1.4角平分线的性质(第二课时） 教案（表格式）湘教版（2024）数学八年级下册

八 年级 数学 教案
课 题 1.4角平分线的性质 课 型 新授课
课 时 第二课时 设计者 年 级 八年级
教 学 目 标 1.加深对角平分线的性质定理及逆定理的理解，应用角平分线的两个性质解决一些实际问题. 2.在运用角平分线的性质进行推理和计算的过程中，进一步发展学生的推理证明意识和能力. 3.培养学生良好的探究意识，培养良好的学习品质.
教学重点 角平分线的性质及其应用
教学难点 灵活应用两个性质解决问题
教具准备 课件，直尺.
教学方法 讲授法、探究法、练习法相结合。通过讲授让学生掌握基础知识，通过探究活动培养学生的思维能力，通过练习巩固所学知识，提高解题能力.
教学过程设计
情境导入 展示问题：S 区有一个贸易市场，在公路与铁路所成角的平分线上有一点 P，要从 P 点建两条路，一条到公路上，一条到铁路上。（1）怎样修建路最短？（2）这两条路修好后，有什么关系？ 引导思考：引导学生回顾角平分线的性质，思考如何利用该性质解决问题，引出本节课的主题 — 角平分线的综合应用。 探究新知 1.探究角平分线的综合应用 展示题目：在相关图形条件下（具体见 PPT），提问可以添加什么条件使 CM 是∠ACD 的平分线，AM 是∠CAB 的平分线。 学生思考：让学生自主思考，尝试找出答案。 讲解思路：解：可以添加条件 MN = ME（或 MN = MF）。因为 ME⊥CD，MN⊥CA，所以 M 在∠ACD 的平分线上，即 CM 是∠ACD 的平分线。同理可得 AM 是∠CAB 的平分线。通过这一问题，加深学生对角平分线判定的理解。 2.探究三角形三条角平分线交点的性质 活动 1：让学生分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三个内角的平分线，观察发现三条角平分线的交点情况。 活动 2：分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺测量每组垂线段的长度，观察并讨论发现了什么。 证明结论：在△ABC 中找到一点 P，使其到三边的距离相等。 证明过程：过点 P 作 PD⊥AB 于 D，PE⊥BC 于 E，PF⊥AC 于 F。因为 BM 是∠ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上，所以 PD = PE。同理可证 PD = PF，所以 PD = PE = PF，即点 P 到三边 AB、BC、CA 的距离相等。 得出结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等。 符号语言表述：在△ABC 中，若 AD、BE、CF 分别是∠BAC、∠ABC、∠ACB 的平分线，且 AD、BE、CF 相交于点 P，则 PD = PE = PF（PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC）。 三、例题解析 展示例题：如图 1 - 30，在△ABC 的外角∠DAC 的平分线上任取一点 P，作 PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为点 E，F。试探索 BE + PF 与 PB 的大小关系。 分析思路：引导学生思考如何利用角平分线的性质将线段进行转化，通过添加辅助线构造全等三角形或利用三角形三边关系来解决问题。 解答过程：（详细解答过程根据具体解题思路逐步呈现，此处假设通过在 AB 上截取 AG = AF，连接 PG，证明相关三角形全等后得到结论）因为 AP 是∠DAC 的平分线，PF⊥AC，PE⊥DB，所以 PE = PF。在△PBG 中，根据三角形三边关系，BG + PG > PB，通过全等证明可得 BG = BE，PG = PF，所以 BE + PF > PB 。 课堂小结 通过本节课的学习，你有什么收获？ 五、课堂练习 练习 1：如图，E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA 于点 C，ED⊥OB 于点 D。求证：（1）∠ECD = ∠EDC；（2）OC = OD 解答提示：（1）利用角平分线性质得到 EC = ED，再根据等腰三角形的性质证明∠ECD = ∠EDC；（2）在 Rt△ECO 和 Rt△EDO 中，利用 HL 定理证明全等，从而得出 OC = OD 练习 2：如图，在△ABC 中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，BC 分别平分∠BAD，∠ABE，点 C 在线段 DE 上。求证：AB = AD + BE 解答提示：过点 C 作 CF⊥AB 于点 F，利用角平分线性质得到 CF = CD，CF = CE，再通过证明 Rt△CFA≌Rt△CDA 和 Rt△CFB≌Rt△CEB，得出 AF = AD，FB = BE，进而证明 AB = AD + BE。 练习 3：如图，已知 BD 平分∠ABC，BA = BC，点 P 在 BD 上，作 PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为点 M，N。求证：PM = PN 解答提示：先利用 SAS 证明△ABD≌△CBD，得出∠ADB = ∠CDB，即 DP 为∠ADC 的平分线，再根据角平分线性质得出 PM = PN
板书设计 1.4角平分线的性质 第二课时 三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等
教学后记：