2025年九年级数学中考三轮冲刺训练反比例函数与一次函数交点问题（含解析）

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2025年九年级数学中考三轮冲刺训练反比例函数与一次函数交点问题
1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数y的图象交于M（，4），N（n，1）两点．
（1）求反比例函数及一次函数的表达式；
（2）求△OMN的面积；
（3）若点P是y轴上一动点，连接PM，PN．当PM+PN的值最小时，求点P的坐标．
2．如图，一次函数y＝k1x+2的图象与反比例函数y的图象相交于A（m，4），B两点，与x，y轴分别相交于点C，D．且tan∠ACO＝2．
（1）分别求这两个函数的表达式；
（2）以点D为圆心，线段DB的长为半径作弧与x轴正半轴相交于点E，连接AE，BE．求△ABE的面积；
（3）根据函数的图象直接写出关于x的不等式k1x+2的解集．
3．如图，已知反比例函数y1和一次函数y2＝mx+n的图象相交于点A（﹣3，a），B（a，﹣2）两点，O为坐标原点，连接OA，OB．
（1）求y1与y2＝mx+n的解析式；
（2）当y1＞y2时，请结合图象直接写出自变量x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
4．如图，正比例函数y1x与反比例函数y2（x＞0）的图象交于点A（m，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）把直线y1x向上平移3个单位长度与y2（x＞0）的图象交于点B，连接AB、OB，求△AOB的面积．
5．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象相交于A（﹣1，4），B（a，﹣1）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）点P（n，0）在x轴负半轴上，连接AP，过点B作BQ∥AP，交y的图象于点Q，连接PQ．当BQ＝AP时，求n的值．
6．如图，正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数y（m≠0）的图象交于A、B两点，A的横坐标为﹣4，B的纵坐标为﹣6．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）观察图象，直接写出不等式kx的解集．
（3）将直线AB向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接OD、BD，若△OBD的面积为20，求直线CD的表达式．
7．如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y在第一象限交于M（2，8）、N两点，NA垂直x轴于点A，O为坐标原点，四边形OANM的面积为38．
（1）求反比例函数及一次函数的解析式；
（2）点P是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使△PMN的面积最小时点P的位置（不需证明），并求出点P的坐标和△PMN面积的最小值．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y的图象都经过A（2，﹣4）、B（﹣4，m）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求△ABC的面积．
9．如图，已知一次函数y1＝kx+b的图象与函数y2（x＞0）的图象交于A（6，），B（，n）两点，与y轴交于点C．将直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到直线DE，DE与y轴交于点F．
（1）求y1与y2的解析式；
（2）观察图象，直接写出y1＜y2时x的取值范围；
（3）连接AD，CD，若△ACD的面积为6，则t的值为 　 　．
10．如图，直线AB与双曲线交于A（1，6），B（m，﹣2）两点，直线BO与双曲线在第一象限交于点C，连接AC．
（1）求直线AB与双曲线的解析式．
（2）求△ABC的面积．
11．已知反比例函数y和一次函数y＝x﹣1，其中一次函数图象过（3a，b），（3a+1，b）两点．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）如图，函数yx，y＝3x的图象分别与函数y（x＞0）图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得△ABP周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x+b（k≠0）与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴，y轴分别交于C、D两点，点B（8，﹣2），点C为线段BD的中点，连接OA、OB．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）点M为线段OA上一动点（不与点A、O重合），过点M作直线MN，使得MN∥OB，交AB于点N．若△AMN与△AOB的面积比为1：4，则点M的坐标为 　 　．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝x+m与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为（3，1）和（﹣1，n）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）请直接写出不等式的解集；
（3）点P为反比例函数y图象上的任意一点，若S△POC＝3S△AOC，求点P的坐标．
14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于A（m，6），B（4，﹣3）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）点P在x轴上，求|PA﹣PB|的最大值．
15．如图，已知一次函数y＝2x+3的图象与反比例函数的图象交于点A（1，a）和点B．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）连接AO，BO，点P为反比例函数图象第一象限上一点，连接AP，BP，若S△ABP＝2S△ABO，求点P的坐标；
（3）已知T（t，0）为x轴上一点，作直线AB关于点T中心对称的直线CD，交反比例函数的图象于点E，F，若，求t的值．
参考答案
1．【解答】解：（1）由题意，∵M（，4）在反比例函数y上，
∴k4＝2．
∴反比例函数表达式为y．
又N（n，1）在反比例函数y上，
∴n＝2．
∴N（2，1）．
设一次函数表达式为y＝ax+b，
∴．
∴a＝﹣2，b＝5．
∴一次函数的表达式为y＝﹣2x+5．
（2）由题意，如图，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B，
又直线l为y＝﹣2x+5，
∴A（，0），B（0，5）．
∴OA，OB＝5．
∴S△OMN＝S△AOB﹣S△AON﹣S△BOMAO×BOAO yNBO×xM
515
．
（3）由题意，如图，作点M关于y轴的对称点M'，连接M'N交y轴于点P，则PM+PN的最小值等于M'N的长．
∵M（，4）与M'关于y轴对称，
∴M'为（，4）．
又N（2，1），
∴直线M′N为yx．
令x＝0，则y，
∴P（0，）．
2．【解答】解：（1）由y＝k1x+2得D（0，2），
∵tan∠ACO＝2，
∴2，
∴C（﹣1，0），
代入y＝k1x+2得k1＝2，
∴一次函数解析式为y＝2x+2．
过A作AM⊥x轴，如图1．
∴tan∠ACO2，
∵AM＝4，
∴CM＝2，
∴OM＝1，
∴A（1，4），
代入y得k2＝4，
∴反比例函数解析式为y．
（2）如图2：过A作AN∥y轴，交BE于N．
联立y＝2x+2和y得x2+x﹣2＝0，
∴x＝﹣2或1，
∴B（﹣2，﹣2）．
∴BD2，
∴DE＝DB＝2，
∴OE4，
∴E（4，0），
设直线BE解析式为y＝mx+n，
∴，
∴m，n，
∴直线BE解析式为yx，
∴N（1，﹣1），
∴△ABE面积（4+1）（4+2）＝15．
（3）看图得：当﹣2＜x＜0或x＞1时，k1x+2，即2x+2．
3．【解答】解：（1）∵反比例函数y1和一次函数y2＝mx+n的图象相交于点A（﹣3，a），B（a，﹣2）两点
∴k，
∴a＝3，
∴点A（﹣3，3），B（ ，
∴k＝﹣3×3＝﹣9，
∴y1，
把A（﹣3，3），B（ ，﹣2）代入y＝mx+n得 ，
解得，
∴y2；
（2）由图象可知，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为﹣3＜x＜0或 ；
（3）若AB与y轴相交于点C，
∴C（0，1），
∴S△AOB＝S△BOC+S△AOC
．
4．【解答】解：（1）∵点A（m，2）在正比例函数图象上，
∴2，解得x＝4，
∴A（4，2），
∵A（4，2）在反比例函数图象上，
∴k＝8，
∴反比例函数解析式为y2．
（2）把直线y1x向上平移3个单位得到解析式为y，
直线与y轴交点坐标为D（0，3），连接AD，
联立方程组，
解得，（舍去），
∴B（2，4），
∴S△AOB＝S△ADO6．
5．【解答】解：（1）反比例函数y的图象过A（﹣1，4），B（a，﹣1）两点，
∴m＝﹣1×4＝a （﹣1），
∴m＝﹣4，a＝4，
∴反比例函数为y，B（4，﹣1），
把A、B的坐标代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数为y＝﹣x+3；
（2）∵A（﹣1，4），B（4，﹣1），P（n，0），BQ∥AP，BQ＝AP，
∴四边形APQB是平行四边形，
∴点A向左平移﹣1﹣n个单位，向下平移4个单位得到P，
∴点B（4，﹣1）向左平移﹣1﹣n个单位，向下平移4个单位得到Q（5+n，﹣5），
∵点Q在y上，
∴5+n，
解得n．
6．【解答】解：（1）∵正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数y（m≠0）的图象交于A、B两点，
∴A、B关于原点对称，
∵A的横坐标为﹣4，B的纵坐标为﹣6，
∴A（﹣4，6），B（4，﹣6），
∵点A（﹣4，6）在反比例函数y（m≠0）的图象上，
∴6，
∴m＝﹣24，
∴反比例函数的表达式为y；
（2）观察函数图象，可知：当﹣4＜x＜0或x＞4时，正比例函数y＝kx的图象在反比例函数y（m≠0）的图象下方，
∴不等式kx的解集为﹣4＜x＜0或x＞4；
（3）方法一：连接BE，作BG⊥y轴于点G，
∵A（﹣4，6）在直线y＝kx上，
∴6＝﹣4k，解得k，
∴直线AB的表达式为yx，
∵CD∥AB，
∴S△OBD＝S△OBE＝20，
∵B（4，﹣6），
∴BG＝4，
∴S△OBE20，
∴OE＝10，
.E（0，10），
∴直线CD为yx+10．
方法二：
连接BF，作BH⊥x轴于H，
∵A（﹣4，6）在直线y＝kx上，
∴k，
∴直线AB的表达式为yx，
∵CD∥AB，
∴S△OBD＝S△OBF＝20，
∵B（4，﹣6），
∴OF 6＝20，
∴OF，
∴F（，0），
设直线CD的表达式为yx+b，
代入F点的坐标得，b＝0
解得b＝10，
∴直线CD为yx+10．
7．【解答】解：（1）∵反比例函数y过点M（2，8），
∴k2＝2×8＝16，
∴反比例函数的解析式为y，
设N（m，），
∵M（2，8），
∴S△OMB8，
∵四边形OANM的面积为38，
∴四边形ABMN的面积为30，
∴（8） （m﹣2）＝30，
解得m1＝8，m2（舍去），
∴N（8，2），
∵一次函数y＝k1x+b的图象经过点M、N，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+10；
（2）与直线MN平行，且在第三象限与反比例函数y有唯一公共点P时，△PMN的面积最小，
设与直线MN平行的直线的关系式为y＝﹣x+n，当与y在第三象限有唯一公共点时，
有方程﹣x+n（x＜0）唯一解，
即x2﹣nx+16＝0有两个相等的实数根，
∴n2﹣4×1×16＝0，
解得n＝﹣8或x＝8（舍去），
∴与直线MN平行的直线的关系式为y＝﹣x﹣8，
∴方程﹣x﹣8的解为x＝﹣4，
经检验，x＝﹣4是原方程的解，
当x＝﹣4时，y4，
∴点P（﹣4，﹣4），
如图，过点P作AN的垂线，交NA的延长线于点Q，交y轴于点D，延长MB交PQ于点C，由题意得，
PD＝4，DQ＝8，CD＝2，MC＝8+4＝12，NQ＝2+4＝6，
∴S△PMN＝S△MPC+S梯形MCQN﹣S△PNQ
6×12（12+6）×612×6
＝36+54﹣36
＝54，
答：点P（﹣4，﹣4），△PMN面积的最小值为54．
8．【解答】解：（1）将A（2，﹣4），B（﹣4，m）两点代入y中，得k＝2×（﹣4）＝﹣4m，
解得，k＝﹣8，m＝2，
∴反比例函数的表达式为y；
将A（2，﹣4）和B（﹣4，2）代入y＝ax+b中得，
解得，
∴一次函数的表达式为：y＝﹣x﹣2；
（2）如图，设AB与x轴交于点D，连接CD，
由题意可知，点A与点C关于原点对称，
∴C（﹣2，4）．
在y＝﹣x﹣2中，当x＝﹣2时，y＝0，
∴D（﹣2，0），
∴CD垂直x轴于点D，
∴S△ABC＝S△ADC+S△BCD4×（2+2）4×（4﹣2）＝8+4＝12．
9．【解答】解：（1）将点A（6，）代入y2中，
∴m＝﹣3，
∴y2，
∵B（，n）在y2中，可得n＝﹣6，
∴B（，﹣6），
将点A、B代入y1＝kx+b，
∴，
解得，
∴y1＝x；
（2）∵一次函数与反比例函数交点为A（6，），B（，﹣6），
∴x＜6时，y1＜y2；
（3）在y1＝x中，令x＝0，则y，
∴C（0，），
∵直线AB沿y轴向上平移t个单位长度，
∴直线DE的解析式为y＝xt，
∴F点坐标为（0，t），
过点F作GF⊥AB于点G，连接AF，
直线AB与x轴交点为（，0），与y轴交点C（0，），
∴∠OCA＝45°，
∴FG＝CG，
∵FC＝t，
∴FGt，
∵A（6，），C（0，），
∴AC＝6，
∵AB∥DF，
∴S△ACD＝S△ACF，
∴6t＝6，
∴t＝2，
故答案为：2．
10．【解答】解：（1）设双曲线的解析式为y，
∵点A（1，6）在该双曲线上，
∴6，
解得k＝6，
∴y，
∵B（m，﹣2）在双曲线y上，
∴﹣2，
解得m＝﹣3，
设直线AB的函数解析式为y＝ax+b，
，
解得，
即直线AB的解析式为y＝2x+4；
（2）方法一：作BG∥x轴，FG∥y轴，FG和BG交于点G，作BE∥y轴，FA∥x轴，BE和FA交于点E，如图所示，
直线BO的解析式为y＝mx，
∵点B（﹣3，﹣2），
∴﹣2＝﹣3m，
解得m，
∴直线BO的解析式为yx，
，
解得或，
∴点C的坐标为（3，2），
∵点A（1，6），B（﹣3，﹣2），C（3，2），
∴EB＝8，BG＝6，CG＝4，CF＝4，AF＝2，AE＝4，
∴S△ABC＝S矩形EBGF﹣S△AEB﹣S△BGC﹣S△AFC
＝8×6
＝48﹣16﹣12﹣4
＝16．
方法二：作AD⊥x轴交AO于点D，如图所示，
设直线BO的解析式为y＝mx，
∵点B（﹣3，﹣2），
∴﹣2＝﹣3m，
解得m，
∴直线BO的解析式为yx，
当x＝1时，y1，
∴点D的坐标为（1，），
∴AD＝6，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ADC16．
11．【解答】解：（1）把（3a，b），（3a+1，b）代入y＝x﹣1中可得：
，
解得：k＝3，
∴反比例函数的关系式为：y；
（2）存在，
作点B关于y轴的对称点B′，连接AB′交y轴于点P，连接BP，此时AP+BP的最小，即△ABP周长最小，
由题意得：，
解得：或，
∴B（1，3），
由题意得：，
解得：或，
∴A（3，1），
∴AB＝2，
∵点B与点B′关于y轴对称，
∴B′（﹣1，3），BP＝B′P，
∴AB′＝2，
∴AP+BP＝AP+B′P＝AB′＝2，
∴AP+BP的最小值为2，
∴△ABP周长最小值＝22，
∴△ABP周长的最小值为22．
12．【解答】解：（1）将点B坐标代入得，
k2＝﹣16，
所以反比例函数的解析式为；
因为点C为线段BD的中点，且点C在x轴上，点D在y轴上，
所以，
则yD＝2，
所以点D的坐标为（0，2）．
将点D和点B坐标代入一次函数解析式得，
，
解得，
所以一次函数的表达式为．
（2）由得，
x1＝﹣4，x2＝8，
所以点A的坐标为（﹣4，4），
将y＝0代入得，
x＝4，
所以点C的坐标为（4，0），
所以OC＝4，
则，，
所以S△AOB＝8+4＝12．
（3）因为MN∥OB，
所以△AMN∽△AOB．
又因为△AMN与△AOB的面积比为1：4，
所以AM：AO＝1：2，
则点M为AO的中点，
所以点M的坐标为（﹣2，2）．
故答案为：（﹣2，2）．
13．【解答】解：（1）∵直线AB：y＝x+m过点A（3，1），B（﹣1，n）．
∴1＝3+m，
∴m＝﹣2，
∴一次函数的解析式为y＝x﹣2，
∵反比例函数的图象过点A（3，1），
∴k＝3×1＝3，
∴反比例函数的解析式为y；
（2）把B（﹣1，n）代入y＝x﹣2，得n＝﹣1﹣2＝﹣3，
∴点B的坐标为（﹣1，﹣3），
观察图象，不等式的解集为﹣1＜x＜0或x＞3；
（3）把y＝0代入y＝x﹣2得：x＝2，
即点C的坐标为：C（2，0），
∴S△AOC1，
∵S△POC＝3S△AOC，
∴S△POC，
∴|yP|＝3，
当点P的纵坐标为3时，则3，解得x＝1，
当点P的纵坐标为﹣3时，则﹣3，解得x＝﹣1，
∴点P的坐标为（1，3）或（﹣1，﹣3）．
14．【解答】解：（1）∵点B（4，﹣3）在反比例函数 和一次函数 的图象上，
∴
，
解得 k＝﹣12，b＝3．
∴反比例函数的表达式为 ，
一次函数的表达式为：y3；
（2）根据图象和交点坐标可知不等式的解集为：x＜﹣2或者0＜x＜4．
（3）如图作点B关于x轴的对称点B'；作AB'延长线交x轴于点P，
由对称性可知 PB＝PB'；，PA﹣PB＝PA﹣PB'＝AB'；
∴|PA﹣PB|的值最大为 AB'；
∵点B′是点B关于x轴的对称点，B（4，﹣3）
∴B'（4.3），
将A（m，6）坐标代入反比例函数解析式的m＝﹣2，
∴A（﹣2，6），
∴AB′3．
15．【解答】解：（1）把点A（1，a）代入y＝2x+3中得，a＝2+3＝5，
∴点A（1，5），
把点A（1，5）代入y得，k＝5，
∴反比例函数的表达式为y，
由，得或，
∴B（，﹣2）；
（2）延长BO，交反比例函数的图象于点C，则OB＝OC，
∴S△ABC＝2S△ABO，
∵S△ABP＝2S△ABO，
∴P点与C点重合，
∵B（，﹣2），
∴C（，2），
∴P（，2），
作CD∥AB，交y轴于D，
设直线CD为y＝2x+b，
把C（，2）代入得，2＝5+b，解得b＝﹣3，
∴直线CD为y＝2x﹣3，
由一次函数y＝2x+3可知E（0，3），
∴DE＝6，
将直线y＝2x+3向上平移6个单位得到y＝2x+9，
由解得或，
∴P（，10），
综上，点P的坐标为（，2）或（，10）；
（3）设直线CD为y＝2x+b，则E（x1，2x1+b），F（x2，2x2+b），
由消去y得，2x+b，
整理得2x2+bx﹣5＝0，
∴x1，x2是方程2x2+bx﹣5＝0的两个根，
∴x1+x2，x1x2，
∴EF
，
∵，
∴4，
∴10＝16，
∴b，
∴直线CD为y＝2x，
令y＝0，则x，
由y＝2x+3可知直线y＝2x+3与x轴的交点为（，0），
∴T（±，0），
∴t的值为或．
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