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人教版数学八年级下学期第一次月考
真题汇编培优卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列二次根式中，可与进行合并的二次根式为（ ）
A． B． C． D．
2．在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ）。
A．5，6，7 B．5，12，13 C．1，4，9 D．5，11，12
3． 如图，点O为数轴的原点，点A和B分别对应的实数是-1和1．过点B作，以点B为圆心，OB长为半径画弧，交BC于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交数轴的正半轴于点E，则点E对应的实数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，平分交边于点D，若，则线段的长为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
5．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（ ）
A．2 B． C． D．
6．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之，在《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，间折者高几何？”翻译成数学问题；如图，在 中， ， ， ，若设 ，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8． 是一个正整数，则n的最小正整数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．若二次根式 有意义，且关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4
10．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古代算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若 +|b﹣2|=0，则以a，b为边长的直角三角形的周长为 ．
12．函数 中，自变量x的取值范围是 ．
13．已知 ， 为实数，且满足 ，则 .
14．学校操场边上一块空地（阴影部分）需要绿化，测出CD=6m，AD=8m，BC=24m，AB=26m，AD⊥CD，那么需要绿化部分的面积为 .
15．观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数：
16．阅读理解：对于任意正整数a，b，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（a、b均为正实数）中，只有当时，有最小值.若，有最小值为 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．
（1）已知，，求代数式的值.
（2）已知，求的值.
18．如图，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在格点上．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求AB边上的高h．
19．如图，在四边形中，已知，，，，.
（1）求证：是直角三角形
（2）求四边形的面积.
20．已知x＝2﹣，y＝2+，求下列代数式的值：
（1）x2＋xy＋y2；
（2）x2y﹣xy2.
21．
（1）化简： ；
（2）已知a＝ ，求3a2－6a－1的值．
22．如图，AD是的高，E为AC上一点，点BE交AD于F，且，．
（1）证明：．
（2）若，求AD的长．
23．如图，一架云梯AB长25m，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端A距地面24m．
（1）这个梯子底端B离墙有多少米？
（2）如果梯子的顶端下滑的距离AD＝4m，求梯子的底部B在水平方向滑动的距离BE的长．
24．如果最简二次根式 与 是同类二次根式.
（1）求出a的值；
（2）若a≤x≤2a，化简：|x﹣2|+ .
25． 如图，四边形，，，A是边DE上一点，过点C作交延长线于点B．
（1）求证：；
（2）设三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．
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人教版数学八年级下学期第一次月考
真题汇编培优卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列二次根式中，可与进行合并的二次根式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解答】、，与是同类二次根式，可以合并，符合题意，
、与不是同类二次根式，不可以合并，不符合题意，
、与不是同类二次根式，不可以合并，不符合题意，
、与不是同类二次根式，不可以合并，不符合题意，
故答案为：．
【分析】先将各项化成最简根式，根据同类二次根式的定义进行判断即可求解，
2．在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ）。
A．5，6，7 B．5，12，13 C．1，4，9 D．5，11，12
【答案】B
【解析】【分析】A、∵，故不能围成直角三角形，此选项错误；
B、∵=，能围成直角三角形，此选项正确；
C、∵，故不能围成直角三角形，此选项错误；
D、∵，故不能围成直角三角形，此选项错误。
故选B。
【点评】 此类试题属于基础性试题，考生直接一招勾股定理把各项代入验证即可。
3． 如图，点O为数轴的原点，点A和B分别对应的实数是-1和1．过点B作，以点B为圆心，OB长为半径画弧，交BC于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交数轴的正半轴于点E，则点E对应的实数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意可得AB=1-（-1）=2，DB=1，
由勾股定理得，AD=，即AE=，
∴BE=AE-AB=-2，
∴OE=OB+BE=-2+1=-1，
∴ E点对应的实数为：-1.
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理可得AD，再根据AD=AE和两点之间的距离，即可求得点E对应的实数.
4．如图，在中，，平分交边于点D，若，则线段的长为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】【解答】
解：∵ ∠C=90°，∠B=30°
∴ ∠CAB=60°
∵ AD平分∠CAB
∴ ∠CAD=∠DAB=30°
∴ ∠DAB=∠B
∴ AD=DB
设BD=x，则AD=x
∴ CD=x
∵ AC2+CD2=AD2
∴（ ）2+（x）2=x2
解得：x=2
则线段BD长为2
故答案为C
【分析】本题考查30°直角三角形的性质，勾股定理及角平分线等知识，由直角三角形的角度和角平分线可得AD=DB，结合AC长度及勾股定理，可求得BD长。
5．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由点的位置得：
所以
故答案为：2.
【分析】根据a的取值范围将绝对值和二次根式进行化简即可。
6．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、，故A选项正确，符合题意；
B、和不是同类二次根式，不能合并，故B选项错误，不符合题意；
C、，运算错误，故C选项错误，不符合题意；
D、，同类二次根式的加减法，类似合并同类项，二次根式不变，只把系数相加减.故D选项错误，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据开平方的方法，二次根式的加、减法法则，二次根式的除法法则算出结果即可判断.
7．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之，在《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，间折者高几何？”翻译成数学问题；如图，在 中， ， ， ，若设 ，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解： ， ， ，
设 ，则 ，则
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理可得AC2+BC2=AB2，设AC=x，则AB=10-x，然后代入即可得到方程.
8． 是一个正整数，则n的最小正整数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：由 是一个正整数，得
12﹣n=9，
n=3，
故选：C．
【分析】根据算术平方根是正整数，可得被开方数是能开方的正整数．
9．若二次根式 有意义，且关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4
【答案】D
【解析】【解答】解：将分式方程去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，解得，x＝ ，
∵关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，
∴ ＞0，
∴m＞﹣5，
又∵x＝1是增根，当x＝1时， ＝1，即m＝﹣3
∴m≠﹣3，
∵ 有意义，
∴2﹣m≥0，
∴m≤2，
因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3，
∵m为整数，
∴m可以为﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，其和为﹣4，
故答案为：D．
【分析】此题考查分式方程的解法，以及二次根式有意义的定义；重点要注意排除增根的情况.
10．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古代算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
【答案】C
【解析】【解答】解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a。
由勾股定理得c2=a2+b2，
阴影部分的面积=c2-b2-a(c-b)=a2-ac+ab=a(a+b-c)，
较小两个正方形重叠部分的宽=a-(c-b)=a+b-c，长=a，
则较小两个正方形重叠部分的面积=a(a+b-c)，
∴知道图中阴影部分的面积，就一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积。
【分析】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a。由勾股定理得c2=a2+b2，
然后根据正方形和长方形的面积公式计算即可。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若 +|b﹣2|=0，则以a，b为边长的直角三角形的周长为 ．
【答案】3+ 或3+
【解析】【解答】解：∵ +|b﹣2|=0，
∴a﹣1=0，b﹣2=0，
解得：a=1，b=2，
则当a，b是直角边时，斜边长为： ，
此时直角三角形的周长为：3+ ，
当b为斜边长，则另一直角边长为： ，
故此时直角三角形的周长为：3+ ，
故以a，b为边长的直角三角形的周长为：3+ 或3+ ．
故答案为：3+ 或3+ ．
【分析】直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质得出a，b的值，进而利用分类讨论分析得出答案．
12．函数 中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】x≥﹣3且x≠2
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
解得：x≥-3且x≠2．
【分析】利用分式有意义的条件和二次根式有意义的条件列出不等式组求解即可。
13．已知 ， 为实数，且满足 ，则 .
【答案】4
【解析】【解答】解： 、 为实数，且满足 ，
， ，
则 .
故答案为： .
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a、b的值，进而得出答案.
14．学校操场边上一块空地（阴影部分）需要绿化，测出CD=6m，AD=8m，BC=24m，AB=26m，AD⊥CD，那么需要绿化部分的面积为 .
【答案】288
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为直角三角形，
∴
，
故答案为：288.
【分析】由 ，则 为直角三角形，即可求解.
15．观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数：
【答案】13、84、85
【解析】【解答】解：从上边可以发现第一个数是奇数，且逐步递增2，
故第5组第一个数是11，第6组第一个数是13，
又发现第二、第三个数相差为一，
故设第二个数为x，则第三个数为x+1，
根据勾股定理得：132+x2=（x+1）2，
解得x=84．
则得第6组数是：13、84、85．
故答案为：13、84、85．
【分析】先根据给出的数据找出规律，再根据勾股定理进行求解即可．
16．阅读理解：对于任意正整数a，b，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（a、b均为正实数）中，只有当时，有最小值.若，有最小值为 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：由题中结论可得
即：当时，有最小值为3，
故答案为：3．
【分析】将原式化为，然后根据题中材料所给结论，可得3，即可求解.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．
（1）已知，，求代数式的值.
（2）已知，求的值.
【答案】（1）解：原式，
又，
，
原式；
（2）解：由，
则，
可得.
【解析】【分析】（1）对待求式变形可得，根据二次根式的加法法则可得m+n，根据平方差公式可得mn，然后代入计算即可；
（2）对已知条件两边平方可得x2+-2=4，则x2+=6，两边平方可得x4+=34，然后代入计算即可.
18．如图，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在格点上．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求AB边上的高h．
【答案】（1）解：是直角三角形，理由如下：
，，，
∴，
∴为直角三角形；
（2）解：过C作于D，如图所示：
，
∴，
∴，
∴AB边上高h为2．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理先求出 ， 再判断求解即可；
（2）利用三角形的面积公式先求出 ， 再求出CD=2，最后求解即可。
19．如图，在四边形中，已知，，，，.
（1）求证：是直角三角形
（2）求四边形的面积.
【答案】（1）证明：∵，，，
∴，
在中，，，，
∵，即，
∴是直角三角形.
（2）解：∵在中，，，，
∴，
∴，
又∵，
∴.
∴四边形为.
【解析】【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质可得AC=2AB=6，然后利用勾股定理逆定理进行证明；
（2）由勾股定理可得BC的值，然后根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD结合三角形的面积公式进行计算.
20．已知x＝2﹣，y＝2+，求下列代数式的值：
（1）x2＋xy＋y2；
（2）x2y﹣xy2.
【答案】（1）解：∵，，
∴，，
∴
（2）解：∵，，
∴，，
∴
【解析】【分析】（1）先表示出x+y和xy的值，再将原式利用配方法化简，最后将x+y和xy的值代入化简后的式子即可求解；
（2）先表示出x-y和xy的值，再将原式利用因式分解化简，最后将x-y和xy的值代入化简后的式子即可求解.
21．
（1）化简： ；
（2）已知a＝ ，求3a2－6a－1的值．
【答案】（1）解：
（2）解：∵a＝ ＝ ＝
∴a 1＝
∴3a2 6a－1＝3(a2 2a＋1)－4＝3(a 1)2 4＝3( )2 4＝2
【解析】【分析】(1)先将分子和分母同乘以 进行分母有理化，然后再约分化简，即可得出结果；
(2)先进行分母有理化，得出a= ，然后将原式利用完全平方公式配方，再代值计算，即可求出结果.
22．如图，AD是的高，E为AC上一点，点BE交AD于F，且，．
（1）证明：．
（2）若，求AD的长．
【答案】（1）证明：∵AD是的高，
∴与为直角三角形，
在Rt与Rt中
∵
∴
（2）解：∵，
∴BD=AD
在Rt△ABD中，
∵，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）利用“HL”证明即可；
（2）利用勾股定理可得，再将数据代入求出即可。
23．如图，一架云梯AB长25m，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端A距地面24m．
（1）这个梯子底端B离墙有多少米？
（2）如果梯子的顶端下滑的距离AD＝4m，求梯子的底部B在水平方向滑动的距离BE的长．
【答案】（1）解：由题意知 米， 米， 米，
在直角△ABC中，∠C＝90°
∴
∴ 米，
∴这个梯子底端离墙有7米
（2）解：∵ 米，
∴ （米），
在直角△CDE中，∠C＝90°
∴
∴ （米），
米 米 米．
答：梯子的底部在水平方向滑动了8m．
【解析】【分析】（1）由题意得出 米， 米， 米， 根据勾股定理，可求出梯子底端离墙的高度；
（2）由题意得出CD的长度，由勾股定理可得出此时的CE的长度，即可求出BE的长度。
24．如果最简二次根式 与 是同类二次根式.
（1）求出a的值；
（2）若a≤x≤2a，化简：|x﹣2|+ .
【答案】（1）解：4a-5=13-2a，
解得a=3.
（2）解： ≤x≤
= = =
【解析】【分析】（1）同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式，由此可列等式，求解即可；
（2）由二次根式的性质可对式子化简，再利用去绝对值符号法则：非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数可求解.
25． 如图，四边形，，，A是边DE上一点，过点C作交延长线于点B．
（1）求证：；
（2）设三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．
【答案】（1）证明：如图所示：
，，
，，，
，，
在和中，
，
，
，
又，
．
（2）证明：由（1）可知：，
，，，
四边形的面积正方形的面积，
，
即，
，
，，
即，
整理得：．
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠1=∠2，根据AAS判定可得BF=AE，即可求得；
（2）根据的性质可得 ，，，再根据四边形ACBD的面积正方形CEDF的面积列出式子，即可证明勾股定理.
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