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北师大版数学九年级下学期第一次月考
模拟押题卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列条件中，不能确定一个圆的是（ ）
A．圆心与半径 B．直径
C．平面上的三个已知点 D．三角形的三个顶点
2．若正方形的边长为6，边长增加x，面积增加y，则y关于x的函数解析式为（ ）
A．y=（x+6）2 B．y=x2+62 C．y=x2+6x D．y=x2+12x
3．已知A、B两点的坐标分别为、，线段上有一动点，过点M作x轴的平行线交抛物线于、两点.若，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．3月中旬某中学校园内的樱花树正值盛花期，供全校师生驻足观赏. 如图，有一棵樱花树AB垂直于水平平台BC，通往平台有一斜坡CD，D，E在同一水平地面上，A，B，C，D，E均在同一平面内，已知BC＝3米，CD＝5米，DE＝1米，斜坡CD的坡度是 ，李同学在水平地面E处测得树冠顶端A的仰角为62°，则樱花树的高度AB约为（ ）（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）
A． 9.16米 B．12.04米 C．13.16米 D．15.04米
5．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，过点C作的⊙O切线，切点为B，连接AC交⊙O于D，∠C=38°.点E在AB右侧的半圆上运动（不与A，B重合），则∠AED的大小是（ ）
A．19° B．32° C．38° D．76°
6．已知二次函数y=x2-2mx+m2+1（m为常数），当自变量x的值满足-3≤x≤-1时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（ ）
A．1或-3 B．-3或-5 C．1或-5 D．1或-1
7．在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且sinA=，cosB=，AC=40，则△ABC的面积是（ ）
A．800 B．800 C．400 D．400
8．若y=（2-m）xm2 2是二次函数，则m等于（ ）
A．±2 B．2 C．-2 D．不能确定
9．如图是二次函数 图象的一部分，其对称轴为. 且过点(）有下列说法：①abc<0；②2a-b=0；③4a+2b+c<0；④若是抛物线上两点，则.其中说法正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
10．如图，在中，，分别以、为边向外作正方形、，连结并延长交于点 H，连结． 若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，点C是的直径延长线上一点，且，与相切于点P，连接，则的度数为 .
12．如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型.拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m，则支柱的长度为 m.
13．如图，中，，，O是边上一点，满足，将绕点A顺时针旋转至△，使点落在射线上，连结，交的延长线于点F，则的长为 .
14．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝4 ，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D，则图中阴影部分的面积等于 .（结果保留 ）
15．计算：|﹣ |+（ ）﹣1﹣2sin45°＝ .
16．如图，在△ABC中， ，cosB ．如果⊙O的半径为 cm，且经过点B、C，那么线段AO= cm．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．“互联网”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条元，当售价为每条元时，每月可销售条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降元，则每月可多销售条．设每条裤子的售价为元为正整数，每月的销售量为条．
（1）求与的函数关系式；
（2）设该网店每月获得的利润为元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
18．如图，在中，，以AB为直径的交BC于点D，过点D作，交AC于点E，AC的反向延长线交于点F.
（1）求证：DE为的切线；
（2）若，的半径为10，求的长度.
19．某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶.已知看台高为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长为l米的不锈钢架杆AD和BC（杆子的底端分别为D，C），且∠DAB＝66.5°.
（1）求点D与点C的高度差DH；
（2）求所用不锈钢材料的总长度l.（即AD+AB+BC，结果精确到0.1米）
（参考数据：sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30）
20．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax+b与双曲线y＝ 相交于A（1，m），B（n，﹣2）两点，直线与x轴、y轴交于C，D两点，且tan∠AOC＝1．
（1）求k，a，b的值；
（2）求△AOB的面积．
21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD为直径．过点A作AE⊥CD的延长线于点E，且DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若AE＝2，CD＝8，求⊙O的半径和AD的长．
22．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．
（1）请在图中作出△ABC绕点A逆时针方向旋转90°后得到的图形△A1B1C1．
（2）求点C运动到点C1所经过的路径的长．
23．
（1）．
（2）化简：先化简，再求值：，其中x＝3+．
24．如图，在中，是边上的中线，分别过点C，点D作的平行线交于E点，与交于点连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的值．
25．已知抛物线对称轴是直线，顶点为，若自变量的函数值的部分对应值如表所示
-1 1 3
0 3 0
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若经过点作垂直于轴的直线，为直线上的动点，线段的垂直平分线交直线于点，点关于直线的对称点为，记作.
①用含和的代数式表示；
②当取任意实数时，若对于同一个，有恒成立，求的取值范围.
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北师大版数学九年级下学期第一次月考
模拟押题卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列条件中，不能确定一个圆的是（ ）
A．圆心与半径 B．直径
C．平面上的三个已知点 D．三角形的三个顶点
【答案】C
【解析】【解答】解：A、已知圆心与半径能确定一个圆，不符合题意；
B、已知直径能确定一个圆，不符合题意；
C、平面上的三个已知点，不能确定一个圆，符合题意；
D、已知三角形的三个顶点，能确定一个圆，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆，直接判断即可.
2．若正方形的边长为6，边长增加x，面积增加y，则y关于x的函数解析式为（ ）
A．y=（x+6）2 B．y=x2+62 C．y=x2+6x D．y=x2+12x
【答案】D
【解析】【解答】解：原边长为6的正方形面积为：6×6=36，
边长增加x后边长变为：x+6，
则面积为：（x+6）2，
∴y=（x+6）2﹣36=x2+12x．
故选：D．
【分析】首先表示出原边长为6的正方形面积，再表示出边长增加x后正方形的面积，再根据面积随之增加y可列出方程．
3．已知A、B两点的坐标分别为、，线段上有一动点，过点M作x轴的平行线交抛物线于、两点.若，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得：线段AB（B除外）位于第四象限，
过点M且平行x轴的直线在x轴的下方，
抛物线的顶点坐标为，此顶点位于第一象限，
，
画出函数图象如下：
结合图象可知，若，则当时，二次函数的函数值；当时，二次函数的函数值，
即，解得，
又，
，
故答案为：C.
【分析】 由题意可知：线段AB（B除外）位于第四象限，过点M且平行x轴的直线在x轴的下方；由抛物线的解析式可得顶点（1，2）在第一象限，于是可画出图像，结合图象可知：当x=3时，函数值y-4，当x=0时，函数值y-2，则可得关于a的不等式组，解不等式组即可求解.
4．3月中旬某中学校园内的樱花树正值盛花期，供全校师生驻足观赏. 如图，有一棵樱花树AB垂直于水平平台BC，通往平台有一斜坡CD，D，E在同一水平地面上，A，B，C，D，E均在同一平面内，已知BC＝3米，CD＝5米，DE＝1米，斜坡CD的坡度是 ，李同学在水平地面E处测得树冠顶端A的仰角为62°，则樱花树的高度AB约为（ ）（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）
A． 9.16米 B．12.04米 C．13.16米 D．15.04米
【答案】B
【解析】【解答】解：过C作CG⊥DE交ED的延长线于G，延长AB交ED的延长线于H，如图所示：
则四边形BHGC为矩形，
∴BH＝CG，GH＝BC＝3米，
∵斜坡CD的坡度是 ，
∴设CG＝3x米，则DG＝4x，
由勾股定理得，CD2＝CG2+DG2，
即52＝（3x）2+（4x）2，
解得：x＝1，
∴BH＝CG＝3（米），DG＝4（米），
∴EH＝DE+DG+GH＝1+4+3＝8（米），
在Rt△AHE中，tan∠AEH＝ ＝tan62°≈1.88，
∴AH≈1.88EH＝1.88×8＝15.04（米），
∴AB＝AH﹣BH≈15.04﹣3＝12.04（米），
故答案为：B.
【分析】过C作CG⊥DE交ED的延长线于G，延长AB交ED的延长线于H，则四边形BHGC为矩形，由题意可得： ，设CG＝3x，则DG＝4x，然后由勾股定理就可求得x的值，进而得到BH、DG、EH的值，然后在Rt△AHE中，利用三角函数的概念就可求得AH的值，最后根据AB＝AH-BH计算即可.
5．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，过点C作的⊙O切线，切点为B，连接AC交⊙O于D，∠C=38°.点E在AB右侧的半圆上运动（不与A，B重合），则∠AED的大小是（ ）
A．19° B．32° C．38° D．76°
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接BD，
∵AB为⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴∠ADB=90°，AB⊥BC，
∴∠C+∠BAC=∠BAC+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠C，
∵∠AED=∠ABD，∠C=38°，
∴∠AED=∠C=38°.
故答案为：C.
【分析】连接BD，由圆周角定理和圆的切线的性质可得∠ADB=90°，AB⊥BC，然后由圆周角定理和同角的余角相等得∠ABD=∠C=∠AED可求解.
6．已知二次函数y=x2-2mx+m2+1（m为常数），当自变量x的值满足-3≤x≤-1时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（ ）
A．1或-3 B．-3或-5 C．1或-5 D．1或-1
【答案】C
【解析】【解答】∵y=x2-2mx+m2+1=（x-m）2+1，
∴当x=m时，y的最小值为1.
当m＜-3时，在-3≤x≤-1中，y随x的增大而增大，
∴9+6m+m2+1=5，
解得：m1=-5，m2=-1（舍去）；
当-3≤m≤-1时，y的最小值为1，舍去；
当m＞-1时，在-3≤x≤-1中，y随x的增大而减小，
∴1+2m+m2+1=5，
解得：m1=-3（舍去），m2=1.
∴m的值为-5或1.
故答案为：C.
【分析】利用配方法可得出：当x=m时，y的最小值为1.分m＜-3，-3≤m≤-1和m＞-1三种情况考虑：当m＜-3时，由y的最小值为5可得出关于m的一元二次方程，解之取其较小值；当-3≤m≤-1时，y的最小值为1，舍去；当m＞-1时，由y的最小值为5可得出关于m的一元二次方程，解之取其较大值.综上，此题得解.
7．在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且sinA=，cosB=，AC=40，则△ABC的面积是（ ）
A．800 B．800 C．400 D．400
【答案】D
【解析】【解答】解：如图所示，过C作CD⊥AB，
∵在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且sinA=，cosB=，
∴∠A=∠B=30°，
∴BC=AC，
∴D为AB中点，
在Rt△ACD中，AC=40，
∴CD=AC=20，
根据勾股定理得：AD==20，
∴AB=2AD=40，
则△ABC的面积是AB CD=400，
故选D
【分析】如图所示，过C作CD⊥AB，根据题意，利用锐角三角函数定义求出∠A与∠B的度数，利用等角对等边得到AC=BC，利用三线合一得到D为AB中点，在直角三角形ACD中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出CD的长，利用勾股定理求出AD的长，确定出AB的长，求出三角形ABC面积即可．
8．若y=（2-m）xm2 2是二次函数，则m等于（ ）
A．±2 B．2 C．-2 D．不能确定
【答案】C
【解析】【分析】根据二次函数的定义，自变量指数为2，且二次项系数不为0，列出方程与不等式求解则可．
【解答】根据二次函数的定义，得：m2-2=2
解得m=2或m=-2
又∵2-m≠0
∴m≠2
∴当m=-2时，这个函数是二次函数．
故选C．
【点评】本题考查二次函数的定义．
9．如图是二次函数 图象的一部分，其对称轴为. 且过点(）有下列说法：①abc<0；②2a-b=0；③4a+2b+c<0；④若是抛物线上两点，则.其中说法正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【解析】【解答】解：由图可知，开口向上，即a>0，对称轴在左侧，故b>0，与y轴交于负半轴，即c<0，故①正确；
对称轴为即有b=2a，即有2a-b=0，②正确；
由对称(-3，0)关于直线x=-1对称的点为(1，0)，故当x=2时，y>0，即4a+2b+c>0，故③错误；
-5到对称轴x=-1有4个单位，到对称轴x=-1的距离为，故y1>y2，故④正确；
答案：C.
【分析】由图像可直接判断a，b，c的符号，可判断①正确；由对称轴为x=-1即可判断②正确；由对称可知x=2时，y>0，即可判断③错误；由两点到对称轴的距离即可判断④正确.
10．如图，在中，，分别以、为边向外作正方形、，连结并延长交于点 H，连结． 若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：连接，过点H作于点K，如图，
设，
∵，，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
则，
∴，
故答案为：D．
【分析】连接，过点H作于点K，设，利用角的运算求出，设，则，再求出，再求出，最后求出即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，点C是的直径延长线上一点，且，与相切于点P，连接，则的度数为 .
【答案】30°
【解析】【解答】解：连接OP；
∵与相切于点P，
∴，
中，，即；
∴，
∴，
∴.
故答案为：30°.
【分析】连接OP，根据切线的性质得OP⊥PC，在Rt△OCP，由∠POC余弦函数定义及特殊锐角三角函数值可得∠POC=60°，进而根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半即可得出∠A的度数.
12．如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型.拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m，则支柱的长度为 m.
【答案】
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系，如图，
则
设抛物线的解析式为，
把代入得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为：，
∴当时，，
∴
故答案为：.
【分析】建立平面直角坐标系，则A（-10，-10）、B（10，-10），C（0，-4），设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，将A、B、C的坐标代入求出a、b、c的值，得到对应的关系式，然后令x=5，求出y的值，进而可得支柱MN的长度.
13．如图，中，，，O是边上一点，满足，将绕点A顺时针旋转至△，使点落在射线上，连结，交的延长线于点F，则的长为 .
【答案】
【解析】【解答】解：过C作于点D，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
，
△是由旋转得到，
，，，
，，
，
在和中，，
，
，
又（对顶角相等），
，
.
故答案为：.
【分析】过C作CD⊥AB于点D，由等腰三角形的性质可得AD=DO，由已知条件可知AB=3AC=6，则AC=2，利用三角函数的概念可得AD的值，然后求出AO、BO，根据旋转的性质可得AC=AC′，AB=AB′，∠CAC′=∠BAB′，结合等腰三角形的性质以及内角和定理可推出∠ABB′=∠ACC′，进而推出BF=BO，据此解答.
14．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝4 ，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D，则图中阴影部分的面积等于 .（结果保留 ）
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接OD、CD.
∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，
∵∠A＝30°，
∴CD＝ AC＝OC，∠ACD＝60°，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝60°.
∵在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝4 ，
∴AB＝8 ，AC＝12，
∴OC＝6，
∴AD＝ AC＝6 ，
∴S阴＝S△ABC﹣S△ACD﹣（S扇形OCD﹣S△OCD）
＝ ﹣ ﹣（ ﹣ ）
＝15 ﹣6π.
故答案为：15 ﹣6π.
【分析】连接OD、CD，由直径所对的圆周角是直角可得∠ADC＝90°，结合已知可得CD＝AC＝OC且△OCD是等边三角形，由等边三角形的性质得∠COD＝60°，于是解Rt△ABC可求得AB、AC的值，OC=AC，在Rt△ADC中，用勾股定理可求得AD的值，再根据阴影部分面积的构成S阴＝S△ABC﹣S△ACD﹣（S扇形OCD﹣S△OCD）可求解.
15．计算：|﹣ |+（ ）﹣1﹣2sin45°＝ .
【答案】2
【解析】【解答】原式 ，
故答案为：2.
【分析】由特殊角的三角函数值可得sin45°=，由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得（）-1=2，再根据实数的运算法则计算即可求解.
16．如图，在△ABC中， ，cosB ．如果⊙O的半径为 cm，且经过点B、C，那么线段AO= cm．
【答案】3或5
【解析】【解答】分两种情况考虑：①如图所示，
∵AB=AC，OB=OC，
∴AO垂直平分BC，
∴OA⊥BC，D为BC的中点，
在Rt△ABD中，AB=5，cos∠ABC= ，
∴BD=3，
根据勾股定理得：AD= =4，
在Rt△BDO中，OB= ，BD=3，
根据勾股定理得：OD= =1，
则AO=AD+OD=4+1=5；②如图所示，
作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，
∴AD垂直平分BC，
∴点O在AD上，连接OB，
在Rt△ABD中，cosB= = ，
∴BD=5× =3，
∴AD= =4，
在Rt△BOD中，OD= =1，
∴OA=AD OD=4 1=3．
综上，OA的长为3或5．
故答案为3或5．
【分析】分两种情况考虑：①如图所示，由AB=AC，OB=OC，利用线段垂直平分线逆定理得到AO垂直平分BC，在直角三角形ABD中，由AB及cos∠ABC的值，利用锐角三角函数定义求出BD的长，再利用勾股定理求出AD的长，在直角三角形OBD中，由OB与BD的长，利用勾股定理求出OD的长，由AD+DO即可求出AO的长；②同理由AD-OD即可求出AO的长，综上，得到所有满足题意的AO的长．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．“互联网”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条元，当售价为每条元时，每月可销售条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降元，则每月可多销售条．设每条裤子的售价为元为正整数，每月的销售量为条．
（1）求与的函数关系式；
（2）设该网店每月获得的利润为元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）解：由题意得：，
与的函数关系式为，
故答案为：；
（2）解：由题意得：，
，抛物线开口向下，
当时，有最大值，最大值为，
此时元，
当销售单价降低元时，每月获得最大利润为元；
【解析】【分析】本题考查二次函数的应用，一次函数的应用；
（1）根据销售单价每降元，则每月可多销售条，据此可写出与的函数关系式；
（2）根据题意可得每件的利润为：元，再根据该网店每月获得的利润元等于每件的利润乘以销售量，据此可列出函数关系式，利用二次函数的性质可求出有最大值，并求出销售单价应降低的金额 ．
18．如图，在中，，以AB为直径的交BC于点D，过点D作，交AC于点E，AC的反向延长线交于点F.
（1）求证：DE为的切线；
（2）若，的半径为10，求的长度.
【答案】（1）证明：∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC.
∵DE⊥AC，OD是半径，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图，过点作于点，则，
∴四边形是矩形，
∴.
设，
∵，
∴，，
在中，由勾股定理得，即，
解得（不合题意，舍去），
∴，
∵，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得∠ABC=∠ODB，∠ABC=∠ACB， 则∠ODB=∠ACB，推出OD∥AC ，进而根据平行线的性质推出 DE⊥OD，从而根据切线的判定方法得出结论；
（2） 过点O作OH⊥AF于点H，易得四边形ODEH是矩形，得OD=EH，OH=DE，设AH=x，用含x的式子表示出AE、OH，在Rt△AOH中，利用勾股定理建立方程，求解得出x的值，从而即可得出AH的值，最后根据垂径定理即可得出AF的长.
19．某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶.已知看台高为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长为l米的不锈钢架杆AD和BC（杆子的底端分别为D，C），且∠DAB＝66.5°.
（1）求点D与点C的高度差DH；
（2）求所用不锈钢材料的总长度l.（即AD+AB+BC，结果精确到0.1米）
（参考数据：sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30）
【答案】（1）解：DH＝1.6× ＝1.2（米）
（2）解：过B作BM⊥AH于M，则四边形BCHM是矩形.
∴MH＝BC＝1
∴AM＝AH﹣MH＝1+1.2﹣1＝1.2.
在Rt△AMB中，∠A＝66.5°.
∴AB＝ （米）.
∴l＝AD+AB+BC≈1+3.0+1＝5.0（米）.
答：点D与点C的高度差DH为1.2米；所用不锈钢材料的总长度约为5.0米.
【解析】【分析】（1）通过图观察可知DH高度包含3层台阶，因而DH=每级小台阶高度×小台阶层数.（2）首先过点B作BM⊥AH，垂足为M.求得AM的长，在Rt△AMB中，根据余弦函数 即可求得AB的长，那么根据不锈钢材料的总长度l=AD+AB+BC，求得所用不锈钢材料的长.
20．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax+b与双曲线y＝ 相交于A（1，m），B（n，﹣2）两点，直线与x轴、y轴交于C，D两点，且tan∠AOC＝1．
（1）求k，a，b的值；
（2）求△AOB的面积．
【答案】（1）解：过点A作AE⊥x轴于点E，如图
∵tan∠AOC＝1，A（1，m），B（n，﹣2）
∴m＝1
∴1＝
∴k＝2
∴﹣2＝
∴n＝﹣
∴A（1，1），B（﹣，﹣2）
把A（1，1），B（﹣，﹣2）分别代入y＝ax+b得：
解得
∴y＝2x﹣1
∴k，a，b的值分别为2，2，﹣1．
（2）解：∵y＝2x﹣1
∴当x＝0时，y＝﹣1，即D（0，﹣1）
∴S△AOB＝OD×xA+OD×（﹣xB）
＝OD×（xA﹣xB）
＝×1×（1+）
＝
∴△AOB的面积为．
【解析】【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，进而根据锐角三角函数的定义结合题意即可得到m，从而根据待定系数法求出反比例函数的解析式即可得到k，从而得到点B的坐标，再运用待定系数法即可求出一次函数解析式，从而即可得到a和b；
（2）根据一次函数与坐标轴的交点问题求出点D，进而结合三角形的面积即可求解。
21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD为直径．过点A作AE⊥CD的延长线于点E，且DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若AE＝2，CD＝8，求⊙O的半径和AD的长．
【答案】（1）证明：连接OA，
∵AE⊥CD，
∴∠DAE＋∠ADE＝90°．
∵DA平分∠BDE，
∴∠ADE＝∠ADO，
又∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∴∠DAE＋∠OAD＝90°，
∴OA⊥AE，
∴AE是⊙O切线；
（2）解：取CD中点F，连接OF，
∴OF⊥CD于点F．
∴四边形AEFO是矩形，
∵CD＝8，
∴DF＝FC＝4．
在Rt△OFD中，OF＝AE＝ ，
∴OD＝6，
在Rt△AED中，AE＝ ，ED＝EF－DF＝OA－DF＝OD－DF＝6－4＝2，
∴AD＝ ．
【解析】【分析】（1）连接OA，由直角三角形两锐角互余得∠DAE＋∠ADE＝90°，由角平分线的定义得∠ADE＝∠ADO，由等边对等角得∠OAD＝∠ADO，利用等量代换得∠DAE＋∠OAD＝90°，即OA⊥AE，从而根据切线的判定定理即可得出结论；
（2）取CD中点F，连接OF，由垂径定理得OF⊥CD于点F，易得四边形AEFO是矩形，由矩形的性质及勾股定理得OF＝AE＝ ，进而再利用勾股定理得OD=6，AD的长即可.
22．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．
（1）请在图中作出△ABC绕点A逆时针方向旋转90°后得到的图形△A1B1C1．
（2）求点C运动到点C1所经过的路径的长．
【答案】（1）解：△A1B1C1如图所示；
（2）解：根据旋转的性质得AC=AC1，∠CAC1=90°，
由勾股定理得 ，
∴点C运动到点C1所经过的路径的长为 ．
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点分别作出点B、C绕点A逆时针方向旋转90°后得到的对应点B1、C1，再顺次连接可得所求的△A1B1C1；
（2） 点C运动到点C1所经过的路径的长就是以AC为半径，旋转角为圆心角的一段弧长，从而根据旋转的性质得AC=AC1，∠CAC1=90°，进而根据勾股定理算出AC的长，然后根据弧长公式计算即可.
23．
（1）．
（2）化简：先化简，再求值：，其中x＝3+．
【答案】（1）解：-12020-|1-|++（2017-π）0．
＝-1-|1-×|+2×4+1
＝-1-0+8+1
＝8
（2）解：
＝
＝
＝
＝．
∴x＝3+时，原式＝＝．
【解析】【分析】（1）先算乘方，零指数幂、负整数指数幂，开方和绝对值，特殊角三角函数值，然后计算乘法，最后计算加减即可；
（2）将括号内通分并利用同分母分式减法法则计算，再将除法转化为乘法，进行约分即可化简，最后将x值代入计算即可.
24．如图，在中，是边上的中线，分别过点C，点D作的平行线交于E点，与交于点连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的值．
【答案】（1）证明：，
四边形是平行四边形．
是边上的中线，
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形．
（2）解：过点C作于F．
平行四边形
设
则
在中，；
．
，
，
，
是边上的中线，
，
在中，，
．
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合，即可得到四边形是菱形；
（2）过点C作于F，设结合，求出，再求出，最后利用正弦的定义可得。
25．已知抛物线对称轴是直线，顶点为，若自变量的函数值的部分对应值如表所示
-1 1 3
0 3 0
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若经过点作垂直于轴的直线，为直线上的动点，线段的垂直平分线交直线于点，点关于直线的对称点为，记作.
①用含和的代数式表示；
②当取任意实数时，若对于同一个，有恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）解：由题意抛物线与轴交于点，设抛物线的解析式为，
把代入得到，
∴抛物线的解析式为，
即
（2）解：，
，
直线为，顶点
①由题意得，，
如图，记直线与直线交于点，当点与点不重合时，
由已知得，与互相垂直平分，
四边形为菱形，
，
又点，
点，
，
过点作于点，则点，
，
在中，
，即，整理得，
即
当点与点重合时，点与点重合，
，
点坐标也满足上式，
与之间的函数关系式为 ；
②根据题意，借助函数图象：
当抛物线开口方向向上时，，即时，抛物线的顶点，抛物线的顶点，，
，
不合题意，
当抛物线开口方向向下时，，即时，
若，要使恒成立，
只要抛物线开口方向向下，且顶点在轴下方，
，只要，解得，符合题意；
若，，即也符合题意
综上，可以使恒成立的的取值范围是
【解析】【分析】（1）由表格数据可知，给出了抛物线与x轴两交点的坐标，故设出抛物线的交点式，再将（1，3）代入可算出二次项的系数a的值，从而求出抛物线的解析式；
（2）首先求出抛物线y1的对称轴直线为x=1，顶点M的坐标为（1，3）；①由题意得t≠3， 记直线l与直线l'交于点C（1，t），当点A与点C不重合时， 由AM于BP互相垂直平分判断出四边形ABMP是菱形，由点的坐标与图形的性质得A（x，t）（x≠1），则 ， 过点P作PQ⊥l于点Q，则点Q（1，y2）， 进而根据两点间的距离公式表示出QM、PQ、AC，在Rt△PQM中，根据勾股定理建立方程可得； 当点A与点C重合时，点B与点P重合， ， 也满足上式，从而得出结论；
②分抛物线y2开口方向向上时， 6-2t＞0，即t＜3时， 抛物线y2开口方向向下时， 6-2t＜0，即t＞3时，两种情况考虑，即可解决问题.
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