2025年九年级数学中考三轮冲刺练习几何压轴题训练（含解析）

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2025年九年级数学中考三轮冲刺练习几何压轴题训练
1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，其中点A，C的对应点分别为点A′，C′．
（1）如图1，当点A′落在AC的延长线上时，求AA′的长；
（2）如图2，当点C′落在AB的延长线上时，连接CC′，交A′B于点M，求BM的长；
（3）如图3，连接AA′，CC′，直线CC′交AA′于点D，点E为AC的中点，连接DE．在旋转过程中，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值；若不存在，请说明理由．
2．如图，在矩形ABCD中，线段EF、GH分别平行于AD、AB，它们相交于点P，点P1、P2分别在线段PF、PH上，PP1＝PG，PP2＝PE，连接P1H、P2F，P1H与P2F相交于点Q．已知AG：GD＝AE：EB＝1：2，设AG＝a，AE＝b．
（1）四边形EBHP的面积 　 　四边形GPFD的面积（填“＞”、“＝”或“＜”）
（2）求证：△P1FQ∽△P2HQ；
（3）设四边形PP1QP2的面积为S1，四边形CFQH的面积为S2，求的值．
3．如图，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（6，0），动点P、Q同时从点O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点B时点P、Q同时停止运动．过点Q作MN∥OB分别交AO、AB于点M、N，连接PM、PN．设运动时间为t（秒）．
（1）求点M的坐标（用含t的式子表示）；
（2）求四边形MNBP面积的最大值或最小值；
（3）是否存在这样的直线l，总能平分四边形MNBP的面积？如果存在，请求出直线l的解析式；如果不存在，请说明理由；
（4）连接AP，当∠OAP＝∠BPN时，求点N到OA的距离．
4．【模型建立】
（1）如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，点C关于AD的对称点F在BD边上．
①求证：AE＝CD；
②用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由；
【模型应用】
（2）如图2，△ABC是直角三角形，AB＝AC，CD⊥BD，垂足为D，点C关于AD的对称点F在BD边上．用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由；
【模型迁移】
（3）在（2）的条件下，若AD＝4，BD＝3CD，求cos∠AFB的值．
5．综合与实践：
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
（1）发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：　 　，∠BDC＝　 　°；
（2）类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAF＝90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系：　 　；
（4）实践应用：正方形ABCD中，AB＝2，若平面内存在点P满足∠BPD＝90°，PD＝1，则S△ABP＝　 　．
6．已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＜OA），∠AOB＝∠MON＝90°．
（1）如图1，连接AM，BN，求证：AM＝BN；
（2）将△MON绕点O顺时针旋转．
①如图2，当点M恰好在AB边上时，求证：AM2+BM2＝2OM2；
②当点A，M，N在同一条直线上时，若OA＝4，OM＝3，请直接写出线段AM的长．
7．如图，△ABC中，A（a，0），B（b，0），C（0，c），且满足b2，
（1）BD⊥AC于D，交y轴于M，求M点坐标；
（2）过点A作AG⊥BC于G，交OC于N，若∠CAN＝15°，求AN的长；
（3）P为第一象限一点，PQ⊥PA交y轴于Q．在PQ上截取PE＝PA，F为CE的中点，求∠OPF的度数．
8．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，若∠EAB+∠FAD＝∠EAF则线段BE、DF、EF之间的数量关系是 　 　．
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，若EF＝BE+FD，探究∠EAB、∠FAD、∠EAF的之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E是线段AB上一点，CE⊥CF，且CE＝CF，过点F作FD⊥FC交CA的延长线于D，过E作EG⊥EC交BC于G，连接DG．若DF＝7，EG＝1，求DG的长．
9．如图①，△ABC是等边三角形，AB＝6．点P从点A出发，沿折线AB﹣BC运动．当点P不与点A重合时，连结AP，以AP为边向其右侧作等腰三角形APQ，使∠AQP＝120°，延长AQ交边BC于点D，当点D与点C重合，点P停止运动，连结PD
（1）当点P在边AB上运动时，AD的长为 　 　．
（2）如图②，当点P在边BC上时，求证：．
（3）点P在整个运动过程中，当△PDQ是轴对称图形时，求PD的长．
（4）点P在整个运动过程中，当AB＝3BP时，直接写出PD的长
10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，点E在BC边上（点E不与点B，C重合），连接DE，过点D作DF⊥DE交AC于点F，连接EF．
（1）求证：AF2+BE2＝EF2
（2）若AC＝7，BC＝5，EC＝1，直接写出线段AF的长．
11．如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点E，∠ABD＝∠ADB．
（1）求证：AC垂直平分BD；
（2）过点B作BF∥CD交CA的延长线于F，如果AB＝AF；
①求证：△BCD是等边三角形；
②如果G、H分别是线段AC、线段CD上的动点，当GH+AH为最小值时，请确定点H的位置，并思考此时GH与CH有怎样的数量关系．
12．如图，点E在正方形ABCD对角线BD上，连接AE、CE，点F为AB上一点，连接CF，
交BD于点G．连接EF，若AE＝EF．
（1）求证：AE＝CE；
（2）求∠ECF的度数；
（3）经探究，DE、BG、EG三条线段满足某种数量关系，请直接写出们之间的关系式．
13．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E分别为BC上两动点，BD＝CE．
（1）如图1，若EH⊥AD于H交AB于K，求证：AE＝EK；
（2）如图2，若EF∥AD交AC于F，GF⊥AG，AG＝GF，求证：；
（3）如图3，若AB＝4，将AE绕点E顺时针旋转90°得EM，N为BM中点，当取得最小值时，请直接写出△ACD的面积．
14．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，点O为BC的中点，点D是线段OB上的动点（点D不与点O，B重合），将△ABD沿直线AD折叠得到△AED，连接CE．
（1）若AB＝AC＝5，∠BAD＝15°，求CE的长；
（2）若∠BAD＝α，则∠AEC＝　 　；
（3）若△ACE是等边三角形，请直接写出的值．
15．已知，如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG与DC的延长线交于点F．
（1）求证：∠FGC＝∠AGD．
（2）若CD＝8，BE＝2，求⊙O的半径长；
（3）若G是的中点，CECF＝2，求GF的长．
16．如图1，F为正方形ABCD内一点，点E在边AD上（不与端点A，D重合），BE垂直平分AF交AF于点O，连接CF．过点D作DG∥CF交射线AF于点G．
（1）求∠AFC的大小；
（2）求证：．
（3）如图2，连接OD，若OD⊥DG，求的值．
17．△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕C逆时针旋转得△DEC，旋转角为α，连接BD，AD，BE，DE．
（1）如图1，求证：△ADC∽△BEC；
（2）如图2，若∠BAC＝90°，α＝30°，EC＝1，求BE的长；
（3）如图3，若∠BAD＝∠BCD，AB＝4，BE的长为x，△ABE的面积为y，求y与x的函数关系．
18．如图，已知△ABC是等边三角形，AB＝8，M为AC中点，D为BC边上一动点，将AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE、DE、ME．
（1）求证：CD+CE＝CA；
（2）求出点M到CE所在直线的距离；
（3）当ME时，求CE的值．
参考答案
1．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC4，
∵∠ACB＝90°，△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，点A′落在AC的延长线上，
∴∠A'CB＝90°，A'B＝AB＝5，
Rt△A'BC中，A'C4，
∴AA'＝AC+A'C＝8；
（2）过C作CE∥A'B交AB于E，过C作CD⊥AB于D，如图：
∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，
∴∠A'BC'＝∠ABC，BC'＝BC＝3，
∵CE∥A'B，
∴∠A'BC'＝∠CEB，
∴∠CEB＝∠ABC，
∴CE＝BC＝3，
Rt△ABC中，S△ABCAC BCAB CD，AC＝4，BC＝3，AB＝5，
∴CD，
Rt△CED中，DE，
同理BD，
∴BE＝DE+BD，C'E＝BC'+BE＝3，
∵CE∥A'B，
∴，
∴，
∴BM；
（3）DE存在最小值1，理由如下：
过A作AP∥A'C'交C'D延长线于P，连接A'C，如图：
∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，
∴BC＝BC'，∠ACB＝∠A'C'B＝90°，AC＝A'C'，
∴∠BCC'＝∠BC'C，
而∠ACP＝180°﹣∠ACB﹣∠BCC'＝90°﹣∠BCC'，
∠A'C'D＝∠A'C'B﹣∠BC'C＝90°﹣∠BC'C，
∴∠ACP＝∠A'C'D，
∵AP∥A'C'，
∴∠P＝∠A'C'D，
∴∠P＝∠ACP，
∴AP＝AC，
∴AP＝A'C'，
在△APD和△A'C'D中，
，
∴△APD≌△A'C'D（AAS），
∴AD＝A'D，即D是AA'中点，
∵点E为AC的中点，
∴DE是△AA'C的中位线，
∴DEA'C，
要使DE最小，只需A'C最小，此时A'、C、B共线，A'C的最小值为A'B﹣BC＝AB﹣BC＝2，
∴DE最小为A'C＝1．
2．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∵GH∥AB，
∴∠B＝∠GHC＝90°，∠A＝∠PGD＝90°，
∵EF∥AD，
∴∠PGD＝∠HPF＝90°，
∴四边形PFCH为矩形，
同理可得，四边形AGPE、GDFP、EPHB均为矩形，
∵AG＝a，AE＝b，AG：GD＝AE：EB＝1：2，
∴PE＝a，PG＝b，GD＝PF＝2a，EB＝PH＝2b，
∴四边形EBHP的面积＝PE PH＝2ab，四边形GPFD的面积＝PG PF＝2ab，
故答案为：＝；
（2）∵PP1＝PG，PP2＝PE，
由（1）知PE PH＝2ab，PG PF＝2ab，
∴PP2 PH＝PP1 PF，
即，
又∵∠FPP2＝∠HPP1，
∴△PP2F∽△PP1H，
∴∠PFP2＝∠PHP1，
∵∠P1QF＝∠P2QH，
∴△P1FQ∽△P2HQ；
（3）连接P1P2、FH，
∵，，
∴，
∵∠P1PP2＝∠C＝90°，
∴△PP1P2∽△CFH，
∴，（）2，
由（2）中△P1FQ∽△P2HQ，得，
∴，
∵∠P1QP2＝∠FQH，
∴△P1QP2∽△FQH，
∴（）2，
∵S1，S2＝S△CFH+S△FQH，
∴S1S△CFHS△FQHS2，
∴．
3．【解答】解：（1）过点A作x轴的垂线，交MN于点E，交OB于点F，
由题意得：OQ＝2t，OP＝3t，PB＝6﹣3t，
∵O（0，0），A（3，4），B（6，0），
∴OF＝FB＝3，AF＝4，OA＝AB，
∵MN∥OB，
∴∠OQM＝∠OFA，∠OMQ＝∠AOF，
∴△OQM∽△AFO，
∴，
∴，
∴QM，
∴点M的坐标是（）．
（2）∵MN∥OB，
∴四边形QEFO是矩形，
∴QE＝OF，
∴ME＝OF﹣QM＝3，
∵OA＝AB，
∴ME＝NE，
∴MN＝2ME＝6﹣3t，
∴S四边形MNBP＝S△MNP+S△BNP
MN OQ BP OQ
＝﹣6t2+12t
＝﹣6（t﹣1）2+6，
∵点P到达点B时，P、Q同时停止，
∴0＜t＜2，
∴t＝1时，四边形MNBP的最大面积为6，四边形
MNBP
面积不存在最小值．
（3）∵MN＝6﹣3t，BP＝6﹣3t，
∴MN＝BP，
∵MN∥BP，
∴四边形MNBP是平行四边形，
∴平分四边形MNBP面积的直线经过四边形的中心，即MB的中点，
设中点为H（x，y），
∵M（），B（6，0），
∴x，
y．
∴x，
化简得：y，
∴直线l的解析式为：y．
（4）①当t＝0时，点M和点P均在点O处，∠BPN＝∠OAP＝0°，
此时点N在点B处，
∴点N到OA的距离为△OAB边OA上的高，记为h，
∵S△OABOB AFOA h，
∴6×45h，
∴点N到OA的距离为：h；
②当0＜t＜2时，
∵OQ＝2t，QMt，
∴OMt，
∵MN∥OB，
∴，
∴OM＝BNt，
∵OA＝AB，
∴∠AOB＝∠PBN，
又∵∠OAP＝∠BPN，
∴△AOP∽△PBN，
∴，
∴，
解得：t1，t2＝0（舍去）．
∵MN＝6﹣3t，AE＝AF﹣OQ，ME＝3，
∴MN＝6﹣3，
AE，
ME，
∴AM．
设点N到OA的距离为h，
∵S△AMNMN AEAM h，
∴，
解得：h；
③当t＝2时，不符合题意；
综上所述：点N到OA的距离为或．
4．【解答】（1）证明：①∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝60°，
∴∠ABE＝∠CBD，
∴△ABE≌△CBD，
∴AE＝CD；
②解：AD＝BD+DF．
理由如下：
∵△BDE是等边三角形，
∴BD＝DE，
∵点C与点F关于AD对称，
∴CD＝DF，
∵AD＝AE+DE，
∴AD＝BD+DF；
（2）BD+DFAD．
理由如下：
如图1，过点B作BE⊥AD于E，
∵点C与点F关于AD对称，
∴∠ADC＝∠ADB，
又∵CD⊥BD，
∴∠ADC＝∠ADB＝45°，
又∵BE⊥AD，
∴△BDE是等腰直角三角形，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴，∠ABC＝∠EBD＝45°，
∴∠ABE＝∠CBD，
∴△ABE∽△CBD，
∴，CD＝DF，
∴DFAE，
∵△BDE是等腰直角三角形，
∴BD，
∴BD+DF，
即：BD+DFAD．
（3）解：如图2，过点A作AG⊥BD于G，
又∵∠ADB＝45°，
∴△AGD是等腰直角三角形，
又∵AD＝4，
∴AG＝DG＝4，BD+DFAD＝8，
∵BD＝3CD，CD＝DF，
∴DF＝2，
又∵DG＝4，
∴FG＝DG﹣DF＝2，
在Rt△AFG中，由勾股定理得：，
∴cos∠AFB．
5．【解答】解：（1）BE＝CF，∠BDC＝30°，
理由如下：如图1所示：
∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，
∴AB＝AC，AE＝AF，
又∵∠BAC＝∠EAF＝30°，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴BE＝CF，
∴∠ABE＝∠ACD，
∵∠AOE＝∠ABE+∠BAC，
∠AOE＝∠ACD+∠BDC，
∴∠BDC＝∠BAC＝30°；
（2）BE＝CF，∠BDC＝60°，
理由如下：如图2所示：
证明：∵∠BAC＝∠EAF＝120°，
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC，
即∠BAE＝∠CAF，
又∵△ABC和△AEF都是等腰三角形，
∴AB＝AC，AE＝AF，
∴△BAE≌△CAF（SAS）
∴BE＝CF，
∴∠AEB＝∠AFC，
∵∠EAF＝120°，AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE＝30°，
∴∠BDC＝∠BEF﹣∠EFD＝∠AEB+30°﹣（∠AFC﹣30°）＝60°；
（3）BF＝CF+2AM，
理由如下：如图3所示：
∵△ABC和△AEF都是等腰三角形，
∴∠CAB＝∠EAF＝90°，AB＝AC，AE＝AF，
∴∠CAB﹣∠CAE＝∠FAE﹣∠CAE，
即：∠BAE＝∠CAF，
∴△BAE≌△CAE（SAS），
∴BE＝CF，
∵AM⊥BF，AE＝AF，∠EAF＝90°，
∴EF＝2AM，
∵BF＝BE+EF，
∴BF＝CF+2AM；
（4））如图4所示：
连接BD，以BD为直径作圆，
由题意，取满足条件的点P，P′，则PD＝P′D＝1．∠BPD＝∠BP′D＝90°，
∴BD＝2，
∴BP，
连接PA，作AF⊥PB于点F，在BP上截取BE＝PD，
∵∠PDA＝ABE，AD＝AB，
∴△ADP≌△ABE（SAS），
∴AP＝AE，∠BAE＝∠DAP，
∴∠PAE＝90°，
由（3）可得：PB﹣PD＝2AF，
∴AF，
∴S△PABPB AF，
同理可得：S△P′AB，
故△ABP的面积为：或．
6．【解答】（1）证明：如图1，
∵∠AOB＝∠MON＝90°，
∴∠AOB+∠AON＝∠MON+∠AON，
即∠AOM＝∠BON，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，
∴OA＝OB，OM＝ON，
∴△AOM≌△BON（SAS），
∴AM＝BN；
（2）①证明：如图2，连接BN，
∵∠AOB＝∠MON＝90°，
∴∠AOB﹣∠BOM＝∠MON﹣∠BOM，
即∠AOM＝∠BON，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，
∴OA＝OB，OM＝ON，
∴△AOM≌△BON（SAS），
∴∠MAO＝∠NBO＝45°，AM＝BN，
∴∠MBN＝90°，
∴MB2+BN2＝MN2，
∵△MON是等腰直角三角形，
∴MN2＝2ON2，
∴AM2+BM2＝2OM2；
②解：如图3，
当点N在线段AM上时，连接BN，设BN＝x，
由（1）可知△AOM≌△BON，可得AM＝BN且AM⊥BN，
在Rt△ABN中，AN2+BN2＝AB2，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OA＝4，OM＝3，
∴MN＝3，AB＝4，
∴（x﹣3）2+x2＝（4）2，
解得：x，
∴AM＝BN，
如图4，
当点M在线段AN上时，连接BN，设BN＝x，
由（1）可知△AOM≌△BON，可得AM＝BN且AM⊥BN，
在Rt△ABN中，AN2+BN2＝AB2，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OA＝4，OM＝3，
∴MN＝3，AB＝4，
∴（x+3）2+x2＝（4）2，
解得：x，
∴AM＝BN，
综上所述，线段AM的长为或．
7．【解答】解：（1）由题可得，a﹣c≥0，c﹣a≥0，
∴a＝c，即OA＝OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠OAD＝45°，
又∵BD⊥AC，
∴∠ABD＝45°，
又∵∠BOM＝90°，
∴△BOM是等腰直角三角形，
∴OB＝OM，
∵b2，且a＝c，
∴b＝﹣2，即OB＝2，
∴OM＝2，
∴M（0，2）；
（2）∵∠CAN＝15°，∠OAC＝45°，
∴∠OAN＝30°，
∵AG⊥BC，CO⊥AO，∠ANO＝∠CNG，
∴∠BCO＝∠OAN＝30°，
在△BOC和△NOA中，
，
∴△BOC≌△NOA（ASA），
∴BC＝NA，
又∵Rt△BOC中，BC＝2BO＝4，
∴AN＝4；
（3）如图3，连接OF，把△OCF绕点O顺时针旋转90°至△OAD处，连接DP，
由旋转可得，AD＝CF＝EF，∠OCF＝∠OAD，OF＝OD，
∵∠AOQ+∠APQ＝180°，
∴∠OAP+∠OQP＝180°，
又∵∠EQC+∠OQP＝180°，
∴∠OAP＝∠EQC，
∴∠PEF＝∠PAD，
在△PEF和△PAD中，
，
∴△PEF≌△PAD（SAS），
∴PF＝PD，∠FPE＝∠DPA，
∴∠FPD＝∠QPA＝90°，
∵在△OPF和△OPD中，
，
∴△OPF≌△OPD（SSS），
∴∠OPF＝∠OPD∠FPD＝45°．
8．【解答】解：（1）如图，在EB延长线上取点C，使BG＝DF，连接AG．
在Rt△ADF和Rt△ABG中，AD＝AB，DF＝BG，
∴Rt△ADF≌Rt△ABG（HL）．
∴AG＝AF，∠FAD＝∠GAB，
∵∠EAB+∠FAD＝∠EAF，
∴∠EAG＝∠EAB+∠GAB＝∠EAF．
在△EAG和△EAF中，AG＝AF，∠EAG＝∠EAF，AE＝AE，
∴△EAG≌△EAF（SAS）．
∴EF＝GE＝BG+BE＝BE+DF．
故答案为：BE+DF＝EF．
（2）结论：∠EAB+∠FAD＝∠EAF．
理由：在EB延长线上取点G，使BG＝DF，连接AG.
∵∠ABE+∠D＝180°．
∴∠ABG＝∠D．
在△ADF和△ABG中，AB＝AD，∠ABG＝∠D，BG＝DF，
∴△ADF≌△ABG（SAS）．
∴AF＝AG，∠FAD＝∠GAB．
在△AEF和△AEG中，AF＝AG，EF＝BE+DF＝BE+BG＝EG，AE＝AF，
∴△AEF≌△AEG（SSS）．
∴∠EAF＝∠EAG，
∴∠EAF＝∠GAB+∠EAB＝∠EAB+∠FAD．
（3）在DF上取点H，使HF＝EG．根据题意△CEG和△CFH都是直角三角形．
∵EC＝FC，HF＝EG，
∴Rt△CEG≌Rt△CFH（HL）．
∴CG＝CH，∠ECG＝∠FCH，
又∵∠ECH+∠FCH＝90°，
∴∠HCG＝∠ECH+∠ECG＝90°，
∴∠DCG＝∠DCH＝45°．
在△DCG和△DCH中，CG＝CH，∠DCG＝∠DCH，DC＝DC，
∴△DCG≌△DCH（SAS），
∴DG＝DH＝DF﹣HF＝DF﹣EG＝6．
9．【解答】解：（1）∵等腰三角形APQ，∠AQP＝120°，
∴∠APQ＝∠QPA＝30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴∠DAC＝30°，
∴AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴BDBC＝3，
∴ADBD＝3．
（2）∵∠BAC＝60°，∠PAQ＝30°，
∴∠BAP+∠CAD＝30°∠BAC．
（3）①如图，当PD＝PQ时．
∵∠APQ＝∠QPA＝30°，
∴∠PQD＝∠APQ+∠QPA＝60°，
∴△PDQ为等边三角形，
∴∠ADP＝60°，
∴∠DPA＝90°，
∴PDAD．
②如图1，∠PQD＝60°，
故当△PDQ有任意两边相等时，
△PDQ为等边三角形，
∴∠PDQ＝60°，
则∠PDQ与∠ACB重合．
如图2所示：
则PDBC．
综上所述，PD或．
（4）①如图，当此时AB＝3BP时，过P作PM⊥AD．
∴AP＝4，
∴PMAP＝2，
∴AMPM＝2，
∴MD＝AD﹣AM，
∴PD．
②如图，当此时AB＝3BP时，
把△ABP绕点A逆时针旋转60°得△ACN，连ND、NC，
过N作NM⊥BC，交BC延长线于M．
∴CN＝PB＝2，∠ACN＝∠B＝60°，∠CAN＝∠BAP．
∵∠PAQ＝30°，
∴∠BAP+∠DAC＝30°，
∴∠CAN+∠DAC＝30°，
∴∠DAN＝∠PAD＝30°．
在△PAD和△NAD中，
，
∴△PAD≌△NAD（SAS），
∴DP＝DN．
∵∠NCM＝180°﹣∠ACB﹣∠ACN＝60°，
∴∠CNM＝30°，
∴CMCN＝1，
∴NMCM．
∵BP＝2，
∴PC＝4，
∴PN＝PC+CN＝5，
∴DN＝PN﹣PD＝5﹣x，
∵DN2+MN2＝DM2，
∴（5﹣x）2+3＝x2，
∴x．
∴PD．
综上所述，PD或．
10．【解答】证明：（1）延长ED至M使DM＝DE，连接AM，
∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
在△BDE与△ADM中，
，
∴△BDE≌△ADM（SAS），
∴AM＝BE，∠DAM＝∠B，
∴AM∥BC，
∴∠MAF＝180°﹣∠C＝90°，
连接MF，
∵FD⊥ME，DE＝DM，
∴MF＝FE，
∴在Rt△MAF中，
AM2+AF2＝MF2，
即：AF2+BE2＝EF2；
解：（2）设AF＝x，
∵AC＝7，BC＝5，CE＝1，
则CF＝AC﹣AF＝7﹣x，
BE＝BC﹣CE＝4，
∵∠C＝90°，
∴CF2+CE2＝EF2，
即：EF2＝（7﹣x）2+1，
由（1）知：MF＝EF，∠BAF＝90°，AM＝BE，
∴MF2＝（7﹣x）2+1，AM＝4，
∵∠BAF＝90°，
∴AF2+AM2＝MF2，
即：x2+42＝（7﹣x）2+1，
解得：x，
即：AF．
11．【解答】（1）证明：∵∠ABD＝∠ADB，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴AB＝AD，∠ABC﹣∠ABD＝∠ADC﹣∠ADB，
∴A在BD的垂直平分上，∠CBD＝∠CDB，
∴CB＝CD，
∴C在BD的垂直平分上，
∴AC垂直平分BD；
（2）①证明：设∠F＝α，
∵AB＝AF，
∴∠ABF＝∠F＝α，
∵∠BAC是△ABF的外角，
∴∠BAC＝∠F+∠AFB＝2α，
由（1）AC⊥BD，CB＝CD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∵BF∥CD，
∴∠F＝∠DCE，
∴∠F＝∠BCE＝α，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BCE+∠BAC＝90°，即α+2α＝90°，
则α＝30°，
∴∠DCB＝2∠BCE＝60°，
∵BC＝CD，
∴△BCD是等边三角形；
②GH+AH为最小值时，GH与CH的数量关系是CH＝2GH，
理由：
延长AD至A′，使DA′＝AD，
∵CD⊥AD，
∴A与A′关于CD成轴对称，过A′作A′G⊥AC于G交CD于H，连接AH，
∴AH＝A′H，
∴AH+GH＝A′H+GH＝A′G，此时GH+AH为最小，
由①知：∠DCE＝30°，即∠GCH＝30°，
∵A′G⊥AC即GH⊥CG，
∴在Rt△GCH中，∠GCH＝30°，
∴CH＝2GH，
∴GH+AH为最小值时，GH与CH的数量关系是CH＝2GH．
12．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE＝∠CDE＝45°，
∵DA＝DC，DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴AE＝CE．
（2）解：∵EA＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA．
设∠DCE＝∠DAE＝x，则∠DEC＝∠DEA＝135°﹣x，∠EAF＝∠EFA＝90°﹣x，
∴∠AEF＝180°﹣2∠EAF＝2x，
∴∠FEC＝360°﹣2∠DEC﹣∠AEF＝90°．
∵EF＝EC，
∴∠ECF45°．
（3）解：GE2＝BG2+ED2，证明如下，
将△BCG绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCG'，连接EG'，
∵∠ECF＝45°，
∴∠ECG'＝∠DCG'+∠ECD＝∠BCG+∠ECD＝45°＝∠ECG，
∵GC＝G'C，EC＝EC，
∴△GCE≌△G'CE（SAS），
∴EG＝EG'．
∵∠EDG'＝∠EDC+∠G'DC＝45°+45°＝90°，
∴ED2+G'D2＝G'E2，
即GE2＝BG2+ED2．
13．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABD＝∠ACE，
在△ABD 和△ACE 中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵∠BAC＝90°，EH⊥AD于H交AB于K，
∴∠AKE＝90°﹣∠BAD，∠KAE＝90°﹣∠CAE，
∴∠AKE＝∠KAE，
∴AE＝EK；
（2）证明：如图，过点C作CH⊥AC，交FE的延长线于点P，
∴∠PCA＝90°，AB＝AC，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∵BD＝CE，
∴△ABD≌△ACE，
∴AD＝AE，AB＝PC＝AC，
∴AD+EF＝PE+EF＝PF，
过G作QG⊥GC，使GC＝GQ，
∴△GCQ是等腰直角三角形，
∴，
连接FQ，CQ，
∵GF⊥AG，GF＝AG，
∴△AGF是等腰直角三角形，
∴△GAC≌△GFQ，
∴AC＝FQ，∠GAC＝∠GFQ＝45°，
∴∠AFQ＝∠AFG+∠GFQ＝90°，
∴∠QFC＝∠PCF＝90°，
∴PC∥FQ，
∵AC＝PC＝FQ，
∴四边形FPCQ是平行四边形，
∴PF＝CQ，
∵PF＝AD+EF，
∴AD+EFCG；
（3）解：如图，过点A作AG⊥BC于G，过点M作MP⊥BC延长线于P，连接MC，连接GN交AM于H，过点N作NF∥AM交AB于F，
∵AE＝ME，∠AEM＝90°，
∴∠GAE+∠GEA＝∠PEM+∠GEA＝90°，
∴∠GAE＝∠PEM，
在AGAE 和△PEM 中，
，
∴△GAE≌△PEM（AAS），
∴AG＝EP，GE＝PM，
又∵AG＝GC，
∴GC＝EP，
∴GC﹣EC＝EP﹣EC，
∴GE＝CP，
∴PM＝CP，
∴∠MCP＝45°
∵G为BC中点，N为BM中点，
∴GN∥CM，
∴∠NGC＝45°，
∵N为BM中点，FN∥AM，
∴FN是△BAM的中位线，
∴F是AB的中点，FNAM，
在△AGN和△CGN 中，
，
.∴△GNA≌△CGN（SAS），
∴AN＝CN，
∴ANAM＝CN+NF，
∴如图，当C、N、F三点共线时，CN+NF 的值最小（两点之间，线段最短），
此时ANAM取得最小值，
∵∠MCP＝∠ABC＝45°，
∴MC I∥AF，
又∵NF∥AM，
∴四边形AFCM是平行四边形，
∴MC＝FAAB＝2，
∴MP＝EG，AG＝BG＝CG2，
∴BD＝CE＝2，CD＝2，
∴S△ACD CD AG326．
14．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝120°，
由折叠可得：∠BAE＝2∠BAD＝2×15°＝30°，AE＝AB，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝90°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CEAC＝5；
（2）由折叠可得：∠BAE＝2∠BAD＝2α，AE＝AB，
∵AB＝AC，
∴AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACE，
由（1）知：∠BAC＝120°，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝120°﹣2α，
∴∠AEC30°+α，
故答案为：30°+α；
（3）若△ACE是等边三角形，
∴∠CAE＝∠AEC＝60°，AC＝CE＝AE，
由（1）知：∠BAC＝120°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE＝60°，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵AB＝AC，
∴AE⊥BC且过O点，
即CO⊥AE，
∵AC＝CE，
∴OE＝OAAE，
∴CE＝2OE，
在Rt△COE中，
由勾股定理可得：COOE，
∵点O为BC的中点，
∴CB＝2OE＝2OE，
∴；
15．【解答】（1）证明：如图1，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴弧AD＝弧AC，
∴AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∵点A、D、C、G在⊙O上，
∴∠FGC＝∠ADC，
∵∠AGD＝∠ACD，
∴∠FGC＝∠AGD；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB于E点，
∴DE＝0.5CD＝0.5×8＝4，
∠ADB＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADB＝∠BED＝∠AED＝90°，
∴∠AB D+∠BAD＝90°，
∠BAD+∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠ABD，
∴Rt△ADE∽Rt△DBE，
∴，
∴DE2＝AE BE，
∵BE＝2，
∴AE＝AB﹣BE＝AB﹣2，
∴16＝（AB﹣2）×2，
解得：AB＝10，
∴OB＝0.5AB＝5，
∴⊙O的半径为：5；
（3）解：如图，过点G作GH⊥DF于点H，
∵∠DAG+∠DCG＝180°，
∠DCG+∠FCG＝180°，
∴∠DAG＝∠FCG，
∵弧AG＝弧GC，
∴AG＝CG，
∵∠AGD＝∠FGC，
∴△DAGE≌△FCG（ASA），
∴CF＝AD＝3，DG＝FG，
∵GH⊥DF，
∴DH＝FH，
∵AB⊥CD，
∴DE＝EC＝2，
∴DF＝2+2+3＝7，
∴DH＝HF＝3.5，
∴AE，
∴AF2＝AE2+EF2
∴FA，
∵GH∥AE，
∴，
∴，
∴FG，
16．【解答】解：（1）连接BF，
∵BE垂直平分AF，
∴BA＝BF，
∴∠BOF＝90°，∠ABO＝∠OBF，
作BQ⊥CF于Q，
∴∠BQF＝90°
又∵AB＝BC，
∴BF＝BC，
∴∠CBQ＝∠FBQ，
∵∠CBQ+∠FBQ+∠ABO+∠OBF＝∠ABC＝90°，
∴∠FBQ+∠OBF＝45°即∠OBQ＝45°，
又∵∠BOF+∠BQF＝180°，
而四边形OBQ内角和为360°，
∴∠OBQ+∠AFQ＝180°，
∴∠AFQ＝135°，即∠AFC＝135°；
（2）证明：过点D作DH⊥AG于点H，如图所示：
∴∠DHG＝90°，
由（1）知：∠AFC＝135°，
∴∠CFG＝180°﹣∠AFC＝45°，
∵DG∥CF，
∴∠DGF＝∠CFG＝45°，
∴∠DGF＝∠GDH＝45°，
∴DH＝HG，
在Rt△DHG中，DG2＝DH2+GH2，
∴，
∵∠AOB＝∠DHA＝∠BAD＝90°，
∴∠DAH+∠BAO＝∠ABO+∠BAO＝90°，即∠ABO＝∠DAH，
∵BA＝AD，
∴△ABO≌△DAH（AAS），
∴AO＝DH，
∴；
（3）连接AC、CG，
由（1）可知∠AFC＝135°，
∵∠AFC+∠CFG＝180°，
∴∠CFG＝45°，
∵DG∥CF，
∴∠DGF＝∠CFG＝45°，
∵OG⊥DG，
∴∠ODG＝90°，
∵∠DGF+∠DOG＝90°，
∴∠DGF＝∠DOG＝45°，
∴△ODG是等腰直角三角形，
∴OGDG，CD＝DG，
由（2）知AFDG，
∴AF＝OG，
∴AO＝FG，
∴AO＝CG，
∵AF＝2OA，
∴2OADG＝2CG，
∴CG，
∴AG＝AF+FGDGDGDG，
又∵AC为正方形ABCD对角线，
∴ACAD，
在RT△AGC中由勾股定理得：
AC2＝CG2+AG2，
∴，
解得：．
17．【解答】（1）证明：如图1，
由旋转得，DC＝AC，BC＝EC，
∴AC：BC＝DC：EC，
∵∠ACD＝∠BCE＝α，
∴△ADC∽△BEC．
（2）如图2，设DE，BC交于点M，
作MN⊥EC于N，
设MN＝x，
∵∠MEN＝45°，
∴EN＝x，
∵∠MCN＝30°，
∴CNx，
∵CE1，即x+x1，
∴x＝1，
∴MEx，
∵∠EBM＝∠ENB，
∴BE＝EM．
（3）延长AB，作EF⊥AB于F，
设∠BAD＝∠BCD＝β，
∴∠ACB＝α+β，
∵CA＝CD，∠ACD＝α，
∴∠CAD＝90°α，
∴∠BAC＝90°α+β，
∴90°α+β+2（α+β）＝180°，
整理得，α+β＝30°，
∵∠ABC＝∠ACB＝α+β，∠CAD＝∠EBC＝90°α，
∴∠EBF＝180°﹣（α+β）﹣（90°α）＝90﹣（α+β）＝60°，
∵BE的长为x，
∴EF＝sin60° xx，
∵AB＝4，
∴△ABE的面积为y＝4x，
∴．
18．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°，
∵AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∵BC＝BD+CD，
∴BC＝CE+CD，
∴CD+CE＝CA，
（2）∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE＝60°，
∵点M为AC的中点，AC＝AB＝8，
∴AM＝CMAC＝4，
过点M作MH⊥CE所在的直线于点H，
∴∠MHC＝90°，∠CMH＝30°，
∴CH，
∴MH2．
（3）过点M作MH⊥CE所在的直线于点H，
由（2）可知MH＝2，CH＝2，
在Rt△MHE中，∠MHE＝90°，ME，
∴HE，
当点H落在线段CE上时，
CE＝CH+HE＝2，
当点H落在线段CE的延长线上时，
CE＝CH﹣HE＝2，
∴CE的值为或．
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