（核心素养应用意识）第三单元长方体和正方体（解决问题）测试卷（含解析）-2024-2025学年人教版五年级数学
文档属性
| 名称 | （核心素养应用意识）第三单元长方体和正方体（解决问题）测试卷（含解析）-2024-2025学年人教版五年级数学 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 996.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-18 05:47:03 | ||
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文档简介
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（核心素养应用意识）第三单元长方体和正方体（解决问题）-2024-2025学年五年级数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．把一个棱长是8厘米的正方体切成两个完全一样的长方体，这两个长方体的棱长总和与原来正方体的棱长总和相比，增加了多少厘米？
2．有一个长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米的长方体，将它截成两个长方体，使这两个长方体的表面积之和最大。这时表面积之和是多少平方厘米？
3．在一个封闭的水箱内装入水，从里面量，水箱的长、宽、高如下左图所示。水深24厘米，如果把这个水箱立起来放（如下右图），这时水深有多少厘米？
4．一个长方体被截成两个完全相同的正方体。两个正方体的棱长之和比原来的长方体的棱长之和增加了16厘米。原来的长方体最长的棱是多少厘米？21世纪教育网版权所有
5．如图所示，在一个棱长为10厘米的正方体上截取一个长为8厘米、宽为3厘米、高为2厘米的小长方体，那么剩下的几何体的表面积是多少？【来源：21·世纪·教育·网】
6．将一个长方体的高减少5厘米，就变成了正方体，正方体的表面积比原长方体的表面积减少了60平方厘米。原长方体的体积是多少立方厘米？
7．如图是一个正方体的木块，棱长为1米，沿水平方向将它锯成两半，每半又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体40块。那么，这40块长方体的表面积之和是多少平方米？21·世纪*教育网
8．如图所示，在长为13厘米、宽为9厘米的长方形硬纸板的四个角各去掉边长为2厘米的小正方形硬纸板，然后沿虚线折叠成长方体容器。这个容器的容积是多少立方厘米？
9．现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一个深5厘米的长方体无盖铁皮盒（焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好），你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米？
10．孔明灯是一种古老的手工艺品，相传由三国时期的诸葛亮发明而得名，在古代作为军事用途。涛涛和爸爸一起用一根36分米长的铁丝，做了一个正方体灯笼框架，除了底面外，其他面都要糊上安全阻燃纸，至少需要多少平方分米的安全阻燃纸？这个灯笼的体积是多少立方分米？
11．如图，在一个棱长为5分米的正方体上面的正中间向下挖一个棱长为2分米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中间再向下挖一个棱长为1分米的正方体小洞。求挖洞后的几何体的表面积是多少平方分米？
12．浩浩用一根铁丝做了一个棱长是6厘米的正方体框架，如果用这根铁丝做成长8厘米、宽5厘米的长方体框架，那么这个长方体的高是多少？体积是多少？
13．有一个长方体容器，从里面量底面积是12平方分米，高是1.5分米，里面装有1 分米深的水，放入两块石子后（石子完全淹没），水面升高0.2分米，这两块石子的体积是多少立方分米？21教育网
14．把一个长、宽、高分别是8分米、6分米、3分米的长方体锯成一个最大的正方体。这个正方体的体积是多少立方分米？剩下部分的体积是多少立方分米？
15．一个长方体水箱，从里面量，长、宽、高分别是30厘米、20厘米和10厘米。这个水箱可以装多少毫升水？21cnjy.com
16．红星小学要建一个长80米、宽60米的长方形足球场，先要铺5厘米厚的煤渣，然后铺12厘米厚的三合土。需要煤渣、三合土各多少立方米？www-2-1-cnjy-com
17．林伯伯家准备砌一道长15米、厚3分米、高2米的砖墙，如果每立方米用砖530块，林伯伯至少要准备多少块砖？
18．在一个长5分米、宽3.2分米、水深2.5分米的玻璃缸中投入一个棱长为10厘米的正方体钢锭，缸中的水面将升高多少厘米？
19．一个长方体的底面是一个周长为30厘米的长方形，高为10厘米。如果长和宽的厘米数都是合数，那么这个长方体的棱长和、表面积和体积分别是多少？
20．一个长方体的玻璃缸长8分米、宽6分米、高4分米，缸中水深2.8分米。如果放入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？
21．张青要给家里的长方体鱼缸换水，她先把鱼缸里的水全部倒出后，从鱼缸里面量长60厘米，宽30厘米，高42厘米。
（1）张青先倒入36升的水后，水深多少厘米？
（2）张青在鱼缸放入一块假山浸没水中，这时水深32厘米。这块假山的体积是多少立方分米？
22．在一个长80厘米、宽50厘米、高40厘米的长方体水箱中有30厘米深的水。如果在水中沉入一个棱长为20厘米的正方体铁块，这时水箱中水深多少厘米？
23．王师傅用铁丝制作一个孔明灯框架，它的底面是正方形且周长是80厘米，高是25厘米，要把它的表面糊上彩色纸（底面不糊纸）。王师傅至少要买多少平方分米的彩色纸？
24．一个长方体玻璃鱼缸，从里面量长4分米，宽3分米，缸内有水深3分米，往鱼缸里放入一块石头（完全浸没），水深增加2分米，这块石头的体积是多少？
25．如图是由若干个小正方体组成的大正方体，阴影部分为贯通的空洞，现将这个大正方体的内外表面涂上红色，一个面都没有涂上红色的小正方体有几个？21*cnjy*com
《（核心素养应用意识）第三单元长方体和正方体（解决问题）-2024-2025学年五年级数》参考答案www.21-cn-jy.com
1．64厘米
【分析】根据题意，把一个正方体切成两个完全一样的长方体，会增加两个截面，每个截面有4条棱长，两个截面有8条棱长，所以增加的棱长总和是8条棱长之和。
【详解】8×8＝64（厘米）
答：增加了64厘米。
2．134平方厘米
【分析】根据题意可知，要使截成的两个长方体的表面积之和最大，就要沿着长和宽的横截面进行截取，这时增加两个长乘宽的面积，原来长方体的面积加上两个长乘宽的面积，即等于这时的表面积之和，据此即可解答。
【详解】（5×4＋5×3＋4×3）×2＋5×4×2
＝（20＋15＋12）×2＋20×2
＝47×2＋40
＝94＋40
＝134（平方厘米）
答：这时表面积之和是134平方厘米。
3．72厘米
【分析】根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出左图形里水深24厘米的水的体积，由于体积不变，再用水的体积÷（右图的长×宽），即可求出这时水深，据此解答。
【详解】90×60×24÷（60×30）
＝90×60×24÷1800
＝5400×24÷1800
＝129600÷1800
＝72（厘米）
答：这时水深72厘米。
4．4厘米
【分析】一个长方体被截成两个完全相同的正方体，说明这个长方体有2个面是正方形，将原来的长方体最长的棱看作长方体的高，这个长方体，长＝宽，且高是长的2倍，两个正方体的棱长之和比原来的长方体的棱长之和增加了8条正方体的棱长，增加的棱长÷8＝正方体棱长，即长方体的长和宽，正方体棱长×2＝长方体的高，即原来的长方体最长的棱。
【详解】16÷8×2＝4（厘米）
答：原来的长方体最长的棱是4厘米。
5．600平方厘米
【分析】看图可知，在正方体顶点处截取一个小长方体，表面积减少了3个小长方形，里面又出现了同样的3个小长方形，因此表面积不变，还剩原来正方体的表面积，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，列式解答即可。
【详解】10×10×6＝600（平方厘米）
答：剩下的几何体的表面积是600平方厘米。
6．72立方厘米
【分析】根据题意，长方体的高减少5厘米，就变成了正方体，那么原来长方体的长、宽相等；
正方体的表面积比原长方体的表面积减少了60平方厘米，减少的表面积是高为5厘米的小长方体的4个侧面积之和，用减少的表面积除以4，求出一个面的面积，再除以5，求出原来长方体的长、宽；再用原来的长或宽加上5厘米，即是原来长方体的高；
根据长方体的体积＝长×宽×高，求出原来长方体的体积。
【详解】原来长方体的长、宽：
60÷4÷5
＝15÷5
＝3（厘米）
原来长方体的高：
3＋5＝8（厘米）
原来长方体的体积：
3×3×8＝72（立方厘米）
答：原长方体的体积是72立方厘米。
7．22平方米
【分析】根据正方体的特征可知，正方体有6个面，每个面都是完全相同的正方形；由正方形的面积公式S＝a2，求出一个面的面积。21·cn·jy·com
已知每锯一次增加2个面，且每个面的面积都等于正方体一个面的面积；先沿水平方向将它锯成两半，则锯了一次，增加2个面的面积；每半又锯成4长条，则锯了3次，增加6个面的面积；每条又锯成5小块，则锯了4次，增加8个面的面积；一共增加（2＋6＋8）个面，再加上原来正方体的6个面，即是这40块长方体的总面数，再乘每个面的面积，求出这40块长方体的表面积之和。
【详解】2×（2－1）＋2×（4－1）＋2×（5－1）＋6
＝2×1＋2×3＋2×4＋6
＝2＋6＋8＋6
＝22（个）
1×1×22＝22（平方米）
答：这40块长方体的表面积之和是22平方米。
8．90立方厘米
【分析】长方体容器的长＝长方形硬纸板的长－小正方形的边长×2，长方体容器的宽＝长方形硬纸板的宽－小正方形的边长×2，长方体容器的高＝小正方形的边长，根据长方体体积＝长×宽×高，即可求出容积。【出处：21教育名师】
【详解】（13－2×2）×（9－2×2）×2
＝（13－4）×（9－4）×2
＝9×5×2
＝90（立方厘米）
答：这个容器的容积是90立方厘米。
9．1500立方厘米
【分析】根据题意，在长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮的四个角上分别剪去边长为5厘米的正方形，做成一个深5厘米的长方体无盖铁皮盒，那么这个长方体的长是（40－5－5）厘米，宽是（20－5－5）厘米，高是5厘米。根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，求出这个铁皮盒的容积。
【详解】长：40－5－5＝30（厘米）
宽：20－5－5＝10（厘米）
容积：30×10×5＝1500（立方厘米）
答：做出的铁皮盒容积是1500立方厘米。
10．45平方分米；27立方分米
【分析】由正方体的棱长和＝棱长×12可推导出，棱长＝正方体的棱长和÷12，据此先用铁丝长度除以12求出正方体灯笼的棱长；正方体灯笼5个面要糊上安全阻燃纸，再用棱长×棱长×5即可求出安全阻燃纸的面积；最后根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出这个灯笼的体积。
【详解】（分米）
（平方分米）
（立方分米）
答：至少需要45平方分米的安全阻燃纸。这个灯笼的体积是27立方分米。
11．170平方分米
【分析】分析题目，通过平移可知：这个图形的表面积就等于棱长是5分米的正方体的表面积加棱长是1分米的正方体的前后左右4个面加棱长是2分米的正方体的前后左右4个面，据此结合正方体的表面积＝棱长×棱长×6列式计算即可。
【详解】5×5×6＋1×1×4＋2×2×4
＝25×6＋1×4＋4×4
＝150＋4＋16
＝170（平方分米）
答：挖洞后的几何体的表面积是170平方分米。
12．5厘米；200立方厘米
【分析】正方体棱长总和＝棱长×12，据此求出铁丝长度，再根据长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽，长方体体积＝长×宽×高，列式解答即可。21教育名师原创作品
【详解】6×12＝72（厘米）
72÷4－8－5
＝18－8－5
＝5（厘米）
8×5×5＝200（立方厘米）
答：这个长方体的高是5厘米，体积是200立方厘米。
13．2.4立方分米
【分析】根据题意，两块石子完全淹没在水中，水面升高0.2分米，那么水上升部分的体积就是这两块石子的体积；根据长方体的体积公式V＝Sh，代入数据计算求解。
【详解】12×0.2＝2.4（立方分米）
答：这两块石子的体积是2.4立方分米。
14．27立方分米；117立方分米
【分析】由题意可知，锯成的这个最大的正方体的棱长等于长方体的高，再根据长方体的体积＝长×宽×高、正方体的体积＝棱长×棱长×棱长分别求出长方体和正方体的体积，最后用长方体的体积减去锯成的正方体体积就是剩下部分的体积，据此解答即可。
【详解】3×3×3
＝9×3
＝27（立方分米）
8×6×3
＝48×3
＝144（立方分米）
144－27＝117（立方分米）
答：这个正方体的体积是27立方分米，剩下部分的体积是117立方分米。
15．6000毫升
【分析】长方体的容积＝长×宽×高，把题目中的数据代入公式计算，再根据“1毫升＝1立方厘米”把体积单位转化为容积单位，据此解答。21*cnjy*com
【详解】30×20×10
＝600×10
＝6000（立方厘米）
6000立方厘米＝6000毫升
答：这个水箱可以装6000毫升水。
16．240立方米；576立方米
【分析】根据1米＝100厘米，统一单位，煤渣和三合土的厚相当于长方体的高，根据长方体体积＝长×宽×高，分别计算出煤渣、三合土的体积即可。
【详解】5厘米＝0.05米、12厘米＝0.12米
80×60×0.05＝240（立方米）
80×60×0.12＝576（立方米）
答：需要煤渣240立方米、三合土576立方米。
17．4770块
【分析】根据1米＝10分米，统一单位，砖墙的厚相当于长方体的宽，根据长方体体积＝长×宽×高，求出砖墙的体积，砖墙的体积×每立方米用砖块数＝砖的总块数，据此列式解答。
【详解】3分米＝0.3米
15×0.3×2×530
＝9×530
＝4770（块）
答：林伯伯至少要准备4770块砖。
18．0.625厘米
【分析】5分米＝50厘米，3.2分米＝32厘米，2.5分米＝25厘米，这个棱长10厘米的正方体钢锭会全部没入水中。根据题意，上升的水的体积＝正方体钢锭的体积，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据可以求出钢锭的体积，即上升的水的体积。而上升的水的形状是长5分米，宽3.2分米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，用上升的水的体积除以它的长和宽，即可求出水面将升高多少厘米。2·1·c·n·j·y
【详解】5分米＝50厘米
3.2分米＝32厘米
10×10×10÷50÷32
＝1000÷50÷32
＝0.625（厘米）
答：缸中的水面将升高0.625厘米。
19．棱长和是100厘米，表面积是408平方厘米，体积是540立方厘米
【分析】根据长方体的底面周长＝（长＋宽）×2，可知长、宽的和是（30÷2）厘米，即15厘米，因为长和宽的厘米数都是合数，一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数，据此将15拆分为2个合数相加，即6＋9；再根据长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4、长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2、长方体的体积＝长×宽×高，代入数据即可求出这个长方体的棱长和、表面积和体积。【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】30÷2＝15（厘米）
15＝6＋9
长为9厘米，宽为6厘米，
棱长和：（9＋6＋10）×4
＝25×4
＝100（厘米）
表面积：（9×6＋9×10＋6×10）×2
＝（54＋90＋60）×2
＝204×2
＝408（平方厘米）
体积：9×6×10＝540（立方厘米）
答：这个长方体的棱长和是100厘米，表面积是408平方厘米，体积是540立方厘米。
20．6.4升
【分析】根据题意，把一块正方体铁块放入水深2.8分米的长方体玻璃缸中，水会先升高到4分米，再溢出，所以溢出水的体积＝铁块的体积－长方体玻璃缸无水部分的体积，根据正方体的体积公式V＝a3，长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求解。注意单位的换算：1立方分米＝1升。2-1-c-n-j-y
【详解】4×4×4＝64（立方分米）
8×6×（4－2.8）
＝8×6×1.2
＝48×1.2
＝57.6（立方分米）
64－57.6＝6.4（立方分米）
6.4立方分米＝6.4升
答：缸里的水溢出6.4升。
21．（1）20厘米
（2）21.6立方分米
【分析】（1）根据题意，往长60厘米、宽30厘米的长方体鱼缸里倒入36升的水，根据长方体的体积＝长×宽×高，可知长方体的高＝体积÷长÷高，据此求出水深。注意单位的换算：1升＝1000立方厘米。
（2）由上一题可知，鱼缸里水深20厘米。往长方体鱼缸里放入一块假山浸没水中，这时水深32厘米，那么水上升了（32－20）厘米，水上升部分的体积就是假山的体积；根据长方体的体积＝长×宽×高，求出这块假山的体积。注意单位的换算：1立方分米＝1000立方厘米。
【详解】（1）36升＝36000立方厘米
36000÷60÷30
＝600÷30
＝20（厘米）
答：水深20厘米。
（2）60×30×（32－20）
＝60×30×12
＝21600（立方厘米）
21600立方厘米＝21.6立方分米
答：这块假山的体积是21.6立方分米。
22．32厘米
【分析】将水中沉入一个棱长为20厘米的正方体铁块，则水面上升的体积就是正方体的体积，根据，得出水上升的体积，长方体的体积＝底面积×高，长方体的底面积＝长×宽，那么用水上升的体积除以长方体的底面积，就是水面上升的高度，最后再加上原来水箱中水的高度就是现在水的深度。
【详解】20×20×20＝8000（立方厘米）
8000÷（80×50）
＝8000÷4000
＝2（厘米）
30＋2＝32（厘米）
答：这时水箱中水深32厘米。
23．24平方分米
【分析】已知底面的周长是80厘米，底面是正方形，根据正方形的边长＝周长÷4，因此边长为：80÷4＝20厘米。这个长方体的框架，前后左右面4个面是形状大小相等的长方形，因此彩色纸的面积＝前后左右面＋上面＝边长×高×4＋边长×边长，据此代入数据计算，即可求出彩色纸的面积。再根据1平方分米＝100平方厘米，将结果换算成平方分米。
【详解】80÷4＝20（厘米）
20×25×4＋20×20
＝2000＋400
＝2400（平方厘米）
2400平方厘米＝24平方分米
答：王师傅至少要买24平方分米的彩色纸。
24．24立方分米
【分析】分析题目，水上升的体积就是石头的体积，水上升的体积就是一个长是4分米，宽是3分米，高是2分米的长方体的体积，据此结合长方体的体积＝长×宽×高列式计算即可。
【详解】4×3×2
＝12×2
＝24（立方分米）
答：这块石头的体积是24立方分米。
25．2个
【分析】大正方体有4排4列4层，如果没有贯通的空洞，中间部分的小正方体是没有涂红色的，共有2×2×2＝8（个），由于有贯通的空洞，中间没有涂色的小正方体要减少2×3＝6（个）（贯通的空洞减少2个，空洞四周涂色又要减法4个），所以一个面都没有涂上红色的小正方体有8－6＝2（个），据此即可解答。
【详解】2×2×2－2×3
＝8－6
＝2（个）
答：一个面都没有涂上红色的小正方体有2个。
【点睛】先按没有空洞计算没有涂色的小正方体的个数，再减去由于有贯通空洞减少没有涂色的小正方体的个数。【版权所有：21教育】
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（核心素养应用意识）第三单元长方体和正方体（解决问题）-2024-2025学年五年级数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．把一个棱长是8厘米的正方体切成两个完全一样的长方体，这两个长方体的棱长总和与原来正方体的棱长总和相比，增加了多少厘米？
2．有一个长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米的长方体，将它截成两个长方体，使这两个长方体的表面积之和最大。这时表面积之和是多少平方厘米？
3．在一个封闭的水箱内装入水，从里面量，水箱的长、宽、高如下左图所示。水深24厘米，如果把这个水箱立起来放（如下右图），这时水深有多少厘米？
4．一个长方体被截成两个完全相同的正方体。两个正方体的棱长之和比原来的长方体的棱长之和增加了16厘米。原来的长方体最长的棱是多少厘米？21世纪教育网版权所有
5．如图所示，在一个棱长为10厘米的正方体上截取一个长为8厘米、宽为3厘米、高为2厘米的小长方体，那么剩下的几何体的表面积是多少？【来源：21·世纪·教育·网】
6．将一个长方体的高减少5厘米，就变成了正方体，正方体的表面积比原长方体的表面积减少了60平方厘米。原长方体的体积是多少立方厘米？
7．如图是一个正方体的木块，棱长为1米，沿水平方向将它锯成两半，每半又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体40块。那么，这40块长方体的表面积之和是多少平方米？21·世纪*教育网
8．如图所示，在长为13厘米、宽为9厘米的长方形硬纸板的四个角各去掉边长为2厘米的小正方形硬纸板，然后沿虚线折叠成长方体容器。这个容器的容积是多少立方厘米？
9．现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一个深5厘米的长方体无盖铁皮盒（焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好），你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米？
10．孔明灯是一种古老的手工艺品，相传由三国时期的诸葛亮发明而得名，在古代作为军事用途。涛涛和爸爸一起用一根36分米长的铁丝，做了一个正方体灯笼框架，除了底面外，其他面都要糊上安全阻燃纸，至少需要多少平方分米的安全阻燃纸？这个灯笼的体积是多少立方分米？
11．如图，在一个棱长为5分米的正方体上面的正中间向下挖一个棱长为2分米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中间再向下挖一个棱长为1分米的正方体小洞。求挖洞后的几何体的表面积是多少平方分米？
12．浩浩用一根铁丝做了一个棱长是6厘米的正方体框架，如果用这根铁丝做成长8厘米、宽5厘米的长方体框架，那么这个长方体的高是多少？体积是多少？
13．有一个长方体容器，从里面量底面积是12平方分米，高是1.5分米，里面装有1 分米深的水，放入两块石子后（石子完全淹没），水面升高0.2分米，这两块石子的体积是多少立方分米？21教育网
14．把一个长、宽、高分别是8分米、6分米、3分米的长方体锯成一个最大的正方体。这个正方体的体积是多少立方分米？剩下部分的体积是多少立方分米？
15．一个长方体水箱，从里面量，长、宽、高分别是30厘米、20厘米和10厘米。这个水箱可以装多少毫升水？21cnjy.com
16．红星小学要建一个长80米、宽60米的长方形足球场，先要铺5厘米厚的煤渣，然后铺12厘米厚的三合土。需要煤渣、三合土各多少立方米？www-2-1-cnjy-com
17．林伯伯家准备砌一道长15米、厚3分米、高2米的砖墙，如果每立方米用砖530块，林伯伯至少要准备多少块砖？
18．在一个长5分米、宽3.2分米、水深2.5分米的玻璃缸中投入一个棱长为10厘米的正方体钢锭，缸中的水面将升高多少厘米？
19．一个长方体的底面是一个周长为30厘米的长方形，高为10厘米。如果长和宽的厘米数都是合数，那么这个长方体的棱长和、表面积和体积分别是多少？
20．一个长方体的玻璃缸长8分米、宽6分米、高4分米，缸中水深2.8分米。如果放入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？
21．张青要给家里的长方体鱼缸换水，她先把鱼缸里的水全部倒出后，从鱼缸里面量长60厘米，宽30厘米，高42厘米。
（1）张青先倒入36升的水后，水深多少厘米？
（2）张青在鱼缸放入一块假山浸没水中，这时水深32厘米。这块假山的体积是多少立方分米？
22．在一个长80厘米、宽50厘米、高40厘米的长方体水箱中有30厘米深的水。如果在水中沉入一个棱长为20厘米的正方体铁块，这时水箱中水深多少厘米？
23．王师傅用铁丝制作一个孔明灯框架，它的底面是正方形且周长是80厘米，高是25厘米，要把它的表面糊上彩色纸（底面不糊纸）。王师傅至少要买多少平方分米的彩色纸？
24．一个长方体玻璃鱼缸，从里面量长4分米，宽3分米，缸内有水深3分米，往鱼缸里放入一块石头（完全浸没），水深增加2分米，这块石头的体积是多少？
25．如图是由若干个小正方体组成的大正方体，阴影部分为贯通的空洞，现将这个大正方体的内外表面涂上红色，一个面都没有涂上红色的小正方体有几个？21*cnjy*com
《（核心素养应用意识）第三单元长方体和正方体（解决问题）-2024-2025学年五年级数》参考答案www.21-cn-jy.com
1．64厘米
【分析】根据题意，把一个正方体切成两个完全一样的长方体，会增加两个截面，每个截面有4条棱长，两个截面有8条棱长，所以增加的棱长总和是8条棱长之和。
【详解】8×8＝64（厘米）
答：增加了64厘米。
2．134平方厘米
【分析】根据题意可知，要使截成的两个长方体的表面积之和最大，就要沿着长和宽的横截面进行截取，这时增加两个长乘宽的面积，原来长方体的面积加上两个长乘宽的面积，即等于这时的表面积之和，据此即可解答。
【详解】（5×4＋5×3＋4×3）×2＋5×4×2
＝（20＋15＋12）×2＋20×2
＝47×2＋40
＝94＋40
＝134（平方厘米）
答：这时表面积之和是134平方厘米。
3．72厘米
【分析】根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出左图形里水深24厘米的水的体积，由于体积不变，再用水的体积÷（右图的长×宽），即可求出这时水深，据此解答。
【详解】90×60×24÷（60×30）
＝90×60×24÷1800
＝5400×24÷1800
＝129600÷1800
＝72（厘米）
答：这时水深72厘米。
4．4厘米
【分析】一个长方体被截成两个完全相同的正方体，说明这个长方体有2个面是正方形，将原来的长方体最长的棱看作长方体的高，这个长方体，长＝宽，且高是长的2倍，两个正方体的棱长之和比原来的长方体的棱长之和增加了8条正方体的棱长，增加的棱长÷8＝正方体棱长，即长方体的长和宽，正方体棱长×2＝长方体的高，即原来的长方体最长的棱。
【详解】16÷8×2＝4（厘米）
答：原来的长方体最长的棱是4厘米。
5．600平方厘米
【分析】看图可知，在正方体顶点处截取一个小长方体，表面积减少了3个小长方形，里面又出现了同样的3个小长方形，因此表面积不变，还剩原来正方体的表面积，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，列式解答即可。
【详解】10×10×6＝600（平方厘米）
答：剩下的几何体的表面积是600平方厘米。
6．72立方厘米
【分析】根据题意，长方体的高减少5厘米，就变成了正方体，那么原来长方体的长、宽相等；
正方体的表面积比原长方体的表面积减少了60平方厘米，减少的表面积是高为5厘米的小长方体的4个侧面积之和，用减少的表面积除以4，求出一个面的面积，再除以5，求出原来长方体的长、宽；再用原来的长或宽加上5厘米，即是原来长方体的高；
根据长方体的体积＝长×宽×高，求出原来长方体的体积。
【详解】原来长方体的长、宽：
60÷4÷5
＝15÷5
＝3（厘米）
原来长方体的高：
3＋5＝8（厘米）
原来长方体的体积：
3×3×8＝72（立方厘米）
答：原长方体的体积是72立方厘米。
7．22平方米
【分析】根据正方体的特征可知，正方体有6个面，每个面都是完全相同的正方形；由正方形的面积公式S＝a2，求出一个面的面积。21·cn·jy·com
已知每锯一次增加2个面，且每个面的面积都等于正方体一个面的面积；先沿水平方向将它锯成两半，则锯了一次，增加2个面的面积；每半又锯成4长条，则锯了3次，增加6个面的面积；每条又锯成5小块，则锯了4次，增加8个面的面积；一共增加（2＋6＋8）个面，再加上原来正方体的6个面，即是这40块长方体的总面数，再乘每个面的面积，求出这40块长方体的表面积之和。
【详解】2×（2－1）＋2×（4－1）＋2×（5－1）＋6
＝2×1＋2×3＋2×4＋6
＝2＋6＋8＋6
＝22（个）
1×1×22＝22（平方米）
答：这40块长方体的表面积之和是22平方米。
8．90立方厘米
【分析】长方体容器的长＝长方形硬纸板的长－小正方形的边长×2，长方体容器的宽＝长方形硬纸板的宽－小正方形的边长×2，长方体容器的高＝小正方形的边长，根据长方体体积＝长×宽×高，即可求出容积。【出处：21教育名师】
【详解】（13－2×2）×（9－2×2）×2
＝（13－4）×（9－4）×2
＝9×5×2
＝90（立方厘米）
答：这个容器的容积是90立方厘米。
9．1500立方厘米
【分析】根据题意，在长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮的四个角上分别剪去边长为5厘米的正方形，做成一个深5厘米的长方体无盖铁皮盒，那么这个长方体的长是（40－5－5）厘米，宽是（20－5－5）厘米，高是5厘米。根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，求出这个铁皮盒的容积。
【详解】长：40－5－5＝30（厘米）
宽：20－5－5＝10（厘米）
容积：30×10×5＝1500（立方厘米）
答：做出的铁皮盒容积是1500立方厘米。
10．45平方分米；27立方分米
【分析】由正方体的棱长和＝棱长×12可推导出，棱长＝正方体的棱长和÷12，据此先用铁丝长度除以12求出正方体灯笼的棱长；正方体灯笼5个面要糊上安全阻燃纸，再用棱长×棱长×5即可求出安全阻燃纸的面积；最后根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出这个灯笼的体积。
【详解】（分米）
（平方分米）
（立方分米）
答：至少需要45平方分米的安全阻燃纸。这个灯笼的体积是27立方分米。
11．170平方分米
【分析】分析题目，通过平移可知：这个图形的表面积就等于棱长是5分米的正方体的表面积加棱长是1分米的正方体的前后左右4个面加棱长是2分米的正方体的前后左右4个面，据此结合正方体的表面积＝棱长×棱长×6列式计算即可。
【详解】5×5×6＋1×1×4＋2×2×4
＝25×6＋1×4＋4×4
＝150＋4＋16
＝170（平方分米）
答：挖洞后的几何体的表面积是170平方分米。
12．5厘米；200立方厘米
【分析】正方体棱长总和＝棱长×12，据此求出铁丝长度，再根据长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽，长方体体积＝长×宽×高，列式解答即可。21教育名师原创作品
【详解】6×12＝72（厘米）
72÷4－8－5
＝18－8－5
＝5（厘米）
8×5×5＝200（立方厘米）
答：这个长方体的高是5厘米，体积是200立方厘米。
13．2.4立方分米
【分析】根据题意，两块石子完全淹没在水中，水面升高0.2分米，那么水上升部分的体积就是这两块石子的体积；根据长方体的体积公式V＝Sh，代入数据计算求解。
【详解】12×0.2＝2.4（立方分米）
答：这两块石子的体积是2.4立方分米。
14．27立方分米；117立方分米
【分析】由题意可知，锯成的这个最大的正方体的棱长等于长方体的高，再根据长方体的体积＝长×宽×高、正方体的体积＝棱长×棱长×棱长分别求出长方体和正方体的体积，最后用长方体的体积减去锯成的正方体体积就是剩下部分的体积，据此解答即可。
【详解】3×3×3
＝9×3
＝27（立方分米）
8×6×3
＝48×3
＝144（立方分米）
144－27＝117（立方分米）
答：这个正方体的体积是27立方分米，剩下部分的体积是117立方分米。
15．6000毫升
【分析】长方体的容积＝长×宽×高，把题目中的数据代入公式计算，再根据“1毫升＝1立方厘米”把体积单位转化为容积单位，据此解答。21*cnjy*com
【详解】30×20×10
＝600×10
＝6000（立方厘米）
6000立方厘米＝6000毫升
答：这个水箱可以装6000毫升水。
16．240立方米；576立方米
【分析】根据1米＝100厘米，统一单位，煤渣和三合土的厚相当于长方体的高，根据长方体体积＝长×宽×高，分别计算出煤渣、三合土的体积即可。
【详解】5厘米＝0.05米、12厘米＝0.12米
80×60×0.05＝240（立方米）
80×60×0.12＝576（立方米）
答：需要煤渣240立方米、三合土576立方米。
17．4770块
【分析】根据1米＝10分米，统一单位，砖墙的厚相当于长方体的宽，根据长方体体积＝长×宽×高，求出砖墙的体积，砖墙的体积×每立方米用砖块数＝砖的总块数，据此列式解答。
【详解】3分米＝0.3米
15×0.3×2×530
＝9×530
＝4770（块）
答：林伯伯至少要准备4770块砖。
18．0.625厘米
【分析】5分米＝50厘米，3.2分米＝32厘米，2.5分米＝25厘米，这个棱长10厘米的正方体钢锭会全部没入水中。根据题意，上升的水的体积＝正方体钢锭的体积，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据可以求出钢锭的体积，即上升的水的体积。而上升的水的形状是长5分米，宽3.2分米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，用上升的水的体积除以它的长和宽，即可求出水面将升高多少厘米。2·1·c·n·j·y
【详解】5分米＝50厘米
3.2分米＝32厘米
10×10×10÷50÷32
＝1000÷50÷32
＝0.625（厘米）
答：缸中的水面将升高0.625厘米。
19．棱长和是100厘米，表面积是408平方厘米，体积是540立方厘米
【分析】根据长方体的底面周长＝（长＋宽）×2，可知长、宽的和是（30÷2）厘米，即15厘米，因为长和宽的厘米数都是合数，一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数，据此将15拆分为2个合数相加，即6＋9；再根据长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4、长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2、长方体的体积＝长×宽×高，代入数据即可求出这个长方体的棱长和、表面积和体积。【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】30÷2＝15（厘米）
15＝6＋9
长为9厘米，宽为6厘米，
棱长和：（9＋6＋10）×4
＝25×4
＝100（厘米）
表面积：（9×6＋9×10＋6×10）×2
＝（54＋90＋60）×2
＝204×2
＝408（平方厘米）
体积：9×6×10＝540（立方厘米）
答：这个长方体的棱长和是100厘米，表面积是408平方厘米，体积是540立方厘米。
20．6.4升
【分析】根据题意，把一块正方体铁块放入水深2.8分米的长方体玻璃缸中，水会先升高到4分米，再溢出，所以溢出水的体积＝铁块的体积－长方体玻璃缸无水部分的体积，根据正方体的体积公式V＝a3，长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求解。注意单位的换算：1立方分米＝1升。2-1-c-n-j-y
【详解】4×4×4＝64（立方分米）
8×6×（4－2.8）
＝8×6×1.2
＝48×1.2
＝57.6（立方分米）
64－57.6＝6.4（立方分米）
6.4立方分米＝6.4升
答：缸里的水溢出6.4升。
21．（1）20厘米
（2）21.6立方分米
【分析】（1）根据题意，往长60厘米、宽30厘米的长方体鱼缸里倒入36升的水，根据长方体的体积＝长×宽×高，可知长方体的高＝体积÷长÷高，据此求出水深。注意单位的换算：1升＝1000立方厘米。
（2）由上一题可知，鱼缸里水深20厘米。往长方体鱼缸里放入一块假山浸没水中，这时水深32厘米，那么水上升了（32－20）厘米，水上升部分的体积就是假山的体积；根据长方体的体积＝长×宽×高，求出这块假山的体积。注意单位的换算：1立方分米＝1000立方厘米。
【详解】（1）36升＝36000立方厘米
36000÷60÷30
＝600÷30
＝20（厘米）
答：水深20厘米。
（2）60×30×（32－20）
＝60×30×12
＝21600（立方厘米）
21600立方厘米＝21.6立方分米
答：这块假山的体积是21.6立方分米。
22．32厘米
【分析】将水中沉入一个棱长为20厘米的正方体铁块，则水面上升的体积就是正方体的体积，根据，得出水上升的体积，长方体的体积＝底面积×高，长方体的底面积＝长×宽，那么用水上升的体积除以长方体的底面积，就是水面上升的高度，最后再加上原来水箱中水的高度就是现在水的深度。
【详解】20×20×20＝8000（立方厘米）
8000÷（80×50）
＝8000÷4000
＝2（厘米）
30＋2＝32（厘米）
答：这时水箱中水深32厘米。
23．24平方分米
【分析】已知底面的周长是80厘米，底面是正方形，根据正方形的边长＝周长÷4，因此边长为：80÷4＝20厘米。这个长方体的框架，前后左右面4个面是形状大小相等的长方形，因此彩色纸的面积＝前后左右面＋上面＝边长×高×4＋边长×边长，据此代入数据计算，即可求出彩色纸的面积。再根据1平方分米＝100平方厘米，将结果换算成平方分米。
【详解】80÷4＝20（厘米）
20×25×4＋20×20
＝2000＋400
＝2400（平方厘米）
2400平方厘米＝24平方分米
答：王师傅至少要买24平方分米的彩色纸。
24．24立方分米
【分析】分析题目，水上升的体积就是石头的体积，水上升的体积就是一个长是4分米，宽是3分米，高是2分米的长方体的体积，据此结合长方体的体积＝长×宽×高列式计算即可。
【详解】4×3×2
＝12×2
＝24（立方分米）
答：这块石头的体积是24立方分米。
25．2个
【分析】大正方体有4排4列4层，如果没有贯通的空洞，中间部分的小正方体是没有涂红色的，共有2×2×2＝8（个），由于有贯通的空洞，中间没有涂色的小正方体要减少2×3＝6（个）（贯通的空洞减少2个，空洞四周涂色又要减法4个），所以一个面都没有涂上红色的小正方体有8－6＝2（个），据此即可解答。
【详解】2×2×2－2×3
＝8－6
＝2（个）
答：一个面都没有涂上红色的小正方体有2个。
【点睛】先按没有空洞计算没有涂色的小正方体的个数，再减去由于有贯通空洞减少没有涂色的小正方体的个数。【版权所有：21教育】
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