广东省东莞市东华高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学时间
1．（2024高二下·东莞期中）已知全集，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为，所以.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件和并集、补集的运算法则得出集合.
2．（2024高二下·东莞期中）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】利用复数的除法和乘法运算法则，从而得出答案.
3．（2024高二下·东莞期中）若函数可导，，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解：根据题意，对于函数，则，
则.
故答案为：A.
【分析】利用导数的定义和函数极限的关系，从而得出.
4．（2024高二下·东莞期中）将4本不同的书分配给8名同学，每名同学最多分到1本书，那么不同的分配方式共有（ ）
A．70种 B．256种 C．1680种 D．4096种
【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：不同的分配方法数为．
故答案为：C．
【分析】利用排列数解决实际问题得出不同的分配方式种数.
5．（2024高二下·东莞期中）从集合任取两个数作为，可以得到不同的焦点在轴上的椭圆方程的个数为（ ）
A．25 B．20 C．10 D．16
【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】焦点在x轴上的椭圆方程中，必有，
则a可取5，7，9，11共4个可能，b可取3，5，7，9共4个可能，
若，则，1个椭圆；
若，则，2个椭圆；
若，则，3个椭圆；
若，则，4个椭圆，
所以共有1+2+3+4=10个椭圆.
故答案为：C.
【分析】根据椭圆的性质可知，结合列举法即可求解出答案.
6．（2024高二下·东莞期中）若，则（ ）
A．6562 B．3281 C．3280 D．6560
【答案】B
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】令有，令有，故
故答案为：B
【分析】观察已知条件，通过对x进行赋值0，-2，求出展开式的有关系数的值，然后求出答案.
7．（2024高二下·东莞期中）某车间使用甲 乙 丙三台车床加工同一型号的零件，车床甲和乙加工此型号零件的优质品率分别为，且甲和乙加工的零件数分别占总数的.如果将三台车床加工出的零件全部混放在一起，并随机抽出一件，得到优质品的概率是0.54，则车床丙加工此型号零件的优质品率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】设车床丙加工此型号零件的优质品率为，
则，
解得，
故答案为：A
【分析】根据全概率公式列出方程求解，即可求得答案.
8．（2024高二下·东莞期中）已知随机变量X的分布列如下：
X 2 3 6
P a
则的值为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．18
【答案】D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：根据随机变量X的分布列可知，解得，
则，
，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据概率之和等于1求得的值，根据随机变量的数学期望公式和方差公式，从而求出随机变量的数学期望与方差，再根据方差的性质得出的值.
9．（2024高二下·东莞期中）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（ ）
A．100 B．200 C．300 D．400
【答案】B
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：由题意可知播种了1000粒，没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．
而每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X
故X=2ξ，则EX=2Eξ=2×1000×0.1=200．
故选B．
【分析】首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，即不发芽率为0.1，故没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．又没发芽的补种2个，故补种的种子数记为X=2ξ，根据二项分布的期望公式即可求出结果．
10．（2024高二下·东莞期中）不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数的数学期望是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：摸取次数的可能取值为2，3，4，5，6，7，
当时，第次取出的必然是红球，在前次中，有且只有一次是红球，其余取出的都是黑球，则，
故，，，，，，
摸取次数的数学期望：.
故答案为：D.
【分析】先求出的所有可能取值，再由古典概率公式和组合数公式计算其对应的概率，则结合数学期望公式计算得出摸取次数的数学期望.
11．（2024高二下·东莞期中）已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为随机变量服从正态分布，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性，可知，再利用所给概率得出的值.
12．（2024高二下·东莞期中）已知函数的定义域均为，为的导函数，且，若为偶函数，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】C
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的周期性
【解析】【解答】解：依题意，为偶函数，
所以，所以，
所以为奇函数且，
因为，
令，则，解得，
因为，
所以，
又因为，
所以，
由，得，所以是以4为周期的周期函数，
所以，
由，得，
又因为，所以，所以
所以是以4为周期的周期函数，
所以，所以.
故答案为：C.
【分析】根据为偶函数得出为奇函数，再根据已知的式子对自变量赋值求出函数，函数的周期性，从而得出的值.
13．（2024高二下·东莞期中）已知向量的夹角为，，，则 ．
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：因为向量的夹角为，，，
所以，
因此，.
故答案为：.
【分析】根据数量积求向量模的方法和数量积定义、数量积的运算法则，从而得出的值.
14．（2024高二下·东莞期中）已知，则 .
【答案】
【知识点】导数的乘法与除法法则；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：因为，
得出，
所以.
故答案为：.
【分析】由导数的运算法则和复合函数的求导法则，从而求出，进而求出的值.
15．（2024高二下·东莞期中）的展开式的二项式系数的和等于64，则展开式中含有项的系数为 .
【答案】240
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：因为二项式系数之和，解得，
则二项展开式的通项为，
令，解得，则展开式中含有项的系数为.
故答案为：240.
【分析】先由已知条件和二项式系数之和求出的值，再根据二项式定理求出展开式的通项，从而赋值得出展开式中含有项的系数.
16．（2024高二下·东莞期中）已知随机变量的概率分布为，则 .
【答案】
【知识点】概率分布列
【解析】【解答】解：由概率之和为，可得，
即，解得.
故答案为：.
【分析】由概率之和为，从而计算得出a的值.
17．（2024高二下·东莞期中）设随机变量可能的取值为1，2，3，4，，又的数学期望为，则 .
【答案】
【知识点】概率的基本性质；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：根据题意，随机变量的分布列如下：
X 1 2 3 4
P
则，①
，②
联立①、②建立方程组，解得：，故.
故答案为：.
【分析】先根据题意列出随机变量的分布列， 根据随机变量的分布列用a和b表示出的表达式，再由每个取值的概率和为1结合，从而列出关于a和b的方程组，解该方程组即可得出a，b的值，从而得出a-b的值.
18．（2024高二下·东莞期中）已知函数 ，若关于 的不等式 恒成立，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】 ， 在 恒成立，
∴ 在 单调递增， 时， ， ，
使得 ，即 ；
且 ， ，
∴ 在 单调递减，在 单调递增，
∴
，解得： ，
∴实数a的取值范围为 ，
故答案为： .
【分析】根据题意对函数求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，再由函数的单调性即可得出即成立，由此得出a的取值范围。
19．（2024高二下·东莞期中）已知二项式展开式中的第7项是常数项.
（1）求；
（2）求展开式中有理项共有几项，分别是第几项？
【答案】（1）解：因为展开式的第7项是，
由于第7项是常数项，故，解得.
（2）解：由（1）知，
展开式的通项为，
若为有理项，则为整数，为6的倍数，
，，共三个数，
展开式中的有理项共有3项，分别是第1、第7和第13项.
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）根据二项展开式的通项公式求出第7项为，则令得出n的值.
（2）由（1）知，根据展开式中的通项公式可得，再根据有理项的定义得出为6的倍数，从而得出展开式中有理项共有的项数，并求出对应的项.
（1）因为展开式的第7项是
由于第7项是常数项，故，解得；
（2）由（1）知，
展开式的通项为，
若为有理项，则为整数，
为6的倍数，
，，共三个数，
展开式中的有理项共有3项，分别是第1、第7和第13项.
20．（2024高二下·东莞期中）一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个小球，其中3个黑球，2个白球．如果不放回的依次取出2个球．回答下列问题：
(Ⅰ)第一次取出的是黑球的概率；
(Ⅱ)第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率；
(Ⅲ)在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率．
【答案】解：依题意，设事件A表示“第一次取出的是黑球”，
设事件B表示“第二次取出的是白球”（Ⅰ）黑球有3个，球的总数为5个，
所以P（A）.
（Ⅱ）第一次取出的是黑球，
且第二次取出的是白球的概率为P（AB）.
（Ⅲ）在第一次取出的是黑球的条件下，
第二次取出的是白球的概率为P（B|A）.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式；条件概率
【解析】【分析】（Ⅰ）利用已知条件和古典概率公式得出第一次取出的是黑球的概率.
（Ⅱ）利用已知条件和独立事件乘法求概率公式，从而得出第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率.
（Ⅲ）利用已知条件和条件概率公式，从而得出在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率．
21．（2024高二下·东莞期中）某乡镇积极贯彻党的二十大精神，全面推进乡村振兴战略，大力发展优质水果特色产业，为农民增收助力.为提高水果的产量，该乡镇从4名男技术员和n名女技术员中抽取若干人进行果树管理技术指导.若一次抽出3人，则至少有1名男技术员的抽取方法有74种.
（1）若一次抽出3人，求在这3人性别相同的条件下都是男技术员的概率；
（2）若一次抽取6人，记X表示6人中女技术员的人数，求X的分布列和数学期望.
【答案】（1）解：一次抽出3人，则至少有1名男技术员的抽取方法有种，
由题意可知，即，
整理得，解得或（舍去），故共有5名女技术员，
若一次抽出3人性别相同的有种情况，
其中3人都是男技术员有种情况，
故这3人性别相同的条件下都是男技术员的概率.
（2）解：由题意，X可能的取值为2，3，4，5，
，，
，，
所以的分布列为
2 3 4 5
故.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据分类加法计数原理和组合数公式求出女技术员人数，再根据条件概率公式计算可得在这3人性别相同的条件下都是男技术员的概率.
（2）利用已知条件，先确定随机变量X的可能取值，再计算出每个值对应的概率，从而得出随机变量X的分布列，则根据随机变量的分布列求出数学期望.
（1）一次抽出3人，则至少有1名男技术员的抽取方法有种
由题意可知．即，整理得，
解得或（舍去），故共有5名女技术员.
若一次抽出3人性别相同的有种情况，其中3人都是男技术员有种情况，
故这3人性别相同的条件下都是男技术员的概率；
（2）由题意，X可能的取值为2，3，4，5，
，，
，，
所以的分布列为
2 3 4 5
故.
22．（2024高二下·东莞期中）已知函数在处的切线与直线平行.
（1）求实数的值，并判断函数的单调性；
（2）若方程有两个不同实根，且，求证：.
【答案】（1）解：函数的定义域：，
由，可得，
由题意可得，解得，
，
，
令，解得，故在上单调递减；
令，解得，故在上单调递增.
（2）证明：由为方程的两个不同实根，
得，
两式相减，可得，
即，，
因此，，
令，由，得，
则，
构造函数，
则，
所以，函数在上单调递增，
故，即，可知，
故命题，得证.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求出导函数，再利用导数的几何意义求出的值，则根据导函数的符号判断出函数的单调性.
（2）由已知条件得出，两式相减得，从而得出，令构造函数，再求出其导函数，则根据导函数的符号判断出函数的单调性，从而得出函数的值域，进而得出，即证出不等式成立.
（1）函数的定义域：，由，可得，
所以由题意可得，解得，
，
，
令，解得，故在上单调递减；
令，解得，故在上单调递增.
（2）由为方程的两个不同实根，得，
两式相减，可得，即，，
因此，，
令，由，得，
则，构造函数，
则，
所以函数在上单调递增，故，即，
可知，故命题得证.
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1．（2024高二下·东莞期中）已知全集，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·东莞期中）（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·东莞期中）若函数可导，，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
4．（2024高二下·东莞期中）将4本不同的书分配给8名同学，每名同学最多分到1本书，那么不同的分配方式共有（ ）
A．70种 B．256种 C．1680种 D．4096种
5．（2024高二下·东莞期中）从集合任取两个数作为，可以得到不同的焦点在轴上的椭圆方程的个数为（ ）
A．25 B．20 C．10 D．16
6．（2024高二下·东莞期中）若，则（ ）
A．6562 B．3281 C．3280 D．6560
7．（2024高二下·东莞期中）某车间使用甲 乙 丙三台车床加工同一型号的零件，车床甲和乙加工此型号零件的优质品率分别为，且甲和乙加工的零件数分别占总数的.如果将三台车床加工出的零件全部混放在一起，并随机抽出一件，得到优质品的概率是0.54，则车床丙加工此型号零件的优质品率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·东莞期中）已知随机变量X的分布列如下：
X 2 3 6
P a
则的值为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．18
9．（2024高二下·东莞期中）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（ ）
A．100 B．200 C．300 D．400
10．（2024高二下·东莞期中）不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数的数学期望是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高二下·东莞期中）已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2024高二下·东莞期中）已知函数的定义域均为，为的导函数，且，若为偶函数，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
13．（2024高二下·东莞期中）已知向量的夹角为，，，则 ．
14．（2024高二下·东莞期中）已知，则 .
15．（2024高二下·东莞期中）的展开式的二项式系数的和等于64，则展开式中含有项的系数为 .
16．（2024高二下·东莞期中）已知随机变量的概率分布为，则 .
17．（2024高二下·东莞期中）设随机变量可能的取值为1，2，3，4，，又的数学期望为，则 .
18．（2024高二下·东莞期中）已知函数 ，若关于 的不等式 恒成立，则实数a的取值范围为 ．
19．（2024高二下·东莞期中）已知二项式展开式中的第7项是常数项.
（1）求；
（2）求展开式中有理项共有几项，分别是第几项？
20．（2024高二下·东莞期中）一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个小球，其中3个黑球，2个白球．如果不放回的依次取出2个球．回答下列问题：
(Ⅰ)第一次取出的是黑球的概率；
(Ⅱ)第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率；
(Ⅲ)在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率．
21．（2024高二下·东莞期中）某乡镇积极贯彻党的二十大精神，全面推进乡村振兴战略，大力发展优质水果特色产业，为农民增收助力.为提高水果的产量，该乡镇从4名男技术员和n名女技术员中抽取若干人进行果树管理技术指导.若一次抽出3人，则至少有1名男技术员的抽取方法有74种.
（1）若一次抽出3人，求在这3人性别相同的条件下都是男技术员的概率；
（2）若一次抽取6人，记X表示6人中女技术员的人数，求X的分布列和数学期望.
22．（2024高二下·东莞期中）已知函数在处的切线与直线平行.
（1）求实数的值，并判断函数的单调性；
（2）若方程有两个不同实根，且，求证：.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为，所以.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件和并集、补集的运算法则得出集合.
2．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】利用复数的除法和乘法运算法则，从而得出答案.
3．【答案】A
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解：根据题意，对于函数，则，
则.
故答案为：A.
【分析】利用导数的定义和函数极限的关系，从而得出.
4．【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：不同的分配方法数为．
故答案为：C．
【分析】利用排列数解决实际问题得出不同的分配方式种数.
5．【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】焦点在x轴上的椭圆方程中，必有，
则a可取5，7，9，11共4个可能，b可取3，5，7，9共4个可能，
若，则，1个椭圆；
若，则，2个椭圆；
若，则，3个椭圆；
若，则，4个椭圆，
所以共有1+2+3+4=10个椭圆.
故答案为：C.
【分析】根据椭圆的性质可知，结合列举法即可求解出答案.
6．【答案】B
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】令有，令有，故
故答案为：B
【分析】观察已知条件，通过对x进行赋值0，-2，求出展开式的有关系数的值，然后求出答案.
7．【答案】A
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】设车床丙加工此型号零件的优质品率为，
则，
解得，
故答案为：A
【分析】根据全概率公式列出方程求解，即可求得答案.
8．【答案】D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：根据随机变量X的分布列可知，解得，
则，
，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据概率之和等于1求得的值，根据随机变量的数学期望公式和方差公式，从而求出随机变量的数学期望与方差，再根据方差的性质得出的值.
9．【答案】B
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：由题意可知播种了1000粒，没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．
而每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X
故X=2ξ，则EX=2Eξ=2×1000×0.1=200．
故选B．
【分析】首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，即不发芽率为0.1，故没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．又没发芽的补种2个，故补种的种子数记为X=2ξ，根据二项分布的期望公式即可求出结果．
10．【答案】D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：摸取次数的可能取值为2，3，4，5，6，7，
当时，第次取出的必然是红球，在前次中，有且只有一次是红球，其余取出的都是黑球，则，
故，，，，，，
摸取次数的数学期望：.
故答案为：D.
【分析】先求出的所有可能取值，再由古典概率公式和组合数公式计算其对应的概率，则结合数学期望公式计算得出摸取次数的数学期望.
11．【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为随机变量服从正态分布，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性，可知，再利用所给概率得出的值.
12．【答案】C
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的周期性
【解析】【解答】解：依题意，为偶函数，
所以，所以，
所以为奇函数且，
因为，
令，则，解得，
因为，
所以，
又因为，
所以，
由，得，所以是以4为周期的周期函数，
所以，
由，得，
又因为，所以，所以
所以是以4为周期的周期函数，
所以，所以.
故答案为：C.
【分析】根据为偶函数得出为奇函数，再根据已知的式子对自变量赋值求出函数，函数的周期性，从而得出的值.
13．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：因为向量的夹角为，，，
所以，
因此，.
故答案为：.
【分析】根据数量积求向量模的方法和数量积定义、数量积的运算法则，从而得出的值.
14．【答案】
【知识点】导数的乘法与除法法则；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：因为，
得出，
所以.
故答案为：.
【分析】由导数的运算法则和复合函数的求导法则，从而求出，进而求出的值.
15．【答案】240
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：因为二项式系数之和，解得，
则二项展开式的通项为，
令，解得，则展开式中含有项的系数为.
故答案为：240.
【分析】先由已知条件和二项式系数之和求出的值，再根据二项式定理求出展开式的通项，从而赋值得出展开式中含有项的系数.
16．【答案】
【知识点】概率分布列
【解析】【解答】解：由概率之和为，可得，
即，解得.
故答案为：.
【分析】由概率之和为，从而计算得出a的值.
17．【答案】
【知识点】概率的基本性质；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：根据题意，随机变量的分布列如下：
X 1 2 3 4
P
则，①
，②
联立①、②建立方程组，解得：，故.
故答案为：.
【分析】先根据题意列出随机变量的分布列， 根据随机变量的分布列用a和b表示出的表达式，再由每个取值的概率和为1结合，从而列出关于a和b的方程组，解该方程组即可得出a，b的值，从而得出a-b的值.
18．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】 ， 在 恒成立，
∴ 在 单调递增， 时， ， ，
使得 ，即 ；
且 ， ，
∴ 在 单调递减，在 单调递增，
∴
，解得： ，
∴实数a的取值范围为 ，
故答案为： .
【分析】根据题意对函数求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，再由函数的单调性即可得出即成立，由此得出a的取值范围。
19．【答案】（1）解：因为展开式的第7项是，
由于第7项是常数项，故，解得.
（2）解：由（1）知，
展开式的通项为，
若为有理项，则为整数，为6的倍数，
，，共三个数，
展开式中的有理项共有3项，分别是第1、第7和第13项.
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）根据二项展开式的通项公式求出第7项为，则令得出n的值.
（2）由（1）知，根据展开式中的通项公式可得，再根据有理项的定义得出为6的倍数，从而得出展开式中有理项共有的项数，并求出对应的项.
（1）因为展开式的第7项是
由于第7项是常数项，故，解得；
（2）由（1）知，
展开式的通项为，
若为有理项，则为整数，
为6的倍数，
，，共三个数，
展开式中的有理项共有3项，分别是第1、第7和第13项.
20．【答案】解：依题意，设事件A表示“第一次取出的是黑球”，
设事件B表示“第二次取出的是白球”（Ⅰ）黑球有3个，球的总数为5个，
所以P（A）.
（Ⅱ）第一次取出的是黑球，
且第二次取出的是白球的概率为P（AB）.
（Ⅲ）在第一次取出的是黑球的条件下，
第二次取出的是白球的概率为P（B|A）.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式；条件概率
【解析】【分析】（Ⅰ）利用已知条件和古典概率公式得出第一次取出的是黑球的概率.
（Ⅱ）利用已知条件和独立事件乘法求概率公式，从而得出第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率.
（Ⅲ）利用已知条件和条件概率公式，从而得出在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率．
21．【答案】（1）解：一次抽出3人，则至少有1名男技术员的抽取方法有种，
由题意可知，即，
整理得，解得或（舍去），故共有5名女技术员，
若一次抽出3人性别相同的有种情况，
其中3人都是男技术员有种情况，
故这3人性别相同的条件下都是男技术员的概率.
（2）解：由题意，X可能的取值为2，3，4，5，
，，
，，
所以的分布列为
2 3 4 5
故.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据分类加法计数原理和组合数公式求出女技术员人数，再根据条件概率公式计算可得在这3人性别相同的条件下都是男技术员的概率.
（2）利用已知条件，先确定随机变量X的可能取值，再计算出每个值对应的概率，从而得出随机变量X的分布列，则根据随机变量的分布列求出数学期望.
（1）一次抽出3人，则至少有1名男技术员的抽取方法有种
由题意可知．即，整理得，
解得或（舍去），故共有5名女技术员.
若一次抽出3人性别相同的有种情况，其中3人都是男技术员有种情况，
故这3人性别相同的条件下都是男技术员的概率；
（2）由题意，X可能的取值为2，3，4，5，
，，
，，
所以的分布列为
2 3 4 5
故.
22．【答案】（1）解：函数的定义域：，
由，可得，
由题意可得，解得，
，
，
令，解得，故在上单调递减；
令，解得，故在上单调递增.
（2）证明：由为方程的两个不同实根，
得，
两式相减，可得，
即，，
因此，，
令，由，得，
则，
构造函数，
则，
所以，函数在上单调递增，
故，即，可知，
故命题，得证.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求出导函数，再利用导数的几何意义求出的值，则根据导函数的符号判断出函数的单调性.
（2）由已知条件得出，两式相减得，从而得出，令构造函数，再求出其导函数，则根据导函数的符号判断出函数的单调性，从而得出函数的值域，进而得出，即证出不等式成立.
（1）函数的定义域：，由，可得，
所以由题意可得，解得，
，
，
令，解得，故在上单调递减；
令，解得，故在上单调递增.
（2）由为方程的两个不同实根，得，
两式相减，可得，即，，
因此，，
令，由，得，
则，构造函数，
则，
所以函数在上单调递增，故，即，
可知，故命题得证.
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