浙江省温州市瑞安市安阳实验中学2024-2025学年九年级下学期数学开学考试
1．（2025九下·瑞安开学考）我国地域辽阔，南北温差大，某日杭州、海南的最高气温分别为，则该日这两地的温差为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025九下·瑞安开学考）下列新能源汽车标志图案中，既是紬对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025九下·瑞安开学考）随着AI技术的发展，某机构预测，到2035年，全球AI市场规模将达到5510000000000元.数5510000000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025九下·瑞安开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025九下·瑞安开学考）在体有中考模拟测试中，某校5名学生的成绩（单位：分）分别是38，38，37，40，39，则这组数据的中位数是（ ）
A．37 B．38 C．39 D．40
6．（2025九下·瑞安开学考）如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，已知，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025九下·瑞安开学考）不等式组的解集在数轴上的表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025九下·瑞安开学考）俗话说“年糕，年年高”，春节期间温州有吃年糕的习俗.某商家推出“优惠酬宾”活动，每袋年糕降价2元销售，细心的小温发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求每袋年糕的原价是多少元？设每袋年糕的原价是元，所得方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025九下·瑞安开学考）如图，在矩形ABCD中，，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，得到四边形NMEF，且点恰好为边NF的中点，则ED的长为（ ）
A．7.2. B．7.5 C．8 D．8.4
10．（2025九下·瑞安开学考）已知某手机目前电量为，经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量（单位：％）与充电时间（单位：小时）的函数图象分别为图中的线段AB、AC.已知该手机正常使用时耗电量为小时，在用快速充电器将其充满电后，正常使用小时，接着再用普通充电器将其充满电，其“充电——耗电——充电”的总时间是8小时，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
11．（2025九下·瑞安开学考）分解因式： .
12．（2025九下·瑞安开学考）一个不透明布袋里有2个红球和1个白球（仅有颜色不同），则从中任意摸出一个球是红球的概率为 .
13．（2025九下·瑞安开学考）已知一扇形的半径为4，弧长为，则该扇形的面积为 .
14．（2025九下·瑞安开学考）如图，AB是的直径，AC切于点A，BC与交于点，连结OD.若，则的度数为 .
15．（2025九下·瑞安开学考）二次函数为常数，且中和满足下表：
… -2 -1 1 3 5 6 …
… 5 0 -4 0 12 21 …
将原拋物线平移得到新抛物线，若点在新拋物线上，则的值为 .
16．（2025九下·瑞安开学考）如图1，两条互相垂直的线段AE，BF将正方形ABCD分割成①、②、③、④四块，恰好拼成一个如图2所示的大正方形GHJK.连结QJ，若图1中的，则图2中QJ的长为 .
17．（2025九下·瑞安开学考）
（1）计算：
（2）解方程组：
18．（2025九下·瑞安开学考）如图，在的方格纸中，已知是格点三角形（顶点均在格点上），仅用无刻度的直尺，按要求作图.
（1）在图中标出格点（不与点重合），使；
（2）在图中AC边上标出点，使得.（保留作图痕迹）
19．（2025九下·瑞安开学考）如图，已知四边形ABCD中，，连结BD，于点于点.
（1）求证：.
（2）若点是DF中点，，求AD的长.
20．（2025九下·瑞安开学考）为进一步弘扬爱国精神，引导青少年听党话，跟党走，发场红色传统，温州道德馆举办了“党的故事我来讲”主题活动，计划开展四项活动：A：党史演讲比赛，B：党史手抄报比赛，C：党史知识竞赛，D：红色歌咏比赛.宣传部对学生最喜欢的一项活动进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1，图2两幅不完整的统计图.请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；图2中 ；并将图1的条形统计图补充完整；
（2）已知在被调查的最喜欢“党史知识竞赛”项目的4个学生中只有1名女生，现从这4名学生中任意抽取2名学生参加该项目比赛，请用画树状图或列表的方法，求出恰好抽到一名男生一名女生的概率.
21．（2025九下·瑞安开学考）如图，反比例函数与一次函数是常数，，的图象交于点.
（1）分别求出两个函数的表达式.
（2）根据图象，当时，请直接写出的取值范围： .
22．（2025九下·瑞安开学考）如图，是的外接圆，点为上一点，连结BD，过点作交AB延长线于点，连结CD.
（1）求证：四边形BECD是平行四边形.
（2）当是的中点时，，求半径的长..
23．（2025九下·瑞安开学考）已知二次函数（其中a、c为常数，），且满足.
（1）若函数图象经过点，求函数的表达式及其顶点坐标；
（2）若点在此二次函数图象上，且当时，随的增大而增大，求的最小值.
24．（2025九下·瑞安开学考）如图1，在等腰Rt中，为AC的中点，为边BC上一点，连结AE，过点作于点经过点，交射线BG于点，连结CF.
（1）求证：.
（2）连结DF，CG，如图2，若.
①求DF的长.
②记BF交AC于点，求的值.
（3）当时（点D，G不重合），求的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】温差应该用最高温度减去最低温度，考查的是有理数的减法运算法则，即减去一个数等于加上这个数的相反数。
2．【答案】D
【知识点】生活中的轴对称现象；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意；
C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
D、既是轴对称图形还是中心对称图形，符合题意；
故答案为：D.
【分析】中心对称图形指绕某一点旋转180度后能够完全重合的图形，轴对称图形指沿某条直线折叠后能够完全重合的图形。
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：因为
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大数字时，常把这个数字表示成的形式，其中，的值取这个数字的位数减。
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 ，故该选项不正确，不符合题意；
B、 ，故该选项不正确，不符合题意；
C、 ，故该选项正确，符合题意；
D、 ，故该选项不正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，可判断A选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可判断B选项；由同底数幂的除法，底数不变，指数相减，可判断C选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断D选项.
5．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：排序得37、38、38、39、40，则中位数为38
故答案为：B.
【分析】求一组数据的中位数，先按从小到大的顺序给数据排序，再取最中间的数据或最中间两个数据的平均数。
6．【答案】B
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：因为与是以点为位似中心的位似图形，所以
因为，所以
所以，即点为线段的中点
所以，即点B的坐标为
故答案为：B.
【分析】由于位似三角形是相似三角形，所以相似比等于位似比，由点的坐标可求出的相似比为，则点恰好为线段的中点，借助平面坐标系中点公式计算即可。
7．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：解不等式得：
解不等式得：
则不等式组的解集为
故答案为：D.
【分析】 在数轴上表示不等式组的解集，先分别求出每个不等式的解集，再按照口诀“同大取大、同小取小、大于小的且小于大的取中间、大于大的且小于小的无解”确定出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可，在数轴上表示时要注意解集的箭头方向和空心圆圈与实心圆圈的选择。
8．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设每袋年糕的原价是元，则降价后的售价为元，由题意列方程得：
故答案为：A.
【分析】设每袋年糕的原价是元，则降价2元后的售价为元，所以原来用240元可购买年糕袋，现在可购买年糕袋，由于现在比过去多买了10袋，则方程为。
9．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠知，；因为矩形中，，所以；所以；
所以；又因为点为的中点，设，则，则在中：，即，解得：；所以
故答案为：C.
【分析】求DE的长，因为矩形ABCD中AD＝BC＝13，实质是求AE的长，由折叠的性质和矩形的性质知，问题转化为求AF的长，因为折叠后点A为NF的中点，且FC＝FN，所以BF加上AF的2倍等于BC长，此时AB、BF、AF恰好围成一个直角三角形，可设出AF的长为x，则BF的长可表示为（13-2x），而且AB已知，直接使用勾股定理即可求AF的长，则AE可知，DE可求.
10．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：观察图象知：快充每小时充电量为（%），慢充每小时充电量为（%），由题意列方程得：
解方程得：
故答案为：B.
【分析】因为快充2小时充了（100-20）%，所以每小时充电量为40%；同理慢充每小时充电量为%，由题意知，由起始的20%电量开始充电到用慢充充满电量共用8小时，则用慢充给手机充满电量用时为（8－2－a）小时，显然慢充的充电量等于正常使用a小时的耗电量，列方程为，解方程得.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】 .
故答案为： .
【分析】利用乘法分配律，将公因式a提取即可。
12．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】摸到红球的概率等于红球数在总球数中的占比。
13．【答案】
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】要求扇形面积，由于半径已知，必须知道圆心角度数，由于该扇形的弧长已知，可利用弧长公式先求出扇形的圆心角，再代入到扇形面积公式中计算即可，另注意弧长公式与扇形面积公式的异同，不能混淆。
14．【答案】66°
【知识点】切线的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解： 是的直径，切于点又故答案为：.
【分析】由圆周角定理知等于的2倍，由切线的概念知是直角等于90度，再直角三角形两锐角互余可得的度数，则可求.
15．【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换；利用顶点式求二次函数解析式
16．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图所示，
在图（1）中，因为正方形ABCD中，，所以所以所以所以，又正方形ABCD中，，所以所以中，因为，所以所以中，，所以因为，所以，所以则在图（2）中，分别过点Q作，则四边形ABJK为矩形，所以；则由拼接过程知，图（2）中有：因为，，所以，又所以，所以所以所以在中，，
故答案为：.
【分析】要计算图（2）中线段QJ的长，可构造直角三角形利用全等三角形的性质并结合勾股定理来计算；此时可利用三角形全等的判定与性质结合正方形的性质分别计算中图（1）中关键线段的长，再按照拼接过程在图（2）中找出对应线段的长即可，关键是能找到哪些边是同一条边，哪些角是同一个角非常重要.
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：
得：
解得：
把代入到方程中得：
所以方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）实数的混合运算，要熟练掌握一些特殊运算法则，如绝对值化简、特殊角的三角函数、负整数指数幂、0次幂、开方及二次根式的化简等；
（2）解二元一次方程组时，当某一未知数的系数存在倍数时，可给较小的乘以适当倍数再进行加减消元即可.
18．【答案】（1）解：如图所示，取格点N，连接AN、NB，则。理由如下：
因为、、
所以
所以
（2）解：如图所示，分别取格点P、Q，连接PQ交AC于点E，则点E即所求作，
理由如下：连接CP，因为，所以
所以，又因为
所以，即
【知识点】全等三角形的应用；相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）利用格点构造全等三角形即可；
（2）利用格点构造相似三角形，使AE、CE成为相似三角形的对应边，且使相似比为.
19．【答案】（1）证明：因为、
所以
所以在和中
所以
（2）解：因为，所以
所以中，
因为，所以、
因为，且是中点
所以
所以中，
答：的长为
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理
【解析】【分析】（1）直角三角形全等可用斜边直角边定理来判定，即“HL”；
（2）因为是的斜边，所以可分别求出的长，因为已证，且已知，则利用勾股定理和全等的性质可分别计算出的长，因为是中点，则可求出与的长.
20．【答案】（1）解：补全条形统计图如下图所示：
因为（人），所以（人）
所以，即
故答案为：40；40.
（2）解：列表得
男生1 男生2 男生3 女生
男生1 两男 两男 两男 一男一女
男生2 两男 两男 两男 一男一女
男生3 两男 两男 两男 一男一女
女生 一男一女 一男一女 一男一女 两女
共有16种等可能结果，其中抽到一男一女的结果有6种
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）因为条形统计图中知道了参与A项活动的人数为6，扇形统计图中知道了参与A项活动人数占总人数的40%，则被调查总人数等于，再用总人数分别减去参与A、C、D三项活动的人数即可得出参与B项活动的人数，最后用参与B项活动的人数除以总人数即可求出m的值；
（2）两步试验可通过画树状图或列表法求出概率，注意画树状图时要不重复不遗漏，列表格时明确对角线栏目上是否填写数据.
21．【答案】（1）解：因为反比例函数经过点
所以，即，
因为一次函数的图象经过点，由题意得
，解得：，即
答：反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为
（2）或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（2）：当时，即直线在曲线下方时自变量的取值范围，显然在第一象限内，自变量取值范围为：；第三象限内 ，自变量取值范围为：；综上所述，的取值范围为或。
故答案为：或.
【分析】（1）因为反比例函数的表达式可写成的形式，所以知道经过图象上一个点的坐标即可确定式；当反比例系数确定后，对其图象上任一点，知道横坐标即可求出纵坐标，反之亦然；对于一次函数，知道其图象上任意两点坐标，可利用待定系数法列方程组求得其函数表达式；
（2）比较两个函数值的大小，实质是观察直线与双曲线在交点左右的位置关系，位于上方的函数值大，注意在写自变量的取值范围时，时刻记住.
22．【答案】（1）证明：
四边形BECD是平行四边形
（2）解：如图所示，连接OD交AC于点F，连接OC。
是的中点
中
设、则
则在中，，即
解得：
答：半径的长
【知识点】平行四边形的判定与性质；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）由于所证四边形的一组已经平行，只需证另外一组边平行即可，此时可通过圆周角定理、等腰三角形的性质和平行线的性质定理予以证明；
（2）由垂径定理知，当D是弧AC中点时，则OD垂直平分AC，因此可连接OD、OC，利用垂径定理和勾股定理即可求出半径.
23．【答案】（1）解：由题意知，列方程组得：，
解方程组得：
所以
所以二次函数的顶点坐标为.
答：二次函数的表达式为，顶点坐标为
（2）解：因为当时，随的增大而增大，
所以抛物线的对称轴且，即
因为，所以，所以
则当时，
因为，所以的最小值为
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【分析】（1）由于点二次函数图象上，则与已知条件可联立方程组，即，解方程组求出的值可得出函数表达式，再将一般式转化为顶点式即可；
（2）由于当时，随的增大而增大，所以抛物线的开口向上，即；对称轴应该在直线的左侧，最大与直线重合，此时可根据对称轴公式可求出的取值范围，因为已知，可得出的取值范围，最后把代入到函数解析式中即可确定的最小值。
24．【答案】（1）证明：经过点
（2）解： ① 如图所示，连接
，即是的直径
Rt中、
是等腰直角三角形，且
，即也是的直径
中，
是中点
②是直径
矩形是正方形
又
中，
中，
中，即
，即
（3）解：如图所示，延长交于点H，连接，则
设，则，
则在中，
即 ：
解得：
当时，，故应舍去，所以
【知识点】圆内接四边形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）因为圆内接四边形的一个外角等于它的内对角，再借助共公角可直接证明这两个三角形相似；
（2） ① 借助圆周角定理可推导出DF//BC，结合 知，则可推导为等腰直角三角形，因为直径CD可求，则DF可求； ② 因为和可看作同高三角形，所以其面积比等于FH与FG的比，可借助正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理和解直角三角形分别求出FH与FG的值即可；
（3）求的值，实质是求BE的值，因为只有AB和BC已知，D是AC中点，此时可考虑把CD放到直角三角形中构造相似三角形，利用相似三角形的性质和全等的性质把BE、CE、EF转化到直角三角形中，利用勾股定理求出BE即可.
1 / 1浙江省温州市瑞安市安阳实验中学2024-2025学年九年级下学期数学开学考试
1．（2025九下·瑞安开学考）我国地域辽阔，南北温差大，某日杭州、海南的最高气温分别为，则该日这两地的温差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】温差应该用最高温度减去最低温度，考查的是有理数的减法运算法则，即减去一个数等于加上这个数的相反数。
2．（2025九下·瑞安开学考）下列新能源汽车标志图案中，既是紬对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】生活中的轴对称现象；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意；
C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
D、既是轴对称图形还是中心对称图形，符合题意；
故答案为：D.
【分析】中心对称图形指绕某一点旋转180度后能够完全重合的图形，轴对称图形指沿某条直线折叠后能够完全重合的图形。
3．（2025九下·瑞安开学考）随着AI技术的发展，某机构预测，到2035年，全球AI市场规模将达到5510000000000元.数5510000000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：因为
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大数字时，常把这个数字表示成的形式，其中，的值取这个数字的位数减。
4．（2025九下·瑞安开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 ，故该选项不正确，不符合题意；
B、 ，故该选项不正确，不符合题意；
C、 ，故该选项正确，符合题意；
D、 ，故该选项不正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，可判断A选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可判断B选项；由同底数幂的除法，底数不变，指数相减，可判断C选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断D选项.
5．（2025九下·瑞安开学考）在体有中考模拟测试中，某校5名学生的成绩（单位：分）分别是38，38，37，40，39，则这组数据的中位数是（ ）
A．37 B．38 C．39 D．40
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：排序得37、38、38、39、40，则中位数为38
故答案为：B.
【分析】求一组数据的中位数，先按从小到大的顺序给数据排序，再取最中间的数据或最中间两个数据的平均数。
6．（2025九下·瑞安开学考）如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，已知，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：因为与是以点为位似中心的位似图形，所以
因为，所以
所以，即点为线段的中点
所以，即点B的坐标为
故答案为：B.
【分析】由于位似三角形是相似三角形，所以相似比等于位似比，由点的坐标可求出的相似比为，则点恰好为线段的中点，借助平面坐标系中点公式计算即可。
7．（2025九下·瑞安开学考）不等式组的解集在数轴上的表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：解不等式得：
解不等式得：
则不等式组的解集为
故答案为：D.
【分析】 在数轴上表示不等式组的解集，先分别求出每个不等式的解集，再按照口诀“同大取大、同小取小、大于小的且小于大的取中间、大于大的且小于小的无解”确定出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可，在数轴上表示时要注意解集的箭头方向和空心圆圈与实心圆圈的选择。
8．（2025九下·瑞安开学考）俗话说“年糕，年年高”，春节期间温州有吃年糕的习俗.某商家推出“优惠酬宾”活动，每袋年糕降价2元销售，细心的小温发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求每袋年糕的原价是多少元？设每袋年糕的原价是元，所得方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设每袋年糕的原价是元，则降价后的售价为元，由题意列方程得：
故答案为：A.
【分析】设每袋年糕的原价是元，则降价2元后的售价为元，所以原来用240元可购买年糕袋，现在可购买年糕袋，由于现在比过去多买了10袋，则方程为。
9．（2025九下·瑞安开学考）如图，在矩形ABCD中，，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，得到四边形NMEF，且点恰好为边NF的中点，则ED的长为（ ）
A．7.2. B．7.5 C．8 D．8.4
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠知，；因为矩形中，，所以；所以；
所以；又因为点为的中点，设，则，则在中：，即，解得：；所以
故答案为：C.
【分析】求DE的长，因为矩形ABCD中AD＝BC＝13，实质是求AE的长，由折叠的性质和矩形的性质知，问题转化为求AF的长，因为折叠后点A为NF的中点，且FC＝FN，所以BF加上AF的2倍等于BC长，此时AB、BF、AF恰好围成一个直角三角形，可设出AF的长为x，则BF的长可表示为（13-2x），而且AB已知，直接使用勾股定理即可求AF的长，则AE可知，DE可求.
10．（2025九下·瑞安开学考）已知某手机目前电量为，经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量（单位：％）与充电时间（单位：小时）的函数图象分别为图中的线段AB、AC.已知该手机正常使用时耗电量为小时，在用快速充电器将其充满电后，正常使用小时，接着再用普通充电器将其充满电，其“充电——耗电——充电”的总时间是8小时，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：观察图象知：快充每小时充电量为（%），慢充每小时充电量为（%），由题意列方程得：
解方程得：
故答案为：B.
【分析】因为快充2小时充了（100-20）%，所以每小时充电量为40%；同理慢充每小时充电量为%，由题意知，由起始的20%电量开始充电到用慢充充满电量共用8小时，则用慢充给手机充满电量用时为（8－2－a）小时，显然慢充的充电量等于正常使用a小时的耗电量，列方程为，解方程得.
11．（2025九下·瑞安开学考）分解因式： .
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】 .
故答案为： .
【分析】利用乘法分配律，将公因式a提取即可。
12．（2025九下·瑞安开学考）一个不透明布袋里有2个红球和1个白球（仅有颜色不同），则从中任意摸出一个球是红球的概率为 .
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】摸到红球的概率等于红球数在总球数中的占比。
13．（2025九下·瑞安开学考）已知一扇形的半径为4，弧长为，则该扇形的面积为 .
【答案】
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】要求扇形面积，由于半径已知，必须知道圆心角度数，由于该扇形的弧长已知，可利用弧长公式先求出扇形的圆心角，再代入到扇形面积公式中计算即可，另注意弧长公式与扇形面积公式的异同，不能混淆。
14．（2025九下·瑞安开学考）如图，AB是的直径，AC切于点A，BC与交于点，连结OD.若，则的度数为 .
【答案】66°
【知识点】切线的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解： 是的直径，切于点又故答案为：.
【分析】由圆周角定理知等于的2倍，由切线的概念知是直角等于90度，再直角三角形两锐角互余可得的度数，则可求.
15．（2025九下·瑞安开学考）二次函数为常数，且中和满足下表：
… -2 -1 1 3 5 6 …
… 5 0 -4 0 12 21 …
将原拋物线平移得到新抛物线，若点在新拋物线上，则的值为 .
【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换；利用顶点式求二次函数解析式
16．（2025九下·瑞安开学考）如图1，两条互相垂直的线段AE，BF将正方形ABCD分割成①、②、③、④四块，恰好拼成一个如图2所示的大正方形GHJK.连结QJ，若图1中的，则图2中QJ的长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图所示，
在图（1）中，因为正方形ABCD中，，所以所以所以所以，又正方形ABCD中，，所以所以中，因为，所以所以中，，所以因为，所以，所以则在图（2）中，分别过点Q作，则四边形ABJK为矩形，所以；则由拼接过程知，图（2）中有：因为，，所以，又所以，所以所以所以在中，，
故答案为：.
【分析】要计算图（2）中线段QJ的长，可构造直角三角形利用全等三角形的性质并结合勾股定理来计算；此时可利用三角形全等的判定与性质结合正方形的性质分别计算中图（1）中关键线段的长，再按照拼接过程在图（2）中找出对应线段的长即可，关键是能找到哪些边是同一条边，哪些角是同一个角非常重要.
17．（2025九下·瑞安开学考）
（1）计算：
（2）解方程组：
【答案】（1）解：原式
（2）解：
得：
解得：
把代入到方程中得：
所以方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）实数的混合运算，要熟练掌握一些特殊运算法则，如绝对值化简、特殊角的三角函数、负整数指数幂、0次幂、开方及二次根式的化简等；
（2）解二元一次方程组时，当某一未知数的系数存在倍数时，可给较小的乘以适当倍数再进行加减消元即可.
18．（2025九下·瑞安开学考）如图，在的方格纸中，已知是格点三角形（顶点均在格点上），仅用无刻度的直尺，按要求作图.
（1）在图中标出格点（不与点重合），使；
（2）在图中AC边上标出点，使得.（保留作图痕迹）
【答案】（1）解：如图所示，取格点N，连接AN、NB，则。理由如下：
因为、、
所以
所以
（2）解：如图所示，分别取格点P、Q，连接PQ交AC于点E，则点E即所求作，
理由如下：连接CP，因为，所以
所以，又因为
所以，即
【知识点】全等三角形的应用；相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）利用格点构造全等三角形即可；
（2）利用格点构造相似三角形，使AE、CE成为相似三角形的对应边，且使相似比为.
19．（2025九下·瑞安开学考）如图，已知四边形ABCD中，，连结BD，于点于点.
（1）求证：.
（2）若点是DF中点，，求AD的长.
【答案】（1）证明：因为、
所以
所以在和中
所以
（2）解：因为，所以
所以中，
因为，所以、
因为，且是中点
所以
所以中，
答：的长为
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理
【解析】【分析】（1）直角三角形全等可用斜边直角边定理来判定，即“HL”；
（2）因为是的斜边，所以可分别求出的长，因为已证，且已知，则利用勾股定理和全等的性质可分别计算出的长，因为是中点，则可求出与的长.
20．（2025九下·瑞安开学考）为进一步弘扬爱国精神，引导青少年听党话，跟党走，发场红色传统，温州道德馆举办了“党的故事我来讲”主题活动，计划开展四项活动：A：党史演讲比赛，B：党史手抄报比赛，C：党史知识竞赛，D：红色歌咏比赛.宣传部对学生最喜欢的一项活动进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1，图2两幅不完整的统计图.请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；图2中 ；并将图1的条形统计图补充完整；
（2）已知在被调查的最喜欢“党史知识竞赛”项目的4个学生中只有1名女生，现从这4名学生中任意抽取2名学生参加该项目比赛，请用画树状图或列表的方法，求出恰好抽到一名男生一名女生的概率.
【答案】（1）解：补全条形统计图如下图所示：
因为（人），所以（人）
所以，即
故答案为：40；40.
（2）解：列表得
男生1 男生2 男生3 女生
男生1 两男 两男 两男 一男一女
男生2 两男 两男 两男 一男一女
男生3 两男 两男 两男 一男一女
女生 一男一女 一男一女 一男一女 两女
共有16种等可能结果，其中抽到一男一女的结果有6种
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）因为条形统计图中知道了参与A项活动的人数为6，扇形统计图中知道了参与A项活动人数占总人数的40%，则被调查总人数等于，再用总人数分别减去参与A、C、D三项活动的人数即可得出参与B项活动的人数，最后用参与B项活动的人数除以总人数即可求出m的值；
（2）两步试验可通过画树状图或列表法求出概率，注意画树状图时要不重复不遗漏，列表格时明确对角线栏目上是否填写数据.
21．（2025九下·瑞安开学考）如图，反比例函数与一次函数是常数，，的图象交于点.
（1）分别求出两个函数的表达式.
（2）根据图象，当时，请直接写出的取值范围： .
【答案】（1）解：因为反比例函数经过点
所以，即，
因为一次函数的图象经过点，由题意得
，解得：，即
答：反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为
（2）或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（2）：当时，即直线在曲线下方时自变量的取值范围，显然在第一象限内，自变量取值范围为：；第三象限内 ，自变量取值范围为：；综上所述，的取值范围为或。
故答案为：或.
【分析】（1）因为反比例函数的表达式可写成的形式，所以知道经过图象上一个点的坐标即可确定式；当反比例系数确定后，对其图象上任一点，知道横坐标即可求出纵坐标，反之亦然；对于一次函数，知道其图象上任意两点坐标，可利用待定系数法列方程组求得其函数表达式；
（2）比较两个函数值的大小，实质是观察直线与双曲线在交点左右的位置关系，位于上方的函数值大，注意在写自变量的取值范围时，时刻记住.
22．（2025九下·瑞安开学考）如图，是的外接圆，点为上一点，连结BD，过点作交AB延长线于点，连结CD.
（1）求证：四边形BECD是平行四边形.
（2）当是的中点时，，求半径的长..
【答案】（1）证明：
四边形BECD是平行四边形
（2）解：如图所示，连接OD交AC于点F，连接OC。
是的中点
中
设、则
则在中，，即
解得：
答：半径的长
【知识点】平行四边形的判定与性质；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）由于所证四边形的一组已经平行，只需证另外一组边平行即可，此时可通过圆周角定理、等腰三角形的性质和平行线的性质定理予以证明；
（2）由垂径定理知，当D是弧AC中点时，则OD垂直平分AC，因此可连接OD、OC，利用垂径定理和勾股定理即可求出半径.
23．（2025九下·瑞安开学考）已知二次函数（其中a、c为常数，），且满足.
（1）若函数图象经过点，求函数的表达式及其顶点坐标；
（2）若点在此二次函数图象上，且当时，随的增大而增大，求的最小值.
【答案】（1）解：由题意知，列方程组得：，
解方程组得：
所以
所以二次函数的顶点坐标为.
答：二次函数的表达式为，顶点坐标为
（2）解：因为当时，随的增大而增大，
所以抛物线的对称轴且，即
因为，所以，所以
则当时，
因为，所以的最小值为
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【分析】（1）由于点二次函数图象上，则与已知条件可联立方程组，即，解方程组求出的值可得出函数表达式，再将一般式转化为顶点式即可；
（2）由于当时，随的增大而增大，所以抛物线的开口向上，即；对称轴应该在直线的左侧，最大与直线重合，此时可根据对称轴公式可求出的取值范围，因为已知，可得出的取值范围，最后把代入到函数解析式中即可确定的最小值。
24．（2025九下·瑞安开学考）如图1，在等腰Rt中，为AC的中点，为边BC上一点，连结AE，过点作于点经过点，交射线BG于点，连结CF.
（1）求证：.
（2）连结DF，CG，如图2，若.
①求DF的长.
②记BF交AC于点，求的值.
（3）当时（点D，G不重合），求的值.
【答案】（1）证明：经过点
（2）解： ① 如图所示，连接
，即是的直径
Rt中、
是等腰直角三角形，且
，即也是的直径
中，
是中点
②是直径
矩形是正方形
又
中，
中，
中，即
，即
（3）解：如图所示，延长交于点H，连接，则
设，则，
则在中，
即 ：
解得：
当时，，故应舍去，所以
【知识点】圆内接四边形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）因为圆内接四边形的一个外角等于它的内对角，再借助共公角可直接证明这两个三角形相似；
（2） ① 借助圆周角定理可推导出DF//BC，结合 知，则可推导为等腰直角三角形，因为直径CD可求，则DF可求； ② 因为和可看作同高三角形，所以其面积比等于FH与FG的比，可借助正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理和解直角三角形分别求出FH与FG的值即可；
（3）求的值，实质是求BE的值，因为只有AB和BC已知，D是AC中点，此时可考虑把CD放到直角三角形中构造相似三角形，利用相似三角形的性质和全等的性质把BE、CE、EF转化到直角三角形中，利用勾股定理求出BE即可.
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