2025年九年级数学中考三轮冲刺训练动点问题的函数图象问题选填题（含解析）

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2025年九年级数学中考三轮冲刺训练动点问题的函数图象问题选填题
一、选择题
1．如图（1），点M从正方形ABCD的顶点A出发，沿直线运动到正方形ABCD内部一点，再从该点沿直线运动到顶点D，设点M运动的路程为x，点M到线段AD的距离为m，到线段CD的距离为n，且（当点M与D重合时，设y＝1），图（2）是点M运动时y随x变化的关系图象，则AB＝（　　）
A． B． C．4 D．
2．如图1，在△ABC中，动点P从点A出发沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A后停止．设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图2是y与x的函数关系的图象，其中点F为曲线DE的最低点，则△ABC的高CG的长度为（　　）
A．3 B．4 C． D．5
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，动点P从B点出发，沿B→C→A运动，如图1所示，设S△DPB＝y，点P运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图2所示，则y的最大值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，以2cm/s速度沿折线B﹣C﹣D﹣A匀速运动至点A停止．设点P的运动时间为t（s），△PAB的面积为y（m2），y关于t的函数图象如图2所示，则矩形ABCD的对角线长为（　　）
A． B． C．5cm D．10cm
5．如图，在等腰△ABC中，AC＝BC，动点P从点B出发，沿BC→CA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，若y关于x的函数图象如图所示，则AB的值为（　　）
A． B．5
C． D．3
如图，⊙O的直径AB＝9，AM和BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，设AD＝x，BC＝y，则y关于x的图象大致为（　　）
B．
C． D．
7．如图，△ABC与正方形BCDE的一条边BC重合，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，将正方形BCDE沿CA向右平移，当点D与点A重合时，停止平移，设点C平移的距离为x，正方形BCDE与△ABC重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
8．如图①，将矩形ABCD置于平面直角坐标系中，其中AD边在x轴上，AB＝2．将直线l沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移．已知直线l在起始位置的解析式为y＝x﹣4．设在平移过程中该直线被矩形ABCD的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图象如图②所示，则矩形ABCD的面积为（　　）
A． B．6 C． D．8
9．如图①，点A，B是⊙O上两定点，圆上一动点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是x（s），线段AP的长度是y（cm）．图②是y随x变化的关系图象，则图中m的值是（　　）
A． B． C．6 D．
10．如图1，在平行四边形ABCD中，BC⊥BD，点F从点B出发，以2cm/s的速度沿B→C→D匀速运动，点E同时从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，图2是△BEF的面积S（cm2）随时间t（s）变化的函数图象（图中MN为线段），当△BEF的面积为cm2时，运动时间t为（　　）
A．s B．s或s
C．s D．s
二、填空题
11．如图1，在△ABC中，∠B＝60°，点D从点B出发，沿BC向点C运动，速度为1cm/s．过点D作PD⊥BC，交AB边或AC边于点P．当点D运动1s时，点P与点A重合．△PBD的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的关系如图2所示，点E是图象的最高点．当S（cm2）取最大值时，D点的运动时间为　 　s．
12．如图1，在矩形ABCD中，点P从点A出发，匀速沿AB→BD向点D运动，连接DP，设点P的运动距离为x，DP的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为AB中点时，DP的长为 　 　．
13．如图，在长方形ABCD中，点P是BC中点，点Q从点P开始，沿着P→B→A→D的路线匀速运动，设△DPQ的面积是y，点Q经过的路线长度为x，如图坐标系中折线表示y与x之间的函数关系，根据图象信息，长方形ABCD的周长为　 　．
14．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°．点P是边AB上的一个动点，若AP＝x，CP＝y，则y关于x的函数图象如图2所示．下列结论中所有正确结论的序号是 　 　．
①斜边AB的长度为15；
②斜边上的高的长度为；
③斜边上的中线的长度为；
④Rt△ABC中∠C的角平分线的长度为．
15．如图①，在△ABC中，点P在边AB上从点A出发向终点B运动，连结CP．在运动过程中，设AP＝x，CP＝y，y与x之间的函数图象如图②所示，则m+n＝　 　．
16．动点H以每秒1cm的速度沿图1中的长方形ABCD的边按从A﹣B﹣C﹣D的路径匀速运动，△ADH的面积S（cm2）与时间t（s）的关系如图2，已知AD＝4cm，则m＝　 　cm2．
17．如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点P为线段AB上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作PM⊥AC于点M．作PN⊥BC于点N，连结MN，线段MN的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为 　 　．
18．如图①所示，正方形ABCD的边长为6cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C→D运动，设运动的时间为t（s），三角形APD的面积为S（cm2），S与t的函数图象如图②所示，请回答下列问题：
（1）点P在AB上运动的时间为 　 　s；
（2）当t为 　 　s时，三角形APD的面积为10cm2．
19．如图①，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点，设PC＝x，PE+PB＝y，图②是y关于x的函数图象，且图象上最低点Q的坐标为，则正方形ABCD的边长为 　 　．
20．如图（图1中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，△AFP的面积y与点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图2所示，则CD的长度为 　 　cm．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A D A A B D B C
1．【解答】解：设点N为点M运动的转折点，如图，
结合题图可知，，，DN＞AN，点M沿直线DN运动时，，
∴故点N在∠ADC的平分线上，
∴∠ADN＝45°，
过点A作AH⊥DN于点H，则AH＝DH，DH＞HN，
设AH＝DH＝a，则，
在Rt△AHN中，AH2+HN2＝AN2，
∴，
解得：（舍去），，
∴，
∴AB＝AD＝4，
故选：C．
2．【解答】解：如图过点A作AQ⊥BC于点Q，当点P与Q重合时，在图2中F点表示当AB+BQ＝8时，点P到达点Q，此时当P在BC上运动时，AP最小，
∴AB＝5，BC＝10﹣5＝5，BQ＝8﹣5＝3，
∴QC＝2，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
3．【解答】解：根据题意得，当x＝4时，点P与点C重合，BC＝4，AC＝7﹣4＝3，
∵∠ACB＝90°，点D为AB的中点，
∴当x＝4时，yS△ABC，
∵S△ABC3×4＝3．
∴此时函数有最大值，则y的最大值为3．
故选：A．
4．【解答】解：∵点P以2cm/s速度运动t秒，
∴点P路程为2t cm，
当点P运动到点C处时，t＝3，
∴BC＝2×3＝6（cm），
当点P运动到点D处时，t＝7，
∴BC+CD＝2×7＝14（cm），
∴CD＝8cm，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝8cm，
∴AC10（cm）．
故选：D．
5．【解答】解：过A作AD⊥BC于点D，由函数图象可知：AC＝BC＝5，S△ABC＝7.5，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴，
∴，
∴AD＝3，
在直角三角形ACD中，由勾股定理得：，
∴BD＝BC﹣CD＝5﹣4＝1，
在直角三角形ABD中，由勾股定理得：，
故选：A．
6．【解答】解：过D作DF⊥BN交BC于F，
∵AM、BN与⊙O切于点A、B，
∴AB⊥AM，AB⊥BN，
由条件可知∠BAD＝∠ABC＝∠BFD＝90°，
∴四边形ABFD是矩形，
∴BF＝AD＝x，DF＝AB＝9，
∵BC＝y，
∴FC＝BC﹣BF＝y﹣x，
∵DE切⊙O于E，AM、BN与⊙O切于点A、B，
∴DE＝DA＝x，CE＝CB＝y，则DC＝DE+CE＝x+y，
在Rt△DFC中，由勾股定理得：（x+y）2＝（y﹣x）2+92，
整理为（x＞0），
∴y是x的反比例函数，
故选：A．
7．【解答】解：设点C平移的距离为x，正方形BCDE与△ABC重合部分的面积为y，
∴当0≤x≤2时，如图：
∴；
当2＜x≤4时，如图：
∴；
∴，
由分段函数可看出B选项中的函数图象与所求的分段函数对应，
故选：B．
8．【解答】解：由图象可知，当t＝3时，m＝0，此时直线l平移后过点A，图②中点E时，直线l平移后过点B；点F时，直线l平移后过点D，
当t＝9时，m＝0，此时直线l平移后过点C，如图①，
∴当t＝3时，平移后的解析式为y＝x﹣4+3＝x﹣1，
令y＝0，则x＝1，即A（1，0），
当t从7变化到9时，直线l从点D平移到点C，
∴CD＝9﹣7＝2，
∴直线l从点A平移到点B，t从3变化到5时，
∴BC＝9﹣5＝4，
∴S矩形ABCD＝BC×CD＝4×2＝8，
故选：D．
9．【解答】解：从图②看，当x＝2时，y＝AP＝6cm，即此时A、O、P三点共线，
则圆的半径为3cm，
当x＝0时，OB2+OA2＝AP2，
∴△OAB是直角三角形，且OA⊥OB，
则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时（点P与M重合），如图所示，
此时x＝2，走过的角度为90°，则走过的弧长为（cm），
∴点P的运动速度是（cm/s），
当t＝m时，AP＝OA＝OB，即△OAP是等边三角形，
∴∠AOP＝60°，
∴∠BOP＝360°﹣90°﹣60°＝210°，
此时点P走过的弧长为：2r（cm），
∴m，
故选：B．
10．【解答】解：由图1、图2可知，当t＝4.5时，点F与点C重合；
当4.5＜t≤7.5时，点F在CD上运动，而点E继续在AB上运动3s，
∵四边形ABCD是平行四边形，点F、点E的速度都是2cm/s，
∴CD＝AB＝2×7.5＝15（cm），BC＝2×4.5＝9（cm），
∵BC⊥BD，
∴∠CBD＝90°，
∴BD12（cm），
当0＜t≤4.5时，如图3，作FG⊥AB，交AB的延长线于点G，则∠G＝∠CBD＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠GBF＝∠C，
∴△BGF∽△CBD，
∴，
∴GF BFt（cm），
∴St（15﹣2t）t2+12t，
当S时，则t2+12t，
解得t1＝t2s；
当4.5＜t≤7.5时，如图4，作CH⊥AB，交AB的延长线于点H，
∵CD CHBC BD＝S△CBD，
∴15×CH9×12，
解得CH，
∴S（15﹣2t）t+54，
当S时，则t+54，
解得t，不符合题意，舍去，
综上所述，运动时间t为s；
故选：C．
二、填空题
11．【解答】解：在△ABC中，∠B＝60°，点D从点B出发，沿BC向点C运动，速度为1cm/s，当点D运动1s时，点P与点A重合，如图所示，
∴BD＝1×1＝1（cm），∠BAD＝30°，
∴AB＝2，
∴AD，
∴，
∴当点P在AB上时，t＝1（s）时，△PBD的面积S（cm2）的最大值为，
根据图2可得，t＝4（s）时，点D与点C重合，
∴BD＝1×4＝4（cm），
∴点P与点A重合时，CD＝BC﹣BD＝3（cm），
在Rt△ACD中，，
∴∠C＝30°，
如图所示，当1＜t≤4时，点P在AC上，BD＝t（cm），CD＝BC﹣BD＝4﹣t（cm），
∴，
∴，
∴S△PBD（t﹣2）2，
∴当t＝2时，△PBD的面积S（cm2）的最大值为，
∵，
∴当S（cm2）取最大值时，D点的运动时间为2s，
故答案为：2．
12．【解答】解：因为P点是从A点出发的，A为初始点，观察图象x＝0时y＝3，则AD＝3，
P从A向B移动的过程中，DP是不断增加的，而P从B向D移动的过程中，DP是不断减少的，
因此转折点为B点，P运动到B点时，即x＝a时，AB＝a，此时y＝a+1，
即BD＝a+1，AD＝3，AB＝a，
在Rt△BAD中，由勾股定理得：AB2+AD2＝BD2，
∴a2+32＝（a+1）2，
解得a＝4，
∴AB＝4，
∴当P为AB的中点时，
∴，
故答案为：．
13．【解答】解：由题意得：当点Q从点P运动到点B时，路程为4cm，
∴BP＝4cm，
∵点P是BC的中点，
∴BC＝2BP＝8cm，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD＝BC＝8cm，
当点Q运动到点A时，△DPQ的面积是24cm2，
∴AB6cm，
∴长方形ABCD的周长为2（8+6）＝28（cm）．
故答案为：28cm．
14．【解答】解：由图2可知，当x＝15时，y取得最大值，即y＝CB，
∴斜边AB的长度为15，
故①正确；
由图2可知，当x＝0时，y＝9，即AC＝9，
∴BC12，
∴斜边上的高的长度为：，
故②正确；
∵斜边AB的长度为15，
∴斜边上的中线为，
故③错误；
∵∠C的角平分线是一条直线，
∴不能计算长度，
故④错误；
故答案为：①②．
15．【解答】解：由图2知：当x＝0，P和A重合，则AC＝3，
当x＝1.8时，y最小，最小值为n，此时CP⊥AB，，
∴，
当x＝5时，P和B重合，则BC＝m，AB＝5，
∴，
∴．
故答案为：．
16．【解答】解：观察图2可得：当点H运动到点D时，运动路程为AB+BC+CD，运动时间为14秒，
∵动点H以每秒1cm的速度运动，
∴AB+BC+CD＝14cm，
∵AD＝4cm，四边形ABCD是矩形，
∴BC＝4cm，AB＝CD，
∴AB＝DC＝5cm，
∴当点H运动到点B时，S＝m，如图：
∴AD AB＝m，
∴m4×5＝10．
故答案为：10．
17．【解答】解：连接CP，如图，
∵AB＝10，BC＝6，AC＝8，
∴BC2+AC2＝36+64＝100，AB2＝100，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°．
∵PM⊥AC，PN⊥BC，
∴四边形MPNC为矩形，
∴MN＝CP．
∵点P为线段AB上的动点，由于垂线段最短，
∴当CP⊥AB时，CP取得最小值，即y＝MN取得最小值．
过点C作CP⊥AB于点P，
∵∠ACB＝90°，CP⊥AB，
∴△ACP∽△ABC，
∴，
∴，
∴CP，AP．
∴当t时，y取得最小值为．
∴函数图象最低点E的坐标为（，）．
故答案为：（，）．
18．【解答】解：（1）由图①、图②可知，当t＝6时，点P与点B重合，
∴点P在AB上运动的时间为6s，
故答案为：6．
（2）设点P运动的速度为x cm/s，则6x＝6，
∴x＝1，
∴点P运动的速度为1cm/s，
当点P在AB边上运动时，则AP＝t cm，
∴S6t＝3t，
当三角形APD的面积为10cm2时，则S＝10，
∴3t＝10，
解得t；
当点P在BC边上运动时，三角形APD的面积为6×6＝18（cm2），
∴此时不存在三角形APD的面积为10cm2的情况；
当点P在CD边上运动时，则S6（18﹣t）＝54﹣3t，
当S＝10时，则54﹣3t＝10，
解得t，
综上所述，当t为s或s时，三角形APD的面积为10cm2，
故答案为：或．
19．【解答】解：如图，连接DE交AC于点P，
则点D是点B关于直线AC的对称点，
根据点的对称性，PB＝PD，则y＝PE+PB＝PD+PE＝DE为最小，
故ED＝2，
设正方形的边长为m，则AEm，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE2＝AD2+AE2，
即，
解得：m＝4（负值已舍去），
故答案为：4．
20．【解答】解：由图可得，AB＝4，S△AFB＝12，
∴，即AF＝6，
如图，过点C作CG⊥AF，
∵∠A＝∠B＝∠AGC＝90°，∠F＝∠E＝∠D＝90°，
∴四边形ABCG和四边形GFED是矩形，
∴BC＝AG，GF＝DE，
∴BC+DE＝AF＝6，
又∵AB+BC+CD+DE＝16，
∴CD＝6（cm），
故答案为：6．
．
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