19.2一次函数培优练习（含解析）人教版2024—2025学年八年级级下册

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19.2一次函数培优练习人教版2024—2025学年八年级级下册
一、选择题
1．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax和y＝﹣x+a（a＞0）的图象可能是（　）
A． B． C． D．
2．如图，一次函数y＝x+4的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点C是线段AO上一定点，点E，F分别为直线y＝x+4和y轴上的两个动点，当△CEF周长的最小值为6时，点C的坐标为（　　）
（﹣1，0） B．（，0）
C．（，0） D．（﹣2，0）
3．直线l1：y＝x﹣2与x轴交于点A，将直线l1绕点A顺时针旋转15°，得到直线l2，则直线l2对应的函数表达式是（　　）
A． B．
C． D．
4．当1≤x≤3时，一次函数y＝（m+1）x+m2+1有最大值4，则实数m的值为（　　）
A．﹣2或0 B．0或1 C．﹣2或﹣3 D．﹣3或1
5．已知一次函数y＝kx+b，当0≤x≤2时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤3，则k+b的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．1或2
二、填空题
6．已知一次函数y＝mx+8﹣2m（m为常数且m≠0）
（1）若该一次函数图象经过点（1，﹣2），则m＝ 　 　；
（2）当﹣2≤x≤5时，函数y有最大值14，则m的值为 　 　．
7．已知直线y＝﹣x+2交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴正半轴上的一点，连接PB．当△APB的面积等于4时，直线PB的表达式为 　 　．
8．若一次函数y＝（3﹣k）x﹣k的图象不经过第二象限，则k的取值范围是 　 　．
9．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示放置，点A1，A2，A3…和C1，C2，C3…分别在直线y＝﹣x+1和x轴上，则点B2024的纵坐标是 　 　，点Bn的纵坐标是 　 　．
10．已知，平面直角坐标系中，A（2，1），B（4，﹣7），y关于x的一次函数的表达式：y＝mx+2m﹣1．
（1）该一次函数图象经过一个定点，这个定点的坐标为　 　；
（2）若该一次函数图象与线段AB有交点，则m的取值范围为　 　．
三、解答题
11．如图（1）是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（两水槽底面积一样，圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上），两水槽在下侧位置连通（由连通阀门控制水流，连通阀门处的水量忽略不计）．现将连通阀门打开，甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y（cm）与注水时间x（min）之间的关系如图（2）所示．根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）乙槽中圆柱形铁块的高度为　 　cm，点C的实际意义为　 　；
（2）求线段CD所在直线的表达式；
（3）设乙槽的底面积为S1，圆柱形铁块的底面积为S2，求的值．
12．一次函数y1＝ax+b（a≠0）恒过定点（1，0）．
（1）若一次函数y1＝ax+b还经过（2，3）点，求y1的表达式；
（2）若有另一个一次函数y2＝bx+a．
①点A（m，p）和点B（n，p）分别在一次函数y1和y2的图象上，求证：m+n＝2；
②设函数y＝y1﹣y2，当﹣2≤x≤4时，函数y有最大值6，求a的值．
13．已知y﹣2与2x+1成正比例，且当x＝1时，y＝﹣1．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）设（1）中的函数图象与x轴交于A点，与y轴交于B点，求线段AB的长．
14．已知一次函数y1＝kx+b，y2＝bx﹣2k+3（其中k、b为常数且k≠0，b≠0）
（1）若y1与y2的图象交于点（2，3），求k，b的值；
（2）若b＝k﹣1，当﹣2≤x≤2时，函数y1有最大值3，求此时一次函数y1的表达式．
（3）若对任意实数x，y1＞y2都成立，求k的取值范围．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+5与x轴交于点B，直线l1与过点A（﹣4，0）的直线l2交于点P（﹣1，m）．
（1）求直线l2的函数表达式；
（2）若点M在直线l2上，MN∥y轴，交直线l1于点N，若MN＝10，求点M的坐标；
（3）若点Q在直线l1上且△APQ的面积是9，则点Q坐标为 　 　．
16．在平面直角坐标系中，已知直线l：y＝（k﹣1）x+3与y轴交于点P，矩形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣2，﹣2），C（3，﹣2）．
（1）若点D在直线l上，求k的值；
（2）若直线l将矩形面积分成相等的两部分，求直线l的函数表达式；
（3）若直线l与矩形ABCD有交点（含边界），直接写出k的取值范围．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5
答案 B B C A B
1．【解答】解：∵a＞0，
∴函数y＝ax是经过原点的直线，经过第一、三象限，
函数y＝﹣x+a是经过第一、二、四象限的直线，
故选：B．
2．【解答】解：作C关于y轴的对称点G，作C关于直线y＝x+4的对称点D，连接AD，连接DG交AB于E，交y轴于F，如图：
∴DE＝CE，CF＝GF，
∴CE+CF+EF＝DE+GF+EF＝DC，
此时△CEF 周长最小为6，
由y＝x+4得A（﹣4，0），B（0，4），
∴OA＝OB，△AOB是等腰直角三角形，
∵C、D关于AB对称，
∴∠DAB＝∠BAC＝45°
∴∠DAC＝90°，
设C（﹣c，0），则AD＝AC＝﹣c+4，OG＝OC＝c，
∴AG＝AO+OG＝4+c，
在Rt△ADG中，，
即 62＝（4﹣c）2+（4+c）2，
解得：（负值舍去），
∴，
故选：B．
3．【解答】解：如图所示，
将x＝0代入y＝x﹣2得，
y＝﹣2，
所以点B坐标为（0，﹣2）．
将y＝0代入y＝x﹣2得，
x＝2，
所以点A的坐标为（2，0），
所以OA＝OB＝2，
所以∠OBA＝∠OAB＝45°．
由旋转可知，
∠BAC＝15°，
∴∠OAC＝45°﹣15°＝30°．
在Rt△AOC中，
tan∠OAC，
所以OC，
则点C的坐标为（0，）．
令直线l2的函数表达式为y＝kx+b，
则，
解得，
所以直线l2的函数表达式为yx．
故选：C．
4．【解答】解：当m+1＞0，即m＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∴当x＝3时，一次函数y＝（m+1）x+m2+1有最大值4，
∴3（m+1）+m2+1＝4，
解得m1＝0，m2＝﹣3（舍去），
当m+1＜0，即m＜﹣1时，y随x的增大而减小，
∴当x＝1时，一次函数y＝（m+1）x+m2+1有最大值4，
∴（m+1）+m2+1＝4，
解得m1＝﹣2，m2＝1（舍去），
综上，当1≤x≤3时，一次函数y＝（m+1）x+m2+1有最大值4，则实数m的值为0或﹣2，
故选：A．
5．【解答】解：当k＞0时，y随x的增大而增大，即一次函数为增函数，
∴当x＝0时，y＝﹣1，当x＝2时，y＝3，
代入一次函数解析式y＝kx+b得：
，
解得：，
∴k+b＝2+（﹣1）＝1；
当k＜0时，y随x的增大而减小，即一次函数为减函数，
∴当x＝0时，y＝3，当x＝2时，y＝﹣1，
代入一次函数解析式y＝kx+b得：
，
解得：，
∴k+b＝（﹣2）+3＝1，
故选：B．
二、填空题
6．【解答】解：（1）由条件可得m+8﹣2m＝﹣2，
解得m＝10，
故答案为：10；
（2）当m＞0时，y随x增大而增大，则当x＝5时，y有最大值，
∴5m+8﹣2m＝14，解得m＝2；
当m＜0时，y随x增大而减小，则当x＝﹣2时，y有最大值，
∴﹣2m+8﹣2m＝14，解得，
综上所述，m的值为2或．
故答案为：2或．
7．【解答】解：由条件可知A（2，0），B（0，2），
设点P的坐标为（p，0）（p＞0），则AP＝|p﹣2|，
∵△APB的面积等于4，
∴，解得：p＝6或﹣2（不合题意，舍弃），
∴P（6，0），
设直线PB的解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴直线PB的表达式为．
故答案为：．
8．【解答】解：由题意知，一次函数y＝（3﹣k）x﹣k的图象不经过第二象限，
故，
解之得：0≤k＜3．
故答案为：0≤k＜3．
9．【解答】解：当x＝0时，y＝x+1＝1，
∴点A1的坐标为（0，1）．
∵A1B1C1O为正方形，
∴点C1的坐标为（1，0），点B1的坐标为（1，1）．
同理，可得：B2（3，2），B3（7，4），B4（15，8），
∴点Bn的坐标为（2n﹣1，2n﹣1），
∴点Bn的纵坐标为2n﹣1，
∴点B2024的纵坐标为22023．
故答案为：22023，2n﹣1．
10．【解答】解：（1）y＝mx+2m﹣1＝m（x+2）﹣1，
当x＝﹣2时，y＝﹣1，
∴无论m取何值，该函数的图象总经过定点（﹣2，﹣1），
故答案为：（﹣2，﹣1）．
（2）把A（2，1）代入y＝mx+2m﹣1得2m+2m﹣1＝1，解得m；
把B（4，﹣7）代入y＝mx+2m﹣1得4m+2m﹣1＝﹣7，解得m＝﹣1；
所以若该一次函数图象与线段AB有交点，则m的取值范围为﹣1≤m．
故答案为：﹣1≤m．
三、解答题
11．【解答】解：（1）根据函数图象可得AB，BC段的速度不一致，
从0到4min甲槽中的水匀速注入乙槽，B（4，14），
∴当x＝4时，乙槽中水面上升的高度等于乙槽中圆柱形铁块的高度：14cm
从4min到8min，乙槽中水面上升的高度等于甲槽中水面下降的高度，
∴点C的实际意义为当x＝8min时，两水槽中水的高度相同；
故答案为：14，当x＝8min时，两水槽中水的高度相同．
（2）由条件可知（29﹣14）÷3＝5，29﹣5×2＝19，
∴C（8，19），
设线段CD所在直线的函数表达式为y＝kx+h，由条件可知：
，
∴，
∴线段CD所在直线的函数表达式为；
（3）依题意，29S1+2（S1﹣S2）＝2×19S1﹣14S2，
∴．
12．【解答】（1）解：∵一次函数y1＝ax+b经过点（1，0）和点（2，3），
∴a+b＝0，2a+b＝3，解得：a＝3，b＝﹣3，
∴y1的表达式为：y1＝3x﹣3；
（2）①证明：∵一次函数y1＝ax+b（a≠0）恒过定点（1，0），
∴a+b＝0，
∴b＝﹣a，
∴y1的表达式为：y1＝ax﹣a，
∵y2＝bx+a，
∴y2＝﹣ax+a，
∵点A（m，p）在一次函数y1＝ax﹣a的图象上，
∴p＝ma﹣a，
∵点B（n，p）在一次函数y2＝﹣ax+a的图象上，
∴p＝﹣na+a，
∴ma﹣a＝﹣na+a，
即ma+na＝2a，
∵a≠0，
∴m+n＝2；
②解：由①得y1＝ax﹣a，y2＝﹣ax+a，
∵y＝y1﹣y2，
∴y＝（ax﹣a）﹣（﹣ax+a）＝2ax﹣2a，
∵a≠0，
∴有以下两种情况：
（ⅰ）当a＜0时，
对于y＝2ax﹣2a，y随x的增大而减小，
又∵﹣2≤x≤4，
∴当x＝﹣2时，y为最大，
∴2a×（﹣2）﹣2a＝6，
解得：a＝﹣1
（ⅱ）当a＞0时，
对于y＝2ax﹣2a，y随x的增大而增大，
又∵﹣2≤x≤4，
∴当x＝4时，y为最大，
∴2a×4﹣2a＝6，
解得：a＝1，
综上所述：当﹣2≤x≤4时，函数y有最大值6，a的值为﹣1或1．
13．【解答】解：（1）∵y﹣2与2x+1成正比例，
∴可以设y﹣2＝k（2x+1），
∵当x＝1时，y＝﹣1，
∴﹣1﹣2＝k（2×1+1），
解得k＝﹣1，
∴y﹣2＝﹣（2x+1），
∴y＝﹣2x+1，
即y与x的函数关系式是y＝﹣2x+1；
（2）由（1）知，y＝﹣2x+1，
∴当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝0.5；
∵（1）中的函数图象与x轴交于A点，与y轴交于B点，
∴点A的坐标为（0.5，0），点B的坐标为（0，1），
∴OA＝0.5，OB＝1，
∴AB，
即线段AB的长为．
14．【解答】解：（1）把（2，3）代入y1，y2，得：
，解得：；
（2）若b＝k﹣1，则：y1＝kx+k﹣1，
①当k＞0时，y随x的增大而增大，
∵﹣2≤x≤2，
∴当x＝2时，y有最大值为2k+k﹣1＝3，解得：；
∴；
①当k＜0时，y随x的增大而减小，
∵﹣2≤x≤2，
∴当x＝﹣2时，y有最大值为﹣2k+k﹣1＝3，解得：k＝﹣4；
∴y1＝﹣4x﹣5
综上：或y1＝﹣4x﹣5．
（3）由题意：两条直线平行且直线y1在直线y2的上方，
∴k＝b，b＞﹣2k+3，
∴k＞﹣2k+3，
∴k＞1．
15．【解答】解：（1）将点P（﹣1，m）代入y＝﹣x+5得：m＝﹣（﹣1）+5＝6，
∴点P（﹣1，6），
设直线l2的函数表达式为：y＝kx+b（k≠0），
将P（﹣1，6）和A（﹣4，0）代入y＝kx+b得：
，
解得：，
∴直线l2的函数表达式为：y＝2x+8；
（2）设点M的横坐标为n，
∴点M的坐标为（n，2n+8），
∵MN∥y轴，∴N（n，﹣n+5），
由题意得MN＝|2n+8﹣（﹣n+5）|＝10，
整理得，3n+3＝±10，
解得：或，
故点M的坐标为或；
（3）在直线l1中，当y＝0时，则﹣x+5＝0，
解得：x＝5，
∴点B（5，0），
∴AB＝5+4＝9，
设点Q的坐标为（a，﹣a+5），
根据题意得S9，
即|1+a|＝2，
解得a＝﹣3或a＝1，
∴点Q的坐标为（﹣3，8）或（1，4），
故答案为：（﹣3，8）或（1，4）．
16．【解答】解：（1）由题意可知：点D（3，1），
将点D（3，1）代入直线l：y＝（k﹣1）x+3中，1＝3k﹣3+3，
解得：．
（2）∵矩形是中心对称图形，直线l将矩形分成面积相等的两部分．
∴直线l一定经过矩形的对称中心；
∵矩形顶点A（﹣2，1），C（3，﹣2），
∴其对称中心的坐标为，
代入直线l：y＝（k﹣1）x+3中，解得k＝﹣6，
∴直线l的函数表达式为y＝﹣7x+3．
（3）如图：
∵A（﹣2，1），D（3，1），
直线l：y＝（k﹣1）x+3经过A（﹣2，1）时，1＝﹣2（k﹣1）+3，
解得k＝2，
当直线l：y＝（k﹣1）x+3经过D（3，1）时，1＝3（k﹣1）+3，
解得k，
由图象可知，k的取值范围是k≥2或．
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