，且，
所以数列是等比数列.
（ii）由题意知，，
所以，
所以，
设，
则，
两式相减得，
所以，
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和；反证法与放缩法
【解析】【分析】（I）由等差数列的求和公式和已知条件得出首项的值，结合等差数列的通项公式得出数列的通项公式，再由等比数列的通项公式得出满足要求的公比的值，则根据等比数列的通项公式可得数列的通项公式.
（II）（i）利用数列的通项公式可得，结合等比数列的定义证出数列是等比数列.
（ii）利用数列和数列的通项公式以及放缩法得出，结合求和公式可得，由错位相减法和放缩法证出不等式成立.
1 / 1广西南宁市第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
1．（2024高二下·南宁期中）在的展开式中，的系数为（ ）
A．8 B．10 C．80 D．160
【答案】C
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：因为的展开式的通项公式为，其中，
当时，可得展开式中的系数为.
故答案为：C.
【分析】由题意结合二项式定理求出展开式的通项公式，再令x的指数为3求出r的值，从而可得出展开式中的系数.
2．（2024高二下·南宁期中）欧拉公式（e为自然对数的底数，为虚数单位）由瑞士数学家Euler（欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则（ ）
A．-1 B．1 C．- D．
【答案】A
【知识点】欧拉公式的应用
【解析】【解答】解：由题意得：.
故答案为：A.
【分析】根据题中的中欧拉公式结合代入法得出.
3．（2024高二下·南宁期中）直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离
C．相交且l过圆C的圆心 D．相交且l不过圆C的圆心
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为圆心到直线的距离为，
所以圆心在直线上，则直线和圆相交且l过圆C的圆心.
故答案为：C.
【分析】先求出圆心到直线的距离，再结合直线与圆位置关系判断方法和代入法，从而得出直线与圆的位置关系.
4．（2024高二下·南宁期中）已知数列{an}，a1＝1，an－an－1＝n－1(n≥2)，则a6＝（ ）
A．7 B．11 C．16 D．17
【答案】C
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：∵a1＝1，an－an－1＝n－1，
∴a2－a1＝1，a3－a2＝2，a4－a3＝3，a5－a4＝4，a6－a5＝5，
.∴a6－a1＝1＋2＋3＋4＋5，
.∴a6＝16.
故答案为：C.
【分析】由数列递推式依次写出n=2，3，4，5，6的等式，再累加得出数列第六项的值.
5．（2024高二下·南宁期中）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期
B．函数的图象关于点中心对称
C．函数的图象关于直线对称
D．函数在区间上单调递增
【答案】D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：对于A，因为函数的最小正周期，故A错误；
对于B，由，得函数f(x)的图象不关于点对称，故B错误；
对于C，由，得函数f(x)的图象不关于直线对称，故C错误；
对于D，当时，则，又因为正弦函数在上单调递增，
因此函数在区间上单调递增，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件结合正弦函数的性质逐项判断即得.
6．（2024高二下·南宁期中）某一地区的患有癌症的人占0.004，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.02.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率约为（ ）
A．0.16 B．0.32 C．0.42 D．0.84
【答案】A
【知识点】贝叶斯公式
【解析】【解答】解：依题意，此人是癌症患者的概率为.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件和贝叶斯公式求出此人是癌症患者的概率.
7．（2024高二下·南宁期中）下列四个图象中，有一个图象是函数的导数的图象，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：函数，求导得，
则函数的图象是开口向上，对称轴为的抛物线，故①②不满足，
又因为，即函数的图象对称轴不是y轴，故④不满足，因此符合条件的是③，
因为函数的图象过原点，且，显然，
则，，
所以.
故答案为：D.
【分析】先求出函数的导函数，由导函数的开口方向和对称性确定函数图象，再结合代入法得出a的值，从而得出函数的解析式，则代入得出函数的值.
8．（2024高二下·南宁期中）过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，直线交直线于点．若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：取右焦点，连接、，作于点，
因为为圆的切线，故，
又因为，为中点，故为中点，、
因为，故为中点，
又因为，
则，，
则，，
因为直线为双曲线的渐近线，
所以，则，
在中，由余弦定理可得，
则，即，
即，化简得，即，
所以.
故答案为：D.
【分析】取右焦点，连接、，作于点，由题意结合几何性质可得相应的边长和角度间的关系，借助余弦定理和双曲线中a，b，c三者的关系式列出与、、有关齐次式，再结合双曲线的离心率公式得出双曲线的离心率的值.
9．（2024高二下·南宁期中）某单位开展“学习强国”知识答题活动，在5道试题中（有3道选择题和2道填空题），不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C,D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式；条件概率
【解析】【解答】解：由题意可得，，故A错误；
因为，故B错误；
因为，，
，故C正确；
因为，故D正确．
故答案为：CD.
【分析】根据古典概率公式、对立事件求概率公式，条件概率公式，从而逐项判断找出结论正确的选项.
10．（2024高二下·南宁期中）在中，，，，则( )
A． B．
C．的面积为 D．外接圆的直径是
【答案】A,B,D
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：A，，故A正确；
B，由A选项知，
由余弦定理得．
故，B正确；
C，由于在中，，故，
所以，
，C错误；
D，设外接圆半径为R，，D正确．
故答案为：ABD
【分析】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，同角三角函数的基本关系.直接利用二倍角的余弦公式可求出，据此可判断A选项；结合A选项利用余弦定理可求出，据此可判断B选项；先利用同角三角函数的基本关系可求出，再利用三角形面积公式进行计算可判断C选项；利用正弦定理可求出外接圆直径判断D选项.
11．（2024高二下·南宁期中）如图，正方体的棱长为2，E是棱的中点，F是侧面上的动点，且满足平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．平面截正方体所得截面面积为
B．点F的轨迹长度为
C．存在点F，使得
D．平面与平面所成二面角的正弦值为
【答案】A,C
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；空间中直线与直线之间的位置关系；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：如图所示：取CD中点G，连接BG、EG，
则等腰梯形为截面，
因为，，
所以梯形面积为，故A正确；
取中点M，中点N，连接，
则，故四边形为平行四边形，则，
又因为平面，平面，
所以平面，同理平面，
因为，平面，
故平面平面，
∴点F的运动轨迹为线段MN，其长度为，故B错误；
取MN的中点F，则，
∴，∵，∴，故C正确；
因为平面平面且，，
∴即为平面与平面所成二面角，
则，故D错误．
故答案为：AC.
【分析】取CD中点G，连接BG、EG，再计算截面的面积后判断出选项A；取中点M，中点N，则点F的运动轨迹为线段MN，则判断出选项B；取MN的中点F，则，则可判断出选项C；因为为平面与平面所成的二面角，计算其正弦值后，则可判断选项D，从而找出结论正确的选项.
12．（2024高二下·南宁期中）为落实好乡村振兴计划，某机关工会将李莉，王红等4名工作人员分配到3个乡村去指导工作，要保证每个乡村至少有一名工作人员做指导，其中李莉和王红必须在同一村指导工作，则不同的分配方案种数为 ．（用数字作答）．
【答案】6
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：将李莉和王红捆绑在一起，看作一个元素，
则三个元素全排列，分配方案有（种）.
故答案为：6.
【分析】采用捆绑法，将李莉和王红捆绑在一起，看作一个元素，和其他剩下的两个元素进行全排列，即可得出不同的分配方案种数.
13．（2024高二下·南宁期中）在某次数学测试中，学生成绩服从正态分布.若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩低于80分的概率是 .
【答案】
【知识点】二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为，服从正态分布
所以，
则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩低于80分的概率为：
.
故答案为：.
【分析】利用正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性和互斥事件加法求概率公式，从而得答案.
14．（2024高二下·南宁期中）已知函数有两个零点，，则可设，由可知，，这就是一元二次方程根与系数的关系，也称韦达定理．多项式运算可以更好地理解“韦达定理”，类似地，若为方程的3个实数根，设，则为的系数，为的系数，为常数项，于是有，，实际上任意实系数次方程都有类似结论．设方程的四个实数根为，则 ， ．
【答案】；
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：设
，，
由，
可得，
所以，即，，，，，
所以，，
，．
故答案为：；.
【分析】先将式子展开，再结合所给定义计算可得和的值.
15．（2024高二下·南宁期中）袋子中有8张水果卡片，其中4张苹果卡片，4张梨子卡片，消费者从该袋子中不放回地随机抽取4张卡片，若抽到的4张卡片都是同一种水果，则获得一张10元代金券；若抽到的4张卡片中恰有3张卡片是同一种水果，则获得一张5元代金券；若抽到的4张卡片是其他情况，则不获得任何奖励．
（1）求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片都是苹果卡片的概率；
（2）记随机变量X为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求X的分布列和数学期望；
（3）该商家规定，每位消费者若想再次参加该项抽奖活动，则需支付2元．若你是消费者，是否愿意再次参加该项抽奖活动？请说明理由．
【答案】（1）解：记“某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都是苹果为事件A，
则P（A）＝＝，
所以某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都是苹果的概率为.
（2）解：依题意随机变量X的所有可能取值为0、5、10，
则P（X＝0）＝＝，
P（X＝5）＝＝，
P（X＝10）＝＝，
所以X的分布列为：
X 0 5 10
P
所以E（X）＝10×+5×+0×＝.
（3）解：记随机变量Y为消费者在一次抽奖活动中的收益，则Y＝X﹣2，
所以E（Y）＝E（X﹣2）＝E（X）﹣2＝﹣2＝＞0，
所以愿意再次参加该项抽奖活动．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据已知条件和古典概率公式，从而计算可得某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片都是苹果卡片的概率.
（2）依题意得出随机变量X的可能取值，结合组合数公式和古典概率公式求出所对应的概率，从而列出随机变量X的分布列，进而求出随机变量X的数学期望.
（3）记随机变量Y为消费者在一次抽奖活动中的收益，则Y＝X﹣3，根据期望的性质求出E（Y）的值的正负，即可判断出消费者是否愿意再次参加该项抽奖活动.
（1）记“某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都是苹果为事件A，
则P（A）＝＝，所以某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都是苹果的概率为；
（2）依题意随机变量X的所有可能取值为0、5、10，
则P（X＝0）＝＝，P（X＝5）＝＝，P（X＝10）＝＝，
所以X的分布列为：
X 0 5 10
P
所以E（X）＝10×+5×+0×＝；
（3）记随机变量Y为消费者在一次抽奖活动中的收益，
则Y＝X﹣2，所以E（Y）＝E（X﹣2）＝E（X）﹣2＝﹣2＝＞0，
所以愿意再次参加该项抽奖活动．
16．（2024高二下·南宁期中）如图，在三棱锥中，平面平面，且，．
（1）证明：平面；
（2）若，点满足，求二面角的大小．
【答案】（1）证明：过作于点，平面平面，
且平面平面，平面，
故平面，
因为平面，，
又因为，，平面，平面，
所以平面.
（2）解：由（1）可知平面，平面，故，
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，，1，，，
故，，
所以，，，
设平面的法向量，
则，令，则，
又因为平面的法向量，
则，
又因为二面角所成角为锐角，
所以二面角所成角的余弦值为且角的大小为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质定理证出线面垂直，结合线面垂直的性质定理证出线线垂直，再由线面垂直的判定定理证出线面垂直，即证出平面.
（2）由（1）可知平面，平面，则，从而建立如图所示的空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，求出平面的法向量和平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和二面角所成角为锐角，从而得出二面角的大小．
（1）过作于点，平面平面，且平面平面，平面，
故平面．又平面，．
又，，平面，平面，
所以平面，
（2）由（1）平面，平面，故，
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，，1，，，
故，，所以，
，
设平面的法向量，
则，令有，故，
平面的法向量，
则，
又二面角所成角为锐角，
二面角所成角的余弦值为，角的大小为．
17．（2024高二下·南宁期中）已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数存在两个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：因为函数的定义域为R，求导得，
当时，恒成立，函数在R上单调递增；
当时，由，得；
由，得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，函数在R上单调递增；
当时，函数的递减区间是，递增区间是.
（2）解：函数的定义域为，
由，得，
令，
求导得，
令，求导得，
即函数在上单调递增，
又因为，则当时，；
当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
当时，，
函数在上单调递减，函数值集合为，
因此函数在上无最大值，值域为；
当时，令，
则在上单调递增，，
即函数在上单调递增，，则，
又因为函数在上单调递增，函数值集合为，
因此函数在上无最大值，值域为，
所以实数的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）先求出函数的导函数，再分类讨论结合导数判断函数单调性的方法，从而求出函数的单调区间.
（2）由函数的解析式求出函数的解析式，利用函数零点定义分离参数，则构造出函数，再结合分类讨论的方法和导数判断函数单调性的方法，从而得出函数的最值，进而得出实数m的取值范围.
（1）函数的定义域为R，求导得，
当时，恒成立，函数在R上单调递增；
当时，由，得，由，得，即在上递减，在上递增，
所以当时，函数在R上单调递增；
当时，函数的递减区间是，递增区间是.
（2）函数的定义域为，由，得，
令，求导得，
令，求导得，即函数在上单调递增，
而，则当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，，
当时，，函数在上单调递减，函数值集合为，
因此函数在上无最大值，值域为；
当时，令，则在上单调递增，，
即函数在上单调递增，，则，
而函数在上单调递增，函数值集合为，
因此函数在上无最大值，值域为，
所以实数的取值范围是.
18．（2024高二下·南宁期中）设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，，分别是椭圆的左、右焦点，离心率，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求直线的方程；
（3）已知直线斜率存在，若是椭圆经过原点的弦，且，求证：为定值．
【答案】（1）解：因为抛物线的焦点为，
由题意得，解得，，
所以椭圆的方程为.
（2）解：由（1）可得，
由题意知，直线与椭圆必相交.
①当直线斜率不存在时，
由，解得或，
不妨令，，
则，不合题意；
②当直线存在时，设直线，设，，
联立，消去整理得，
所以，，
解得，
所以直线方程为或.
（3）证明：由（2）可得，
设直线，设，，
联立，消去得，
所以，，
所以，
所以，即为定值.
【知识点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）先求出抛物线的焦点坐标，依题意可得，从而得出，b，c的值，即可求出椭圆标准方程.
（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率不存在时直接求出、的坐标，再结合数量积的坐标表示判断出，不合题意；当直线存在时，设直线，，，联立直线与椭圆方程，消元结合韦达定理，则根据数量积的坐标表示和得到方程，从而求出的值，即可求出直线方程.
（3）由弦长公式表示出，设直线，，，再将直线与椭圆联立求出、，则根据弦长公式和、与k的关系式表示出，从而证出为定值．
（1）抛物线的焦点为，
由题意得，
解得，，所以椭圆的方程为.
（2）由（1）可得，由题意知，直线与椭圆必相交，
①当直线斜率不存在时，由，解得或，
不妨令，，则，不合题意；
②当直线存在时，设直线，设，，
联立，消去整理得，
所以，，
则，
解得，
所以直线方程为或.
（3）证明：由（2）可得，
设直线，设，，
联立，消去得，
所以、，
所以，
所以，即为定值.
19．（2024高二下·南宁期中）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．
（I）求和的通项公式；
（II）记，
（i）证明是等比数列；
（ii）证明
【答案】解：（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64，
所以，所以，
所以，
设等比数列的公比为，
所以，解得（负值舍去），
所以.
（II）（i）由题意，，
所以，
所以，且，
所以数列是等比数列.
（ii）由题意知，，
所以，
所以，
设，
则，
两式相减得，
所以，
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和；反证法与放缩法
【解析】【分析】（I）由等差数列的求和公式和已知条件得出首项的值，结合等差数列的通项公式得出数列的通项公式，再由等比数列的通项公式得出满足要求的公比的值，则根据等比数列的通项公式可得数列的通项公式.
（II）（i）利用数列的通项公式可得，结合等比数列的定义证出数列是等比数列.
（ii）利用数列和数列的通项公式以及放缩法得出，结合求和公式可得，由错位相减法和放缩法证出不等式成立.
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