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实数 单元综合复习卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1． 下列说法正确的是( )
A．-5是25的算术平方根 B．-16没有立方根
C．4的平方根是2 D．8的立方根是2
2．如图，在数轴上，点A与点C到点B的距离相等，A，B两点所对应的实数分别是和1，则点C对应的实数是
A． B． C． D．
3．已知，那么的值为（ ）
A． B．1 C． D．
4．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（ ）
A． B． C．2 D．3
5．已知均属于同一类数，不一定属于该类数，则这类数可以是（ ）
A．正有理数 B．负实数 C．整数 D．无理数
6．有下列四个命题：①相等的角是对顶角；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；③无理数包括正无理数、0、负无理数；④同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．是真命题的命题的个数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．与数 最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．已知正数m的平方根是3x﹣2和5x+6，则m的值是（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣
9．根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（ ）
x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16
x2 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256
A．
B．235的算术平方根比15.3小
C．只有3个正整数n满足15.5
D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出16.12将比256增大3.19
10．下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．5和 B．-|-5|和-(-5)
C．-5和 D．-5和
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若，则的算术平方根为 ．
12．﹣，﹣2，﹣这三个数中，最小的数是 ．
13．若在两个连续整数a、b之间，那么a2＋b2的值是 .
14．比较2和 大小：2 (填“＞”、“＜”或“=”)．
15．若将三个数 表示在数轴上，其中一个数被墨迹覆盖(如图所示)，则这个被覆盖的数是 ．
16．如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．求下列各式中的x．
（1）4x2＝81；
（2）（x+3）3＝﹣27．
18．已知正数x的两个不等的平方根分别是和的立方根为是的整数部分.
（1）求x和b的值；
（2）求a-b+c的平方根.
19．（1）在数轴上表示下列各数：－3，，，.
（2）并将原数按从小到大的顺序用“＜”连接起来.
20．已知一个正数的平方根是2a+1和a-13，
（1）求这个正数；
（2）求 的平方根
21．如图，用两个边长为5cm的小正方形拼成一个大的正方形.
（1）求大正方形的边长；
（2）若沿此大正方形边长的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为48cm2？
22．已知： 的立方根是 的算术平方根是
求：
（1） 的值；
（2） 的平方根.
23．很久很久以前，在古希腊的某个地方发生大旱，地里的庄稼都干死了，人们找不到水喝，于是大家一起到神庙里去向神祈求.神说：“我之所以不给你们降水，是因为你们给我做的正方体祭坛太小，如果你们做一个比它大一倍的祭坛放在我面前，我就会给你们降雨.”大家觉得很好办，于是很快做好了一个新祭坛送到神那里，新祭坛的棱长是原来的2倍.可是神愈发恼怒，他说：“你们竟敢愚弄我.这个祭坛的体积不是原来的2倍，我要进一步惩罚你们！”
如图所示，不妨设原祭坛边长为a，想一想：
（1）做出来的新祭坛是原来体积的多少倍？
（2）要做一个体积是原来祭坛的2倍的新祭坛，它的棱长应该是原来的多少倍？
24．已知实数x、y满足关系式 +|y2﹣9|=0．
（1）求x、y的值；
（2）判断 是无理数还是无理数？并说明理由．
25．定义：若，则称a与b是关于整数n的“平衡数”，比如3与是关于－1的“平衡数”，2与8是关于10的“平衡数”．
（1）填空：与8是关于 的“平衡数”．
（2）现有与（k为常数），且a与b始终是整数n的“平衡数”，与x取值无关，求n的值．
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实数 单元综合复习卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1． 下列说法正确的是( )
A．-5是25的算术平方根 B．-16没有立方根
C．4的平方根是2 D．8的立方根是2
【答案】D
【解析】【解答】解：A、5是25的算术平方根，则本项错误，不符合题意；
B、-16的立方根为，则本项错误，不符合题意；
C、4的平方根是±2，则本项错误，不符合题意；
D、8的立方根是2，则本项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据算术平方根、平方根以及立方根的定义逐项进行分析即可求解.
2．如图，在数轴上，点A与点C到点B的距离相等，A，B两点所对应的实数分别是和1，则点C对应的实数是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：，B两点所对应的实数分别是和1，
，
又，
，
点C对应的实数是，
故选：B．
【分析】本题考查的是实数，以及数轴上数的表示，根据题意，求得，结合，得到OC的长，进而确定点C对应的实数，即可得到答案．
3．已知，那么的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】【解答】∵
∴有a+2=0，b-1=0，
解得：a=-2，b=1，
则=（-2+1）2023=（-1）2023=-1
故答案为：A
【分析】根据二次根式及绝对值的非负性可求出a、b的值，然后代入计算即可.
4．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】【解答】解：∵当x=64时，，，2是有理数，
∴当x=2时，算术平方根为是无理数，
∴y=，
故答案为：A．
【分析】根据计算程序图分步进行计算即可得出答案．
5．已知均属于同一类数，不一定属于该类数，则这类数可以是（ ）
A．正有理数 B．负实数 C．整数 D．无理数
【答案】D
【解析】【解答】解：两个正有理数的和为正有理数；
两个负实数的和为负实数；
两个整数的和为整数；
两个无理数的和不一定是无理数，如与-和是0，和是有理数.
∴A、B、C选项均正确，不符合题意；D选项不正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】有理数与无理数统称实数；实数分为正实数、负实数和零；正实数分为正有理数与正无理数，负实数分为负有理数和负无理数；正整数、零和负整数统称整数，正负数与负分数统称分数，分数和整数统称有理数；进而根据互为相反数的两个数的和为0，再结合实数加法法则即可一 一判断得出答案.
6．有下列四个命题：①相等的角是对顶角；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；③无理数包括正无理数、0、负无理数；④同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．是真命题的命题的个数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】【解答】解：①是假命题；②是假命题；③是假命题；④是真命题。
其中真命题题的个数为：1.
故答案为：A。
【分析】根据对顶角的定义，平行线的性质，无理数的定义及平行线的判定正确识别，即可得出答案。
7．与数 最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】【解答】∵0＜25＜27＜36，
∴ ，
∴ ，
∴6＜ ＜7，
∵（ -6）-[7-（ ）]
=2 = ＜0
∴（ -6）＜[7-（ ）
∴ 最接近的整数是6,
故答案为：C
【分析】估算出的范围，即可得出与最接近的整数。
8．已知正数m的平方根是3x﹣2和5x+6，则m的值是（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣
【答案】C
【解析】【解答】解：∵正数m的平方根是3x﹣2和5x+6，
∴3x﹣2+5x+6＝0，
解得x＝﹣ ，
则m＝（3x﹣2）2＝（- ）2＝ ，
故答案为：C．
【分析】一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，据此解答即可.
9．根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（ ）
x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16
x2 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256
A．
B．235的算术平方根比15.3小
C．只有3个正整数n满足15.5
D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出16.12将比256增大3.19
【答案】C
【解析】【解答】解：A．根据表格中的信息知： ，
∴ ＝1.59，不符合题意；
B．根据表格中的信息知： ＜ ，
∴235的算术平方根比15.3大，不符合题意；
C．根据表格中的信息知：15.52＝240.25＜n＜15.62＝243.36，
∴正整数n＝241或242或243，
∴只有3个正整数n满足15.5 ，符合题意；
D．根据表格中的信息无法得知16.12的值，
∴不能推断出16.12将比256增大3.19，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据表格中的信息可知和其对应的算式平方根的值，再依次判断即可。
10．下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．5和 B．-|-5|和-(-5)
C．-5和 D．-5和
【答案】B
【解析】【解答】A、，它们相等，因此A不符合题意；
B、-|-5|=-5，-(-5)=5，-|-5|和-(-5)是相反数，因此B符合题意；
C、=-5，它们相等，因此C不符合题意；
D、-5和 是互为负倒数，因此D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据算术平方根、立方根、绝对值、相反数的定义，对各选项逐一判断即可得出答案。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若，则的算术平方根为 ．
【答案】4
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴
∴
∴的算术平方根为4，
故答案为：4.
【分析】根据算数平方根的性质得到：据此即可求得：即进而即可求解.
12．﹣，﹣2，﹣这三个数中，最小的数是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意可知：，，，
∵， ，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】先求出负数的绝对值，可以选择绝对值的平方比较出绝对值的大小，再根据负数比较大小，绝对值大的反而小得到即可.
13．若在两个连续整数a、b之间，那么a2＋b2的值是 .
【答案】85
【解析】【解答】
解：∵36<39<49，
∴6＜＜7，
∴a＝6，b＝，
∴a2＋b2＝62+72=85，
故答案为：85
【分析】首先对估算出大小，从而求出a，b的值，代入即可解决问题．
14．比较2和 大小：2 (填“＞”、“＜”或“=”)．
【答案】>
【解析】【解答】解：∵2= ，
∴2> ，
故答案为：>．
【分析】利用平方法比较2与 的大小，进一步即可求解．
15．若将三个数 表示在数轴上，其中一个数被墨迹覆盖(如图所示)，则这个被覆盖的数是 ．
【答案】
【解析】【解答】∵-2＜- ＜-1，2＜ ＜3，3＜ ＜4，
∴能被墨迹覆盖的数是 ．
故答案为 .
【分析】首先利用估算的方法分别得到- ， ， 前后的整数（即它们分别在那两个整数之间），从而可判断出被覆盖的数．
16．如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是 ．
【答案】2﹣
【解析】【解答】解：如图：
由题意可知：CD=CA= = ，
设点A 表示的数为x，
则：2﹣x=
x=2﹣
即：点A 表示的数为2﹣
故：答案为2﹣
【分析】先求出单位正方形的对角线的长，设点A表示的数为x，则2﹣x=单位正方形的对角线的长，求出x即可．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．求下列各式中的x．
（1）4x2＝81；
（2）（x+3）3＝﹣27．
【答案】（1）解：4x2＝81，
，
，
x；
（2）解：（x+3）3＝﹣27，
x+3，
x+3＝﹣3，
x＝﹣3﹣3，
x＝﹣6．
【解析】【分析】（1）利用平方根的计算方法求解即可；
（2）利用立方根的计算方法求解即可。
18．已知正数x的两个不等的平方根分别是和的立方根为是的整数部分.
（1）求x和b的值；
（2）求a-b+c的平方根.
【答案】（1）解：的平方根是和，
，
，
，
的立方根为，
，
故x的值为的值为
（2）解：，
【解析】【分析】（1）一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，据此可求出a值，继而求出x值；根据立方根可得b+1=-27，据此求出b值；
（2）先求出c值，再代入计算即可.
19．（1）在数轴上表示下列各数：－3，，，.
（2）并将原数按从小到大的顺序用“＜”连接起来.
【答案】（1）解：，；
如图所示：
（2）解：.
【解析】【分析】（1）先根据算术平方根的定义、立方根的定义将需要化简的数进行化简，进而根据数轴上的点所表示的数的特点：原点表示数字0，原点左边的点表示负数，原点右边的点表示正数，在数轴上找出表示各个数的点，用实心的小黑点作好标注，并在小黑点的上方写出该点所表示的数；
（2）然后根据数轴上的点所表示的数，左边的数小于右边的数进行比较即可.
20．已知一个正数的平方根是2a+1和a-13，
（1）求这个正数；
（2）求 的平方根
【答案】（1）解：∵一个正数的平方根是2a+1和a-13．
∵2a+1+a-13=0
3a=12
a=4
∴2a+1=2×4+1=9
∴这个正数为(2a+1)2=92=81
（2）当a=4时
a+12=4+12= 16-
∴ = =4
∴ 的平方根为± =±2
【解析】【分析】（1）根据平方根的性质得到2a+1和a-13是相反数，再求解即可；
（2）将a的值代入计算即可。
21．如图，用两个边长为5cm的小正方形拼成一个大的正方形.
（1）求大正方形的边长；
（2）若沿此大正方形边长的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为48cm2？
【答案】（1）解： 大正方形的边长是 cm）；
（2）解： 设长方形纸片的长为4xcm，宽为3xcm，
则4x 3x＝48，
解得：x＝ cm＝2（cm），
4x＝8cm＞5 cm，
所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为48cm2.
【解析】【分析】（1）抓住已知条件：用两个边长为5cm的小正方形拼成一个大的正方形，由此可求出大正方形的边长.
（2）设长方形纸片的长为4xcm，宽为3xcm，利用长方形的面积为面积为48cm2，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出4x的值与大正方形的边长比较大小，可作出判断.
22．已知： 的立方根是 的算术平方根是
求：
（1） 的值；
（2） 的平方根.
【答案】（1）解：由题意，得
解得
（2）解：由（1）得，
∴其平方根为 .
【解析】【分析】（1）根据立方根和算术平方根的定义，列出二元一次方程组求解即可；
（2）由（1）中结论，代入x2+y2计算后再求其平方根即可.
23．很久很久以前，在古希腊的某个地方发生大旱，地里的庄稼都干死了，人们找不到水喝，于是大家一起到神庙里去向神祈求.神说：“我之所以不给你们降水，是因为你们给我做的正方体祭坛太小，如果你们做一个比它大一倍的祭坛放在我面前，我就会给你们降雨.”大家觉得很好办，于是很快做好了一个新祭坛送到神那里，新祭坛的棱长是原来的2倍.可是神愈发恼怒，他说：“你们竟敢愚弄我.这个祭坛的体积不是原来的2倍，我要进一步惩罚你们！”
如图所示，不妨设原祭坛边长为a，想一想：
（1）做出来的新祭坛是原来体积的多少倍？
（2）要做一个体积是原来祭坛的2倍的新祭坛，它的棱长应该是原来的多少倍？
【答案】（1）解：新祭坛的体积是原来祭坛的 =8倍
（2）解：要做一个体积是原来2倍的新祭坛，它的边长应是原来的 倍
【解析】【分析】根据正方体的体积公式：原正方体的体积是a3，新正方体的体积是（2a）3=8a3，新祭坛的体积是原来祭坛的8a3÷a3=8；
（2）原正方体的体积是a3，新正方体的体积是2a3，要做一个体积是原来2倍的新祭坛，它的边长应是，新祭坛的边长是原来的倍。
24．已知实数x、y满足关系式 +|y2﹣9|=0．
（1）求x、y的值；
（2）判断 是无理数还是无理数？并说明理由．
【答案】（1）解：由题意，得 解得 或 ；
（2）解：当x=2，y=3时， = =3是有理数．
当x=2，y=﹣3时， = = 是无理数．
【解析】【分析】（1）根据非负数的和等于零，可得方程组，根据解方程组，可得答案；（2）根据开平方，无理数是无限不循环小数，可得答案．
25．定义：若，则称a与b是关于整数n的“平衡数”，比如3与是关于－1的“平衡数”，2与8是关于10的“平衡数”．
（1）填空：与8是关于 的“平衡数”．
（2）现有与（k为常数），且a与b始终是整数n的“平衡数”，与x取值无关，求n的值．
【答案】（1）2
（2）解：∵与（k为常数）始终是数n的“平衡数”，
∴
∵与x取值无关
∴，
解得，
∴．
故答案为：6．
【解析】【解答】 (1)根据定义，-6+8=2 故填2；(2) 根据定义a+b是n的平衡数，且于x无关，说明x的系数为0。a+b=6x2-4kx+8-2（3x2-2x+k）=6x2-4kx+8-6x2+4x-2k=(4-4k)x+8-2k，x的系数（4-4k）为0即k=1， ∴ a+b=8-2k=8-2=6
【分析】根据题中平衡数定义求和，与x取值无关即x的系数为0，由此可解。
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